放射性链递次衰变微分方程组的通解的递推公式
作者：张岱
单位：张岱(锦州医学院 锦州121001)
关键词：放射性衰变；微分方程组；代数解法
数理医药学杂志000303
摘 要 用代数方法给出了放射性链递次衰变微分方程组解的递推公式。该递推公式既可以用电子计算机计算任何一代子核的衰变规律，也可以用递推公式给出的法则直接写出任何一代子核的衰变规律。
中图分类号：O 241.8 文献标识码：A
文章编号：1004-4337(2000)03-0197-02
1 引言
依放射性原子核递次衰变的物理模型所建立的微分方程组，由于未知函数数目庞大，互相关联，许多文献的成功解法虽各有千秋，但在数学处理过程中都难免冗长、计算繁琐[1～5]。本文用代数方法给出微分方程组解的递推公式，既可以用电子计算机计算，也可以由递推公式给出法则直接写出任何一代子核的衰变规律。本文先给出递推公式，然后叙述如何由递推公式的规律直接写出任何一代子核的衰变解。
, 百拇医药
2 多分支链放射核递次衰变的微分方程组
如果考虑到衰变链上任意一代子核都是其后代子核的母核，则放射性核的衰变将是一条具有多分支的递次衰变的链[6]。即：
与此多分支递次衰变链相应的微分方程组为：
(1)
式中，Ni为t时刻的第i代子核数；λj为第j代子核的衰变常数；bij≥0(i>j,且i≥j+3时为0)为第j代子核衰变向第i代子核的传递系数，它等于λj乘以第j代子核向第i代子核衰变的分支比。
3 微分方程组解的传递公式
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由常微分方程的理论可知[7]，常微分方程组(2)的解组为一系列指数e-λjt型的和式，因此设各代子核的衰变解如下：
(2)
式中，Aij为待定常数，其中Aii型待定常数由初始条件来确定。为此，在(2)式中，设t=0，则由第i代子核Ni(t)的表达式可得下列递推公式：
(3)
式中，Ni(0)为第i代放射性衰变，t=0时的初始子核数。由(3)式可见，尚需确定常数Aij(i>j),才可最终求得Aii。为此，必须将(2)式的前i个解式代入(1)式中的第i式，则有：
(4)
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比较(4)式两边e-λjt的系数，则得下列递推公式：
(5)
将(5)式代入(3)式得：
(6)
将(3)式和(6)式代入(2)式得：
(7)
上述第(7)式即所求的放射性核递次衰变微分方程组(1)的通解表达式。
4 由通解公式(7)直接写出任意代子核的衰变解
表面看来，这个通解表达式比文献[3]的通解表达式更繁琐冗长，但仔细考察(3)式和(5)式可得一个简单的法则，据此，不须任何计算便可写出微分方程组(1)的任何一代子核的衰变解。可见，只要找出待定常数Aij的规则，便可写出解来，其方法如下：
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1 首先写出由i到j(i>j)连续正整数；
2 写出首数i，尾数j的合部两数组、三数组…；
3 将多于三个数组，分解成首数第二数、第二第三数、第三第四数的数组，这些数组就是b因子的双下标，而这些b因子的乘积就是Aij项的分子；
4 取上述相应数组为λ的下标，每个下标大的λ都与有最小下标的λ相减，这些差因子的乘积就是相同该数组对应项的分母；
5 写出Aii后，再由(6)式求出Aij。有了Aii和Aij就可以写出任何一代子核的衰变解。
应用举例
① 因为i=2,j=1，只有首为2尾为1的二数组合2 1一个，故
(7)
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② 设i=3,j=1,共有两个数组合3 1和3 2 1，故
(8)
而i=3,j=2，只有一个数组3 2，故
(9)
由(3)式，有
(10)
(11)
③ 设i=4,j=1,共有数组四个，为
故
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而i=4,j=2,数组为4 2和4 3 2，故
(12)
可知数组4 3的对应项为：
(13)
由(7)式和(2)式有：
(14)
由(8)～(11)式和(2)式有：
(15)
, 百拇医药
可见本文的(14)式和(15)式与文献[6]的(3)式所给出的结果完全相同。须知文献[6]的N1(t)、N2(t)、N3(t)和N4(t)并不是最终结果，欲求最终表达式还需经过若干次代换的运算，而本文的(14)式和(15)式是不需计算直接写出。为节省篇幅本文未写出N4(t)的表达式，可以确信，它也和文献[6]N4(t)的结果一致。
5 结束语
本文从线性常微分方程组理论出发，用试探解的方法，十分简便地给出了放射核多分支链微分方程解的递推公式。该通解表达式，还蕴涵着一个简便的规律。因此当子核代数太大时，可以上机运算，推出任何一代子核的衰变规律；而当子核代数不太大时，即可以递推公式(7)算出，还可以用下标规律方法不用任何运算，直接写出任何一代子核的衰变律。这是以前任何文献未曾给出的。
, 百拇医药
参考文献
1，赵英荣，放射系中各元素原子核的计算.大学物理，1988，7(5)：6.
2，谷震槐.用拉普拉斯变换求放射性原子核递次衰变的规律.大学物理，1992，11(10)：35.
3，陈玉珂.放射性核递次衰变规律的普适解.大学物理，1993，12(12)：22.
4，卢希庭.原子核物理.北京：原子能出版社，1981.
5，P.A詹森〔美〕，孙东川译.网络流规划.北京：科学出版社，1988.
6，王蔚东.放射性递次衰变方程的E因子解法.大学物理，1996，15(8)：16.
7，数学手册，北京：人民教育出版社，1979，660～662.
收稿日期：1999-09-06, 百拇医药
单位：张岱(锦州医学院 锦州121001)
关键词：放射性衰变；微分方程组；代数解法
数理医药学杂志000303
摘 要 用代数方法给出了放射性链递次衰变微分方程组解的递推公式。该递推公式既可以用电子计算机计算任何一代子核的衰变规律，也可以用递推公式给出的法则直接写出任何一代子核的衰变规律。
中图分类号：O 241.8 文献标识码：A
文章编号：1004-4337(2000)03-0197-02
1 引言
依放射性原子核递次衰变的物理模型所建立的微分方程组，由于未知函数数目庞大，互相关联，许多文献的成功解法虽各有千秋，但在数学处理过程中都难免冗长、计算繁琐[1～5]。本文用代数方法给出微分方程组解的递推公式，既可以用电子计算机计算，也可以由递推公式给出法则直接写出任何一代子核的衰变规律。本文先给出递推公式，然后叙述如何由递推公式的规律直接写出任何一代子核的衰变解。
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2 多分支链放射核递次衰变的微分方程组
如果考虑到衰变链上任意一代子核都是其后代子核的母核，则放射性核的衰变将是一条具有多分支的递次衰变的链[6]。即：
与此多分支递次衰变链相应的微分方程组为：
(1)式中，Ni为t时刻的第i代子核数；λj为第j代子核的衰变常数；bij≥0(i>j,且i≥j+3时为0)为第j代子核衰变向第i代子核的传递系数，它等于λj乘以第j代子核向第i代子核衰变的分支比。
3 微分方程组解的传递公式
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由常微分方程的理论可知[7]，常微分方程组(2)的解组为一系列指数e-λjt型的和式，因此设各代子核的衰变解如下：
(2)式中，Aij为待定常数，其中Aii型待定常数由初始条件来确定。为此，在(2)式中，设t=0，则由第i代子核Ni(t)的表达式可得下列递推公式：
(3)式中，Ni(0)为第i代放射性衰变，t=0时的初始子核数。由(3)式可见，尚需确定常数Aij(i>j),才可最终求得Aii。为此，必须将(2)式的前i个解式代入(1)式中的第i式，则有：
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比较(4)式两边e-λjt的系数，则得下列递推公式：
(5)将(5)式代入(3)式得：
(6)将(3)式和(6)式代入(2)式得：
(7)上述第(7)式即所求的放射性核递次衰变微分方程组(1)的通解表达式。
4 由通解公式(7)直接写出任意代子核的衰变解
表面看来，这个通解表达式比文献[3]的通解表达式更繁琐冗长，但仔细考察(3)式和(5)式可得一个简单的法则，据此，不须任何计算便可写出微分方程组(1)的任何一代子核的衰变解。可见，只要找出待定常数Aij的规则，便可写出解来，其方法如下：
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1 首先写出由i到j(i>j)连续正整数；
2 写出首数i，尾数j的合部两数组、三数组…；
3 将多于三个数组，分解成首数第二数、第二第三数、第三第四数的数组，这些数组就是b因子的双下标，而这些b因子的乘积就是Aij项的分子；
4 取上述相应数组为λ的下标，每个下标大的λ都与有最小下标的λ相减，这些差因子的乘积就是相同该数组对应项的分母；
5 写出Aii后，再由(6)式求出Aij。有了Aii和Aij就可以写出任何一代子核的衰变解。
应用举例
① 因为i=2,j=1，只有首为2尾为1的二数组合2 1一个，故
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② 设i=3,j=1,共有两个数组合3 1和3 2 1，故
(8)而i=3,j=2，只有一个数组3 2，故
(9)由(3)式，有
(10) (11)③ 设i=4,j=1,共有数组四个，为
故
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而i=4,j=2,数组为4 2和4 3 2，故
(12)可知数组4 3的对应项为：
(13)由(7)式和(2)式有：
(14)由(8)～(11)式和(2)式有：
(15), 百拇医药
可见本文的(14)式和(15)式与文献[6]的(3)式所给出的结果完全相同。须知文献[6]的N1(t)、N2(t)、N3(t)和N4(t)并不是最终结果，欲求最终表达式还需经过若干次代换的运算，而本文的(14)式和(15)式是不需计算直接写出。为节省篇幅本文未写出N4(t)的表达式，可以确信，它也和文献[6]N4(t)的结果一致。
5 结束语
本文从线性常微分方程组理论出发，用试探解的方法，十分简便地给出了放射核多分支链微分方程解的递推公式。该通解表达式，还蕴涵着一个简便的规律。因此当子核代数太大时，可以上机运算，推出任何一代子核的衰变规律；而当子核代数不太大时，即可以递推公式(7)算出，还可以用下标规律方法不用任何运算，直接写出任何一代子核的衰变律。这是以前任何文献未曾给出的。
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参考文献
1，赵英荣，放射系中各元素原子核的计算.大学物理，1988，7(5)：6.
2，谷震槐.用拉普拉斯变换求放射性原子核递次衰变的规律.大学物理，1992，11(10)：35.
3，陈玉珂.放射性核递次衰变规律的普适解.大学物理，1993，12(12)：22.
4，卢希庭.原子核物理.北京：原子能出版社，1981.
5，P.A詹森〔美〕，孙东川译.网络流规划.北京：科学出版社，1988.
6，王蔚东.放射性递次衰变方程的E因子解法.大学物理，1996，15(8)：16.
7，数学手册，北京：人民教育出版社，1979，660～662.
收稿日期：1999-09-06, 百拇医药