单种群杆菌简单波动生长的数学模型
作者：王开发 刘俊康 徐启旺
单位：王开发(第三军医大学：基础医学部数学教研室；重庆400038)；刘俊康(第三军医大学：生物波研究中心；重庆400038)；徐启旺(第三军医大学：生物波研究中心；重庆400038)
关键词：Logistic模型；单种群杆菌；波动生长
第三军医大学学报000225
提要 目的：量化探讨单种群杆菌简单波动生长的过 程，定量认识单种群杆菌产生简单波动的原因。方法：以奇异变形杆菌为研究对象，以生物实验研究 方法和数学演绎推理二者结合进行讨论。结果：在 经典Logistic模型基础上，得到描述单种群杆菌简单波 动生长的推广Logistic模型。结论：该模型及解定量直 观地反映了细菌增殖-扩散-增殖的自组织过程。
中图法分类号Q93-3 文献标识码A
, 百拇医药
文章编号：1000-5404(2000)02-0182-03
A mathematical model for simple wave growth of a single bacillus population
WANG Kai-fa, LIU Jun-kang, XU Qi-wang
(Department of Mathematics,Third Military Medical University, Chongqing 400038)
Abstract Objective: To quantitate the study of the progress and causes of the simple wave growth of a single bacillus population. Methods: The laboratory technique of biological observation and mathematical analysis were used to study the growth of proteus mirabilis. Results: On the basis of classic logistic model, an improved logistic model for the simple wave growth of a single bacillus population of Proteus mirabilis was obtained. Conclusion: Our model and its solution directly reveal the auto-organization process of proliferation-spreading-proliferation of Proteus mirabilis.
, http://www.100md.com
Key words logistic model; single bacillus population; wave growth; Proteus mirabilis
有关微生物菌落生长繁殖的总菌数与生长时间的定 量关系，已有许多数学模型描述，例如经典的Logistic模 型[1]和近年研究热点之一的Chemostat模型[2]等。根据研究 表明，细菌生长过程中主要有生长和分裂2个阶段， 生长阶段指细菌核酸复制期，此阶段的长短受环境 支配，分裂阶段指核酸复制完成后，中间隔形成到 分裂完成之间隙，此阶段的生长较短而恒定。因为 细菌对环境反应的敏感性及高度适应性，当细菌处 于不利环境时，会发生形态变化以迅速扩散到有利 环境重新开始生长繁殖，由此表现出细菌群体的波 动生长，这正是生物波理论[3]产生的基础。然而到目 前为止，对生物波理论讨论的大量工作集中于生物 实验研究方法[4～6]，而数学建模方面的工作还几乎 没有。本研究将在徐启旺等[4]对单种群奇异杆菌简单 波动生长的实验观测基础上，利用我们建立的推广 Logistic模型，进一步量化解析单种群杆菌波动生长的一般规律。
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1 一资助波动模型的建立及求解
1.1 模型的建立
经典Logistic模型为
其中N表示时间为t时种群的总数；λ0为种群的平均出生率与平均死亡率之差,即内禀增长率；M是环境能容纳此种群个体的最大数量,即环境容纳量。
考虑到细菌生长过程中处于不同生理状态的构成比例和它对环境反应的敏感性及高度适应性,借鉴文献[7]中讨论血液里症原虫的所寄生的红细胞数量变化的离散模型时对生存率所作的改进,我们对经典Logistic模型中的内禀增长率作一改进,记为
λ0(t)=1+cost
, 百拇医药
即是说细菌种群的内禀增长率不再是常数,而是随着时间t的变化呈现周期性波动变化,这正是细菌波动生长过程的直观体现。由此,我们可得知下的描述细菌波动生长的推广Logistic模型:
(1)
这里N,M的意义和经典hgstic模型类似。
1.2 模型的求解
事实上,系统(1)恰为一标准Bermoulli方程。因此,利用变量变换可将非线性方程(1)化为线性。为此,令
,则有
, 百拇医药 利用常数变易法,得上述系统的通解为
其中c为任意常数。所以系统(1)的通解为
如果初值为N0,即t=0时,初始细菌数量为N(0)=N0,则在此初始条件下,系统(1)的解为
(1)
2 模型与波动生长
Shapiro教授[7]通过实验研究认为，传统观念把细菌看 作单细胞对认识细菌的生物学特性有一定的限制，在很多方面单个细菌更象是多细胞有机体中的子系 统，而不象是一个自由行动的独立有机体，因此，细菌属于多细胞生命活动范畴。生物波的研究是从 群体细菌波状生长模型的建立开始的。细菌生存伴 随着代谢活动，不断的摄取周围营养，排除废物。Smith[8]认为细菌的生长不断地破坏着自己生存的环境，使生长环境出现废物和营养物质梯度。从生物波 的观点来看，细菌活动生长的速度取决于环境被破 坏的速度，这种观念对认识细菌的感染机制有一定 的推动作用，但与此同时环境被破坏的速度也有赖 于细菌的生长速度。
, http://www.100md.com
徐启旺等[4]通过在波动平板上接种奇异变形杆菌， 观察杆菌在平板上的生长现象，利用生物显色技术 ，研究了简单生物波形成的非平衡机制，得到了红 黄相间的圆环，见图1，其中深色区域为杆菌增殖区 ，浅色区域为杆菌扩散区。为了描述模型(1)与波动生 长的联系，我们对N0=10，分别取M=1000，100000，利用 MathematicaV2.1数学软件，作出方程(2)的大致图象，见图2。
图1 奇异变形杆菌波动生长结果
Fig1 Results of wave growth on Proteus miramilis
图2 方程(2)的图象
, 百拇医药
Fig2 The picture of equation(2)
A:M=1000,N0=10；B：M=100000,N0=10
在杆菌生长初期，由于环境适宜，营养丰富，杆菌 数量呈现生长趋势(如第一段实线所示)。在杆菌群体 生长过程中，需要消耗营养，排除废物，逐步形成 营养物质和代谢产物的浓度梯度，改变了杆菌原有 的生长条件，渐渐使杆菌生长局部环境恶化，达到 一非平衡状态，杆菌便不能继续照常生长(如第一段 虚线所示)。此时，细菌发生形态变化，变成纤细状 细菌，这样就可以阻止外界不利环境的影响，并协 助细菌朝有利的环境扩散。该增殖-扩散过程恰好 为图2曲线中的第一个涨落的生物学背景意义。当细 菌到达有利环境后，纤细状细菌断裂形成短杆状， 继续下一周期的生长(如第二段实线所示)。由此，使 细菌完成增殖-扩散-增殖的自组织过程。图2正是 该过程的直观体现。
3 多次波动生长模型
, 百拇医药
从上面的分析，我们知道系统(1)较好地模拟了杆菌 的一次波动生长过程。但在实验中却发现只要波动 平板足够大，波动生长将会始终持续。这在系统(1)中 并未得到体现。如何量化体现该过程呢?我们将借鉴 药物动力学中处理周期性给药方式时的思想，把多次波动生长的过程表示为一次波动 生长的迭加过程。因此，我们可以反复运用系统(1)以 完成多次波动的模拟。下面我们仅以二次波动生长 过程为例进行说明。
由图2可知，随着时间的增加，在杆菌的第二增殖 区又逐步形成营养物质和代谢产物的浓度梯度，改 变了杆菌原有的生长条件，渐渐使杆菌生长局部环 境恶化，达到一非平衡状态，杆菌便不能继续照常 生长(如第二段虚线所示)。此时，杆菌将发生形态改 变以迅速从不利环境扩散出去开始下一波动生长。 假设开始下一波动生长的时间为t1，由(2)知，此时杆 菌总数为N(t1),记为N(1)。因此，第二次波动生长的杆菌 数量初值为N(1)，所以第二次波动生长的杆菌数量 关系式为
, 百拇医药
以此类推，即可得多次波动生长的杆菌数量关系式 。
4 结束语
本研究只针对单种群奇异变形杆菌的波动生长进行 了讨论，这只属于简单条件下的生物波现象。文献[5]进一步由实验提出了群体细胞生命活动不仅被动地 接受环境的作用发生变化，还能主动通过产生调节 因子，自我调节主动地适应环境和进行生命活动。 如何在数学模型中考虑这些因素的影响作用，我们 将另文进行深入研究。
作者简介：王开发(1972.11)，男，硕士，讲师，主要从事生物医学数学建模与分析方面的研究，发表论文8篇。电话：(023)68752211
参考文献
[1]马知恩.种群生态学的数学建模与研究[M].安徽： 安徽教育出版社，1996.11-25.
, 百拇医药
[2]王开发.微生物培养模型的一致持续生存与周期解 [J].西南师范大学学报(自然科学版)，1997，22(6)：591- 598.
[3]徐启旺，刘俊康，郭刚，等.微生物生长的群体周 期和波[J].自然杂志，1992，15(3)：195.
[4]徐启旺，易卫东，刘俊康，等.生物波的非平衡机 制研究[J].西北大学学报(自然科学版)，1997，27(增刊)： 320-325.
[5]黄辉，袁泽涛，刘俊康，等.细菌生物波调控因子 实验分析[J].第三军医大学学报，1999，21(3)：178-180.
[6]LucasWF.生命科学模型[M].长沙：国防科技大学出版社 ，1996.199-215.
[7]Shapiro J A. Bacteria as multicellular organism[J]. Scientific American,1988,258(6):62- 69.
[8]Smith H, Skehel J J, Turner M J. The molecular basis of mi-crobial pathogenicity[M]. Weinheim Deerfield Beech Florida: Verlay Chemic,1980.159-172.
收稿日期：1999-05-20；修回日期：1999-11-02, 百拇医药
单位：王开发(第三军医大学：基础医学部数学教研室；重庆400038)；刘俊康(第三军医大学：生物波研究中心；重庆400038)；徐启旺(第三军医大学：生物波研究中心；重庆400038)
关键词：Logistic模型；单种群杆菌；波动生长
第三军医大学学报000225
提要 目的：量化探讨单种群杆菌简单波动生长的过 程，定量认识单种群杆菌产生简单波动的原因。方法：以奇异变形杆菌为研究对象，以生物实验研究 方法和数学演绎推理二者结合进行讨论。结果：在 经典Logistic模型基础上，得到描述单种群杆菌简单波 动生长的推广Logistic模型。结论：该模型及解定量直 观地反映了细菌增殖-扩散-增殖的自组织过程。
中图法分类号Q93-3 文献标识码A
, 百拇医药
文章编号：1000-5404(2000)02-0182-03
A mathematical model for simple wave growth of a single bacillus population
WANG Kai-fa, LIU Jun-kang, XU Qi-wang
(Department of Mathematics,Third Military Medical University, Chongqing 400038)
Abstract Objective: To quantitate the study of the progress and causes of the simple wave growth of a single bacillus population. Methods: The laboratory technique of biological observation and mathematical analysis were used to study the growth of proteus mirabilis. Results: On the basis of classic logistic model, an improved logistic model for the simple wave growth of a single bacillus population of Proteus mirabilis was obtained. Conclusion: Our model and its solution directly reveal the auto-organization process of proliferation-spreading-proliferation of Proteus mirabilis.
, http://www.100md.com
Key words logistic model; single bacillus population; wave growth; Proteus mirabilis
有关微生物菌落生长繁殖的总菌数与生长时间的定 量关系，已有许多数学模型描述，例如经典的Logistic模 型[1]和近年研究热点之一的Chemostat模型[2]等。根据研究 表明，细菌生长过程中主要有生长和分裂2个阶段， 生长阶段指细菌核酸复制期，此阶段的长短受环境 支配，分裂阶段指核酸复制完成后，中间隔形成到 分裂完成之间隙，此阶段的生长较短而恒定。因为 细菌对环境反应的敏感性及高度适应性，当细菌处 于不利环境时，会发生形态变化以迅速扩散到有利 环境重新开始生长繁殖，由此表现出细菌群体的波 动生长，这正是生物波理论[3]产生的基础。然而到目 前为止，对生物波理论讨论的大量工作集中于生物 实验研究方法[4～6]，而数学建模方面的工作还几乎 没有。本研究将在徐启旺等[4]对单种群奇异杆菌简单 波动生长的实验观测基础上，利用我们建立的推广 Logistic模型，进一步量化解析单种群杆菌波动生长的一般规律。
, http://www.100md.com
1 一资助波动模型的建立及求解
1.1 模型的建立
经典Logistic模型为
其中N表示时间为t时种群的总数；λ0为种群的平均出生率与平均死亡率之差,即内禀增长率；M是环境能容纳此种群个体的最大数量,即环境容纳量。
考虑到细菌生长过程中处于不同生理状态的构成比例和它对环境反应的敏感性及高度适应性,借鉴文献[7]中讨论血液里症原虫的所寄生的红细胞数量变化的离散模型时对生存率所作的改进,我们对经典Logistic模型中的内禀增长率作一改进,记为
λ0(t)=1+cost
, 百拇医药
即是说细菌种群的内禀增长率不再是常数,而是随着时间t的变化呈现周期性波动变化,这正是细菌波动生长过程的直观体现。由此,我们可得知下的描述细菌波动生长的推广Logistic模型:
(1)
这里N,M的意义和经典hgstic模型类似。
1.2 模型的求解
事实上,系统(1)恰为一标准Bermoulli方程。因此,利用变量变换可将非线性方程(1)化为线性。为此,令
,则有, 百拇医药 利用常数变易法,得上述系统的通解为
其中c为任意常数。所以系统(1)的通解为
如果初值为N0,即t=0时,初始细菌数量为N(0)=N0,则在此初始条件下,系统(1)的解为
(1)
2 模型与波动生长
Shapiro教授[7]通过实验研究认为，传统观念把细菌看 作单细胞对认识细菌的生物学特性有一定的限制，在很多方面单个细菌更象是多细胞有机体中的子系 统，而不象是一个自由行动的独立有机体，因此，细菌属于多细胞生命活动范畴。生物波的研究是从 群体细菌波状生长模型的建立开始的。细菌生存伴 随着代谢活动，不断的摄取周围营养，排除废物。Smith[8]认为细菌的生长不断地破坏着自己生存的环境，使生长环境出现废物和营养物质梯度。从生物波 的观点来看，细菌活动生长的速度取决于环境被破 坏的速度，这种观念对认识细菌的感染机制有一定 的推动作用，但与此同时环境被破坏的速度也有赖 于细菌的生长速度。
, http://www.100md.com
徐启旺等[4]通过在波动平板上接种奇异变形杆菌， 观察杆菌在平板上的生长现象，利用生物显色技术 ，研究了简单生物波形成的非平衡机制，得到了红 黄相间的圆环，见图1，其中深色区域为杆菌增殖区 ，浅色区域为杆菌扩散区。为了描述模型(1)与波动生 长的联系，我们对N0=10，分别取M=1000，100000，利用 MathematicaV2.1数学软件，作出方程(2)的大致图象，见图2。
图1 奇异变形杆菌波动生长结果
Fig1 Results of wave growth on Proteus miramilis
图2 方程(2)的图象
, 百拇医药
Fig2 The picture of equation(2)
A:M=1000,N0=10；B：M=100000,N0=10
在杆菌生长初期，由于环境适宜，营养丰富，杆菌 数量呈现生长趋势(如第一段实线所示)。在杆菌群体 生长过程中，需要消耗营养，排除废物，逐步形成 营养物质和代谢产物的浓度梯度，改变了杆菌原有 的生长条件，渐渐使杆菌生长局部环境恶化，达到 一非平衡状态，杆菌便不能继续照常生长(如第一段 虚线所示)。此时，细菌发生形态变化，变成纤细状 细菌，这样就可以阻止外界不利环境的影响，并协 助细菌朝有利的环境扩散。该增殖-扩散过程恰好 为图2曲线中的第一个涨落的生物学背景意义。当细 菌到达有利环境后，纤细状细菌断裂形成短杆状， 继续下一周期的生长(如第二段实线所示)。由此，使 细菌完成增殖-扩散-增殖的自组织过程。图2正是 该过程的直观体现。
3 多次波动生长模型
, 百拇医药
从上面的分析，我们知道系统(1)较好地模拟了杆菌 的一次波动生长过程。但在实验中却发现只要波动 平板足够大，波动生长将会始终持续。这在系统(1)中 并未得到体现。如何量化体现该过程呢?我们将借鉴 药物动力学中处理周期性给药方式时的思想，把多次波动生长的过程表示为一次波动 生长的迭加过程。因此，我们可以反复运用系统(1)以 完成多次波动的模拟。下面我们仅以二次波动生长 过程为例进行说明。
由图2可知，随着时间的增加，在杆菌的第二增殖 区又逐步形成营养物质和代谢产物的浓度梯度，改 变了杆菌原有的生长条件，渐渐使杆菌生长局部环 境恶化，达到一非平衡状态，杆菌便不能继续照常 生长(如第二段虚线所示)。此时，杆菌将发生形态改 变以迅速从不利环境扩散出去开始下一波动生长。 假设开始下一波动生长的时间为t1，由(2)知，此时杆 菌总数为N(t1),记为N(1)。因此，第二次波动生长的杆菌 数量初值为N(1)，所以第二次波动生长的杆菌数量 关系式为
, 百拇医药
以此类推，即可得多次波动生长的杆菌数量关系式 。
4 结束语
本研究只针对单种群奇异变形杆菌的波动生长进行 了讨论，这只属于简单条件下的生物波现象。文献[5]进一步由实验提出了群体细胞生命活动不仅被动地 接受环境的作用发生变化，还能主动通过产生调节 因子，自我调节主动地适应环境和进行生命活动。 如何在数学模型中考虑这些因素的影响作用，我们 将另文进行深入研究。
作者简介：王开发(1972.11)，男，硕士，讲师，主要从事生物医学数学建模与分析方面的研究，发表论文8篇。电话：(023)68752211
参考文献
[1]马知恩.种群生态学的数学建模与研究[M].安徽： 安徽教育出版社，1996.11-25.
, 百拇医药
[2]王开发.微生物培养模型的一致持续生存与周期解 [J].西南师范大学学报(自然科学版)，1997，22(6)：591- 598.
[3]徐启旺，刘俊康，郭刚，等.微生物生长的群体周 期和波[J].自然杂志，1992，15(3)：195.
[4]徐启旺，易卫东，刘俊康，等.生物波的非平衡机 制研究[J].西北大学学报(自然科学版)，1997，27(增刊)： 320-325.
[5]黄辉，袁泽涛，刘俊康，等.细菌生物波调控因子 实验分析[J].第三军医大学学报，1999，21(3)：178-180.
[6]LucasWF.生命科学模型[M].长沙：国防科技大学出版社 ，1996.199-215.
[7]Shapiro J A. Bacteria as multicellular organism[J]. Scientific American,1988,258(6):62- 69.
[8]Smith H, Skehel J J, Turner M J. The molecular basis of mi-crobial pathogenicity[M]. Weinheim Deerfield Beech Florida: Verlay Chemic,1980.159-172.
收稿日期：1999-05-20；修回日期：1999-11-02, 百拇医药