γ射线的线性吸收系数拟合
作者：潘京全
单位：潘京全 (北京，卫生部工业卫生实验所 100088)
关键词：
中华放射医学与防护杂志980520 不同物质或材料，其γ射线的线性吸收系数(或称线性减弱系数)μ在辐射防护领域中得到广泛应用，也是精确的放射性分析测量中不可缺少的基本参数。对已知物质(ρ)和能量Eγ下的μ值(或质量吸收系数μρ)通常由已知数据内插或实验方法确定。若能把已知某一ρ的Eγ和μ值用一个适当的拟合函数来表示，并编成计算机程序，则可很方便地计算出其ρ值下任意Eγ的μ值。当若干不同ρ下的Eγ～μ拟合函数的参数建立后，则可以进一步编写程序，使其能够先计算出某一Eγ下一组不同ρ所对应的μ值，接着用这组值再使用适当拟合函数拟合，从而达到能够计算任意Eγ下和任意ρ值下的μ值的目的。本文作者主要基于文献[1]和一些实验数据，在一定的ρ和Eγ范围内作了这种尝试。
, 百拇医药
1 拟合函数的选取
图1是根据文献[1]给出的水、镁、铁三种物质的质量减弱系数转换成线性减弱系数μ后在双对数座标纸上所做的图，附表是其有关数据。它们的质量密度ρ分别为1.0，1.74和7.86 g/cm3。可以看出，曲线在几十至大约200 keV范围内弯曲变化较快，低于或高于这一能量范围时，曲线近似“直线”，并且它们近似“平行”。
为了能够较好地用一个函数描述能量Eγ和线性减弱系数μ的关系曲线，曾对每条曲线用多项式、对数、乘幂或指数等数学模型进行数据拟合。结果表明，μ和Eγ关系能够较好地用下列公式(1)来表示：
(1)
式中ai为待定参数。例如，用附表正中ρ=1.74g/cm3的镁，在能量10～3000 keV范围内，拟合结果为：
, 百拇医药
Y=-0.003239936X6+0.108001041X5
-1.448259568X4+9.882762240X3
-35.461431890X2+60.389313739X
-33.901942613
式中Y=ln(μ)，X=ln(Eγ)。拟合值与已知值偏差不超过2.5%。
选定了μ～Eγ拟合函数表达式后，又对一组不同物质(ρ)的μ和Eγ值分别进行了数据拟合，确立了若干组待定参数，而后用同一γ能量分别计算出不同ρ下的μ值，得到一组(μ，ρ)数据。用这样一组数据在坐标纸上作图并作相应的数据处理，发现用一般多项式即公式(2)就能进行很好的作数据拟合：
, 百拇医药
附表 水、镁、铁三种物质的μ值(cm-1) MeV
1.00g/cm3
1.74g/cm3
7.86 g/cm3
0.01
5.18
36.162
1359.8
0.015
1.58
10.8402
, http://www.100md.com
443.304
0.02
0.775
4.733
200.43
0.03
0.37
1.5973
63.902
0.04
0.267
0.8439
28.453
, 百拇医药
0.05
0.227
0.57246
15.248
0.06
0.206
0.44892
9.432
0.08
0.184
0.34104
4.6767
0.1
, http://www.100md.com
0.171
0.29406
2.9082
0.15
0.151
0.2436
1.54056
0.2
0.137
0.2175
1.14756
0.3
0.119
, http://www.100md.com
0.18444
0.8646
0.4
0.106
0.16513
0.73884
0.5
0.0968
0.15034
0.66024
0.6
0.0896
0.13868
, http://www.100md.com
0.60443
0.8
0.0786
0.12197
0.52583
1
0.0707
0.10927
0.47081
1.5
0.0575
0.08909
0.38357
, 百拇医药
2
0.0494
0.07691
0.33405
3
0.0397
0.06281
0.28453
图1 μ与Eγ关系图
(2)
其中bi为待定参数。图2给出了100、150、300、600及1000keV五种γ能量下的μ～ρ曲线拟合图。ρ在0.5～10 g/cm3范围内，对100keV用四次多项式即可得满意的拟合结果，大于300 keV，μ～ρ近似一条直线。
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图2 μ与ρ关系图
2 计算μ值的计算机程序
基于前面介绍的数据处理结果和实际工作需要，在能量100～3000keV，质量密度在0.5～3g/cm3范围内，利用文献[1]和部分实验数据，编写了一个计算任意能量Ex和ρx值下的μx值的计算机程序，其基本框图如图3。用FORTRAN 5.0高级语言编写，可在微机上运行，程序使用的基本数据是事先对Al、Si、水泥、C、Mg、Ca、水、K、植物灰等多种ρ值已知的有关Eγ和μ值按公式(1)进行最佳逼近多项曲线拟合后所确定的若干组拟合参数值。进入程序后，根据输入的Ex值，先计算相应Al、Si、水泥等物质的线性吸收系数μ值，随后用它们对应的ρ值和计算的μ值直接按一般多项式(即公式2)自动作最佳逼近曲线拟合，确定最佳拟合阶数和系数，最后按输入的ρx值和拟合的系数计算出μx值。程序可以显示拟合系数，拟合残差的标准差，以及输入的Ex、ρx值和计算的μx值，并且一次可以计算任意个Ex、ρx下的μx值，直至输入的Ex≤0，ρx≤0才停止。
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图3 计算μ值程序框图
3 结果和讨论
3.1 用公式(1)能够很好对已知物质的线性减弱系数和相应的γ射线能量进行拟合。为了能够更准确地计算μ值和减少拟合值偏差，可将能量分段进行拟合，例如以100 keV左右为接点，分低能段和高能段处理。实验表明，在100～3000keV能量段拟合的μ值偏差可做到不超过1%。
3.2 数据处理表明，μ和Eγ的关系曲线用下列公式(3)也能很好的进行数据拟合：
(3)
式中Ci是待定参数；Ca=(E2+E1)/2，而E1和E2分别为参与数据拟合点的最小和最大γ能量。
, 百拇医药
3.3 用公式(2)能够对μ和ρ关系曲线作很好的数据拟合。由图2可以看出，能量低于300 keV时μ～ρ为曲线，高能时μ～ρ基本可用直线表示。数据处理还表明，ρ在0.5～3 g/cm3范围时，μ～ρ实际上都可以用直线近似表示。
3.4 拟合数据过程表明，不同物质的Eγ和μ值以及不同Eγ时的μ和ρ值用公式(1)和(2)分别进行处理时，要达到“最佳”的拟合效果，它们的拟合阶数并不完全一样，因此编写计算机程序时不应硬性规定拟合阶数或项数。本工作采用了最佳逼近多项式曲线拟合方法，并用两次逼近计算的残差平方和的F检验来自动选取多项式的“最佳”次数。检验水平α=0.05，概率计算精度ε取10-8，预计最高的拟合阶数取6。
3.5 利用编写的程序计算的μ值与文献[1，2]中有关的理论值偏差一般不超过5%。用文献[3]中实验给出的一些μ～Eγ函数所计算的植物灰、煤、矸石、土壤、水等有关的μ值和本程序计算的μ值在γ能量100～1000 keV范围内，偏差不超过10%。使用植物样品灰(ρ=0.503 g/cm3)和Al2O3(ρ=1.16 g/cm3)为基质加入标准放射性152Eu溶液制成圆柱型体源后，用HpGe γ谱仪测量121keV-1408 keV能量范围内γ全能峰相对自吸收系数时，其实验结果和用本计算机程序计算的μ值而后进行理论计算的相对自吸收系数偏差小于4%。
参考文献
1 李德平，潘自强主编.辐射防护手册第一分册.北京：原子能出版社，1987，278～286.
2 马崇智.放射性同位素手册.北京：科学出版社，1979，451.
3 潘苏，李瑞香，刘新华，等.半导体γ谱仪对环境样品全能峰效率的半经验公式刻度方法.辐射防护，1989，9(3)：195-201.
(收稿： 1997-03-26 修回： 1997-10-22), 百拇医药
单位：潘京全 (北京，卫生部工业卫生实验所 100088)
关键词：
中华放射医学与防护杂志980520 不同物质或材料，其γ射线的线性吸收系数(或称线性减弱系数)μ在辐射防护领域中得到广泛应用，也是精确的放射性分析测量中不可缺少的基本参数。对已知物质(ρ)和能量Eγ下的μ值(或质量吸收系数μρ)通常由已知数据内插或实验方法确定。若能把已知某一ρ的Eγ和μ值用一个适当的拟合函数来表示，并编成计算机程序，则可很方便地计算出其ρ值下任意Eγ的μ值。当若干不同ρ下的Eγ～μ拟合函数的参数建立后，则可以进一步编写程序，使其能够先计算出某一Eγ下一组不同ρ所对应的μ值，接着用这组值再使用适当拟合函数拟合，从而达到能够计算任意Eγ下和任意ρ值下的μ值的目的。本文作者主要基于文献[1]和一些实验数据，在一定的ρ和Eγ范围内作了这种尝试。
, 百拇医药
1 拟合函数的选取
图1是根据文献[1]给出的水、镁、铁三种物质的质量减弱系数转换成线性减弱系数μ后在双对数座标纸上所做的图，附表是其有关数据。它们的质量密度ρ分别为1.0，1.74和7.86 g/cm3。可以看出，曲线在几十至大约200 keV范围内弯曲变化较快，低于或高于这一能量范围时，曲线近似“直线”，并且它们近似“平行”。
为了能够较好地用一个函数描述能量Eγ和线性减弱系数μ的关系曲线，曾对每条曲线用多项式、对数、乘幂或指数等数学模型进行数据拟合。结果表明，μ和Eγ关系能够较好地用下列公式(1)来表示：
(1)式中ai为待定参数。例如，用附表正中ρ=1.74g/cm3的镁，在能量10～3000 keV范围内，拟合结果为：
, 百拇医药
Y=-0.003239936X6+0.108001041X5
-1.448259568X4+9.882762240X3
-35.461431890X2+60.389313739X
-33.901942613
式中Y=ln(μ)，X=ln(Eγ)。拟合值与已知值偏差不超过2.5%。
选定了μ～Eγ拟合函数表达式后，又对一组不同物质(ρ)的μ和Eγ值分别进行了数据拟合，确立了若干组待定参数，而后用同一γ能量分别计算出不同ρ下的μ值，得到一组(μ，ρ)数据。用这样一组数据在坐标纸上作图并作相应的数据处理，发现用一般多项式即公式(2)就能进行很好的作数据拟合：
, 百拇医药
附表 水、镁、铁三种物质的μ值(cm-1) MeV
1.00g/cm3
1.74g/cm3
7.86 g/cm3
0.01
5.18
36.162
1359.8
0.015
1.58
10.8402
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443.304
0.02
0.775
4.733
200.43
0.03
0.37
1.5973
63.902
0.04
0.267
0.8439
28.453
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0.05
0.227
0.57246
15.248
0.06
0.206
0.44892
9.432
0.08
0.184
0.34104
4.6767
0.1
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0.171
0.29406
2.9082
0.15
0.151
0.2436
1.54056
0.2
0.137
0.2175
1.14756
0.3
0.119
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0.18444
0.8646
0.4
0.106
0.16513
0.73884
0.5
0.0968
0.15034
0.66024
0.6
0.0896
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0.60443
0.8
0.0786
0.12197
0.52583
1
0.0707
0.10927
0.47081
1.5
0.0575
0.08909
0.38357
, 百拇医药
2
0.0494
0.07691
0.33405
3
0.0397
0.06281
0.28453
图1 μ与Eγ关系图
(2)其中bi为待定参数。图2给出了100、150、300、600及1000keV五种γ能量下的μ～ρ曲线拟合图。ρ在0.5～10 g/cm3范围内，对100keV用四次多项式即可得满意的拟合结果，大于300 keV，μ～ρ近似一条直线。
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图2 μ与ρ关系图
2 计算μ值的计算机程序
基于前面介绍的数据处理结果和实际工作需要，在能量100～3000keV，质量密度在0.5～3g/cm3范围内，利用文献[1]和部分实验数据，编写了一个计算任意能量Ex和ρx值下的μx值的计算机程序，其基本框图如图3。用FORTRAN 5.0高级语言编写，可在微机上运行，程序使用的基本数据是事先对Al、Si、水泥、C、Mg、Ca、水、K、植物灰等多种ρ值已知的有关Eγ和μ值按公式(1)进行最佳逼近多项曲线拟合后所确定的若干组拟合参数值。进入程序后，根据输入的Ex值，先计算相应Al、Si、水泥等物质的线性吸收系数μ值，随后用它们对应的ρ值和计算的μ值直接按一般多项式(即公式2)自动作最佳逼近曲线拟合，确定最佳拟合阶数和系数，最后按输入的ρx值和拟合的系数计算出μx值。程序可以显示拟合系数，拟合残差的标准差，以及输入的Ex、ρx值和计算的μx值，并且一次可以计算任意个Ex、ρx下的μx值，直至输入的Ex≤0，ρx≤0才停止。
, http://www.100md.com
图3 计算μ值程序框图
3 结果和讨论
3.1 用公式(1)能够很好对已知物质的线性减弱系数和相应的γ射线能量进行拟合。为了能够更准确地计算μ值和减少拟合值偏差，可将能量分段进行拟合，例如以100 keV左右为接点，分低能段和高能段处理。实验表明，在100～3000keV能量段拟合的μ值偏差可做到不超过1%。
3.2 数据处理表明，μ和Eγ的关系曲线用下列公式(3)也能很好的进行数据拟合：
(3)式中Ci是待定参数；Ca=(E2+E1)/2，而E1和E2分别为参与数据拟合点的最小和最大γ能量。
, 百拇医药
3.3 用公式(2)能够对μ和ρ关系曲线作很好的数据拟合。由图2可以看出，能量低于300 keV时μ～ρ为曲线，高能时μ～ρ基本可用直线表示。数据处理还表明，ρ在0.5～3 g/cm3范围时，μ～ρ实际上都可以用直线近似表示。
3.4 拟合数据过程表明，不同物质的Eγ和μ值以及不同Eγ时的μ和ρ值用公式(1)和(2)分别进行处理时，要达到“最佳”的拟合效果，它们的拟合阶数并不完全一样，因此编写计算机程序时不应硬性规定拟合阶数或项数。本工作采用了最佳逼近多项式曲线拟合方法，并用两次逼近计算的残差平方和的F检验来自动选取多项式的“最佳”次数。检验水平α=0.05，概率计算精度ε取10-8，预计最高的拟合阶数取6。
3.5 利用编写的程序计算的μ值与文献[1，2]中有关的理论值偏差一般不超过5%。用文献[3]中实验给出的一些μ～Eγ函数所计算的植物灰、煤、矸石、土壤、水等有关的μ值和本程序计算的μ值在γ能量100～1000 keV范围内，偏差不超过10%。使用植物样品灰(ρ=0.503 g/cm3)和Al2O3(ρ=1.16 g/cm3)为基质加入标准放射性152Eu溶液制成圆柱型体源后，用HpGe γ谱仪测量121keV-1408 keV能量范围内γ全能峰相对自吸收系数时，其实验结果和用本计算机程序计算的μ值而后进行理论计算的相对自吸收系数偏差小于4%。
参考文献
1 李德平，潘自强主编.辐射防护手册第一分册.北京：原子能出版社，1987，278～286.
2 马崇智.放射性同位素手册.北京：科学出版社，1979，451.
3 潘苏，李瑞香，刘新华，等.半导体γ谱仪对环境样品全能峰效率的半经验公式刻度方法.辐射防护，1989，9(3)：195-201.
(收稿： 1997-03-26 修回： 1997-10-22), 百拇医药