医学数学模型中可积的非线性常微分方程的构造
作者：许虹
单位：许虹(武汉市职工医学院 武汉430016)
关键词：可积；非线性常微分方程；构造；双变换
数理医药学杂志000401
摘 要 为适应医学数学模型构造可积的非线性常微分方程，在应用双变换构造方程的同时，详尽地论述了它的求解步骤，并隐含了可积的非线性常微分方程的求解方法。
中图分类号： O 175.14 文献标识码： A
文章编号：1004-4337(2000)04-0289-03
定理1 若给条件组
, 百拇医药
其中，p、Q∈C，f、g、ω∈c,n为正整数，且n≠0、1，则可构造出可积的Bernoulli(伯努利)型微分方程：
f(x)ω(y)y+[P(G(x))G(x)f(x)+f(x)]ω(y)
=Q(G(x))G(x)[f(x)ω(y)+g(x)]n-P(G(x)G(x)g(x)-g(x) (3)
且它的通积分为：
(4)
这里 t=G(x),c为任意常数。
证明 我们只需将双变换(2)代入可积的Bernoulli方程(1)中，经整理，即可构造出可积的Bernoulli型微分方程(3)。
, http://www.100md.com
反过来，先将Bernoulli型方程(3)变形为：
(5)
再作双变换：
u(t)=f(x)ω(y)+g(x), t=G(x) (6)
此时(5)变形为：
这已是可积的Bernoulli方法，因它的通解为：
(7)
再由双变换(6)与(7)，即得(3)的通积分为(4)。
, http://www.100md.com
注：很明显，定理1的后一部分是文献[1]中Bernoulli方程的推广。
定理2 若给定条件组
其中，ω、f、g、φ、G∈c,且ω(y)≠const,G(x)≠0,a≠0,n≠1,则可构造出可积的Clairaut(克莱罗)型微分方程：
(10)
且其参数式通积分为：
这里
, http://www.100md.com
这里p为参数，c为任意常数。
证明 由文献[2]的推论点2.3，可知(8)为可积的Clairaut型微分方程，因此将双变换(9)代入(8)，经整理，即可构造出可积的Clairaut型微分方程(10)。
反过来，先将Clairaut型方程(10)变形为：
(13)
作双变换：
η(ζ)=f(x)ω(y)+g(x),ζ=G(x) (14)
此时(13)变形为：
η=ζη+aζnφ(η＇) (15)
, http://www.100md.com
这已是文献[2]中推论2.3研究的可积的Clairaut型方程，知它的参数式通解为：
其中，
这里p为参数，c为任意常数。
再利用双变换(14)，即得(10)的参数式通积分为(11)，(12)。
注：定理2中的后一部分，当G(x)=x,f(x)≡1,ω(y)视为f(x)时，即是文献[2]定理2.2所研究的情形。
定理3 若给定条件组
, http://www.100md.com
其中p、q∈c,ω、G∈c,q≠0,m、n为非零常数，则可构造出可积的Riccati(黎卡提)型微分方程：
ω’(y)y+p(x)ω(y)=q(G(x)G(x)e∫pG(x)dG(x)-∫p(x)dx{me2∫p(x)dt[ω(y)]2+n} (18)
且其通积分为：
① 当mn>0时
(19)
② 当mn<0时
(20)
其中，c1、c2为任意常数
, 百拇医药
证明 由文献[3]定理4的证明中知(16)是可积的特殊的Riccati方程，因而将(17)代入(16)整理后，即可构造出可积的Riccati型方法(18)。
反过来，先将Riccati型方程(18)变形为：
(21)
作双变换：
u(t)=e∫p(t)dtω(y), t=G(x) (22)
方程(21)变形为：
(23)
由文献[3]定理四的证明中知(23)的通积分为：
, 百拇医药
① 当mn>0时，有
② 当mn<0时，有
再利用双变换(22)，即可得到方程(18)的通积分为(19)与(20)。
注：定理3的后一部分，当G(x)=φ，视ω(y)为y时，即是文献[3]中定理4研究的情形。
定理4 若给定条件组
其中，G∈cn-1,f、ω、φ∈cn,G≠0,f≠0,ω≠const,ai=const,i=1,2,3……，n,且约定a0=1，则可构造出可积的n阶微分方程：
(26)
, 百拇医药
它可经双变换(25)，化为可积的常系数线性微分方程(24)。
证明 将(25)代入可积的高阶常系数线性微分方程(24)，即可构造出可积的高阶变系数非线性微分方程(26)。
反过来，应用双变换：
u(t)=f(x)ω(y)+φ(x), t=∫G(x)dx (27)
(28)
将(28)代入(26)可得
(29)
(29)已是可积的n阶常数系数线性微分方程。再由双变换(27)，可知n阶变系数非线性微分方程(26)可积。
, 百拇医药
当定理4中的n=4时，并由(28)可得
推论 若给定条件组
其中，G∈c3,f、ω、φ∈c4,f=f(x)≠0,φ=φ(x)≠0,G=G(x),ω(y)≠const,au=const,i=1,2,3,4，则可构造出可积的四阶变系数非线性微分方程：
(32)
它可经变换(31)化为可积的四阶常系数线性方程(30)。
注：本推论的后一部分，即为文献[4]中定理3.2所研究的情形。
定理5 若给定条件组
, 百拇医药
再积分一次
其中，f∈cn+1,g∈c,a、b、c、A均为常数，且A≠0,c≠0,a2+bc≠0,n为正整数，n≥1,还约定f(0)=f，则可构造出可积的常微分方程：
(35)
证明 易知(33)是可积的二阶非齐次Euler(欧拉)方程，将(34)代入(33)，再积分一次，可构造出可积的常微分方程(35)。
事实上，将双变换(34)代入(33)，可得：
两边再积分一次得：
, 百拇医药
反过来，先对方程(35)两边求导得：
(36)
再由(35)得变换：
(37)
及变换：
f(n-1)(x)=y (38)
将双变换(37)与(38)代入(36)，整理后得：
或
, http://www.100md.com
显然这已是可积的二阶非齐次Euler方程，将它的解代入变换(38)再积分n-1次，可知原方程(35)可积。
注：定理5的后一部分，即为文献[5]的定理1。
参 考 文 献
1，王高雄等编.常微分方程.第二版.北京：高等教育出版社，1983，36.
2，汤光宋.几类微分方程推广与求解.江汉大学学报，1990，7(1)：47～53.
3，汤光宋.若干新的一阶变系数常微分方程的可积类型.江汉大学学报(自然科学版).1987，(1)：18～26.
4，李恒祥.几类可积的非线性常微分方程(Ⅱ)—高阶方程.应用数学和力学.1990，11(6)：521～527.
5，汤光宋.可积常微分方程的新类型.山东轻工业学院学报(自然科学版)，1993，(1)：71～73.
收稿日期：2000-03-21, http://www.100md.com
单位：许虹(武汉市职工医学院 武汉430016)
关键词：可积；非线性常微分方程；构造；双变换
数理医药学杂志000401
摘 要 为适应医学数学模型构造可积的非线性常微分方程，在应用双变换构造方程的同时，详尽地论述了它的求解步骤，并隐含了可积的非线性常微分方程的求解方法。
中图分类号： O 175.14 文献标识码： A
文章编号：1004-4337(2000)04-0289-03
定理1 若给条件组
, 百拇医药
其中，p、Q∈C，f、g、ω∈c,n为正整数，且n≠0、1，则可构造出可积的Bernoulli(伯努利)型微分方程：
f(x)ω(y)y+[P(G(x))G(x)f(x)+f(x)]ω(y)
=Q(G(x))G(x)[f(x)ω(y)+g(x)]n-P(G(x)G(x)g(x)-g(x) (3)
且它的通积分为：
(4)这里 t=G(x),c为任意常数。
证明 我们只需将双变换(2)代入可积的Bernoulli方程(1)中，经整理，即可构造出可积的Bernoulli型微分方程(3)。
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反过来，先将Bernoulli型方程(3)变形为：
(5)再作双变换：
u(t)=f(x)ω(y)+g(x), t=G(x) (6)
此时(5)变形为：
这已是可积的Bernoulli方法，因它的通解为：
(7)再由双变换(6)与(7)，即得(3)的通积分为(4)。
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注：很明显，定理1的后一部分是文献[1]中Bernoulli方程的推广。
定理2 若给定条件组
其中，ω、f、g、φ、G∈c,且ω(y)≠const,G(x)≠0,a≠0,n≠1,则可构造出可积的Clairaut(克莱罗)型微分方程：
(10)且其参数式通积分为：
这里
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这里p为参数，c为任意常数。
证明 由文献[2]的推论点2.3，可知(8)为可积的Clairaut型微分方程，因此将双变换(9)代入(8)，经整理，即可构造出可积的Clairaut型微分方程(10)。
反过来，先将Clairaut型方程(10)变形为：
(13)作双变换：
η(ζ)=f(x)ω(y)+g(x),ζ=G(x) (14)
此时(13)变形为：
η=ζη+aζnφ(η＇) (15)
, http://www.100md.com
这已是文献[2]中推论2.3研究的可积的Clairaut型方程，知它的参数式通解为：
其中，
这里p为参数，c为任意常数。
再利用双变换(14)，即得(10)的参数式通积分为(11)，(12)。
注：定理2中的后一部分，当G(x)=x,f(x)≡1,ω(y)视为f(x)时，即是文献[2]定理2.2所研究的情形。
定理3 若给定条件组
, http://www.100md.com
其中p、q∈c,ω、G∈c,q≠0,m、n为非零常数，则可构造出可积的Riccati(黎卡提)型微分方程：
ω’(y)y+p(x)ω(y)=q(G(x)G(x)e∫pG(x)dG(x)-∫p(x)dx{me2∫p(x)dt[ω(y)]2+n} (18)
且其通积分为：
① 当mn>0时
(19)② 当mn<0时
(20)其中，c1、c2为任意常数
, 百拇医药
证明 由文献[3]定理4的证明中知(16)是可积的特殊的Riccati方程，因而将(17)代入(16)整理后，即可构造出可积的Riccati型方法(18)。
反过来，先将Riccati型方程(18)变形为：
(21)作双变换：
u(t)=e∫p(t)dtω(y), t=G(x) (22)
方程(21)变形为：
(23)由文献[3]定理四的证明中知(23)的通积分为：
, 百拇医药
① 当mn>0时，有
② 当mn<0时，有
再利用双变换(22)，即可得到方程(18)的通积分为(19)与(20)。
注：定理3的后一部分，当G(x)=φ，视ω(y)为y时，即是文献[3]中定理4研究的情形。
定理4 若给定条件组
其中，G∈cn-1,f、ω、φ∈cn,G≠0,f≠0,ω≠const,ai=const,i=1,2,3……，n,且约定a0=1，则可构造出可积的n阶微分方程：
(26), 百拇医药
它可经双变换(25)，化为可积的常系数线性微分方程(24)。
证明 将(25)代入可积的高阶常系数线性微分方程(24)，即可构造出可积的高阶变系数非线性微分方程(26)。
反过来，应用双变换：
u(t)=f(x)ω(y)+φ(x), t=∫G(x)dx (27)
(28)将(28)代入(26)可得
(29)(29)已是可积的n阶常数系数线性微分方程。再由双变换(27)，可知n阶变系数非线性微分方程(26)可积。
, 百拇医药
当定理4中的n=4时，并由(28)可得
推论 若给定条件组
其中，G∈c3,f、ω、φ∈c4,f=f(x)≠0,φ=φ(x)≠0,G=G(x),ω(y)≠const,au=const,i=1,2,3,4，则可构造出可积的四阶变系数非线性微分方程：
(32)它可经变换(31)化为可积的四阶常系数线性方程(30)。
注：本推论的后一部分，即为文献[4]中定理3.2所研究的情形。
定理5 若给定条件组
, 百拇医药
再积分一次
其中，f∈cn+1,g∈c,a、b、c、A均为常数，且A≠0,c≠0,a2+bc≠0,n为正整数，n≥1,还约定f(0)=f，则可构造出可积的常微分方程：
(35)证明 易知(33)是可积的二阶非齐次Euler(欧拉)方程，将(34)代入(33)，再积分一次，可构造出可积的常微分方程(35)。
事实上，将双变换(34)代入(33)，可得：
两边再积分一次得：
, 百拇医药
反过来，先对方程(35)两边求导得：
(36)再由(35)得变换：
(37)及变换：
f(n-1)(x)=y (38)
将双变换(37)与(38)代入(36)，整理后得：
或
, http://www.100md.com
显然这已是可积的二阶非齐次Euler方程，将它的解代入变换(38)再积分n-1次，可知原方程(35)可积。
注：定理5的后一部分，即为文献[5]的定理1。
参 考 文 献
1，王高雄等编.常微分方程.第二版.北京：高等教育出版社，1983，36.
2，汤光宋.几类微分方程推广与求解.江汉大学学报，1990，7(1)：47～53.
3，汤光宋.若干新的一阶变系数常微分方程的可积类型.江汉大学学报(自然科学版).1987，(1)：18～26.
4，李恒祥.几类可积的非线性常微分方程(Ⅱ)—高阶方程.应用数学和力学.1990，11(6)：521～527.
5，汤光宋.可积常微分方程的新类型.山东轻工业学院学报(自然科学版)，1993，(1)：71～73.
收稿日期：2000-03-21, http://www.100md.com