多指标正交试验的分析
作者：盛海林 王艾
单位：盛海林(中国药科大学数学教研室 南京210009)；王艾(中国药科大学数学教研室 南京210009)
关键词：多元非线性回归；正交设计
数理医药学杂志000506
摘 要： 利用多元非线性回归对多指标正交设计试验进行了数据处理，得到比经验分析方法更好、更精确的结论。
中图分类号： R 195.1 文献标识码： A 文章编号：1004-4337(2000)05-0395-02
在正交设计中，对于单指标试验，往往用直观分析法便可简便、快速得出结果。而在多指标的试验中，分析方法有综合评分法、综合平衡法、综合比较法和公式法等，但这些方法随机性很强，无法作出精确的分析和判断。因此，我们将多元回归分析应用于多指标的正交试验，结果表明，回归方法得出的结论与前四种分析方法所得结论一致，而在最优水平的确定上，比前四种更好、更精确。
, 百拇医药
1 多元非线性回归
对于函数y=f(x1,x2,…)，若在某点P0(x01,x02,…)邻域内连续且有连续的n+1阶偏导数，则对于该邻域内的任一点(x01+h1,x02+h2…),有：
由此可见，对于任意多元函数，均可以展开成多元多项式。
如果有N个已知点P1(x11,x12,…,y1),P2(x12,x22,…,y1),…,Pn(xn1,xn2,…,yn),则可以确定a0,a1.a2,…,a11,a12,…,a22,a23,从而确定了函数y=f(x1,x2,…)。这就是多元回归。
, 百拇医药
2 回归方程
将指标作为函数，各因素作为变量进行回归。而对于多指标试验，按照各指标的重要程度建立一个目标函数，然后进行回归。至于回归所采用的方法，按照数学原理，沿梯度方向的方向导数达到最大值，即梯度方向是函数y=f(x1,x2)在这点增长最快的方向，那么，梯度的负方向(即反向)应是函数减少最快的方向。故回归时用的搜索方向就是梯度的负方向，即是最速下降法。具体过程如下：
给定一初始点
为函数在P0处的最速下降方向，在P0处沿最速下降方向进行一维搜索，可得点P10。然后以P10为出发点，再进行第二次一维搜索，得点P20。如此重复，求出最优点。即：
在本文中是应用STAT软件进行计算的，STAT软件的多元回归是用最速下降法编制的。
, 百拇医药
3 回归分析
回归的好坏，直接影响到试验分析的正确性，最终影响试验的成败。因此，回归越精确越好。那么怎样判断呢?常用的方法有两种：相关系数和方差分析。
其中
是回归函数在Pi处的函数值。
则相关系数为：
F检验公式为：
，其中m为回归变量的个数；F的临界值是Fα(m,n-m-1)。以上QT,Q1,Q2分别称为离差总平方和、剩余平方和及回归平方和。在本文例子中，是以复相关系数R为检验标准的。
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4 应用举例
某矿为了对精矿粉进行造球配方试验，选取四个因素，每个因素取三个水平，因素、水平见表1，试验指标为抗压强度y1(kg/个)、落下强度y2(0.5m/次)和裂纹度y3(共分四个等级)，三项指标同等重要，且前二个指标y1、y2越大越好，而第三个指标y3则越小越好。选用L9(34)正交表，试验方案和结果见表2。
表1 试验因素和水平 因素
水份(%)
X1
粒度(%)
X2
, 百拇医药
碱度(%)
X3
膨润度(%)
X4
1
9
30
1.2
1.0
2
10
60
1.4
, 百拇医药
1.5
3
8
80
1.6
2.0
由于三个指标同等重要，而极差分别为19.2、19和3，第一个和第二个指标越大越好而第三个指标越小越好。利用总极差相近的原理，故三个指标的权重系数分别取1、1和-6，即设y=y1+y2-6y3。本例中，共有四个因素，即有四个变量分别为：x1、x2、x3、x4，考虑到回归的难度，回归时仅到到二次幂多项式，即
经STAT软件计算见表3。表2 正交设计和试验结果 试验号
, 百拇医药
因素
试验指标
X1(%)
X2(%)
X3(%)
X4(%)
y1
y2
y3
1
1
, 百拇医药
1
1
1
11.3
1.0
2
2
1
2
2
2
4.4
3.5
3
, http://www.100md.com
3
1
3
3
3
10.8
4.5
3
4
2
1
2
3
7.0
, http://www.100md.com
1.0
2
5
2
2
3
1
7.8
1.5
1
6
2
3
1
, 百拇医药
2
23.6
15.0
0
7
3
1
3
2
9.0
1.0
2
8
3
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2
1
3
8.0
4.5
1
9
3
3
2
1
13.2
20.0
0
, 百拇医药
表3 回归系数
系数
a0
-1.93255
a11
1.584414
a23
-2.84461
a1
-15.4729
a12
, 百拇医药
-0.182088
a24
-0.0554444
a2
2.693857
a13
9.143001
a33
13.41065
a3
1.469838
, 百拇医药
a14
-10.1176
a34
3.504902
a4
-1.08296
a22
0.031684
a44
25.16891
相关系数
, 百拇医药
0.9999
对y进行优化处理，利用计算机搜索法得最优点为：x1=7,x2=85,x3=1,x4=2,此时，y=131.29。5 讨论
由最优解可见，三个因素分别是x1越小越好，x2越大越好，x3越小越好，而x4取1时是最好的。这与文献资料上的A3B3C1D1(即x1=8,x2=80,x3=1.2,x4=1)基本一致。并且给出了具体的数值，该值恰恰是设计中没讨论到的，因此可以说比前四种更优越。
参 考 文 献
1，杜藏.最优化计算方法.天津大学出版社，1996.
2，王学仁等.应用回归分析.重庆大学出版社，1989.
3，倪永兴.药学应用数理统计.军事谊文出版社，1994.
收稿日期：2000-05-09, 百拇医药
单位：盛海林(中国药科大学数学教研室 南京210009)；王艾(中国药科大学数学教研室 南京210009)
关键词：多元非线性回归；正交设计
数理医药学杂志000506
摘 要： 利用多元非线性回归对多指标正交设计试验进行了数据处理，得到比经验分析方法更好、更精确的结论。
中图分类号： R 195.1 文献标识码： A 文章编号：1004-4337(2000)05-0395-02
在正交设计中，对于单指标试验，往往用直观分析法便可简便、快速得出结果。而在多指标的试验中，分析方法有综合评分法、综合平衡法、综合比较法和公式法等，但这些方法随机性很强，无法作出精确的分析和判断。因此，我们将多元回归分析应用于多指标的正交试验，结果表明，回归方法得出的结论与前四种分析方法所得结论一致，而在最优水平的确定上，比前四种更好、更精确。
, 百拇医药
1 多元非线性回归
对于函数y=f(x1,x2,…)，若在某点P0(x01,x02,…)邻域内连续且有连续的n+1阶偏导数，则对于该邻域内的任一点(x01+h1,x02+h2…),有：
由此可见，对于任意多元函数，均可以展开成多元多项式。
如果有N个已知点P1(x11,x12,…,y1),P2(x12,x22,…,y1),…,Pn(xn1,xn2,…,yn),则可以确定a0,a1.a2,…,a11,a12,…,a22,a23,从而确定了函数y=f(x1,x2,…)。这就是多元回归。
, 百拇医药
2 回归方程
将指标作为函数，各因素作为变量进行回归。而对于多指标试验，按照各指标的重要程度建立一个目标函数，然后进行回归。至于回归所采用的方法，按照数学原理，沿梯度方向的方向导数达到最大值，即梯度方向是函数y=f(x1,x2)在这点增长最快的方向，那么，梯度的负方向(即反向)应是函数减少最快的方向。故回归时用的搜索方向就是梯度的负方向，即是最速下降法。具体过程如下：
给定一初始点
为函数在P0处的最速下降方向，在P0处沿最速下降方向进行一维搜索，可得点P10。然后以P10为出发点，再进行第二次一维搜索，得点P20。如此重复，求出最优点。即：在本文中是应用STAT软件进行计算的，STAT软件的多元回归是用最速下降法编制的。, 百拇医药
3 回归分析
回归的好坏，直接影响到试验分析的正确性，最终影响试验的成败。因此，回归越精确越好。那么怎样判断呢?常用的方法有两种：相关系数和方差分析。
其中是回归函数在Pi处的函数值。则相关系数为：
F检验公式为：
，其中m为回归变量的个数；F的临界值是Fα(m,n-m-1)。以上QT,Q1,Q2分别称为离差总平方和、剩余平方和及回归平方和。在本文例子中，是以复相关系数R为检验标准的。, http://www.100md.com
4 应用举例
某矿为了对精矿粉进行造球配方试验，选取四个因素，每个因素取三个水平，因素、水平见表1，试验指标为抗压强度y1(kg/个)、落下强度y2(0.5m/次)和裂纹度y3(共分四个等级)，三项指标同等重要，且前二个指标y1、y2越大越好，而第三个指标y3则越小越好。选用L9(34)正交表，试验方案和结果见表2。
表1 试验因素和水平 因素
水份(%)
X1
粒度(%)
X2
, 百拇医药
碱度(%)
X3
膨润度(%)
X4
1
9
30
1.2
1.0
2
10
60
1.4
, 百拇医药
1.5
3
8
80
1.6
2.0
由于三个指标同等重要，而极差分别为19.2、19和3，第一个和第二个指标越大越好而第三个指标越小越好。利用总极差相近的原理，故三个指标的权重系数分别取1、1和-6，即设y=y1+y2-6y3。本例中，共有四个因素，即有四个变量分别为：x1、x2、x3、x4，考虑到回归的难度，回归时仅到到二次幂多项式，即
经STAT软件计算见表3。表2 正交设计和试验结果 试验号, 百拇医药
因素
试验指标
X1(%)
X2(%)
X3(%)
X4(%)
y1
y2
y3
1
1
, 百拇医药
1
1
1
11.3
1.0
2
2
1
2
2
2
4.4
3.5
3
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3
1
3
3
3
10.8
4.5
3
4
2
1
2
3
7.0
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1.0
2
5
2
2
3
1
7.8
1.5
1
6
2
3
1
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2
23.6
15.0
0
7
3
1
3
2
9.0
1.0
2
8
3
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2
1
3
8.0
4.5
1
9
3
3
2
1
13.2
20.0
0
, 百拇医药
表3 回归系数
系数
a0
-1.93255
a11
1.584414
a23
-2.84461
a1
-15.4729
a12
, 百拇医药
-0.182088
a24
-0.0554444
a2
2.693857
a13
9.143001
a33
13.41065
a3
1.469838
, 百拇医药
a14
-10.1176
a34
3.504902
a4
-1.08296
a22
0.031684
a44
25.16891
相关系数
, 百拇医药
0.9999
对y进行优化处理，利用计算机搜索法得最优点为：x1=7,x2=85,x3=1,x4=2,此时，y=131.29。5 讨论
由最优解可见，三个因素分别是x1越小越好，x2越大越好，x3越小越好，而x4取1时是最好的。这与文献资料上的A3B3C1D1(即x1=8,x2=80,x3=1.2,x4=1)基本一致。并且给出了具体的数值，该值恰恰是设计中没讨论到的，因此可以说比前四种更优越。
参 考 文 献
1，杜藏.最优化计算方法.天津大学出版社，1996.
2，王学仁等.应用回归分析.重庆大学出版社，1989.
3，倪永兴.药学应用数理统计.军事谊文出版社，1994.
收稿日期：2000-05-09, 百拇医药