相应分析及其在多种疾病聚集性分析中的应用*

http://www.100md.com 《中国卫生统计》 1999年第2期

     作者：陈峰 杨树勤

    单位：陈峰 南通医学院(226001); 杨树勤 华西医科大学

    关键词：

    中国卫生统计990219 相应分析(correspondence analysis)，又称对应分析，由法国数学家JP.Beozecri在1970年首次提出^〔1〕，主要用于分析二维数据阵中行因素和列因素间的关系。传统的因子分析只能对数据阵单独进行R-型(列因素)或Q-型(行因素)因子分析(factor analysis)，不能同时对行因素和列因素进行分析。这就将行因素与列因素隔裂开来了，从而遗漏了许多有用的信息。事实上，有时行因素与列因素是不可分割的。比如在研究不同地区，不同种类的出生缺陷发生率时，我们既关心不同种类出生缺陷间的关系，不同地区间的关系，又想了解出生缺陷与地区间的关系。此时需要对出生缺陷(列因素)和地区(行因素)同时进行因子分析，相应分析揭示了内在联系^〔2〕。

    在JP.Beozecri提出相应分析之初，该法并未引起学界的关注，直到1974年MO.Hill在Applied Statistics杂志上以《相应分析——一种被忽视的多元分析方法》为题，再度介绍了该法及其优点之后才引起人们的兴趣。相应分析在医学上的应用也是成功的，如

    Hill(1982)对5 387名中学生眼睛和头发的颜色的分析^〔3〕；Greenacre(1984)对Israeli成年人关注的社会问题的分析^〔4〕；Greenacre(1984)对止痛药的分类问题的分析^〔5〕；Micciolo等(1985)用于复发性酒精胰腺炎手术的危险因素的分析^〔6〕；Leclerc等(1988)用于医务人员的职业特点与健康状况关系的分析^〔7〕等等，均取得较好的效果。

    本文旨在介绍这一方法的基本思想，以及对结果的解释。

    基本思想

    相应分析的基本思想是对数据阵进行适当的变换，使变换后的数据对行与对列是相对应的，从而可以同时对行和对列进行分析，以发现行列因素间的关系。设有n×m的数据阵X={x_ij}，行列分别表示两个不同因素的n个水平和m个水平。首先定义分布轮廓的概念。

    各行在列变量上的分布(构成比)称为该行的分布轮廓(profile)或形象，即第i行的分布轮廓为：

    其和为1(或100%)。其中，x_i.为第i行的合计。

    对应地，第j列的分布轮廓为：

    其和亦为1(或100%)。其中，x_.j为第j列的合计。

    相应分析之目的是从数据阵中概括出行列因素的最基本的分布特征，使之反映数据阵的主要信息，寻找行、列因素间的关系。

    为同时对行和对列进行分析，首先对数据阵进行如下变换：

    (1)

    再对变换后的数据阵Z进行R-型和Q-型因子分析。进行R-型因子分析是从矩阵A_m×m=Z′Z出发，求其特征根和特征向量；进行Q-型因子分析是从矩阵B_n×n=ZZ′出发，求其特征根和特征向量。

    由于矩阵Z′Z和ZZ′具有相同的非零特征根，且对同一特征根λ，如Φ是Z′Z的特征向量，则Ψ=ZΦ是ZZ′的特征向量。A与B的这种对应关系，使得变换后的数据对行与对列是对等的，从而可以将行因素和列因素相提并论。

    将A的第1因子和第2因子绘在因子负荷图上可以进行R-型因子分析；将B的第1因子和第2因子绘在因子负荷图上可以进行Q-型因子分析。又由于A和B的特征根相同，故相应的因子贡献率亦相同，因而可以将两者对应起来进行分析，即将A的第1因子和第2因子及B的第1因子和第2因子同时绘在同一坐标轴上，则可揭示行因素的不同水平及列因素的不同水平间的关系。

    可见，变换是相应分析的关键所在。而其余的分析与因子分析类似，只是在因子的解释上，既可以对行因素及列因素单独进行分析，又可以同时进行分析。这是相应分析的优点。

    基本步骤

    下面先从一个构想的例子来说明相应分析的计算步骤及结果的解释。

    构想的例子：这个例子包含了5行4列，数据见表1。

    表1 构想的数据

    y₁

    y₂

    y₃

    y₄

    合计

    x₁

    50

    20

    20

    10

    100

    x₂

    100

    40

    40

    20

    200

    x₃

    30

    60

    60

    150

    300

    x₄

    100

    100

    100

    100

    400

    x₅

    140

    110

    110

    140

    500

    合计

    420

    330

    330

    420

    1500

    其行轮廓和列轮廓分别为：

    行轮廓(%)：

    x₁：50.0 20.0 20.0 10.0

    x₂：50.0 20.0 20.0 10.0

    x₃：10.0 20.0 20.0 50.0

    x₄：25.0 25.0 25.0 25.0

    x₅：28.0 22.0 22.0 28.0

    列轮廓(%)： y₁

    y₂

    y₃

    y₄

    11.9

    6.1

    6.1

    2.4

    23.8

    12.1

    12.1

    4.8

    7.1

    18.2

    18.2

    35.7

    23.8

    30.3

    30.3

    23.8

    33.3

    33.3

    33.3

    33.3

    从行轮廓来看，x₁与x₂的构成相同，且在y₁上的取值最大；x₃则在y₄上的取值最大；x₄在y₁，y₂，y₃，y₄上的构成是均匀的，但相对其他行变量x₄在y₂，y₃上的取值比在y₁，y₄要大一些；x₅的构成等于合计的构成，即等于总平均。

    从列轮廓来看，y₂与y₃构成相同，其余则不同；y₁，y₂，y₃在x₅上的取值最大，而y₄则是在x₃上最大。

    计算步骤：

    (1)按式(1)作变换，求Z={z_ij}；

    (2)计算Z′Z得：

    (3)求Z′Z的特征根及单位化特征向量：

    Z′Z的非0特征根个数最多为“行数”和“列数”中最小者。且必有一个特征根为1，但其对应的特征向量为(1，1，1，1)′，该向量对各变量的表达是平等的，这对因子的解释毫无帮助，称之为平凡因子，故不加考虑。因此，Z′Z的非平凡特征根的个数最多为：

    min(行数-1，列数-1)

    (2)

    本例两个非平凡特征根为：

    λ₁=0.1143 λ₂=0.0065

    贡献率分别为94.62%和5.38%。对应于这两个特征根的单位化特征向量Φ_i1,Φ_i2为：

    (4)按式(3)求因子负荷，结果见表2第2，3栏。

    (3)

    (5)求ZZ′的特征根并将其单位化，得：

    (6)按式(4)求ZZ′的因子负荷，结果见表2第5，6栏。

    (4)

    表2 构想例子的因子负荷(坐标) 行因素

    因子负荷

    列因素

    因子负荷

    F₁

    F₂

    F₁

    F₂

    y₁

    -0.4517

    -0.0714

    x₁

    -0.5345

    -0.0806

    y₂

    0.0000

    0.0909

    x₂

    -0.5345

    -0.0806

    y₃

    0.0000

    0.0909

    x₃

    0.5345

    -0.0806

    y₄

    0.4517

    -0.0714

    x₄

    0.0000

    0.1209

    x₅

    0.0000

    0.0000

    将行列因素的F₁，F₂同时绘在OF₁F₂平面坐标上，得图1。行列因素间的关系在因子负荷图上一目了然。

    图1 模拟例子的相应分析因子负荷图

    (1)轮廓相近的两水平在因子负荷图上的点相近，当两个轮廓完全相同时，两点合为一点。如，x₁，x₂的行轮廓相同，故两点合为一点；y₂，y₃的列轮廓相同，故两点合为一点。

    (2)行(列)轮廓在列(行)因素某水平上取值最大，则相应的两点在因子负荷图上是相近的。如，x₃在y₄上取值最大，故x₃最接近y₄；x₄在y₂，y₃上取值比其他行变量大，故x₄最接近y₂、y₃；x₁，x₂的构成在y₁上取值最大，故x₁，x₂最接近y₁。

    (3)轮廓相反(构成比相反)的两点在因子负荷图上相隔较远，其所在的位置将视具体情况而定。如，x₁与x₃在y₁，y₄上的取值正好相反，因此两者相隔较远，而同时x₁与x₃在y₂，y₃上取值相同，因此，x₁与x₃正好关于Oy₂，Oy₃构成一镜面映射。

    (4)坐标轴的原点对应于行轮廓或列轮廓的平均水平。如，x₅的轮廓等于平均水平，故x₅在坐标原点。

    由此可见，轮廓相同的行(或列)在相应分析中提供了相同的信息，当合并这些行(或列)时不改变分析的结果。事实上，将两个性质相同的事物合并在一起，看成一个事物不会损失信息；而将同一事物分成两个一样的事物亦不会获得更多的信息。

    综上分析，x₁，x₂与y₁密切，x₄又与y₂，y₃密切，而x₃与y₄密切，并将其视为三类，x₅为一平均水平，成为单独一类。

    实例分析——多种疾病的地区聚集性分析

    王绍贤等对我国九个城市1986年的城区及农村(或郊区)11 764名20～40岁的已婚妇女进行了婚姻、生育、避孕情况的调查。该调查表明，调查地区城区避孕率为87.7%，农村略低于城区，为81.0%。避孕方法一般采用宫内器，口服药，男用套，绝育，和其他一些短效方法。本文选择其中九市(省)城乡的避孕资料进行相应分析，旨在进一步探讨不同地区的避孕状况，以及城乡之间的差别。

    表3 九个城市1986年的城区及农村几种避孕方法调查人数

    宫内器

    口服药

    男用套

    绝 育

    其 他

    合 计

    城

    区

    北京

    153

    33

    165

    40

    40

    431

    吉林

    346

    10

    15

    76

    10

    457

    成都

    241

    38

    134

    21

    35

    469

    长沙

    184

    21

    106

    64

    60

    435

    大连

    367

    18

    129

    11

    25

    550

    西安

    703

    55

    130

    69

    83

    1040

    郑州

    248

    12

    113

    60

    30

    463

    重庆

    296

    20

    87

    36

    26

    465

    武汉

    476

    79

    113

    82

    91

    841

    农

    村

    或

    郊

    区

    北京

    320

    75

    43

    62

    18

    518

    吉林

    249

    6

    10

    119

    8

    392

    成都

    278

    38

    22

    141

    36

    515

    长沙

    73

    4

    13

    323

    10

    423

    大连

    209

    43

    66

    100

    7

    425

    西安

    288

    4

    0

    418

    1

    711

    郑州

    141

    6

    1

    294

    1

    443

    重庆

    435

    1

    2

    73

    2

    513

    武汉

    364

    164

    4

    277

    16

    825

    这是一18×5的列联表。按(1)作变换，计算矩阵A及B，求得4个非平凡因子，4个特征根分别为：0.27222，0.08900，0.04444，0.01301，其贡献率分别为：65.02%，21.26%，10.62%，3.11%。前两个因子的累计贡献率大于80%。据公式(2)及(3)可得行因素及列因素的第1和第2因子，分列于表4和表5。表4 地区(行因素)的因子负荷 地区

    城 区

    农 村

    第1因子F₁

    第2因子F₂

    第1因子F₁

    第2因子F₂

    北京

    0.56306

    0.62225

    0.18139

    -0.21509

    吉林

    0.01268

    -0.43995

    -0.27299

    -0.27268

    成都

    0.55377

    0.25245

    -0.15808

    -0.10446

    长沙

    0.33987

    0.38274

    -1.20018

    0.40569

    大连

    0.52797

    -0.03476

    0.00032

    0.06429

    西安

    0.34908

    -0.17661

    -0.88907

    0.01622

    郑州

    0.32412

    0.18067

    -1.03954

    0.14231

    重庆

    0.37297

    -0.04954

    0.01952

    -0.61180

    武汉

    0.31860

    -0.00546

    -0.34070

    -0.09697

    表5 避孕方法(列因素)的因子负荷 避孕方法

    第1因子F₁

    第2因子F₂

    宫内器

    0.157865

    -0.249945

    口服药

    0.215731

    0.056393

    男用套

    0.676448

    0.569611

    绝 育

    -0.902338

    0.179357

    其 他

    0.493449

    0.376949

    将行因素及列因素的第1、第2因子负荷绘在同一因子图上，得图2。

    图2 不同地区避孕方式的相应分析因子负荷图

    由图2可见，“绝育”远离城区数据群，说明城区居民不喜欢该法；“口服药”、“男用套”远离农村数据群，说明农村居民不喜欢这些方法；而长沙、郑州、西安三市农村“绝育”者较其余地区为多，其他地区则以“宫内器”和“其他”短效方法为主要避孕方法；此外又进一步清晰地显示了城区和农村的两种不同的避孕模式。因子负荷形成了两大数据群：大的圆圈中包括所有的农村地区，其间包括了“绝育”、“口服药”和“宫内器”三种避孕方法；小的圆圈中包括所有的城市地区，其间包括了“口服药”、“宫内器”、“男用套”和“其他短效避孕方法”。这两个数据群亦有部分交叉。由此可认为“口服药”、“宫内器”两种避孕方法在大部分地区较受欢迎；而在城市用“绝育”法避孕者较少；农村中，长沙、郑州、西安“绝育”者较多，农村普遍不喜欢“男用套”和“其他短效避孕方法”。

    应用中的几个问题

    相应分析是因子分析的自然推广，在对因子的解释上，既可以对行因素及列因素单独进行解释，又可以同时进行分析。

    相应分析和因子分析一样，均未要求对特征根进行假设检验。由于相应分析大都基于前两个因子进行的，这就要求前两个因子的累计贡献率要大一些，一般要求达到80%。

    相应分析最早用于处理列联表资料，即数据是正整数，现也用于处理非整数资料^〔2〕。一般要求数据不小于0。若有数据小于0，则所有数据加上一适当的常数即可。

    相应分析的关键是对数据阵进行变换，本文所用方法(1)是基于原点的变换。相应分析亦可基于重心来分析，即用(5)式代替(1)式。

    (5)

    i=1,2,…，n；j=1,2,…，m

    用第一因子按因子负荷对行因素和列因素进行排序，并依次对行和列重排，则可得到列联表的最优列联表示。

    相应分析可用软件SPSS4.0以上版本或SAS6.04以上版本进行分析。

    *本课题为国家自然科学基金资助项目

    参考文献

    1.胡国定，张润楚.多元数据分析方法——纯代数处理.天津：南开大学出版社，1989，231～258

    2.陈峰，杨树勤，吴艳乔.出生缺陷地区聚集性的相应分析.现代预防医学，1995，22(3)：161～163

    3.Hill MO.Correspondence analysis.In:Encyclopedia of statistics science.New York(Kotz & Johnson ed)Wiley.1982,2:204～210

    4.Greenacre M.Theory and applications of correspondence analysis.London Academic Press INC.1984.

    5.Micciolo R.Correspondence analysis in a study of the clinical evolution of uncomplicated chronic relapsing alcoholic pancreatitis.Statistics in Medicine.1985;4:303～309

    6.LeclercA.Correspondence analysis and logistic modeling:complementary using the analysis of a health survey among nurses.Statistics in Medicine.1988;7:983～995

    7.王绍贤.中国九市城乡决定生育力的直接因素研究.中国卫生统计.1989,6(专辑1)：50～55

    百拇医药网 http://www.100md.com/html/analecta/2003/08/28/60/011.htm