传染病数学模型的建立及稳定性分析
作者：张 运 权
单位：湖北工学院 武汉430068
关键词：稳定性；轨线；阈值定理
数理医药学杂志990202
摘要 利用疾病传播的一般规律及人口守恒统计法测建立起两室与三室的传染病模型[1]，再运用文献[2、3]的数学方法，重点对两室的传染病模型进行定性与稳定性分析，从而得出相应情况下的生态意义。
1 预备知识
1.1 两室的模型 把城市人口分为健康人与传染病人两个室(集合)，其人数分别记作：S(t),I(t)。
1.2 三室的模型 把城市人口分为健康人S(t)、传染病人I(t)及病愈免疫(包括死亡)的人R(t)。
, http://www.100md.com
我们知道疾病传播一般服从下列法则：
法则1 在所考虑的时期内，人口总数保持在固定水平N(即S(t)+I(t)+R(t)=N)。
法则2 易受传染者S(t)人数的变化率正比于传染病患者I(t)与S(t)人数的乘积。
法则3 由I(t)向R(t)转变的速率与I(t)成正比。
2 两室的模型
由上述疾病传播法则，不难得出传染病的数学模型
(1)
且初始状态为S(0)=S0>0,I(0)=I0>0
, 百拇医药
其中常数λ、α称为传染率、移除率，其值均大于零。
令σ=λ/α,1/σ=α/λ称为相对移除率，同时为了讨论问题的方便，不妨假设N=1，即总体。
定理1 (阈值定理)设S(t),I(t)是初值问题(1)的解，如果σS0<1,那么，当t→+∞时，I(t)单调减少趋于零。如果σS0>1，当t→+∞时，I(t)先增加达到最大值1-1/σ-1/σln(σS0),此时S=1/σ,而后单调减少趋于零，S(t)是一个单调减少函数，并且其极限
，是方程1-S+(ln(S/S0))/σ=0在(0，1/σ)内的根(见图1)。
, 百拇医药 图1
2.1 在不考虑自然出生和死亡的前提下，一种传染病发生时，如果易感染人的总数小于等于该病的相对移除率，此传染病不可能发生流行，将很快被消灭。如果易感染人的总数大于该病的相对移除率，此传染病可能发生流行，得病的人数将猛增，当易感染人数下降到S=1/σ时，得病人数I(t)达到最大值1-1/σ-1/σln(σS0)，而后得病人数逐渐减少，最终趋向于零，即传染病被消灭。在整个过程中易感染人数单调减少，最终并不是所有的易感染人都会得病。因此，我们说疾病不是因为缺少受传染者而停止传播，而是因为没有了传染者才停止传播。
2.2 由于人类对传染病的认识提高以及现代医学水平的发展，对于许多传染病可以做到提前预防，使人群对许多种传染病具有免疫能力，例如打预防针、进行免疫接种等，我们在模型(1)的基础上增加考虑直接进入消除类的因素，使其注射预防针的速率λ与I(t)成正比。
经过调整，得到如下的数学模型：
(2)
, 百拇医药
且S0>0、I0>0,其中λ,α，δ均大于零，令σ=λ/α,1/σ=α/λ为相对移除率。
以下对模型(2)进行分析。
我们在(S，I)相平面上考察轨线。
首先由
(dS)/(dt)=-λIS-δS=-(λIS+δS)<0
得S(t)是单调减少的，所以，对于所有t>0有S(t)0，再由方程(dI)/(dt)=λIS-αI=λI(S-1/σ)可知，当S0≤1/σ时，有(dI)/(dt)<0，对所有t>0成立，此时I(t)单调减少。当S0>(1)/(σ)时由S(t)单调减少可得存在唯一的t1,使S(t1)=(1)/(σ),因此有：01时，(dI)/(dt)>0，此时I(t)增加，t>t1后(dI)/(dt)<0,此时I(t)单调减少，所以I(t1)是最大值。即在相平面上的轨线I(r)在r=(1)/(σ)时，I((1)/(σ))为最大值。
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显然方程组(2)的轨线方程为：
由此我们得：
上式说明采取预防措施后，可以减少得病人数，并且I(t)的最大值小于不采取预防措施时的最大值。
令 D={(S,I)|0
对于方程组(2)，其轨线为：
S=0,I=I0e-αt
I=0,S=S0e-δt
, http://www.100md.com
O(0，0)点在(2)在D上唯一的平衡点，并且点(0，0)是局部渐近稳定的，这是因为特征根-δ及-α均小于零。
对于在直线S+I=1上的所有解均有
d(S+I)/dt=-aI-δS<0
所以，在D内出发的轨线不会越出区域D。
令
={(S,I)|0≤S≤1, 0上取Dulac函数B(S，I)=(1)/(I(t))，由Dulac定理[3]知在上不存在极限环，所以由上出发的轨线当t→+∞时，必趋于平衡点(0，0)。
, 百拇医药
综上所述，我们得出如下定理。
定理2 对于初始问题(2)，区域是平衡点O(0，0)的渐近稳定区域(见图2)。
图2
定理3 (阈值定理)设S(t),I(t)是初值问题(2)的解，如果σS0<1那么当t→+∞时I(t)单调减少趋于零，如果σS0>1,当t→+∞时I(t)增加到达最大值I((1)/(σ))，而后单调减少趋于零。S(t)同时单调减少趋于零。
2.3 在传染病流行之前，对易感染的人群进行有效的预防可以使易感染的人数下降，从而达到防止传染病流行的目的。
, http://www.100md.com
2.4 在传染病发生之后，立即对易感染的人群进行有效的预防，同样可以使易感染的人数下降，从而减少得病人数。此种情况下，如果在发病初期易感染的人数S0≤(1)/(σ)，那么疾病会很快被消灭。如果在发病初期易感染人数S0>(1)/(σ)，那么得病人数先增加，当其达到最大值I((1)/(σ))后，得病人数逐渐减少而后疾病被消灭。此种情况下的最大值I((1)/(σ))小于不作预防时的最大值1-(1)/(σ)-(1)/(σ)ln(σS0)。
2.5 经过一段时间以后，整个人群将趋于对该疾病具有免疫力。
3 三室的模型
由前述疾病传播的一般法则及人口守恒定律，可得到三室的数学模型。
(3)
, http://www.100md.com
且S0>0,I0>0,R0>0
方程组(3)是三维的，采取与(1)的同样讨论方法，只须把第一个和第二个方程联立即可，同样得到与定理1相类似的阈值定理。
参考文献
1 J.E.Nash等.The employment of unit hydrographs to determine The flows of Irish arterial drainage channels, Proc Instn 1975.
2 张锦炎.常微分方程几何理论与分支问题.北京大学出版社，1987.
3 张芷芬等.微分方程定性理论.科学出版社，1985.
收稿日期：1999-01-08, 百拇医药
单位：湖北工学院 武汉430068
关键词：稳定性；轨线；阈值定理
数理医药学杂志990202
摘要 利用疾病传播的一般规律及人口守恒统计法测建立起两室与三室的传染病模型[1]，再运用文献[2、3]的数学方法，重点对两室的传染病模型进行定性与稳定性分析，从而得出相应情况下的生态意义。
1 预备知识
1.1 两室的模型 把城市人口分为健康人与传染病人两个室(集合)，其人数分别记作：S(t),I(t)。
1.2 三室的模型 把城市人口分为健康人S(t)、传染病人I(t)及病愈免疫(包括死亡)的人R(t)。
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我们知道疾病传播一般服从下列法则：
法则1 在所考虑的时期内，人口总数保持在固定水平N(即S(t)+I(t)+R(t)=N)。
法则2 易受传染者S(t)人数的变化率正比于传染病患者I(t)与S(t)人数的乘积。
法则3 由I(t)向R(t)转变的速率与I(t)成正比。
2 两室的模型
由上述疾病传播法则，不难得出传染病的数学模型
(1)且初始状态为S(0)=S0>0,I(0)=I0>0
, 百拇医药
其中常数λ、α称为传染率、移除率，其值均大于零。
令σ=λ/α,1/σ=α/λ称为相对移除率，同时为了讨论问题的方便，不妨假设N=1，即总体。
定理1 (阈值定理)设S(t),I(t)是初值问题(1)的解，如果σS0<1,那么，当t→+∞时，I(t)单调减少趋于零。如果σS0>1，当t→+∞时，I(t)先增加达到最大值1-1/σ-1/σln(σS0),此时S=1/σ,而后单调减少趋于零，S(t)是一个单调减少函数，并且其极限
，是方程1-S+(ln(S/S0))/σ=0在(0，1/σ)内的根(见图1)。, 百拇医药 图1
2.1 在不考虑自然出生和死亡的前提下，一种传染病发生时，如果易感染人的总数小于等于该病的相对移除率，此传染病不可能发生流行，将很快被消灭。如果易感染人的总数大于该病的相对移除率，此传染病可能发生流行，得病的人数将猛增，当易感染人数下降到S=1/σ时，得病人数I(t)达到最大值1-1/σ-1/σln(σS0)，而后得病人数逐渐减少，最终趋向于零，即传染病被消灭。在整个过程中易感染人数单调减少，最终并不是所有的易感染人都会得病。因此，我们说疾病不是因为缺少受传染者而停止传播，而是因为没有了传染者才停止传播。
2.2 由于人类对传染病的认识提高以及现代医学水平的发展，对于许多传染病可以做到提前预防，使人群对许多种传染病具有免疫能力，例如打预防针、进行免疫接种等，我们在模型(1)的基础上增加考虑直接进入消除类的因素，使其注射预防针的速率λ与I(t)成正比。
经过调整，得到如下的数学模型：
(2), 百拇医药
且S0>0、I0>0,其中λ,α，δ均大于零，令σ=λ/α,1/σ=α/λ为相对移除率。
以下对模型(2)进行分析。
我们在(S，I)相平面上考察轨线。
首先由
(dS)/(dt)=-λIS-δS=-(λIS+δS)<0
得S(t)是单调减少的，所以，对于所有t>0有S(t)
, http://www.100md.com
显然方程组(2)的轨线方程为：
由此我们得：
上式说明采取预防措施后，可以减少得病人数，并且I(t)的最大值小于不采取预防措施时的最大值。
令 D={(S,I)|0
对于方程组(2)，其轨线为：
S=0,I=I0e-αt
I=0,S=S0e-δt
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O(0，0)点在(2)在D上唯一的平衡点，并且点(0，0)是局部渐近稳定的，这是因为特征根-δ及-α均小于零。
对于在直线S+I=1上的所有解均有
d(S+I)/dt=-aI-δS<0
所以，在D内出发的轨线不会越出区域D。
令
={(S,I)|0≤S≤1, 0极限环，所以由上出发的轨线当t→+∞时，必趋于平衡点(0，0)。, 百拇医药
综上所述，我们得出如下定理。
定理2 对于初始问题(2)，区域
是平衡点O(0，0)的渐近稳定区域(见图2)。图2
定理3 (阈值定理)设S(t),I(t)是初值问题(2)的解，如果σS0<1那么当t→+∞时I(t)单调减少趋于零，如果σS0>1,当t→+∞时I(t)增加到达最大值I((1)/(σ))，而后单调减少趋于零。S(t)同时单调减少趋于零。
2.3 在传染病流行之前，对易感染的人群进行有效的预防可以使易感染的人数下降，从而达到防止传染病流行的目的。
, http://www.100md.com
2.4 在传染病发生之后，立即对易感染的人群进行有效的预防，同样可以使易感染的人数下降，从而减少得病人数。此种情况下，如果在发病初期易感染的人数S0≤(1)/(σ)，那么疾病会很快被消灭。如果在发病初期易感染人数S0>(1)/(σ)，那么得病人数先增加，当其达到最大值I((1)/(σ))后，得病人数逐渐减少而后疾病被消灭。此种情况下的最大值I((1)/(σ))小于不作预防时的最大值1-(1)/(σ)-(1)/(σ)ln(σS0)。
2.5 经过一段时间以后，整个人群将趋于对该疾病具有免疫力。
3 三室的模型
由前述疾病传播的一般法则及人口守恒定律，可得到三室的数学模型。
(3), http://www.100md.com
且S0>0,I0>0,R0>0
方程组(3)是三维的，采取与(1)的同样讨论方法，只须把第一个和第二个方程联立即可，同样得到与定理1相类似的阈值定理。
参考文献
1 J.E.Nash等.The employment of unit hydrographs to determine The flows of Irish arterial drainage channels, Proc Instn 1975.
2 张锦炎.常微分方程几何理论与分支问题.北京大学出版社，1987.
3 张芷芬等.微分方程定性理论.科学出版社，1985.
收稿日期：1999-01-08, 百拇医药