[新编十万个为什么06].PDF
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2014年7月21日
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新编
十万个
为什么
第六册
齐豫生 徐茂魁 主编
台海出版社目 录
数 学
什么叫集合 ………………………………………………………
集合怎样表示 ……………………………………………………
什么叫子集 ………………………………………………………
什么叫交集 ………………………………………………………
什么叫并集 ………………………………………………………
什么叫差集 (%) ………………………………………………………
什么叫空集 ………………………………………………………
什么叫等价集合 …………………………………………………
什么叫函数 ………………………………………………………
什么叫自然数 ( ……………………………………………………
为什么说“)”不是自然数 (! )) ……………………………………
为什么要建立进位制 (! !) …………………………………………
为什么有了十进位制,还要有二进位制 (! ) ……………………
什么是二进数和八进数………………………………………
十进数和二进数怎样互相换算 (! ) ………………………………
十进数和八进数怎样互相换算 (! %) ………………………………
为什么时间和角度的单位采用六十进位制 (! %) …………………
什么是小九九 (! ) …………………………………………………
什么叫整除 (!) ……………………………………………………
整除有哪些性质 (! ………………………………………………
怎样判别能被或、或 、’或! 整除的数 ( )) …………
怎样判别能被(或整除的数 ( !) ………………………………
· ! · ! 目 录怎样判别能被!、 、 整除的数 ( ) …………………………
怎样判别能被 、 %、 、、 整除的数 ( ) ………………
为什么约数和倍数是“双胞胎” ( %) ……………………………
怎样确定一个大于的整数有多少个约数 ( %) …………………
什么叫“筛法” ( ………………………………………………
为什么“首同末合十” “末同首合十”的
两个两位数相乘可以速算 () …………………………………
为什么小数点对齐才能相加减 ( )) ………………………………
为什么小数相乘不需要对齐小数点 ( )) …………………………
为什么除数是小数的除法要把除
数转化成整数后再除 ( ) ………………………………………
为什么“)”不能作除数 ( ) ………………………………………
求积的近似值和商的近似值有什么不同 ( ) ……………………
为什么两数相除(除数不为零)不会得
到无限不循环小数 ( ) …………………………………………
怎样把循环小数化为分数 ( ) ……………………………………
无限小数、无限循环小数和!有什么区别 ( …………………
什么是准确数和近似数 ( !) ………………………………………
什么叫有效数字 ( ) ………………………………………………
为什么) + 和) + )有时相等有时又不等 ( ) ……………………
为什么异分母分数不能直接相加减 (% )) …………………………
怎样比较异分母分数大小 (% ) ……………………………………
为什么不用通分能很快算出一些复杂的分数加减法 (% ) ………
繁分数和连分数有什么区别 (% %) …………………………………
等式和方程式有什么区别 (% ……………………………………
什么叫综合法和分析法 (% ………………………………………
怎样求等差奇数列的和 (%) ………………………………………
什么情况下, -. , 0. (% ) ………………………………………
· ! · 新编十万个为什么 !!!!!!!!!!!! 数“ ! ” ( ) …………………………………………………………!是超越数 ( ) ……………………………………………………
什么是最小数原理 ( %) ……………………………………………
什么是孪生素数 ( ) ………………………………………………
什么是“亲和数” ( ) ……………………………………………
什么样的数能组成勾股数 ( ) ……………………………………
什么是默比乌斯带 () ……………………………………………
什么是黄金分割矩形 ( …………………………………………
为什么直角三角形分割成全等三角形的个数
不一定是完全平方数 ) ………………………………………
为什么答案是错的 ) ……………………………………………
圆面积与圆周长的一种特殊关系 ) ……………………………
为什么圆的周长的计算是极限问题 %) …………………………
为什么两箱铁球一样重 +) ………………………………………
为什么五面体,四面体可能等于五面体 ) ……………………
怎样进行应用题验算 )) …………………………………………
列方程解应用题的关键是什么 ) ………………………………
怎样利用“假设”的数学思想解答应用题 ) …………………
怎样利用“转化”的数学思想解答应用题 …………………
怎样利用“对应”的数学思想解答应用题 ( ) …………………
怎样用“点图”的思考方法解答应用题 ( ) ……………………
怎样利用“倒推法”灵活巧妙地解决实际问题 ( ) ……………
怎样利用“列举法”解答应用题 ( %) ……………………………
怎样利用“加法原理”解决生活中的实际问题 ( ) ……………
怎样利用“乘法原理”解决生活中的实际问题 ( ) ……………
什么叫等差数列和等差数列通项公式 ( ) ………………………
怎样应用“等差数列求和”公式解决实际问题 () ……………
为什么已知 ( ( 年元旦是星期三,就能很快
· ! · ! 目 录推出! 年“六一”儿童节也是星期三 ( ) …………………
不翻日历,你能算出某一天是星期几吗 ( ) ……………………
你知道数的概念的发展吗 ( ) ……………………………………
虚数形成的历史 ( %) ………………………………………………
是谁首先用 (’ )表示函数的 ( ………………………………
古代数学史上的第一个极值问题 ( )) ……………………………
为什么“卡尔丹公式”有一段不公正的历史 ( ) ………………
为什么巴黎科学院宣布不再审查
三大难题的“论文” ( ) ………………………………………
关于国际数学奥林匹克竞赛 ( +) …………………………………
为什么说这是“墓碑上的数学” (+ ) ……………………………
什么是“高斯问题” (+ !) …………………………………………
为什么小高斯算得这么快 (+ ) ……………………………………
什么是“陈氏定理” (+ …………………………………………
为什么欧几里德的“第五公设”不是定理 (+ )) …………………
为什么“虚几何学”是非欧几何 (+ ) ……………………………
为什么说祖日 恒是“最早提出微积分思想”的人 (+ ) ……………
康托尔和他的集合论 (+ +) …………………………………………
“理发师悖论”的数学背景是什么 (, ) …………………………
你知道谁是三角学的主要奠基人吗 (, ,) …………………………
你知道什么是“菲尔兹奖”吗 (, !) ………………………………
何谓秦九韶“三斜求积术” (, ) …………………………………
什么是《算经十书》 (, …………………………………………
什么是《周髀算经》 (, …………………………………………
什么是《九章算术》 (, )) …………………………………………
什么叫“抽屉原则” (, ) …………………………………………
什么是“中国剩余定理” (, +) ……………………………………
什么是“幻方” (, , ,) ………………………………………………
· ! · 新编十万个为什么 !!!!!!!!!!!! 什么是“百鸡问题” (! ! ) …………………………………………
什么是“牛吃草”问题 (! ! ) ………………………………………
为什么数学也会发生危机 (! ! ) ……………………………………
五角星的壮歌 (! % ) …………………………………………………
三个二、三个三与三个四 (! % !) ……………………………………
填数字的卡片 (! %) …………………………………………………
哪些灯还亮着 (! % ) …………………………………………………
为什么这是一个胜负已定的游戏 (! % ) ……………………………
为什么毕达哥拉斯三元数之积能被( 整除 (! % ………………
为什么你不能中奖 (! % ) ……………………………………………
破碎砝码的妙用 (! % )) ………………………………………………
为什么两个桶里的水还会一样多 (! % ) ……………………………
为什么三人同时猜出了帽子的颜色 (! !) …………………………
为什么“对称”意识能使你在游戏中获胜 (! !) …………………
为什么一张牛皮占有的土地上能建筑一座城堡 (!) ……………
长绳的妙用 (! ) ……………………………………………………
为什么客满的旅馆还能住进一位客人 (! ) ………………………
为什么用尽旅馆的所有房间却装不下
短线段上的点 (! ………………………………………………
为什么模糊数学并不模糊 (! ) ……………………………………
为什么存在突变理论 (! )) …………………………………………
为什么把海王星叫做“笔尖上的星” (! ) ………………………
什么是叙古拉猜想 (! ) ……………………………………………
札波里的奇想 (! ) …………………………………………………
信息科学
什么是“信息高速公路” (! %) ……………………………………
信息反馈是怎么回事 (! ) …………………………………………
· ! · ! 目 录什么是第五次信息革命 (! ) ………………………………………
电子出版物经历了哪几个发展阶段 (! ) …………………………
电子书刊的特点是什么 (! ) ………………………………………
什么是音像出版物 (! ) ……………………………………………
什么是无线电接力通信 (! %) ………………………………………
为什么对流层散射通信距离远、容量大、可靠性高 (! ) ……………………………………………………
为什么流星余迹也可以用来通信 (! ……………………………
微波通讯为什么发展这么快 (! !) …………………………………
为什么在海洋里不能像在宇宙空间那样使用雷达 (! )) …………
什么是莱塞雷达 (! ) ………………………………………………
雷达为什么能够测风 (!) …………………………………………
雷达是怎样测雨的 (! ) ……………………………………………
怎样利用雷达探测雷电 (! ) ………………………………………
为什么说无线监听可追求更高感受 (! …………………………
为什么说无线话筒让人们自由地卡拉 + (! !) …………………
使用语音识别技术,能让机器人听懂人的话吗 (! !) ……………
你知道什么是光通信吗 (! ,) ………………………………………
通信线路是如何发展的 (! )) ………………………………………
电话为什么打不通 (! ) ……………………………………………
什么是- .电话 (! ) ………………………………………………
你知道电话是怎样工作的吗 (! ) …………………………………
买 0 1视盘机时,单碟机和三碟机选哪个比较好 (! %) ………
目前,1 1为什么不能快速取代 0 1 (! ) ……………………
为什么说影视点播( 1)业务潜在市场很大 (! …………
什么是数字照相机 (! !) ……………………………………………
什么是电子计算机 (! ,) ……………………………………………
为什么把电子计算机叫做电脑 (! )) ………………………………
· ! · 新编十万个为什么 !!!!!!!!!!!! 谁最先发明了电子计算机 (! ) ……………………………………
电子计算机的发展经历了哪几个阶段 (! ) ………………………
什么是第五代电子计算机 (! ) ……………………………………
为什么计算机有记忆能力 (! %) ……………………………………
为什么计算机要用二进位制 (! ) …………………………………
为什么计算机要有特殊的机房 (! %) ………………………………
为什么计算机要有兼容机 (! % ……………………………………
为什么计算机会干活 (! % ) …………………………………………
为什么计算机会判卷 (! % )) …………………………………………
为什么计算机会下棋 (! % ) …………………………………………
为什么计算机会看病 (! % %) …………………………………………
为什么计算机会唱歌 (! % ) …………………………………………
为什么计算机能猜出你的年龄 (! ) ………………………………
计算机的智力会超过人吗 (! !) ……………………………………
为什么会出现计算机犯罪 (! ……………………………………
为什么计算机能缩短动画片的制作周期 (! ) ……………………
为什么计算机会感染上病毒 (! ) …………………………………
为什么可以用“黑箱方法”了解和使用
电子计算机 (! ) …………………………………………………
为什么有人说二进制起源于中国 (! )) ……………………………
什么是计算机的科学记数法 (! ) …………………………………
怎样让计算机输出数学用表 (! %) …………………………………
怎样让计算机输出乘法口诀表 (’ ) ………………………………
怎样让计算机出算术题 (’ !) ………………………………………
为什么能跟计算机玩“剪刀,钉锤,布”的游戏 (’ …………
为什么说电脑是设计师 (’ )) ………………………………………
为什么说电子计算机是绘画大师 (’ ) ……………………………
电子计算机有哪些基本组成部分 (’ %) ……………………………
· ! · ! 目 录电子计算机的基本功能是什么 (! ) ………………………………
什么是鼠标 (! ) ……………………………………………………
使用磁盘和磁盘驱动器应注意哪些事项 (! ) ……………………
怎样查看磁盘文件目录 (! !) ………………………………………
怎样复制一个系统主盘 (! %) ………………………………………
怎样格式化新盘片 (! ) ……………………………………………
怎样把’ ( ) +程序存在磁盘上 (! ,) ……………………………
怎样读入和运行磁盘上的’ ( ) +程序 (! -) ……………………
什么是调制解调器 (! .) ……………………………………………
什么是 0 1内存 (! .) ……………………………………………
什么是传输介质 (! ) ………………………………………………
什么是2 3 4 5 6 7 8浏览器 (! ! ) ………………………………………
什么是闪速存储器 (! ! ) ……………………………………………
为什么有的芯片叫9 8 : 4 ; < =,有的又叫> . ,呢 (! ! ) ……………
如何在 ? ; : @ 3 A B C D中设置调制解调器 (! ! !) …………………
为什么调制解调器又叫“猫” (! ! %) ………………………………
什么叫路由器 (! ! ) …………………………………………………
什么是计算机软件 (! ! >) ……………………………………………
为什么计算机要有软件 (! ! >) ………………………………………
为什么说软件是计算机的灵魂 (! ! -) ………………………………
为什么计算机要有程序设计语言 (! ! .) ……………………………
为什么要学习电子计算机的语言 (! ! ) ……………………………
什么是0 1 ),怎样引导0 1 ) (! % ) ………………………………
还有哪些常用0 1 )命令 (! % ) ……………………………………
5 6 7 6语言是什么样的程序结构 (! % %) ………………………………
什么是“千年虫” (! % %) ……………………………………………
你知道形形色色的电脑病毒吗 (! % ) ………………………………
为什么要发展因特网 (! % ,) …………………………………………
· ! · 新编十万个为什么 !!!!!!!!!!!! ! % 有什么特点 ( …………………………………………! % 上有哪些音乐网址 ( )) …………………………………
怎样进行入网登录 ( ) ……………………………………………
上网有哪些技巧 ( ) ………………………………………………
怎样提高访问! % 的速度 ( + ,) ………………………………
怎样在! % 上寻人 ( + -) ………………………………………
什么是防火墙 ( + ) …………………………………………………
什么是. 0 ( +) …………………………………………………
怎样选择网卡 ( + +) …………………………………………………
通过有线电视上网是怎么回事 ( + +) ………………………………
你知道怎样办理入网手续吗 ( + 1) …………………………………
计算机网络有哪些种类 ( + 2) ………………………………………
何谓网络互连功能 ( + ……………………………………………
什么是家庭网络 ( + )) ………………………………………………
互联网上唱片公司是怎样工作的 ( + ) ……………………………
有线电视全国联网能一蹴而就吗 ( 1 ,) ……………………………
什么是! 3地址 ( 1 ,) ………………………………………………
你知道如何进行拨号上网吗 ( 1 ) …………………………………
你知道上网需要支付哪些费用吗 ( 1) ……………………………
上网怎样省钱 ( 1) …………………………………………………
为什么说远程教学有很大的市场吸引力 ( 1 1) ……………………! % 4 与企业有何关系 ( 1 2) ……………………………………
怎样避开上网高峰 ( 1 ……………………………………………
个人上网需要什么条件 ( 1 ………………………………………! % 有哪些入网方式 ( 1 )) ……………………………………
· ! · ! 目 录数 学
什么叫集合
集合是数学最基本的概念之一。
把一些单独的物体合起来看成一个整体,就形成一个集合
(或集) 。例如:
一个学校的所有学生可以作为一个集合。
某飞机场上所有的飞机可以作为一个集合。
笼子里所有的小鸟可以作为一个集合。
所有自然数可以作为一个集合。
需要注意两点:
第一,集合是指这类事物的全体,而不是指个别事物。
第二,集合中包含的事物必须是确定的,即可以确切判断一
个事物属于不属于这个集合。如“一切自然数” ,它有确定的特
征,可以组成一个集合。 “一切大的数”这种说法没有表示出确
定的界限; “骄傲的小花猫” ,对此无法作出明确的判断,所以这
些都不能分别组成一个集合。
集合一般用大写字母!、、、、%、等表示。
组成集合的各个物体,叫做这个集合的元素(或“元” ) 。例
如:
一个学校的每个学生是这个学校学生集合的一个元素。
某飞机场的每架飞机是这个飞机场集合的一个元素。
笼子里的每只小鸟是笼子里小鸟集合的元素。
是自然数集合的一个元素。
· ! · ! 数学·信息卷必须注意:集合中的元素一定要相异的。如:!、、、
这四个数可以组成一个集合,而不能由!、!、!、组成一个集
合,因为这里的个!是同一个元素。
集合中的元素一般用小写字母% 、 、 、( 、)等表示。!个书包也可以作为一个集合,这个集合只有一个元素,就
是这个书包。!个人也可以作为一个集合,这个集合也只有一个
元素,就是这个人。
只有一个元素的集合叫做单元素集。
集合中的元素可以是有限多个,也可以是无限多个,如自然
数集,它的元素是无限多个。
由无限个元素所组成的集合作叫做无限集。
一个学校的学生是有限的,所以一个学校学生的集合是有限
集。
集合怎样表示
集合的表示法有三种。
列举法:把一个集合的所有元素一一列举出来,放在 { }
里面。例如:
全体自然数的集合用来表示。
记作: { !,,,……}
小于,的自然数集合用-表示。
记作:-+ { !,,,}
描述法:用文字来描述一个集合的特征。
例如:全体自然数组成的集合用表示。
记作: { 全体自然数}
小于,的自然数组成的集合用.表示。
记作:.+ { 小于,的自然数}
· ! · 新编十万个为什么 !!!!!!!!!!!! 除了上述表示法以外,还可以在一个集合的所有元素外面画
一个圈,直观地表示这个集合。这种图叫韦恩图(韦恩是英国的
一位逻辑学家) 。小学数学课本就采用这种表示法。
若!是集合中的一个元素,我们就说!属于集合。用!
表示“属于” ,写作:! !。
例如:锐角三角形属于三角形集合,写作:锐角三角形!
{ 三角形} 。
反过来,若!不是集合中的一个元素,我们就说!不属
于集合,用表示“不属于” ,写作:! 。
例如:正方形不属于三角形集合,写作:正方形 {三角
形} 。
什么叫子集
请看下面一组集合。
{ %、、’}
( { %、、’、)}
{ 、)、’、%}
我们看到,集合的每一个元素都是集合(的元素,我们
就说集合(包含集合 ,包含于(,写作:(或 (
(读作(包含,包含于 ,那么集合 叫做集合(的子
集。
我们又看到,集合 的每一个元素都是集合(的元素,我
们就说集合(包含集合 ,包含于(,那么集合是集合(
的子集。
我们仔细观察集合(包含集合 与集合(包含集合 是
有区别的。集合的每一个元素都属于集合(,但集合(有一
个元素不属于集合,从而得出:
· ! · % 数学·信息卷如果集合!的每一个元素都属于集合,但集合至少有一
个元素不属于集合!,那么集合!叫做集合的真子集。记作:!!或!(读作!包含于,包含!) 。例如:
{ 一个班的学生} { 一个班的男学生}
{ 以内自然数}! { 全体自然数}
{ 直角三角形}! { 所有三角形}
一个班的男学生是这个班学生的真子集。
以内自然数是全体自然数的真子集。
直角三角形是所有三角形的真子集。
我们又看到集合 %的每一个元素都属于集合,而集合
的每一个元素也属于集合 %,从而得出:
如果集合!包含集合,且集合包含集合!,则集合!
与相等。即
如果!且! 则!’
由此可见,两个集合是否相等,只要看它们是否由相同的元
素组成,而与元素的排列顺序无关。如:!’ { ,(,)}
{ ),(,}
{ 小于+的自然数}
,’ { -的约数,-除外}!’’’,子集包括真子集与集合相等两种。
每个集合是这个集合本身的子集。空集也是任何一个集合的
子集。!’ { . , , 0 }集合!有1个子集,即: { . }{ }{ 0 }
{ . , }{ . , 0 }{ , 0 }{ . , , 0 }
一个非空集合至少有两个子集,即集合本身和空集。
在小学数学教材中渗透了一些子集思想。例如用韦恩图表示
· ! · 新编十万个为什么 %%%%%%%%%%%% 四边形的关系。
什么叫交集
由集合!和集合的共同元素组成的集合,叫做!与的
交集。写作!!。
例如: { ,,%,, (}! { (, ), (,’ ),’ (}
{ (}
又如:+ { , ,- , . } { . }
+! { . }
当+ +!
当是+的子集时,是+、的交集。
如果集合!和集合(都不是空集) ,没有共同的元素,它
们的交集是空集。! { ,’,} { , ,- , . }!! { } 或!!
我们就说!与是不相交集。
在小学数学教材中渗透了一些交集的思想。例如韦恩图表示
两个数的公约数和公倍数。
什么叫并集
两个集合!、中的元素合在一起组成的新集合,叫做!与
的并集(若!、有共同元素,只列举一次) 。写作!。
例如:! { ,’,} { 0,(,}! { ,’,,0,(,}
又如:+ { , ,- , . } { 1 , 2 , . }
注意:+、的公共元素.只算一次,这与数的加法不同。
· ! · % 数学·信息卷!! { ,% , ,’ , ( }
再如:) { ,,} { ,})! { ,,}
当%) )!)
是)的子集时,)是、)的并集。
从集合的观点来看,加法运算就是求两个不相交集的并集的
基数。例如:
+,-.
两个不相交集的基数都叫做加数,加法的运算符号叫做加
号。加得的结果,即两个集的并集的基数,叫做和。
什么叫差集
两个集合)、,若集合的所有元素属于)但不属于,就叫做)与的补集。写作:)0或) 。
例如:) { 1 2 2以内的自然数}
{ 能被.整除的自然数}
)0 { 1 2 2以内不能被.整除的自然数}
在这里)不包含。
特殊情况,若集合是集合3的子集,把集合3看作全集,那么3与的差集3 0,叫做在3中的补集。写作:。
例如: 3 { 全校的学生}
{ 全校的男生}
{ 全校的女生}
3 00
反过来,。
从集合的观点来看,减法运算是已知两个集合(不相交)的
并集的基数,以及其中一个集合的基数,求另一个集合的基数。
· ! · 新编十万个为什么 也可以看作是求集合!与集合(必须是的子集)的差集的
基数。
什么叫空集
集合可以没有元素。一个元素也没有的集合叫做空集。写
作:!或 { } 。
例如:光华小学通知说: “数学不及格的同学在本星期六下
午补考。 ”五年级一班没有数学不及格的同学,所以“五年级一
班数学不及格同学”这个集合没有元素,它就是一个“空集” 。
又如:没有小于%的自然数,因此小于%的自然数是一个空
集。! { 小于%的自然数} 。
空集和“”的概念不一样,如小学数学第一册教材讲“”
的时候是这样讲的:圈里有’个茶杯,记作“’” ,圈里有%个茶
杯,记作“%” ,圈里%个茶杯也没有,记作“” ,这里的“’” 、“ %” 、“”都指的是元素的个数,也就是基数,“基数为的集
合”叫空集。
空集和只含有一个元素的集合也不一样,只含有一个元素
的集合是单元素集,记作:{ } 。
什么叫等价集合
两个集合、,如果集合里的每个元素,都和集合里
一个唯一的元素对应;反过来,集合里的每个元素,都和集
合里一个唯一的元素对应,我们就说这两个集合的元素是一
一对应的。
两个集合、,如果它们的元素一一对应,两个集合叫做
等价集合。记作:!。例如:左手手指的集合和右手手指的
· ! · 数学·信息卷集合是等价集合。
我们数数就是利用了等价集合的元素一一对应性质。例如:
{ ! ! ! ! ! ! }
{ ! % }
数到最后一个圆圈“” ,就是圆圈这个集合的元素的个数
(这个集合的基数)是。
利用一一对应,可以比较两个集合的元素的个数。例如:
{ !!!} { }
{ }相等 { }比多
对于有限集合,如果两个集合等价,那么它们的元素个数相
等,对于无限集合来说,则不是这样。如:
自然数集合’ { !,,……}
偶数集合’ { ,,……}
很显然,偶数集合是自然数集合的真子集,因此,初看起来
偶数集合里的元素“个数”要比自然数集合少,但是偶数集仍然
可以和自然数集建立一一对应的关系,因而这两个无限集合是等
价的。
由此可见,一个集合能否与它的真子集等价,是区别有限集
合与无限集合的分界线。
什么叫函数
在某一过程中可以取不同数值的量,叫做变量,在这一过程
中保持一定数值的量,叫做常量。表示常量的数叫做常数。
例如:一台抽水机每秒钟抽水 (千克,那么抽水总量)和
时间之间有下面的关系:) ( 。 ,)都可以取不同的数值,都是变量, (千克在抽水过程中保持不变的量。
对于自变量的每一个确定的值,另一个变量都有确定的值和
· ! · 新编十万个为什么 %它对应,这样的变量叫做自变量的函数。
如上例:时间!的值可以在!!的范围内任意选取,对于!的每一个确定的值,抽水总量都有唯一确定的值和它对应。! (小时) % ( ……
(千克) ) % ( ……!是自变量,是!的函数。
如果是!的函数,一般可以记作: + , (! ) 。
自变量的取值范围叫做函数的定义域。
在小学数学教材中渗透函数知识。
+! -((一次函数)
+) ! (正比例函数)
+.!(反比例函数)
+! %(二次函数)
什么叫自然数
我们数物体时,用来表示物体个数的、%、、’、(、)、、0、、 、 ……叫做自然数。
在自然数中,是最小的。任何一个自然数都是由若干“”
组成的。所以,是自然数的单位。如果从起,把自然数按照
后面的一个数比前面的一个多“”的顺序排列起来,就得到一
列数:
、%、、’、(……
这个由全体自然数依次排列成的一列数叫做自然数列。自然
数列有以下性质:
· ! · 数学·信息卷一、自然数列是有始的,!是自然数列最前面的一个数;
二、自然数列是有序的,即自然数列每一个数的后面都有一
个而且只有一个后继数。
三、自然数列是无限的,即自然数列里不存在“最后”的
数。
为什么说“”不是自然数
自然数是表示“有”的符号,是从数物体个数的过程中产生
的,因此,它是对数量的肯定;而在实践中,常常会遇到一个物
体也没有的情况,如房间里一个人也没有,盒子里一支笔也没有
等等, “”是表示“没有”的符号,是对数量的否定。
“”是一个数,但不是自然数,它小于自然数!,也就小于
一切自然数。
“没有”用“”来表示,但是“”不仅仅表示“没有” ,在
特定的条件下, “”还含有特定的内容。
“”既不是正数,也不是负数,它是仅有的一个中性数。
“”是正负数的分界,它对应于数轴上的一点,便决定了其它各
点的位置。从“”点起,在一条直线上的某一方面被定为正,而相反的方向则为负。因此,数轴上原点“”比表示正负数的
任何点都更为重要。
在温度计上, “”度是零上温度和零下温度的分界线。当气
温是“”摄氏度时,我们可以实实在在地感觉到它的存在,因
此,不能说“”度是“没有”温度。
“ ”在记数中可以用来占位。在一个四位数中,千位是,百位、十位、个位上没有数,就要用“”来占位,写成 ,这里的“”既不能随意增添,也不能随意删去,增添了,使原
数扩大若干倍,删去了,使原数缩小若干倍,造成错误。
· ! · 新编十万个为什么 !!!!!!!!!!!! “ !”可以参加运算。任何数与!相加,它的值不变。即:
! ,! 。任何数减!,它的值不变。即: %! 。相
同的两个数相减,差等于!。即: % !。任何数与!相乘,积
等于!。即:!!,!!。!被非零的数除,商等于!。
即: !!,!’ !。
“!”是一个偶数,因为它能被(整除; “!”是任意自然数的
倍数; “!”不能作除数,因为它作除数是无意义的,或是商不存
在的,或是得不到确定的商; “!”可以作为刻度的起点; “!”的
相反数还是!; “!”没有倒数; “!”和自然数都是整数。
随着数学知识的不断扩充,对“!”的认识也将更加全面。
如引入绝对值的概念之后, “!”的绝对值等于!,即: ! !;
引入指数的概念之后,任何非零的数的!次幂等于),即:!!, !)……
为什么要建立进位制
人类早期,为了数猎物、果实等物体的需要,逐渐产生了
数。人的手指是最早的计数工具。随着生产力的不断发展,人们
在实践中接触的数目越来越多,也越来越大,因而需要给所有自
然数命名。但是自然数有无限多个,如果对于每一个自然数都给
一个独立的名称,不仅不方便,而且也不可能,因而产生了用不
太多的数字符号来表示任意自然数的要求,于是,在产生记数符
号的过程中,逐渐形成了不同的进位制度。可能由于人们常用十
个手指来计数的缘故,多数民族都采用了“满十进一”的十进
制。
按照十进制计数法,我国是这样给自然数命名的。自然数列
的前九个数各给以单独的名称,即:一、二、三、四、五、六、七、八、九;按照“满十进一”规定计数单位。 ) !个一叫做十,· ! ! · 数学·信息卷! 个十叫做百,! 个百叫做千,! 个千叫做万,! 个万叫做十
万,! 个十万叫做百万,! 个百万叫做千万,! 个千万叫做万
万,再给以新的名称叫做亿,亿以上又有十亿,百亿,千亿等
等。这样,每四个计数单位组成一级,个、十、百、千级称为个
级,万、十万、百万、千万称为万级,亿、十亿、百亿、千亿称
为亿级等等。
其他自然数的命名,都由前九个数和计数单位组合而成。例
如,一个数含有个千、个百、%个十、个一,就称作三千
四百五十六。并且规定,除个级外,每一级的级名只在这一级的
末尾给出。例如,一个数含有%个百万,’个十万,个万,就
称作五百二十六万。
世界上许多国家的命数法不是四位一级,而是三位一级,!
个千不给新的名称,就叫十千,到千千才给新的名称— — —密(译
音) ,这样从低到高,依次是:个、十、百(是个级) ;千、十
千、百千(是千级) ;密、十密、百密(是密级)等。
为什么有了十进
位制,还要有二进位制
用十进位制来记数和运算,是大家都很习惯和熟悉的事。十
进位制采用“满十进一”的“十进”计数、读数、写数的方法,即相邻的两个单位间的进率是十,有十个记数符号:、!、’、、、%、、(、)、,把它们写在不同的数位上,数字所代表
的数值就不同。所以,用十个数字与位置相结合,就可以写出一
切自然数,是世界各个国家通常使用的一种进位制。
为什么有了十进位制以后,还要有二进位制呢?二进位制是
什么样的,它有什么特别呢?
二进位制是“满二进一” ,写一个二进位制的数只有和!
· ! · 新编十万个为什么 !!!!!!!!!!!! 两个数字,根据位值原则, “一”至“十”各数的写法如下:
一记作!, 二记作! ,三记作! !, 四记作! ,五记作! !, 六记作! ! ,七记作! ! !, 八记作! ,九记作! !, 十记作! ! ,用和!这两个数字,也可以写出任何数值的数来。
由于二进位制只有两个基本数和!,这就优于十个数字的
十进位制,只要找到有两种稳定状态的元件,就可以用来表示二
进位制的数了,在自然界中具有两种稳定状态的元件是很多的,如开关的“开”和“关” ,纸带有“有孔”和“无孔” 。只需“通
电”和“断电”两种信号来表示和!,所以,二进位制被广泛
应用于电子计算机中。
采用二进位制还能使计算简单化。如果用二进位制做加法,对每一位来说只可能有种情况:%,!%!,!%!,!!%! 。而十进位制做加法,情况就要复杂得多,,!,,……!,!!,…,!,,……’,’
!,’,……(,(!,……((等! 种情况。做减
法、乘法、除法也同样是二进位制只有几种情况,十进位制有近
百种情况。在四则运算中,满足四种情况自然优于满足一百种情
况,由于算法简单,也就使电子计算机的运算器结构简单一些。
因此,二进位制的产生,是因为它具有一定的有利条件和适
应现代化建设的需要。
十进位制和二进位制是两种不同的进位制。平时,人们习惯
使用的是十进位制的数,而电子计算机运算是用二进位制的数,当电子计算机运算后得到二进位制的数以后,人们仍将用十进位
制数把它表示出来,所以,两种不同的进位制之间是可以进行换
算的,关于这个问题,以后有机会我们再作介绍,你不妨自己试
· ! · ! 数学·信息卷着先研究研究。实际上,电子计算机里也配备有将两种进位制进
行换算的程序,这是人类智慧的结晶。
什么是二进数和八进数
用几进制写出的数,我们就简称它是几进数,用十进数写出
的数,就叫做十进数。二进数和八进数,就是分别用二进制、八
进制写出的数。
在一种进位制中,某一单位满一定个数就组成一个相邻较高
的单位,这个一定的个数就叫做这种进位制的底数。例如,十进
制的底数是! ,八进制的底数是,二进制的底数是。进位制
的底数是!以外的任何自然数。
每一种进位制都可以按照位值原则来记数。由于每种进位制
底数不同,所用数字个数也不同。十进制要用包括在内的十个
数字;八进制要用包括在内的八个数字,即!,,%,,’,(,)和;二进制只用!和两个数字。由于二进制只有两个数
字,决定了它的运算法则比较简单,并且由于!和可以与开和
关,有孔和无孔等建立对应,所以二进制广泛应用于电子计算机
中。但是,用二进制记数位数比较多,使用很不方便,因此,在
编制计算机的解题程序和在控制台的实际工作中,在二进制的基
础上,有的采用八进制。
为了标明是哪个进位制中的数,一般在数的右下角注出进位
制的底数。十进数除特殊需要以外,一般不注出底数。
用二进制记数的原则是“满二进一” ,例如,零写作 ,一写作(!) ,二写作(! ) ,三写作(! !) ,四写作(! ) ,五写作(! !) ,六写作(! ! ) ,七写作(! ! !) ,八写作
(! ) 。
因为二进制是满二进一,所以二进数的各个数位上的计数单
· ! · 新编十万个为什么 !!!!!!!!!!!! 位是:从右边起,第一位是一(! ) ,第二位是二 ,第三位
是四(! !) ,第四位是八(! ) ,第五位上是十六(! %)……
用八进制记数的原则是“满八进一” ,例如八写作( ) ,九写作( ) ,六十四写作( ) 。
因为八进制是满八进一,所以,八进数的各个数位上的计数
单位是:从右边起,第一位是一( ) ,第二位是八( ) ,第三
位是六十四( !) ,第四位是五百一十二( )……
十进数和二进数怎样互相换算
要把一个十进数化成二进数,根据满二进一的原则,用底数!去除这个十进数,所得的余数是二进数的第一位数;第二次用!去除第一次除得的商,所得的余数是二进数的第二位数;第三
次是用!去除第二次除得的商,所得的余数是二进数的第三位数……继续除下去,直到商余为止,最后所得的余数就是二进
数最左边的一位上的数。
例如,把’ (化成二进数。
! (……(余数是二进数的第一位数)
! (……(余数是二进数的第二位数)
!(……(余数是二进数的第三位数)
!%……(余数是二进数的第四位数)
%)!!……(余数是二进数的第五位数)!)!……(余数是二进数的第六位数)
)!……(余数是二进数的第七位数)
按简头顺序写,就得:
(( ) !
要把一个二进数化成十进数,先将二进数写成底数!的幂的
和的形式,再按照十进数的计算法则算出结果,就是这个二进数
· ! · ! 数学·信息卷化成的十进数。
例如,把(! ! ! !) 化成十进数。
( ! ! ! !) !%!% (’% )’%!%% !
!% )’’’)’’!! !
十进数和八进数怎样互相换算
要把一个十进数化成八进数,根据满八进一的原则,用底数
+去除这个十进数,所得的余数是八进数的第一位数;第二次用
+去除第一次除得的商,所得的余数是八进数的第二位数;第三
次用+去除第二次除得的商,所得的余数是八进数的第三位数……继续除下去,直到商为止,最后所得的余数就是八进数最
左边的一位上的数。
例如,把) !化成八进数。) !(, ! +
要把一个八进数化成十进数,先将八进数写成底数+的幂的
和的形式,再按照十进数的计算法则算出结果,就是这个八进数
化成的十进数。
例如, ( +%+%+ !’(%+ !
为什么时间和角
度的单位采用六十进位制
时间的基本单位是“小时” ,角度的基本单位是“度” 。从表
面看来,两者之间没有什么关系,可是,为什么它们都分成分、秒等名称相同的低级单位呢?为什么又都采用六十进位制呢?我
们仔细研究一下,就可以发现,这两种量之间有着密切的联系。
我们的祖先在研究天文和历法的时候,观察地球自转的角度是和
· ! · 新编十万个为什么 !!!!!!!!!!!! 时间紧密联系在一起的。因为历法需要较高的精确度,时间单位
“小时”和角度单位“度”都嫌太大,必须进一步研究它们的低
级单位。
因为! 有 个约数,它能使
、
%、
、
、!……都能
成为它的整倍数。以! 作单位,那么
(% ! ,即% 个! ;
%(
! ,即 个! ;
(! ,即个! ;
( ! ,即 个! ;!
( ! ,即 个! ……等,说明六十进位制有它的好处。数学上
习惯地把小时的! 和度的! 的单位称作分,用符号“ ) ”
来表示;把分的! 的单位称作秒,用符号“ ”来表示。如
果是’分% 秒,可以记作’ ) % ; +度分 %秒,可以记作
+ , ) % 。
在体育比赛中,往往用到比“秒”还要精确的时间来说明比
赛的成绩,如男子一百米短跑的世界记录是- - ,表示:九又
百分之九十秒。
什么是小九九
小九九是乘法口诀中的一种。乘法口诀(也叫“九九歌” )
在我国很早就已产生。远在春秋战国时代,九九歌诀就已经广泛
地被人们利用。在当时的许多著作中,已见引用部分的乘法口
诀。完全的乘法口诀,最早见于《孙子算经》 ,从“九九八十一”
起到“一一如一”止共句口诀。敦煌发现的古“九九术残木
简”上也是从“九九八十一”开始的。 “九九”之名就是取口诀
开头的两个字。大约在宋朝(公元 、 %世纪)九九歌的顺序
· ! · ! 数学·信息卷才变成和现代用的一样,即从“一一如一”起到“九九八十一”
止。元代朱世杰著《算学启蒙》一书所载的! 句口诀,就是从
“一一”到“九九” ,并称为九数法。
由于我国语言都是单音节,九九口诀非常简捷方便,是我国
特有的提高乘、除计算能力的一种方法。
现在用的乘法口诀有两种,一种是! 句的,通常称为小九
九,还有一种是 句的,通常称为大九九。
什么叫整除
整数%除以整数(!’) ,除得的商正好是整数而没有余
数,我们就说%能被整除,记作% ( ,或者说整除% ,记作
% 。
判定一个整数能不能被另一个不为零的整数整除,只要进行
除法运算,如果所得的余数是’,就是整除的情况;如果所得的
余数不是’,就是不能整除的情况。如果%不能被整除,或者
说不能整除% ,记作 % 。
例如,)能整除 +,)不能整数 ,记作) +,) 。
应该注意,整除的概念是在整数范围内讨论的,只有当被除
数、除数和商都是整数(除数不能是零)时,才能叫做整除。引
进小数后,出现了),-! . ,+ . ,- . , . ,’ . - 0的
情况,只能说被除数能被除数除尽,而不能说整除。因此,整除
和除尽是两个完全不同的概念,应当严格区分。数%能被数整
数,数%必然能被数除尽,如果数%能被数除尽,数%不见
得能被数整除。因此,整除是除尽情况的特例。
· ! · 新编十万个为什么 %整除有哪些性质
性质! 如果甲数整除乙数,而乙数整除丙数,那么甲数必
整除丙数。这一性质称为传递性,可以表示为:
如果 ! , ! ,那么 ! 。
例如:% ! , ! !,那么% ! !。
性质% 如果两个数都能被一个数整除,那么它们的和或差
也能被这个数整除。这一性质称为“和、差整除性质” ,可以表
示为:
如果 ! !, ! %,那么 !( !( %)
例如:) ! ,) ! + ,,那么) !( (+ ,) ,即) ! ! -,) ! !。
注意:对于差的情况,小学数学中要求. !. %-,待引入
负数后,这一限制可以去掉。
性质 如果两个整数. !、. % 中,有一个能被整除,而
另一个不能被整除,那么它们的和(或差)一定不能被整
除。
例如: ! % 0, ! -。
而 % 01! -2 0 % 0! -2! 0
那么 0, ! 0
性质+ 如果一个整数能被一个自然数整除,那么这个整数
与另一整数的积也能被这一自然数整除。这一性质简称为“积的
整除性质” ,可以表示为:
如果 ! ,3为整数,那么 ! 3 。
例如:! ) ! ,0 24%
那么 , ! ) ! 0 。
由此还可以得出:如果一个自然数能整除几个整数中间的某
一个,那么,它必能整除它们的积。
· ! · %%%%%%%%%%%%% 数学·信息卷例如:因为! !
所以! ! %!
怎样判别能被或(、)或 (、’或! (整除的数
一个数能被(或整除的特征:一个数的末一位数能被
(或整除,这个数就能被(或整除。否则不能被
(或整除。
例如:判断% ! )、 能否被、(整除。
因为% ! )的末位数是)能被整除,不能被(整除,所以
% ! )…,% ! )不能被(整除。
因为 的末位数是能被、(整除,所以 …, …(。
我们知道,任何一个自然数,都可以表示成! 的幂的和的
形式。例如:
% ! )+%! ,!! ,! ,)
把这个等式改写成:
% ! )+(%! ,!! !,)! ,)
这个等式的右边是两部分数的和,其中第一个加数中有因数! ,! 能被或(整除,根据数的整除性质),第一个加数一定
能被或(整除。又根据数的整除性质,决定% ! )能否被或
(整除是第二个加数)(也就是这个数的末位数)能否被或(
整除。
一个能被)或 (整除的数的特征是:这个数的末两位数能
被)或 (整除。
例如:判断% ! 、! % (能否被)、 (整除。
因为% ! 的末两位数 能被)整除,不能被 (整除,所
· ! · 新编十万个为什么 以! …%,! 不能被 整除。
因为 ! 的末两位数! 不能被%整除,能被 整除,所
以 ! 不能被%整除, ! … 。
同样道理 ! +’) +!)
()) +!
这个等式右边的第一个加数中有因数 , 能被%或
整除,第一个加数一定能被%或 整除。决定 ! 能否被%或
整除是第二个加数! (也就是这个数的末两位数)能否被%
或 整除。
一个能被’或 整除的数的特征是:这个数的末三位数能
否’或 整除。
例如:判断, 、! ! 能不能被’、 整除。
- ! .’ ! , ;- . , ;-’ ! .’ ! ! ;- ! . ! ! 。
此特征的理由请读者自己想一想。
怎样判别能被或整除的数
能被或整除的数的特征是:这个数的各个数位上的数的
和能被或整除。
例如:判断 ! ,、 ! %能不能被、整除。
-+!++,(, ! , ! ,. ! ! ,, ! ! ,。
-+!++%( , , ! ,. ! %, ! ! %。
我们把 ! ,分解为:
! ,( ! ,( )+ )!+ )+,(( +))+( )))!+(+))+,( )++ )!+!+)++,· ! · 数学·信息卷! %%’(!( %(%’)
这个等式右边的第一个加数中有因数,能被或(整除,因此第一个加数一定能被或(整除。决定% ( )能否被或(
整除是第二个加数%’的和(也就是这个数各个数位上
的数的和)能否被或(整除。
怎样判别能被
、 、 (整除的数
能被’、 、 (整除的数的特征是:这个数的末三位数和末
三位以前的数字所组成的数之差(用两数中较大的数减较小的)
能被’、 或 (整除。
例如:判断 % + (、 + + , % 能不能被’、 、 (整除。
% + (的末三位数是:% + (
末三位数以前的数字所组成的数是:
% + (- ! + ,.’ ! + , + , ( + ,’ ! % + ( % + ( ( % + (
+ + , % 的末三位数是: %
末三位数以前的数字所组成的数是: + + , + + ,- % !’
! ! (
.’ ! + + , % ! + + , %
( + + , %
此特征的理由是:
% + (! + + +% + (! + + (% + (- )
· ! ! · 新编十万个为什么 因为! !%! !%! ,’ (%! !也能被、! !和! 整除就
要看第二个加数) (的差(即这个数末三位数与末三位数以
前的数字组成的数之差)能被、! !或! 整除。
能被! !整除的数的特征:一个数的偶数位上的数之和与奇
数位上数之和的差(大的数作被减数)能被! !整除,这个数就
能被! !整除。
例如:判断+ ) , ) !能否被! !整除。
-(+..).!)(.,.))! ! ! ! ! ! + ) , ) !
怎样判别能被! )、! +、! ,、! (、) !整除的数
一个数既能被整除,又能被+整除(和+是互质数) ,这个数一定能被! )整除。
例如:判断+ , )、 + ! +能否被! )整除。
- ! + , ) + ! + , ) ! ) ! + , )
- ! + ! + + + ! + ! ) + ! +
一个数既能被)整除,又能被整除和是互质数) ,这个
数一定能被! +整除。
例如:判断’ ( 、 + ) , )能否被! +整除。
- ! ( ) ( ! + (
- ! + ) , ) ) ! + ) , )
! + ! + ) , )
一个数既能被整除,又能被,整除(和,是互质数) ,这个
数一定能被! ,整除。
例如:判断 0 ,、+ ) ! 能否被! ,整除。
- ! 0 , , ! 0 , ! , ! 0 ,· ! · 数学·信息卷! ! % % (% ! %
一个数既能被整除,又能被)整除(和)是互质数) ,这个
数一定能被% 整除。
例如:判断 + 、’ % 能否被% 整除。! + ) + (% + ! % ) ! % (% ! %
一个数既能被整除,又能被+整除(和+是互质数) ,这个
数一定能被 %整除。! % % + % % ( % % % ! + , + ! + , ( % ! % + ,
为什么约数和倍数是“双胞胎”
- 、.是任意两个整数,其中.。如果-能被.整除,那
么-叫做.的倍数,.叫做-的约数(也叫因数) ;如果-不能被
自然数.整除,那么,-不是.的倍数,或得说.不是-的约数。
例如0,是的倍数,是的约数。因为 ! +,所以+
不是的倍数,不是+的约数。
约数和倍数表明的是两个数之间的关系,所以是互相依存的
“双胞胎” 。% 0,只能说:“% 是的倍数,是% 的约
数。 ”而不能说: “% 是倍数” ,因为% 是的倍数,% 却不是
的倍数。也不能说: “是约数” ,因为是% 的约数,却不
是% 的约数。
怎样确定一个大
于%的整数有多少个约数
在数学竞赛中,经常出现一个数有多少个约数的题目。怎样
· ! · 新编十万个为什么 %很快确定它们约数的个数呢?我们先来讨论! 共有几个约数?
如果我们把! 的约数一个不落地写出来,再数一数,是能找到
答案的。为达到这个目的,先将! 分解质因数,! %%’
’% %’,下面把! 的约数从小到大写出来,依次为!、%、’、(、)、、! %、! 、% +、’ )、, (、! ,共! %个。这! %个
约数还可用下面数阵的形式列出。! %
% %’ %’ % %’
% % % %’ % %’ % % %’
这个数阵的规律是先将只有%的约数写成一竖列,把只含有
的约数写成一横行,然后把竖列、横行中的一些数的积写在相
应的位置上,这样得到的数阵包含了原数的所有的约数。
在上面的数阵中,每列有’个约数,有(列’(! %,所
以一共有! %个约数。但当数较大时,这样做很麻烦,有没有别
的好方法呢?我们观察等式! % %’,如果把式子中的指数
%与’分别加!,得’和(,而’(正好是! %,与! 约数个数
相同。
因此,一个大于!的整数的约数的个数,等于它的质因数分
解式中每个质因数的指数加!的连乘积。又如( , 有多少个约
数?
因为( , %’ %, (
而(’-!)(%-!)((-!)) ,所以( , 有)
个约数。
· ! · ! 数学·信息卷什么叫“筛法”
“筛法”是一种求质数的方法。是公元前! 年左右由古希
腊著名数学家埃拉托色尼提出的,所以,也叫埃拉托色尼筛法。
埃拉托色尼把自然数、、!、%……写在一块涂了一层白
蜡的板上,将去掉数的地方用工具刺成小孔,很像一个筛子。因
为用它把有的合数都筛掉,留下的都是质数,所以,人们把这种
求质数的方法叫做“筛法” 。
筛法的根据是:对于一个正整数,如果不能被小于或等于
的任何一个正整数所整除,那么这个数必定是质数。
具体的做法是: (以 以内的质数的筛选为例)先把到
这一百个数依次排列(如下表) 。
! % ( ) +
! % ( ) +
… …
不是质数也不是合数,先划去或圈上。!,,!,%,’,(,),,+, , , ……
留下,把后面所有的倍数都划去,凡是的倍数都是
偶数,也就是把后面的所有偶数划去;!,,!,% !,’,( !,), !,+, !, , !, !, % !……
留下!,把!后面所有!的倍数都划去;!, ,!,%,’,( !,),,+ !, , , !, !, %, !, (……
留下’,把’后面的所有’的倍数都划去,也就是把’后面
· ! · 新编十万个为什么 所有个位是!和的数都划去;!,,,%,,,’,(,), ! !, , , , %, !, ……
留下’,把’后面所有’的倍数都划去;
如此继续做下去,一直筛到 ! !以内的合数全部划尽。
下面的表就是筛去了全部合数后,得到的 ! !以内的质数。! % ! ! ( ! ) ! ! !
! % ! ! ! ( ! ) ! ! !
! ! % ! ! ! ! ( ! ) ! !
! ! % ! ! ! ( ! ) ! % ! !
% % ! % % % ! % ! % ! % % ( ! % ) ! ! !
! ! % ! ! ! ! ( ! ) ! !
! ! % ! ! ! ( ! ) ! ! !
! ! % ! ! ! ! ( ! ) ! ( ! !
( ! ( ! ( ! ( % ! ( ! ( ! ( ( ( ! ( ) ) ! !) ! ) ! ) ! ) % ! ) ! ) ! ) ! ) ( ! ) ) ! ! ! !
! !以内质数有:,,,’, , ,, ), , ), , ,% ,% ,%, , ), ,,’ ,’ ,’ ),( ,( ),)共 个。
· ! · 数学·信息卷为什么“首同末合十” “末同
首合十”的两个两位数相乘可以速算
两个两位数相乘,它们的十位数相同,个位数的和是! ,称作“首同末合十” ,如 % ,’ (%’ ,) %)等。
两个两位数相乘,它们的个位数相同,十位数的和是! ,称作“末同首合十” ,如 %( ,’ (% (,) %) 等。
“首同末合十” “末同首合十”的两个两位数相乘可以不用笔
算,掌握了速算方法 ,便可以迅速口算出相乘的积来。
“首同末合十”的速算方法是:先用十位数乘以比它多!的
数,所得结果作为积的前两位数,两个个位数相乘作为积的后两
位数。
如 % +%(,!)%! ,%
+’ ,’ !
+’ !
(%’ +’%(’,!)%! ,(%
+( ,’ +( ) %)+)%,!)%! ,%’
+ ,! (+ ! (
“末同首合十”的速算方法是:先用十位数相乘的积加上一
个个位数,所得的结果作为积的前两位数,个位数的平方作为积
的后两位数,如果个位数平方不满十,积的十位上用“”占位。
如 %( +(%(,)%! ,
+’ ,-
+’ -
(% (+(’%,%! ,(
+’ , (
· ! · 新编十万个为什么 !!!!!!!!!!!! !
%% !(%’%’) ( ! ( +! +
那么速算方法的根据又是什么呢?
“首同末合十”是这样推导出来的:
设两个两位数的十位数是, ,个位数分别是-和. ,而且- (
. !) ,这两个两位数相乘,可以写成:
, (- ) , ( . )!) , , - , . (- .!) , , (- ( . )(- .!) , , (- .!, (, )’) (- .
, (, )’) (- .表示用十位数乘以比它多)的数,再乘
以) ,得到相乘的积有多少个百,再加上个位数的积,便是这
两个两位数相乘的结果。
“末同首合十”是这样推导出来的:
设两个两位数的个位数都是. ,十位数分别是,和- ,而且,(- !) 。这两个两位数相乘可以写成:
, ( . ) - ( . )!) , - , . - . ( . !) , - . (, (- )( . !) , - . ( . !(, - ( . )’) ( .
( , - ( . )’) ( . 表示用十位数相乘的积加上一个个位数,所得结果乘以) ,便是相乘的积有多少个百,再加上个位数的
平方,就是这两个两位数相乘的结果。
· ! · ! 数学·信息卷为什么小数点对齐才能相加减
在计算加、减法时,都要相同计数单位才能相加减。在整数
中,从右边起,第一位是个位,第二位是十位,第三位是百位……因此,在计算整数加减法的竖式中,只要末位对齐,相同数
位就对齐了,相同计数单位也就能相加减了。在小数中,小数点
的左边是整数部分,第一位是个位,第二位是十位,第三位是百
位……,小数点右边是小数部分,第一位是十分位,第二位是百
分位,第三位是千分位……在计算小数加、减法的竖式中,只要
小数点对齐,相同数位就对齐了,相同计数单位也就同样能相加
减了,而不必考虑小数的末位是不是一定对齐,因为相加减的两
个小数,小数的位数不一定相同,如! % ! (第一个加数两
位小数,末位是百分位,第二个加数是三位小数,末位是千分
位,如果末位对齐,个百分之一和(个千分之一怎么能相加
呢?因此在小数加减中,小数点对齐才能相加减。
为什么小数相乘
不需要对齐小数点
小数乘法是利用因数变化引起积的变化规律进行计算的。如
) ,先转化成整数乘法 ) ,第一个因数扩大 + +
倍,第二个因数扩大 +倍,积扩大 + + +倍。 ) ,! ( 要
求 )乘以 的积就要把 )乘以 的积! ( 缩小 + + +倍
即! ( ,积! ( 的小数位数正好是两个因数 )和 小
数位数之和。
因此计算小数乘法,先按照整数乘法的法则算出积,再看因
数中一共有几位小数,就从积的右边起数出几位,点上小数点。
· ! · 新编十万个为什么 !!!!!!!!!!!! 在相乘过程中不需要对齐小数点。
为什么除数是小数的除法
要把除数转化成整数后再除
除数是小数的除法,不容易直接看出商几,要根据被除数和
除数扩大同数倍,商不变的性质,先移动除数的小数点,使它变
成整数;除数的小数点向右移动几位,被除数的小数点也向右移
动几位(位数不够的,在被除数的末尾用“ !”补足) ;然后按照
除数是整数的除法进行计算。如 %’ %’ +。
如果利用商不变性质,把被除数变成整数,如 %’ %
( !) +在被除数的小数位数比除数多时,是可以的,但扩
大同数倍后数目比较大,算起来比较麻烦。被除数的小数位数比
除数少,就不容易直接看出商几了,如 %! %’ (。
因此除数是小数的除法要把除数转化成整数后再除。
为什么“!”不能作除数
在四则计算中,减法是加法的逆运算,除法是乘法的逆运
算。
为什么不能用“!”作除数?我们可以分两种情况加以说明。
一种情况是:当除数是“!” ,而被除数不是“!” ,如,!,’ (!, ( !!等。那就是要求出与“!”相乘的积不等于“!”
的“商”来,!-?),,!-?)’ (,!-?) ( !。因为,任何
数与“!”相乘的积都是“!” ,所以,在这种情况下,商是不存
在的,除法计算没有结果。
另一种情况是:当除数是“!” ,而且被除数也是“!” ,如!
!。那就是要求出与“!”相乘的积等于“!”的“商”来,!
· ! · ! 数学·信息卷!?。因为,任何数与“”相乘的积都是“” ,所以,在这
种情况下,不能得到一个确定的商,商可以是任何数,即商有无
限多个。
我们知道,规定一种运算,它的运算结果必须是存在的,而
且应该是唯一确定的。但是,当除数为“”时,被除数不是
“” ,商是不存在的;当除数为“”时,被除数也是“” ,商得
不到一个确定的数。因此,必须明确规定“”不能作除数。
因为有了“”不能作除数这条规定以后,在除法的基本性
质中,被除数和除数同时乘以或除以相同的数(零除外) ,商不
变。在分数的基本性质中,一个分数的分子和分母同时乘以或除
以相同的数(零除外) ,分数的大小不变。在比的基本性质中,比的前项和后项同时乘以或者同时除以相同的数(零除外) ,比
值不变。 “零除外”这三个字在完整表述除法、分数、比的基本
性质时不能丢。
由此说明,在除法里, “”不能作除数;对于分数来说,就
是分母不能是“” ;对于比来说,就是比的后项不能是“” 。
当然,应该强调的是,除法中的除数、分数中的分母、比的
后项这三者不是一回事。 “比” 、 “分数”和“除法”之间尽管有
着上述的一些联系,但它们毕竟是三个不同的概念。 “比”是指
两个数(或量)的倍数关系, “分数”是一个数, “除法”是一种
运算。
总之, “”不能作除数的这一规定是有根据的,也是十分重
要的,希望大家在理解的基础上能正确地进行应用。
求积的近似值和
商的近似值有什么不同
求积的近似值时,先按小数乘以一般计算方法得出完整的
· ! · 新编十万个为什么 !!!!!!!!!!!! 积,再按要求用四舍五入法求出积的近似值。如! % !
( ) ! (保留两位小数) 。
求商的近似值,只要除到比要求保留小数位数多一位,根据
这一位用四舍五入法求出商的近似值。如 ) +,( )! ! )(保
留两位小数) 。
为什么两数相除(除数不
为零)不会得到无限不循环小数
在两数相除时,因为余数重复出现,所以商就会重复出现,是一个循环小数。如,) - +, 在这个除法里,因为余数重复
出现(和-,所以商就会重复出现和’。因此,) - +, .) ( ……
在有余数除法中,余数一定要比除数小,比如除数是 ,余数可能是、、(、!、)、+、’、-、、 ,因此在相除过程
中,余数一定会有重复出现的情况,所以商一定不会得到无限不
循环小数。商一定是无限循环小数或者是有限小数。
怎样把循环小数化为分数
因为
. …….
·
. …….
· ·
. …….
·
·
所以纯循环小数
·
、
· ·
、
·
·……化成分数分别是
、
、
……
· ! ! · 数学·信息卷纯循环小数分数:
例如,把!
·
、! %
· ·
化成分数。
方法:!
·
! ……
! ……(
!
·
(’)(’)
! %
· ·
! % %……
! !
· ·
! % %……
! !
· ·
( %
) )( %’ %) )
方法:!
·
( !’ ……!
·
(’! ……
!
·
+!
·
)! %
· ·
( ! !’ % % %……! %
· ·
(’! % %……
! %
· ·
)’ %
,! %
· ·
%) )
从上面的例题可以得出:
纯循环小数可以化成一个分数,这个分数的分子就是一个循
环节里的数字所组成的数,分母的各位数字都是),)的个数和
一个循环节的位数相同。
混循环小数化分数:
· ! · 新编十万个为什么 !!!!!!!!!!!! 例如:把!
·
、! %
·!
·
化成分数。
方法’:!
·
(! ……
(! )! ! ……
(! )! ……’
!
(
!)
!
(
!)
!()
!
(’ !+)
!
( +
! ( %
!! % !
·
·
(! % ! ! ……
(! %)! ! ! ! ! ……
(! %)! ! ! ……’
!
(%
!)
!
(%
!)
!
(% )
!
(%’ ! !+%)
!
(% ! +%
! (% ! , !
(’
- -
方法.:!
·
! !( ……(’)!
·
!( ……(.)
· ! · ! 数学·信息卷(!)得 %
·
+
, %
·
) +)
% +
·)
·
(! ) % ) ) )……(!)
% +
·)
·
(! % ) ) )……
得: % +
·)
·
) -
. % +
·)
·
)+) ) -) ) !
从上面例题可以得出:
混循环小数可以化成一个分数,这个分数的分子就是小数点
右边的第一个数字到第一个循环节末位的数字所组成的数,减去
不循环数字所组成的数,所得的差。分数的分母是数字)后面带
数字所组成的数,其中)的个数等于循环节的位数,的个数
等于不循环部分的位数。
无限小数、无限循
环小数和!有什么区别
在小数除法中,有时能够除尽,也就是说,得到的商的小数
位数是有限的,例如! % -0 % + % ;有时也遇到除不尽的情
况。例如,计算! 0+在这个除法里,因为余数重复出现!,所
以商就重复出现+,总也除不尽。因此! 0+ % + + +……这样除
得的商的位数是无限的,而且也是按照十进位制的位值原则写成
的数,这样的数也叫做小数。
小数部分的位数是有限的小数,叫做有限小数。小数部分的
位数是无限的小数,叫做无限小数。无限小数有两种情况:一种
是循环小数,一种是无限不循环小数,也叫无理数。
· ! · 新编十万个为什么 !!!!!!!!!!!! 一个小数,从小数部分的某一位起,一个数字或者几个数字
不断地重复出现,这样的小数叫做循环小数。循环小数的小数部
分中,依次不断重复出现的数字叫做循环节。
例如,! ……是循环小数,是它的一个循环节;
% ……是循环小数, 是它的一个循环节;
为了书写方便,一个循环小数只写出不循环部分和第一个循
环节,并在这个循环节的最左和最右的数字上面各记一个点,这
个点叫做循环点。例如:! ……记作!
·; % ……记作
%
· ·。
循环节从小数点后的第一位就开始的循环小数,叫做纯循环
小数。小数点后面有一位或几位数字不循环的循环小数,叫做混
循环小数。例如,!
·
,
· ·
,’ %
·
(
·
都是纯循环小数; %
· ·
,! ! )
· ·
都是混循环小数。! (圆周率)是一个无限不循环小数,到% 年已有人利用
巨型电子计算机把!的值算到小数点以后的+ ) 亿位。
什么是准确数和近似数
人们在计数和计算过程中,有时得到的是与实际数值完全符
合的数,这种数叫做准确数。例如一班有学生 )人,’,(-,这里的“ )” 、 “”都是准确数。有时得到的是与实际数值大体
符合,比较接近真实数值的数,这样的数叫做近似数。例如我们
在测量物体的长度、重量时,由于测量工具的限制,必然会产生
误差,所得的结果都是近似数。例如用最小刻度“厘米”的尺去
量课桌面的长,知道它的长不足+ (厘米;用最小刻度“毫米”
· ! · ! 数学·信息卷的尺去量课桌面的长,知道它的长不足! 毫米。这里的“! ” 、“! ”都是近似数。
我们对大的数目在进行统计时,一般也只需要用它的近似数
来表示。例如平常说一个城市有! %万人,一个钢铁厂去年产钢
%万吨。这里的“! %万” 、 “ %万”都是近似数。
我们在进行计算时也常常遇到近似数。例如:’!% (,)!% ( ! ) +,这里的“% (” 、 “% ( ! ) +”都是近似数。
求近似数的方法,一般有以下三种。
四舍五入法。这是最常用的求近似数的方法。用这种方法求
一个数的近似数,主要是看它省略的尾数最高位上的数是小于
“!”的,就把尾数舍去(称为四舍) ,这样得到的近似值叫不足
近似值;如果省略的尾数最高位上的数大于或等于“!” ,把尾数
略去后,要向前一位进一(称为五入) ,这样得到的近似值叫过
剩近似值。例如),’ ( + ! )……用四舍五入法保留两位小
数得 )!’ ( +(四舍) ,用四舍五入法保留三位小数得 )!’ ( +(五入) 。
进一法。在解决实际问题中,有时把一个数的尾数省略后,不管尾数最高位上的数是几,都要向前一位进。例如把+ % %千
克粮食装进麻袋,如果每条麻袋最多装) !千克,至少需要多少
条麻袋?+ % %) !,! (……就是说:+ % %千克粮食装!条麻装
后,还剩 !千克,这 !千克还需要一条麻袋,所以一共需要-
条麻袋。即+ % %) !,! (……!-(条) 。
去尾法。在解决实际问题中,有时把一个数的尾数省略后,不管尾数最高位上的数得几,都不需要向它的前一位进。例
如,每条床单需要 ( 米布,有- %米布,可以做多少条床单?
- % ( , ( ! ) + ……或- % ( 商 余 ( ,这说明- %米
布做了 条床单后,还剩下 ( 米,这余下的 ( 米不够做一
条床单,所以只能做 条,这时要用去尾法。就是:- % ( ,· ! · 新编十万个为什么 ! % ! ……!! (条) 。
什么叫有效数字
一个近似数,如果准确数与近似数的差不超过它最末一位的
半个单位,那么,从左边第一个不是零的数字起,到右边取得的
最后一个数字止,所有的数字都叫做这个近似数的有效数字。例
如,近似数 有两个有效数字和’;近似数 (有三个有
效数字,即、’、(。
当一个近似数是整十、整百、整千……的数时,通常写成)
( + (,+是整数的形式) 。这样根据有效数字就可以
确定近似数的精确度。例如,用四舍五入法把! ( ( 分别
精确到个位:! ( ( !! ( (,! ( ( ( -(表示有’个有效
数字)
精确到十位:! ( ( !! ( (,! ( ( -(表示有-个有效
数字)
精确到百位:! ( ( !! ( (,! ( -(表示有!个有效数
字)
为什么( 和( (
有时相等有时又不等
当( 和( (是准确数时,在小数末尾添上或去掉(,小
数的大小不变。如铅笔单价( 元,( 元表示角;铅笔单价
( (元,( (元也表示角,所以( 和( (相等。
当( 和( (是近似数时,它们就不相等了。因为近似数
( 取值范围是( ( 到( 之间(也就是从( ( 到( ,保
留一位小数,约等于( ) ,近似数( (的取值范围是( ( . 到
· ! · 数学·信息卷! ! 之间(也就是从! ! % 到! ! 保留两位小数,约等于! ! ) ,两者的精确度(近似数接近准确数的程度)不一样,保
留一位小数,表示精确到十分之一,保留两位小数,表示精确到
百分之一。例如,! ( )! %……如果保留一位小数,! ( )!! ;如果保留两位小数,! ( )!! !,显
然! !比! 更接近准确数。所以,近似数小数末尾不能随意
添上!或去掉!,近似数! 和! !是不相等的。
为什么异分母
分数不能直接相加减
计算整数、小数、分数加减法时,都要相同单位才能相加
减。在计算整数加减法的竖式中,只要相同数位对齐,就可以几
个一和几个一相加减,几个十和几个十相加减……在计算小数加
减法的竖式中,只要小数点对齐,就可以几个十分这一和几个十
分之一相加减,几个百分之一和几个百分之一相加减……
在分数中,分母表示把单位“”平均分成多少份;分子表
示有这样的多少份。把单位“”平均分成若干份,表示其中一
份的数叫做分数单位,如
的分数单位是
。两个同分母分数表
示分数单位相同,如)
+与,+的分数单位都是
+,)
+与,+相加,只
要)个
+加上,个
+,得个
+是
+。即)
+-,+)-,+
+。而
两个异分母分数表示分数单位不同,如
%与
),
%的分数单位
是
%,
)的分数单位是
)(
%与
)的每份大小不同) ,
%与
)相
加,分数单位不相同,不能直接相加,正如整、小数加减法中,几个十和几个一不能相加,几个十分之一和百分之一不能相加一
· ! · 新编十万个为什么 样。只有经过通分,转化成同分母分数,再按照同分母分数加减
法的法则进行计算。如!
%% (% ) %) (。
怎样比较异分母分数大小
异分母分数,分母不相同,分数单位不同,一般来说,不能
直接比较大小,必须经过通分,化成同分母分数,再比较大小。
例如比较
+和
(的大小。先通分,
+’ %
!,
(’ , !,- %
!! , !,.
+!
(。除此以外,还可以用下面的方法进行比较大小。
(%)化成同分子分数,再比较大小。
例如,把下面分数按从小到大顺序排列起来。
% ,%
%
%
%
)
,) )
( ,
这五个分数的分母都不相同,要想把它们变成同分母分数比
较麻烦,再看它们的分子,这五个数虽然不同,但要把它们变成
相同的数比变分母方便一些。这是因为( ,正好是 ,、% 、% 、% ,这四个数的倍数,利用分数的基本性质,可以将上面的五个
分数变为分子都是( ,的分数:
% ,%% ,(
% (’( ,% , ;%
%%
%( , ;%
)’% !
)!’( , ; ,) )’
,)) ))’( , ;( ,
- ( ,% , ( , ( , ( , ( ,
.% ,% ,) )( , %
% %
)
先和“%”比较大小。
· ! · 数学·信息卷例如,比较! ! ! ! ! ! 和
的大小。
这两个分数化成分母相同或分子相同都不太简便,把这两个
分数和“”比,! ! ! ! ! ! 比小 ! ! ! ,
比小
。
% ! ! ! !
%! ! ! ! ! !
先和!比较大小。
例如,比较
和( ))的大小。
的分子不是分母的一半,
!,( ))的分子超过分母的一半,( ))!!
%
( ))
为什么不用通分能很快
算出一些复杂的分数加减法
计算异分母分数加减法,必须先通分,再按照同分母分数加
减法进行计算。例如,
(+! ,-
.! ,+! ,- (! ,.+-(! , .,这样解法当然是对的,如果我们对通分的过程进行研究,发
现两个异分母分数通分后计算出结果,也可以还原回去把结果折
成两个异分母分数的减法,我们把这种方法叫“拆分” 。例如,
-
(.(-
(.
(.! ,反回去,! ,.
(.
-
(
这样,上面这道题的计算过程变成:
· ! · 新编十万个为什么 !
!
%!
(!
!
!
!
(%
像这样在计算分数加减法的时候,先将其中的一些分数作适
当的拆分,使得有一部分数可以互相抵消,而使计算简便的方
法,我们叫做“裂项法” 。
例如计算:!! ) ) !! ) ) !! ) ) ! ) ) + !! ) ) +! ) ) !! ) )
分析:运用裂项法不难发现!! ) ) !! ) ) ( !! ) ) ! !! ) ) !! ) ) ! ) ) +( !! ) ) !! ) ) +!! ) ) +! ) )( !! ) ) + !! ) )
解: !! ) ) !! ) ) !! ) ) ! ) ) + !! ) ) +! ) ) !! ) )
( !! ) ) ! !! ) ) !! ) ) !! ) ) + !! ) ) + !! ) ) !! ) )
( !! ) ) !
这道题如果用通分的方法计算,工作量是很大的,也不容易
算对,有一些分数求和的问题,用通分的方法几乎是算不出来
的,而用裂项法却可以轻而易举地求出结果。
一般来说,对任意的一个自然数, ,都有:!
, (, !) (!
, !
, !
又如计算:!
!
-!! !
%!
+ %!
!
-!
. !) %
分析:每个分数的分子是!,分母分别可以写成!,
· ! · ! 数学·信息卷!,!,,%,%,’,’(, ,即每个分母
都可以分解为两个连续自然数的积,于是每个分数都可拆成两个
分数的差:)
+, ))+,)-)
+)
%, )
+!,)
+-)!)) +, )!,)!-)
)
( , )
,)
(-))
解:原式, ))+. )
+!. )!. )
. )
%. )
%. )
. )
(. )
,)-)
+.)
+-)!.)!-)
.)
-)
.)
-)
%.)
%-)
.)
-)
.)
-)
(.)
(-))
,)-)) ,
繁分数和连分数有什么区别
一个分数的分子或分母是分数,或者分子和分母都是分数,这样的分数(或式子) ,通常叫做繁分数(或繁分式) 。例如)!
+!
、)
+)-)
,繁分数中有一条较长的分数线,叫做
主分数线。主分数线把繁分数分成分子、分母两个部分。
繁分数的化简一般采用两种方法:
· ! ! · 新编十万个为什么 !!!!!!!!!!!! 一种是把繁分数的分子和分母分别计算出来,再用分子部分
除以分母部分。例如:!
!%
!
(!
)!’
另一种是根据除法中商不变的性质,把繁分数的分子部分和
分母部分同时乘以(或除以)一个不为零的数,进行化简。例
如:!
!%
(!
))
(!%
))
%’
形如! !! !! !!!
这样的繁分数叫做连分数。
连分数的化简与简分数的化简基本相同,只要一步一步地把
分母计算出来,就可以化简成一般的分数。例如:! !! !! !!!
! !! !!!
! !! !!!
! !! !
· ! · ! 数学·信息卷!
%!
%!%
!%
等式和方程式有什么区别
用等号“!”连接的式子,叫做等式。
方程式也是等式,是含有未知数的等式。如(!,) ( ! +,( ,!) -,( . !-等
使方程左右两边相等的未知数的值,叫做方程的解。例如:
( !是方程( !的解。
( ! )是方程) ( ! +的解。
求方程解的过程叫做解方程。
在小学解简易方程,是根据加、减之间的关系,乘、除之间
的关系。例如:
解方程 ( ,!
解: (被减数!减数差)
( !
( !
又如解方程- ( !
解: (因数!积.另一个因数)
( !.-
( !
什么叫综合法和分析法
解答两步以上复合应用题时,由于出发点的不同,思想的方
· ! · 新编十万个为什么 !!!!!!!!!!!! 法有综合法和分析法两种。
综合法是从已知条件出发,根据数量关系,先选择两个已知
条件,提出可以解决和需要解决的问题,然后把这个问题作为已
知,再与另一个已知条件搭配,提出新的问题,这样逐步推导,直到应用题的问题得到解决为止。
例如,一个服装厂计划做上衣! 件,前天每天做!
件,以后提高工作效率,每天做! % 件,完成计划共需要多少
天?
用综合法解题思路如下:
已经做了天,每天做! 件,由此可以求出已经做的件
数。
已知要做! 件和已经做的件数,可以求出还要做的件数。
已知还要做的件数和以后每天做! % 件,可以求出还要做的
天数。
已知做了天和还要做的天数,可以求出完成计划共需要的
天数。
分析法是以应用题的最后问题入手,根据数量关系,找出解
决这个问题所需要两个条件,如果这两个条件中有一个不知道或
者两个都不知道,再找出求这一个或两个未知条件所需要的条
件。这样逐步推导,直到所需要的条件都是已知为止。
上例用分析法解题思路如下:
要求共需多少天,需要知道先做的天数(天)和还要做的
天数(未知) 。
要求还要做的天数,需要知道还要做的件数(已知)和以后
每天做的件数(! % 件) 。
要求还要做的件数,需要知道计划做的件数(! 件)和
已经做的件数(未知) 。
要求已经做的件数,需要知道已经做的天数(天)和每天
· ! · ! 数学·信息卷做的件数(! 件) 。
怎样求等差奇数列的和
等差数列求和的公式是: ( !% )’
(
怎样求等差奇数列的和?有没有一些特殊规律呢?
请看下面奇数列求和。!)! (!%)+)( (!%%),) (!%%%-)! .)+ (
因此,奇数列的和 ) (
这一求和公式,可以解决一些数学问题。例如:
有一串数,!;!
(,(
(,!
(;!
,(
,
,(
,!
;!
+,(
+,
+,+
+,
+,(
+,!
+……
求(!)-! 是第几个分数? (第+ 个分数是几分之几?
可以这样想(!)我们把分母相同的分数叫做一组,组号与
分母相同,各组分数个数有下列规律:
第一组:!个
第二组:个
第三组:个……
所以,分母为的那一组分数个数为( 0!。
从中还可以看到:-! 位于第! 组的第-个和倒数第-个位
置上,由于第! 组共有分数(’! 0!)! ,(个) ,倒数第-个
· ! · 新编十万个为什么 !!!!!!!!!!!! 相当于正数第! %! (个) 。
前个组共有分数!’’(’…… )% !(个)所以+! ,位于
这串数的第 !’+% (个)位置上和第 !’! % -(个)位置
上。
( ))由于- , ,%) , ),) , ) 又等于自!开始的连续) ,个奇数
的和。所以第- , ,个分数位于第) ,组的最后一个位置上,应为!) ,。
什么情况下. 0%. 0
. 0是表示两个数的积,. 0表示两个数的差。. 0%.
0表示两个数的积与两个数的差相等。这可能吗?
在整数范围内,两个数相乘,除,和!外,会越乘越大,如
! -%! ) -,! ) -大于 !、大于-;+ ,) %! ! ,,! ! ,大于
+ ,、大于) 。而两个数相减,就会越减越小。如 !-%) +,) +
小于 !;+ ,) %- +,- +小于+ ,。可见在整数范围内, !-! !-,+ ,) !+ ,) ,所以. 0 !. 0 。
但是,我们还知道,在分数范围内,确实存在着两个数相
乘,会越乘越小。如!)!)%!
-,!
-小于!);!
-%!
-,!
-小
于!
,也小于
-。这与两个数相减,越减越小的发展趋向是一致
的。但是,!)!)%,,!
不够减
-,可见在分数范围内,!)!)!!)!),!
-!!
-那么,能不能说在分数范围内,.
0也不等于. 0呢?让我们再来研究下面这几道题。!!)%!),!!)%!);
· ! · 数学·信息卷!
!
%!
,!
!
%!
;!
!
(%!! ,!
!
(%!! ;!
(!)%!
,!
(’!)%!
;……!
+ !
+ !% !
( , + ,!
+!
+ !% !
( , + ;……!
, , !! % !
, , ,!
, ,’ !! % !
, , ;
通过这些题又说明了在分数范围内,确实有两个数的积与这
两个数的差相等的情况,即:-.%-’. 。当然,这是有条件
的。你仔细观察一下,这两个分数的分母之间的差与分子是什么
关系?你能发现这样的规律:分母之间的相差数都是!,它们的
分子也是!,这样的两个分数相乘的积与相减的差是相等的。
你能否从这个规律中又得到新的启示,并能列举出另外一些
- . %-.的题目来。
)%(! ),
)%(! );
+
,%(
,
+’
,%! (
;
)
%,( , )’
%,( ;
+! %,+ ,
+’! %,+ ;
(
+(! !%!
+ +, (
+’(! !%!
+ +;
(
,(! %! ! ! +, (
,’(! %! ! ! +;
· ! · 新编十万个为什么 !!!!!!!!!!!! !
!
%’ !
( ), !
!
%’ !
( );……
什么样的两个数相乘的积与这两个数相减的差相等的规律,你一定完全掌握了。
数“+ ”
数+在数学、物理学、天文学和其他科学部门中都有很大的
作用。下面举的一些问题,在进行数学考察的时候必须用到这个
数:
气压公式(气压随高度的不同而变化) ,欧拉公式,物体冷却的规律,放射性衰变和地球的年龄,空气中摆锤的摆动,计算火箭速度的齐奥尔科夫斯基公式,线圈中的电磁振荡,细胞的增殖,……
这类问题举不胜举。
在高等数学上起着很大的作用,也许,所起的作用并不小于
著名的数! 。数+是一个无理数,约为’ , - %……它不能用有限
位的数字正确地表示出来,而只能利用下面的级数
.
.
·.
· · %.
· · % · ).……
计算它的近似值,显然可以达到任何准确程度。
另外:
· ! · ! 数学·信息卷(!!
)
这式子当无限地增大的时候的极限就是 。把当做对数
的底有很多好处,这种对数表叫“自然对数”表,而且在科学和
技术上得到广泛的应用。
数常常出现在完全预料不到的地方。例如,看这么一个题
目:
已知数% ,把它分若干部分,如果各部分的乘积要最大,应
该怎样分法?
我们已经知道,诸数的和不变的时候,要使它们的乘积最
大,必须各数相等。显然,数%必须分成相等的若干部分。可是
究竟分成几部分呢?分做两部分、三部分、十部分吗?用高等数
学的方法可以证明,当分成的每一部分和!最接近的时候,乘积
就是最大。
例如,! 必须分做这么多的相等部分,使得各部分尽可能
地接近于’ ( ) ! ……要求这些部分的份数,应该求商。!
( ) ! ……+, ( - ) ……
因为把一个数分成, ( - ) 个相等的部分是说不通的,所以不
得不把商数取最接近的整数.。因此,我们可以得出! 的各部
分的最大乘积,如果各部分都等于!
.,就是’ ( 的话,显然
(’ ( ) .+, 0 ( - !(!
,) ,+, ) ( ,!(!
) +,!是超越数! ) -年琼斯第一次用记号!来表示圆周率,!取自希腊语
“圆周”的第一个字母。后来由于欧拉在《无穷分析导论》 (! ) .
· ! · 新编十万个为什么 年)中采用该符号而得以普及。! !年,兰伯特证明了!为无
理数,! %年,林德曼证明了!是超越数。
超越数就是,对于数,如果不存在这样一个整系数多项
式( ( ) ,使是方程( ( ))的一个根,则称是超越数。!的计算和理论研究反映了一个民族的数学水平,对于古代
人民来说,!的计算是一件复杂繁重的工作。约公元前% + 年,阿基米德的结果相当于, - ! +;约! . 年托勒密,, - ! + ! . % ;
+ 年,祖冲之,, - ! + ! . %;由此可见,在古代,我国的伟大数
学家祖冲之贡献卓杰。
随着时间的推移,社会不断发展,!的计算成果已达到了相
当的程度,摘要如下:
约! ! 年,鲁道夫,精确到小数点后第, .位;! , 年,格林贝尔格,, 位;! 年,夏普,利用无穷级数,精确到小数点后第 !位;! 年,梅钦,利用他自己给出的一种级数,精确到小数
点后第! 位;! + +年,达瑟,% 位;! ,年,香克斯, 位;! + 年,弗格森、伦奇, 位;! + 年,马利兰德,利用电子计算机,% , 位;! 年,吉劳及其合作者,. 万位;! 年,美国,利用巨型电脑,% , 万位。
什么是最小数原理
最小数原理是一个极为简单、极为重要而又易被人们忽视的
原理。
一班学生,必有身高最小的学生。一筐苹果,必有最大的苹
· ! · ! 数学·信息卷果。这个事实如此的明显,甚至是简单到了不必一提的地步。其
实,这就是最小数原理的具体例子。
最小数原理:设!是全体自然数组成的集合,是!的一
个非空子集,则中必有最小数。
该原理对于是整数集、有理数集或实数集的有限非空子
集,结论又是明显的,因此还有如下的原理。
设%是全体实数组成的集合,是%的有限非空子集,则中必有最小数。
设%是全体实数组成的集合,是%的有限非空子集,则中必有最大数。
最小数原理虽然十分简单,但它说明了在集合中存在着最小
数或最大数这样的事实,因此在一些涉及到存在性的命题中,这
个原理大有用武之地。在国内外数学竞赛中应用这个原理的题目
也屡见不鲜。下面给出一道例题,可见原理在解题中的作用。
平面上有(个点,它们不全在一条直线上,证明一定有一条
恰好通过其中的两个点的直线。
证:过任意两点连线为),对每一条直线),必有线外的
点,)外的点到)的距离为+ ,) 。不难想象,+ ,)
的个数是有限个的,由最小数原理,必有一个最小的距离+
,, ,)-+ ,。下面证明了) , 上恰好有二个点。反证,假设) .上有个给定的 、、 ,点 ,到) ,的垂线垂足记为0, 、、 至少有二点在0的同侧(或一点与0重合,一边一
点) ,并设 靠0较近些,此时连 , 这条线为) ,则有+
、 )! ,, ,) ,这与+ , 最小矛盾。(其它情况同理可
证) 。
此题看来没什么出奇的地方,证明也不难。但在人们没有注
意最小数原理用于证明此题时,该题曾是一道“难题” ,好长时
间得不到证明。而用最小数原理证明这个题,又显得该题如此容
· ! · 新编十万个为什么 易。可见最小数原理的作用是很大的,值得我们特别重视。
什么是孪生素数
孪生素数是指两个相差为!的素数对。例如和, 和
, % 和 % 等等。孪生素数又称为双生素数。
(年,数学家波林那克猜想:孪生素数有无穷多个。这
就是所谓的“孪生素数猜想” 。我国数学家曾对证明这一猜想作
了许多贡献。尤其是 ( ) 年陈景润证明了:存在无穷多个素数
,使得!为不超过!个素数之积。这一结论十分接近孪生
素数猜想的解,构成“筛法”理论光辉的一顶点。 ( ) ,年,威
廉斯和察恩克发现了当时所知的最大的孪生素数为) ,- , (.。
( ) (年,伯莱发现了目前所知的最大的孪生素数对为! ( )-! ,. 。 ( !年月,美国新泽西州的环球计算机服务公司提供! % % %美元奖金,悬赏解决孪生素数猜想,曾经轰动一时。然
而,至今仍没人领走这笔奖金。
孪生素数猜想是哥德巴赫猜想的姊妹猜想,它的难度和解决
哥德巴赫猜想的难度是等同的。数学家们认为,仅就目前的已知
数学方法,要想解决这个难题几乎是不可能的。甚至有的数学家
认为,到目前为止还看不出可以沿着什么途径,利用什么方法来
解决它。
什么是“亲和数”
传说在公元前 % %多年,古希腊的克罗托那城中,毕达哥拉
斯学派正在讨论“数对于万物的作用” ,一位学者问“在我们交
朋友时,存在数的作用吗? ”伟大的数学家毕达哥拉斯答到: “朋
友是你灵魂的倩影,要像! ! %与! 一样亲密。 ”他的话使人感
· ! ! · ! 数学·信息卷到蹊跷,接着他宣布:神默示我们,! ! 的全部真因子之和!
% ! ! !% % 恰好等于! %,而! %
的全部真因子之和!%( % !又恰好等于! ! ,它们是
一对奇妙的“亲和数” 。毕达哥拉斯的妙喻,简直使学者们惊呆
了,不过在此后的一段漫长的时间里,人们知道的亲和数就只有
这一对。
直到公元七世纪,在古老的巴格达城中,出现了一位伟大的
博学者泰比特·伊本柯拉。他是医生、哲学家和天文学家,并且
酷爱数学,他对亲和数的特性潜心思索,竟惊人地发现了一个求
亲和数的公式。即) · ! ,-,. · ! , --, 0 · ! ! , --,这里,是大于的正整数,则当) 、.和为素数时,! , ) .和! ,
是一对亲和数,同时给出了公式的证明,并验证当1!时,求
得的亲和数就是! ! 和! %。然而令人惋惜的是泰比特·伊本柯
拉并没有给出新的亲和数。
又过了( 多年,法国数学家费尔马在 2 + 2年再度独立地
证明了泰比特·伊本柯拉公式并且给出了第二对亲和数 ( ! 0 2和
% 2。继而另一位数学大师笛卡尔在给一位朋友的信中又确切
地给出了第三对亲和数0 + 2 + %和0 % + ( 2。这新的发现震动了
数学界,吸引了许多数学家像寻宝一样投身于这场“寻数”的竞
争。
直至 ( 年,诞生在瑞士国土上的伟大数学奇才欧拉宣布:
他一举求出如! 2 ! 和! 0 ! %, ! 和 2 %,2 ! + !和2 + 2等六十
对亲和数(一说五十九对) ,使他在寻数竞争中独占鳌头。
又过了一百多年,奇迹出现了, 2 2年,一位年仅十六岁
的孩子竟正确地指出,前辈们丢掉了第二对较小的亲和数 %
和 ! ,这戏剧性的发现使数学家们大为惊讶,据本世纪七十
年代统计,人们已经找出一千二百多对亲和数,数学真是一个深
不可测的海洋,它蕴藏着无穷无尽的奥妙。
· ! · 新编十万个为什么 !!!!!!!!!!!! 什么样的数能组成勾股数
如果三个正整数合于勾股定理,那么就称这三个数为一组勾
股数。!、、是最简单的一组勾股数,因为它们合于勾股定
理:! % 。
在中学数学里不仅涉及勾股定理及其逆定理的许多数学问题
的解答要用到勾股数,不少涉及代数、立体几何、解析几何、三
角函数的问题也需要用到勾股定理,所以奇妙的勾股数在许多问
题中起到很大的作用。掌握一些勾股数的知识很有必要。!,,;,’ ,’ !;(, , ;), ,……
观察这些勾股数组成的规律发现,第一个数是奇数,第二个
数是第一个数的平方减’再除以。第三个数是第二个数加’,也就是第一个数的平方加再除以。
结论:如果+是一个奇数,且+ !!,那么
+ 、+ ,’
、+ %’
就是一组勾股数。
证明:-+ %(+ ,’
) + %+ , + %’
(+ %’
)
.+ 、+ ,’
、+ %’
是一组勾股数。
这样,我们任意给出一个奇数’、’ !……同学们就可写出
各组勾股数来。
又如简单的勾股数:
,!,;,0,’ ;0,’ ,’ (;’ , , ……
观察这些勾股数组成的规律发现,第一个数是偶数,第二个
数是第一个数的一半的平方减’,第三个数是第一个数一半的平
方加’。
结论:如果1是一个偶数,且1!,那么,· ! · 数学·信息卷!, (!
) , (!
) %,就是一组勾股数。
证明:! %[(!
) ]! (%) ! %
(! %(
( )
[(!
) %]
+!, (!
) , (!
) %是一组勾股数。
这样,任意给出一个偶数 ,、 ……读者就可以写出各组
勾股数来。
如果- 、. 、是一组勾股数,那么 0 - 、0 . 、0 也是勾股
数。0为自然数且0!。
这样,如果1、(、2是一组勾股数,运用上面的结论,就可
得出、)、 ,;3、 、 2; 、 、 ,……都是勾股数。
什么是默比乌斯带
默比乌斯带是拓扑学家们的杰作之一。它使人感到古怪的
是:只有一侧的曲面。
它的制作是极为简单的。我们把一个双侧环带随意在一处剪
开,然后扭转一半,即 ) , 4 。再粘合到一起来形成封闭的环,就得到了默比乌斯带。
但如果描述为没有“另一侧” ,这是很难理解和想象的。但
做起来却很容易,你可随意从一处开始涂色(不离开这面)最终
你将会发现默比乌斯带都被你涂上了颜色,也就说明这的确是一
个单侧面的带子。
默比乌斯具有各种意想不到的性质,有人称之为“魔术般的
变化” 。如果我们把默比乌斯带沿中线剪开,出乎意料地得到了
一条双侧带子而不是两条。数学家对这种奇妙的现象解释为:一
· ! · 新编十万个为什么 条默比乌斯带只有一条边,剪开却使它增加了第二条边与另一
侧。如果把默比乌斯带沿三等分线剪开将使你又获新奇之感。剪
刀将环绕纸带子走整整两圈,但只是一次连续的剪开,剪的结果
是两条卷绕在一起的纸条,其中的一条是双侧纸圈,另一条则是
新的默比乌斯带。你看,这真是一个奇妙的带子。
什么是黄金分割矩形
提起黄金分割知道的人很多。一点分两条线段的比大致是!:! ! ,这点就叫黄金分割点。但提起黄金分割矩形,知道的
人就少多了。
先说一下黄金分割矩形的几何做法,以正方形% (的边
% 的中点)为圆心,)为半径画弧交% 延长线于一点,过
点作 +!% 交(延长线于+,矩形% + (就是黄金分割矩
形。满足% (:% ,!:! ! 。
黄金分割矩形有一个不同寻常的性质,如果去掉图形中原来
的正方形留下来的仍然是一个黄金分割矩形。
黄金分割矩形是看上去令人十分舒服的图形之一。早在公元
前-世纪,希腊的建筑家们就知道了它的协调平衡的性质,并应
用到自己的设计中。雅典的巴特农神殿的“人字墙” ,几乎是一
个极其准确的黄金分割矩形。
黄金分割矩形也被大量地应用到现代建筑中,建筑师们说:
“数学使人们生活变得舒适了。 ”
黄金分割矩形也成为画家们的“几何消遣” ,我们在《圣杰
罗姬》这幅达·芬奇未完成的油画中,看到了包围着圣杰罗姆躯
体的一个黄金分割图形。
一位艺术家声称:法国印象派画家舍勒特, “用黄金分割原
理来画他的每一幅画” 。
· ! · 数学·信息卷为什么直角三角形分割成全等三
角形的个数不一定是完全平方数
易知,任意三角形可分割成与原三角形相似的! 个全等的
三角形(!为任意的正整数) 。
直角三角形也不例外地可以分割成与原三角形相似的! 个
全等的三角形。这样能否断言:一个直角三角形分割成全等三角
形的个数必为完全平方数。
如果那样,就显得太轻率了。你看,直角三角形斜边上的高
把直角三角形割成两个相似的直角三角形。这就为非完全平方数
的产生制造了机会。如果相似比是有理数,不妨设为
(、
为正整数) 。这样直角三角形% 就可分割成 个与原三角形
相似的全等的小直角三角形。而直角三角形% (也可分割成
个与原三角形相似的全等的小直角三角形。而这 ) 个
小直角三角形又都是全等的,正整数+又未必是完全平方数,如
当+ ), - ,时。从而可以确信:对于每个两平方数之和形
式的+ ,存在可分割成+个全等三角形的直角三角形,而+可以
不是完全平方数。
为什么答案是错的
某中学举行数学邀请赛,其中有这样一道题:
“直角三角形的斜边% 长- . !,内切圆半径为 0 1 !,求
其周长。 ”
有两位要好的同学,如此解答。由圆外一点向圆引二切线,切线长相等,四边形2 3 (为正方形。则有( 2( 4 0 1 !
· ! · 新编十万个为什么 !!!!!!!!!!!! ! %, %,() % + , -。
%)’ . 0 1) 0 11 , -。周长为 ) %)). %).
1 , -。
得到了同一结果。当他们向数学老师汇报时,数学老师看了
题和解答后,让这两位同学,一个剪一个半径为 0 1 , -的图纸
片,另一个同学作一个斜边为 + , -的直角三角形,然后让他们
按题设条件把圆放在三角形纸板上,两位同学惊奇的发现,无论
怎样变化直角三角形的两条直角边,也容不下这个圆,这就是说
答案错了。为什么答案是错的?他们去问数学老师。
老师说: “这是著名的勾股容圆问题,我国古代数学家在这
方面有许多贡献” 。接着老师给出解答。
设 %2 ,3 ,! %,
(2 )3 +又有(2 ) 0 1) )(3 ) 0 1) +
解方程组有
2 )3 +
(2 ) 0 1) )(3 ) 0 1) !
+
4 2 54 + 2 ) 1+
(54 +) )4646 1
7 + +5 + + +%+
所以方程组无实数解。
“为什么是这样? ”学生追问着。
设直角三角形内切圆的半径为8 ,则有8
( .) 5
)
( + , 9 : ) + : ; < 5 +)1( , 9 : ) : ; < 5)
, 9 :) : ; < 最大值为
所以8 最小1( 5)而1( 5)% 0 1
这就是说,斜边上 + , -的直角三角形,内切圆半径,不可
· ! · ((((((((((((( 数学·信息卷能为! %。同学解答错了的原因是只靠几何直观,而这种直
观,有时是不能正确反映出事物的内在联系的。
圆面积与圆周长的一种特殊关系
我们知道,物体作匀速直线运动时,位移与所经过时间’
的比,就是物体运动速度! ,即! (
。
如果物体作非匀速直线运动,设运动规律是(( ) ,从
)到’ )!这段时间!内,物体位移!((’ )! )+
( ))与时间改变量!的比,就是这段时间内物体的平均速度! ,即! (!!(( )! )+( ))! 。当! )时,!!的极限值
为’ )时刻的即时速度。
一般情况下,对函数, (-)考虑上述相应的情形。即在- )
处给出!-的改变量,函数改变量!.(, (- )!-)+, (- ))
与!-的比!.!-(, (- !’ )!- ,当!-)时,!.!-的极限值为,(- )在- )点的导数。导数是微积分中最重要的概念之一。对各
种函数求导已经形成一套完整的求导公式。例如, , (-)(- ,, 0 (-)( - +1 , 0 (-)表示, (-)的导数,即当!-)时, , 0
(- )等于!.!-的极限值。仅就, (- )(- 2的导数, (- )(2 !情形
给予简单证明,当!-!.( (- !- ) 2+- 2!- (2 - !2 - 。(!-)
(!- ) 2,当!- )时,!-!.2 - !,即, 0 (- )(2 - !。没有学过微
积分的读者,可从上面简单的叙述对微积分窥见一斑。
导数的应用极广,而在很多其它学科里面对于某个问题求
导,其导数都有明显的实际意义。例如,物体作功 3 的时间’
· ! · 新编十万个为什么 %的函数 !!( )其导数 ! ( )就是功率。再如,电流通过
导线横截面的电量为%% ( ) ,对时间的导数就是电流强度,即 % ( ) 。那么,在数学这门学科里面,导数除了有其几何
意义(即在某点处的导数,就是在该点处的切线的斜率)之外,是否对某个具体问题,也有明显的意义呢?答:是的。圆面积与
圆长的特殊关系是一个生动的例证。
我们知道,圆面积’’( ( ) ,即圆面积是半径(的函数,具
体的是’! ( )。如果对该函数求导,’ ( ( )(! ( )) !(( ))
! ( )) ! ( (注意,!为常量,求导时可以“提出来” ) 。其
导数’ ( ( )) ! ( ,恰恰是圆的周长。
还可以举出一个例子。球体积(( )是球半径(的函
数,( ( )+
,! ( ,,其导数, ( ( )(+
,! ( ,) +
, !( ( ,)
+ ! ( )。即,球体积关于其变量(求导,其导数是球的表面面积。
为什么圆的周长的计算是极限问题
我们知道,圆的周长是- ! .,其中.是圆的直径,所以,要计算圆的周长,关键是! ?中国古代数学家刘徽在《九章算
术》中,创立了“割圆术”来计算! ,使用了极限思想。一个直
径为.的圆。作内接正六边形,然后平分每个边所对的弧,作
内接正十二边形,再平分,得到二十四边形、四十八边形等等。
让第次分割后的正多边形的周长是- 。我们知道- 是可以计算
的。但不论怎么分, - 是一个多边形的周长。刘徽说: “割之弥
细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆合体而无所失
矣。 ”也就是说,割的次数越多,即越大,则- 与圆周长-相
差越小,到最后不能割了,它就是圆的周长。也就是说对数列
{ - } ,我们感兴趣的不是具体的- ,而是- 当增大时的变化趋
· ! · ! 数学·信息卷势, ! 与!越来越接近。比如若!
%,有! %%
, !
, !
(, ! (……我们看到当越来越大时, ! 的变化趋势越来
越接近于%。通过这种计算方法,刘徽得到了’ % ( % )!!!
% ( % +的结果。在当时的情况下,处于世界领先地位。
通过刘徽的割圆术,我们看到,对数列 { , } ,我们不仅要
考虑到每一项, 是什么,而且更感兴趣的是当越来越大时,,
的变化趋势。有很多问题都是要研究这种变化趋势的。也就是,
逐渐接近的那个数是什么?我们把, 逐渐接近的数称为, 的极
限。这样就发展起来了极限理论。为微积分找到了严密的理论基
础。
为什么两箱铁球一样重
有两个完全相同的立方体包装箱。左边箱里装一个大铁球、直径刚好与箱子的高度相同。右边箱里装满许多小铁球。
两箱铁球质量相同,那么,哪一个箱子重些呢?很显然应考
虑两箱铁球的体积。
设大立方体的体积为-,其内装球的体积为-球。小立方体
的体积为- . ,其内装球的体积为- . 球
显然-球
- - . 球
- .( . %,,’…… )
即:- %球
- %
- 球
-
-球
-
……- 球
-
-球
-
由等比定理有:
- %球- 球-球……- 球
- %- -……-
-球
-
就有- %球- 球……- 球
- -球
-
· ! · 新编十万个为什么 所以,! 球! 球……! % 球!球
即:左图一个大球的体积等于右边几个小球的体积,故两箱
铁球一样重。
为什么五面体
四面体可能等于五面体
五面体和四面体的组合体,要想获得最少的面,完全可以想
象,它们有一个面重合,这样就得到了’个面。面数
还能否再减少些呢?这就决定于五面体和四面体的形状了。如果
五面体是一个正四棱锥,四面体是一个正四面体,且正四棱锥的
侧面能与正四面体的面重合,这时的组合体就是五面体。我们来
证明一下这个问题。
我们把正四面体的面+ , -与正四棱锥的侧面! . 重合,得
到一个多面体,这个多面体有平面0 . 1、! 0 .、! . 2、! 2 、! 1 、! 0 1、2 . 等七个面,但仔细一观察发现 ! 0 .与 ! . 2
共面,! 1 与! 2 共面,七个面再减少两个面,就只剩五个面
了。
平面! 0 .与! . 2共面也是不难证明的。
在棱! .上取中点3,连结30、3!、32显然:!03、!23分别是二面角)! .)0与2 ! .)!的平面角,这样,只要证明!03!23 4 5 6 ,即证平面 ! 0 .与平面 ! . 2
共面。
若设棱长0 .7
03中, 0 7 ,033 8
7
由余弦定理, 9 : ; !03033 )0
03 · 3
· ! · %%%%%%%%%%%%% 数学·信息卷!
(!
) %(!
)
(!
)·(!
)!’
则! + , , - . (’
)!! + , , - .’
在)0中, 0! ,)0!)0!!
由余弦定理: , - . )0!) %)0 0
) · )0!
(!
) %(!
)
(!
)·(!
)!’
则)0! + , , - .’
即证:0%)0!1 + , , - .’
% + , , - .’
!!
同理,平面2 3 0与平面2 0也共面。
怎样进行应用题验算
检查应用题解答是否正确,可采用以下几种方法:
第一,对求出的数量和应用题所反映的实际情况进行粗略的
估计,如果计算结果同实际情况差不多,就有可能是正确的。例
如, “五年级一班有男生 人,平均身高为’ 4 4 5 6厘米,有女生
6人,总身高为 7 5 厘米,全班学生平均身高是多少厘米? ”
列式计算为:(’ 4 4 5 6% 7 5)8( %’ 6)!7 6 5 9(厘米) ,根据题意估计,全班学生平均身高应为’ 4 4 5 6厘米左右,然而计
算结果为7 6 5 9厘米,显然很不符合实际情况,所得结果错误。
第二,把求出的结果当作已知条件,代入原题,依据题意,· ! ! · 新编十万个为什么 %能否求出其中一个条件。例如, “美霞服装厂计划做! 套衣服,已经做了 % 天,平均每天做’ (套。剩下的要在) % 天内做完,平均每天应做多少套? ”
(! (+ % ),) % -’ !(套)
验算时,把’ !套作为已知条件代入题目中,依据题意列式
计算,看能否求出已知条件。!’ (+ % .’ !+) % -! (套)
(! !+) % ),’ (- % (天)
(! !+) % ), % -’ ((套)
代入后所求结果与已知条件相符,原答案正确。
第三,用不同解法检验。这种方法适用于有不同解法的应用
题。如果有的题目只能用一种解法,可以通过不同的解题思路进
行检验。
第四,根据题目中总量与部分量的关系,或量的对应关系来
检验原解是否正确。例如: “配制黑火药用的原料是火硝、硫磺
和木炭。这三种原料重量的比是 0 ( 0 )。要配制这种黑火药 !
千克,需要三种原料各多少千克? ”
.(.)-(
火硝千克数: ! +
( - ( (千克)
硫磺千克数: ! +(
( - !(千克)
木炭千克数: ! +)
( -( (千克)
验算: ( . !.( - ! (千克) ,三种原料的总千克数与
火药的千克数相等。
( 0 ! 0 ( - 0 ( 0 )
三种原料重量的比与已知条件相同,说明解答正确。
· ! · ! 数学·信息卷列方程解应用题的关键是什么
列方程解应用题的一般步骤是:
弄清题意,找出未知数,并用表示;
找出应用题中数量之间的相等关系,列方程;
解方程;
(%)检验,写出答案。
其中找出应用题中数量之间的相等关系最关键,只有这样才
能列出方程。
例如:“小青买两节五号电池,付出 (元,找回了 )
元。每节五号电池多少元? ”
这样想:付出的钱数两节电池的钱数+找回的钱数。
从而列出方程: ( + )
怎样利用“假设”
的数学思想解答应用题
有些应用题可将题中某个条件假设为与之相近的另一个条
件,并从假设条件入手,分析数量关系,找出解题思路。
例如: “学校买了%个篮球和,个足球,共花! ( ! 元,一
个篮球比一个足球贵- )元,一个足球多少元? ”
可以这样想:假设把%个篮球换%个足球,可以少花- ).
% ! (元) ,就可以找到(,%)个足球的总价是(! ( !
! )元,从而求出每个足球的单价是:
(! ( ! ! )0(,%)
+! 0!
+! (元)
· ! · 新编十万个为什么 !!!!!!!!!!!! 篮球单价是:! %! % (元)
如果把足球假设成篮球,思路也是一样。
再举一道数学竞赛中的题目。
“蜘蛛有条腿,蝴蝶有(条腿和)对翅膀,蝉有(条腿和!
对翅膀。现在这三种小虫共) !只,共! 条腿和) +对翅膀。问
蜘蛛、蝴蝶、蝉各多少只? ”
题中要求三个未知量。但是,蝴蝶与蝉每只的腿数相同,因
此按每只腿的多少,可分为两类:条腿的蜘蛛和都是(条腿的
蝴蝶与蝉。
假设) !只都是蝴蝶与蝉,那么应有(,) !’! ) ((条)腿,比实际的总腿数少了! -! ) (’! (条) 。这是由于每只蜘蛛少
算了)条腿,从而算出只蜘蛛,蝴蝶与蝉一共! 只。
再根据翅膀数分别求出蝴蝶和蝉。假设! 只都是蝴蝶,那
么应有翅膀),!) (对) ,这比实际翅膀总数多了) -) +’.
(对) ,这是由于每只蝉多算了!对翅膀,从而算出蝉的只数。
即 (! -! ) (-
! )’(只) (蜘蛛数)) !-’! (只) (蝴蝶和蝉共有数)
,! -) +)-!)
.(只)! -.’0(只) (蝴蝶数)
用不同的假设也可以如例求出蜘蛛、蝴蝶、蝉各多少只。
怎样利用“转化”
的数学思想解答应用题
有些应用题,题里给出两个或两个以上未知数量的关系。要
求这些未知数量,思考的时候,可以根据所给的条件,用一个未
· ! · ! 数学·信息卷知数量转化为另一个未知数量,从而找到解题的方法。
例如, “师徒二人合作一批零件,徒弟做了!小时,师傅做
了小时,一共做了 %个零件。徒弟小时的工作量等于师傅
%小时的工作量。师徒每小时各做多少个? ”
可以这样想:把师傅的工作量转化为徒弟的工作量。以徒弟
每小时工作量作为份,师傅%小时的工作量相当于这样的
份,小时里有’个%小时,相当于% (份徒弟每小时的工作量。
从而得出:
%)[!+%) ]
, %(个) (徒弟每小时工作量)
%+)%, ((个) (师傅每小时工作量)
也可以这样想:以徒弟每小时工作量作为份,先看师傅
小时工作量相当于这样的几份,再看师傅小时的工作量相当于
这样的几份,从而得出徒弟每小时的工作量。即 %)[!+
%) ]
也可以以师傅每小时的工作量作为一份,把徒弟的工作量转
化为师傅的工作量,从而得出师傅每小时的工作量。即
%)[!+(%)) ]
又如:“某农机场修理一批拖拉机,在责任制前每天只修
台,实行责任制后,每天比原来多修%台。因此,这批拖拉机可
以提前’天修好,这批拖拉机有多少台? ”
根据现有条件,不易直接求出这批拖拉机有多少台。把已知
条件加以转化。
天 台— — —!台
天
天 台— — —!台
天
责任制后比责任制前每台少用
· ! · 新编十万个为什么 !
!
%! (天)
因为这批拖拉机提前’天完成,从而求出这批拖拉机的总台
数。
((!
!
)% )(台)
怎样利用“对应”
的数学思想解答应用题
利用集合的元素和集合+元素之间的对应关系来分析应
用题,找到其解题思路。
例如,“洗衣机厂门市部上午卖出台洗衣机,下午卖出
台洗衣机,下午比上午多收货款 , -元,每台洗衣机售价多少
元? ”
这道题中下午比上午多卖出的台数,和下午比上午多收的钱
数是对应关系。多卖出台,多收 , -元,即 , -元所对
应的是台洗衣机,从而求出每台洗衣机的售价。
再看下例:
“一堆苹果,人平分剩!个,’人平分剩个,人平分剩
个,.人平分剩’个,,人平分剩个。这堆苹果至少有多少
个? ”
我们以苹果数为被除数,那么除数与余数的对应关系如下
表:
除数 . ,余数 !
除数余数
· ! · ! 数学·信息卷由表可见:除数与余数的差都是!,这就是说,被除数加!
的和能分别被、、、%、整除。因此,先求出、、、%、的最小公倍数是 !, !(!) +(个)就是这堆苹果的至少
个数。
怎样用“点图”的
思考方法解答应用题
有些应用题的题意比较抽象,关系比较复杂,我们可以用
“点图”表示它们之间的关系,不仅直观、形象,甚至能直接找
到问题的答案。请看下例:
“甲、乙、丙、丁与小强五名同学一起进行象棋比赛,每两
人都要比赛一盘,到现在为止,甲已经赛了盘,乙赛了盘,丙赛了!盘,丁赛了盘。问小强已经赛了多少盘? ”
在分析这个问题时,先将五个人看成五个“点” ,两人比赛
过,就用线段连结相应的两点,根据“甲已赛了盘” ,再依次
根据“丁赛了盘” 、 “乙赛了盘” 、 “丙赛了!盘” ,画出图。
然后可以得到答案:小强已经赛了!盘。
怎样利用“倒推法”
灵活巧妙地解决实际问题
生活中有些实际问题,如果按照事情发展的过程,由先到后
顺序思考,不易得到解决。如果换一个方向,用倒推法分析,有
时倒能灵活巧妙地解决实际问题。现举一个例子:
有一天,三个小朋友在图书馆相会。甲说:我每隔一天来一
次。乙说:我每隔两天来一次。丙说:我每隔三天来一次。管理
员告诉他们说:每逢星期三闭馆。三个小朋友说:如果预定来的
· ! · 新编十万个为什么 !!!!!!!!!!!! 日子正好是闭馆日,那就次日来。从今天开始 ......
十万个
为什么
第六册
齐豫生 徐茂魁 主编
台海出版社目 录
数 学
什么叫集合 ………………………………………………………
集合怎样表示 ……………………………………………………
什么叫子集 ………………………………………………………
什么叫交集 ………………………………………………………
什么叫并集 ………………………………………………………
什么叫差集 (%) ………………………………………………………
什么叫空集 ………………………………………………………
什么叫等价集合 …………………………………………………
什么叫函数 ………………………………………………………
什么叫自然数 ( ……………………………………………………
为什么说“)”不是自然数 (! )) ……………………………………
为什么要建立进位制 (! !) …………………………………………
为什么有了十进位制,还要有二进位制 (! ) ……………………
什么是二进数和八进数………………………………………
十进数和二进数怎样互相换算 (! ) ………………………………
十进数和八进数怎样互相换算 (! %) ………………………………
为什么时间和角度的单位采用六十进位制 (! %) …………………
什么是小九九 (! ) …………………………………………………
什么叫整除 (!) ……………………………………………………
整除有哪些性质 (! ………………………………………………
怎样判别能被或、或 、’或! 整除的数 ( )) …………
怎样判别能被(或整除的数 ( !) ………………………………
· ! · ! 目 录怎样判别能被!、 、 整除的数 ( ) …………………………
怎样判别能被 、 %、 、、 整除的数 ( ) ………………
为什么约数和倍数是“双胞胎” ( %) ……………………………
怎样确定一个大于的整数有多少个约数 ( %) …………………
什么叫“筛法” ( ………………………………………………
为什么“首同末合十” “末同首合十”的
两个两位数相乘可以速算 () …………………………………
为什么小数点对齐才能相加减 ( )) ………………………………
为什么小数相乘不需要对齐小数点 ( )) …………………………
为什么除数是小数的除法要把除
数转化成整数后再除 ( ) ………………………………………
为什么“)”不能作除数 ( ) ………………………………………
求积的近似值和商的近似值有什么不同 ( ) ……………………
为什么两数相除(除数不为零)不会得
到无限不循环小数 ( ) …………………………………………
怎样把循环小数化为分数 ( ) ……………………………………
无限小数、无限循环小数和!有什么区别 ( …………………
什么是准确数和近似数 ( !) ………………………………………
什么叫有效数字 ( ) ………………………………………………
为什么) + 和) + )有时相等有时又不等 ( ) ……………………
为什么异分母分数不能直接相加减 (% )) …………………………
怎样比较异分母分数大小 (% ) ……………………………………
为什么不用通分能很快算出一些复杂的分数加减法 (% ) ………
繁分数和连分数有什么区别 (% %) …………………………………
等式和方程式有什么区别 (% ……………………………………
什么叫综合法和分析法 (% ………………………………………
怎样求等差奇数列的和 (%) ………………………………………
什么情况下, -. , 0. (% ) ………………………………………
· ! · 新编十万个为什么 !!!!!!!!!!!! 数“ ! ” ( ) …………………………………………………………!是超越数 ( ) ……………………………………………………
什么是最小数原理 ( %) ……………………………………………
什么是孪生素数 ( ) ………………………………………………
什么是“亲和数” ( ) ……………………………………………
什么样的数能组成勾股数 ( ) ……………………………………
什么是默比乌斯带 () ……………………………………………
什么是黄金分割矩形 ( …………………………………………
为什么直角三角形分割成全等三角形的个数
不一定是完全平方数 ) ………………………………………
为什么答案是错的 ) ……………………………………………
圆面积与圆周长的一种特殊关系 ) ……………………………
为什么圆的周长的计算是极限问题 %) …………………………
为什么两箱铁球一样重 +) ………………………………………
为什么五面体,四面体可能等于五面体 ) ……………………
怎样进行应用题验算 )) …………………………………………
列方程解应用题的关键是什么 ) ………………………………
怎样利用“假设”的数学思想解答应用题 ) …………………
怎样利用“转化”的数学思想解答应用题 …………………
怎样利用“对应”的数学思想解答应用题 ( ) …………………
怎样用“点图”的思考方法解答应用题 ( ) ……………………
怎样利用“倒推法”灵活巧妙地解决实际问题 ( ) ……………
怎样利用“列举法”解答应用题 ( %) ……………………………
怎样利用“加法原理”解决生活中的实际问题 ( ) ……………
怎样利用“乘法原理”解决生活中的实际问题 ( ) ……………
什么叫等差数列和等差数列通项公式 ( ) ………………………
怎样应用“等差数列求和”公式解决实际问题 () ……………
为什么已知 ( ( 年元旦是星期三,就能很快
· ! · ! 目 录推出! 年“六一”儿童节也是星期三 ( ) …………………
不翻日历,你能算出某一天是星期几吗 ( ) ……………………
你知道数的概念的发展吗 ( ) ……………………………………
虚数形成的历史 ( %) ………………………………………………
是谁首先用 (’ )表示函数的 ( ………………………………
古代数学史上的第一个极值问题 ( )) ……………………………
为什么“卡尔丹公式”有一段不公正的历史 ( ) ………………
为什么巴黎科学院宣布不再审查
三大难题的“论文” ( ) ………………………………………
关于国际数学奥林匹克竞赛 ( +) …………………………………
为什么说这是“墓碑上的数学” (+ ) ……………………………
什么是“高斯问题” (+ !) …………………………………………
为什么小高斯算得这么快 (+ ) ……………………………………
什么是“陈氏定理” (+ …………………………………………
为什么欧几里德的“第五公设”不是定理 (+ )) …………………
为什么“虚几何学”是非欧几何 (+ ) ……………………………
为什么说祖日 恒是“最早提出微积分思想”的人 (+ ) ……………
康托尔和他的集合论 (+ +) …………………………………………
“理发师悖论”的数学背景是什么 (, ) …………………………
你知道谁是三角学的主要奠基人吗 (, ,) …………………………
你知道什么是“菲尔兹奖”吗 (, !) ………………………………
何谓秦九韶“三斜求积术” (, ) …………………………………
什么是《算经十书》 (, …………………………………………
什么是《周髀算经》 (, …………………………………………
什么是《九章算术》 (, )) …………………………………………
什么叫“抽屉原则” (, ) …………………………………………
什么是“中国剩余定理” (, +) ……………………………………
什么是“幻方” (, , ,) ………………………………………………
· ! · 新编十万个为什么 !!!!!!!!!!!! 什么是“百鸡问题” (! ! ) …………………………………………
什么是“牛吃草”问题 (! ! ) ………………………………………
为什么数学也会发生危机 (! ! ) ……………………………………
五角星的壮歌 (! % ) …………………………………………………
三个二、三个三与三个四 (! % !) ……………………………………
填数字的卡片 (! %) …………………………………………………
哪些灯还亮着 (! % ) …………………………………………………
为什么这是一个胜负已定的游戏 (! % ) ……………………………
为什么毕达哥拉斯三元数之积能被( 整除 (! % ………………
为什么你不能中奖 (! % ) ……………………………………………
破碎砝码的妙用 (! % )) ………………………………………………
为什么两个桶里的水还会一样多 (! % ) ……………………………
为什么三人同时猜出了帽子的颜色 (! !) …………………………
为什么“对称”意识能使你在游戏中获胜 (! !) …………………
为什么一张牛皮占有的土地上能建筑一座城堡 (!) ……………
长绳的妙用 (! ) ……………………………………………………
为什么客满的旅馆还能住进一位客人 (! ) ………………………
为什么用尽旅馆的所有房间却装不下
短线段上的点 (! ………………………………………………
为什么模糊数学并不模糊 (! ) ……………………………………
为什么存在突变理论 (! )) …………………………………………
为什么把海王星叫做“笔尖上的星” (! ) ………………………
什么是叙古拉猜想 (! ) ……………………………………………
札波里的奇想 (! ) …………………………………………………
信息科学
什么是“信息高速公路” (! %) ……………………………………
信息反馈是怎么回事 (! ) …………………………………………
· ! · ! 目 录什么是第五次信息革命 (! ) ………………………………………
电子出版物经历了哪几个发展阶段 (! ) …………………………
电子书刊的特点是什么 (! ) ………………………………………
什么是音像出版物 (! ) ……………………………………………
什么是无线电接力通信 (! %) ………………………………………
为什么对流层散射通信距离远、容量大、可靠性高 (! ) ……………………………………………………
为什么流星余迹也可以用来通信 (! ……………………………
微波通讯为什么发展这么快 (! !) …………………………………
为什么在海洋里不能像在宇宙空间那样使用雷达 (! )) …………
什么是莱塞雷达 (! ) ………………………………………………
雷达为什么能够测风 (!) …………………………………………
雷达是怎样测雨的 (! ) ……………………………………………
怎样利用雷达探测雷电 (! ) ………………………………………
为什么说无线监听可追求更高感受 (! …………………………
为什么说无线话筒让人们自由地卡拉 + (! !) …………………
使用语音识别技术,能让机器人听懂人的话吗 (! !) ……………
你知道什么是光通信吗 (! ,) ………………………………………
通信线路是如何发展的 (! )) ………………………………………
电话为什么打不通 (! ) ……………………………………………
什么是- .电话 (! ) ………………………………………………
你知道电话是怎样工作的吗 (! ) …………………………………
买 0 1视盘机时,单碟机和三碟机选哪个比较好 (! %) ………
目前,1 1为什么不能快速取代 0 1 (! ) ……………………
为什么说影视点播( 1)业务潜在市场很大 (! …………
什么是数字照相机 (! !) ……………………………………………
什么是电子计算机 (! ,) ……………………………………………
为什么把电子计算机叫做电脑 (! )) ………………………………
· ! · 新编十万个为什么 !!!!!!!!!!!! 谁最先发明了电子计算机 (! ) ……………………………………
电子计算机的发展经历了哪几个阶段 (! ) ………………………
什么是第五代电子计算机 (! ) ……………………………………
为什么计算机有记忆能力 (! %) ……………………………………
为什么计算机要用二进位制 (! ) …………………………………
为什么计算机要有特殊的机房 (! %) ………………………………
为什么计算机要有兼容机 (! % ……………………………………
为什么计算机会干活 (! % ) …………………………………………
为什么计算机会判卷 (! % )) …………………………………………
为什么计算机会下棋 (! % ) …………………………………………
为什么计算机会看病 (! % %) …………………………………………
为什么计算机会唱歌 (! % ) …………………………………………
为什么计算机能猜出你的年龄 (! ) ………………………………
计算机的智力会超过人吗 (! !) ……………………………………
为什么会出现计算机犯罪 (! ……………………………………
为什么计算机能缩短动画片的制作周期 (! ) ……………………
为什么计算机会感染上病毒 (! ) …………………………………
为什么可以用“黑箱方法”了解和使用
电子计算机 (! ) …………………………………………………
为什么有人说二进制起源于中国 (! )) ……………………………
什么是计算机的科学记数法 (! ) …………………………………
怎样让计算机输出数学用表 (! %) …………………………………
怎样让计算机输出乘法口诀表 (’ ) ………………………………
怎样让计算机出算术题 (’ !) ………………………………………
为什么能跟计算机玩“剪刀,钉锤,布”的游戏 (’ …………
为什么说电脑是设计师 (’ )) ………………………………………
为什么说电子计算机是绘画大师 (’ ) ……………………………
电子计算机有哪些基本组成部分 (’ %) ……………………………
· ! · ! 目 录电子计算机的基本功能是什么 (! ) ………………………………
什么是鼠标 (! ) ……………………………………………………
使用磁盘和磁盘驱动器应注意哪些事项 (! ) ……………………
怎样查看磁盘文件目录 (! !) ………………………………………
怎样复制一个系统主盘 (! %) ………………………………………
怎样格式化新盘片 (! ) ……………………………………………
怎样把’ ( ) +程序存在磁盘上 (! ,) ……………………………
怎样读入和运行磁盘上的’ ( ) +程序 (! -) ……………………
什么是调制解调器 (! .) ……………………………………………
什么是 0 1内存 (! .) ……………………………………………
什么是传输介质 (! ) ………………………………………………
什么是2 3 4 5 6 7 8浏览器 (! ! ) ………………………………………
什么是闪速存储器 (! ! ) ……………………………………………
为什么有的芯片叫9 8 : 4 ; < =,有的又叫> . ,呢 (! ! ) ……………
如何在 ? ; : @ 3 A B C D中设置调制解调器 (! ! !) …………………
为什么调制解调器又叫“猫” (! ! %) ………………………………
什么叫路由器 (! ! ) …………………………………………………
什么是计算机软件 (! ! >) ……………………………………………
为什么计算机要有软件 (! ! >) ………………………………………
为什么说软件是计算机的灵魂 (! ! -) ………………………………
为什么计算机要有程序设计语言 (! ! .) ……………………………
为什么要学习电子计算机的语言 (! ! ) ……………………………
什么是0 1 ),怎样引导0 1 ) (! % ) ………………………………
还有哪些常用0 1 )命令 (! % ) ……………………………………
5 6 7 6语言是什么样的程序结构 (! % %) ………………………………
什么是“千年虫” (! % %) ……………………………………………
你知道形形色色的电脑病毒吗 (! % ) ………………………………
为什么要发展因特网 (! % ,) …………………………………………
· ! · 新编十万个为什么 !!!!!!!!!!!! ! % 有什么特点 ( …………………………………………! % 上有哪些音乐网址 ( )) …………………………………
怎样进行入网登录 ( ) ……………………………………………
上网有哪些技巧 ( ) ………………………………………………
怎样提高访问! % 的速度 ( + ,) ………………………………
怎样在! % 上寻人 ( + -) ………………………………………
什么是防火墙 ( + ) …………………………………………………
什么是. 0 ( +) …………………………………………………
怎样选择网卡 ( + +) …………………………………………………
通过有线电视上网是怎么回事 ( + +) ………………………………
你知道怎样办理入网手续吗 ( + 1) …………………………………
计算机网络有哪些种类 ( + 2) ………………………………………
何谓网络互连功能 ( + ……………………………………………
什么是家庭网络 ( + )) ………………………………………………
互联网上唱片公司是怎样工作的 ( + ) ……………………………
有线电视全国联网能一蹴而就吗 ( 1 ,) ……………………………
什么是! 3地址 ( 1 ,) ………………………………………………
你知道如何进行拨号上网吗 ( 1 ) …………………………………
你知道上网需要支付哪些费用吗 ( 1) ……………………………
上网怎样省钱 ( 1) …………………………………………………
为什么说远程教学有很大的市场吸引力 ( 1 1) ……………………! % 4 与企业有何关系 ( 1 2) ……………………………………
怎样避开上网高峰 ( 1 ……………………………………………
个人上网需要什么条件 ( 1 ………………………………………! % 有哪些入网方式 ( 1 )) ……………………………………
· ! · ! 目 录数 学
什么叫集合
集合是数学最基本的概念之一。
把一些单独的物体合起来看成一个整体,就形成一个集合
(或集) 。例如:
一个学校的所有学生可以作为一个集合。
某飞机场上所有的飞机可以作为一个集合。
笼子里所有的小鸟可以作为一个集合。
所有自然数可以作为一个集合。
需要注意两点:
第一,集合是指这类事物的全体,而不是指个别事物。
第二,集合中包含的事物必须是确定的,即可以确切判断一
个事物属于不属于这个集合。如“一切自然数” ,它有确定的特
征,可以组成一个集合。 “一切大的数”这种说法没有表示出确
定的界限; “骄傲的小花猫” ,对此无法作出明确的判断,所以这
些都不能分别组成一个集合。
集合一般用大写字母!、、、、%、等表示。
组成集合的各个物体,叫做这个集合的元素(或“元” ) 。例
如:
一个学校的每个学生是这个学校学生集合的一个元素。
某飞机场的每架飞机是这个飞机场集合的一个元素。
笼子里的每只小鸟是笼子里小鸟集合的元素。
是自然数集合的一个元素。
· ! · ! 数学·信息卷必须注意:集合中的元素一定要相异的。如:!、、、
这四个数可以组成一个集合,而不能由!、!、!、组成一个集
合,因为这里的个!是同一个元素。
集合中的元素一般用小写字母% 、 、 、( 、)等表示。!个书包也可以作为一个集合,这个集合只有一个元素,就
是这个书包。!个人也可以作为一个集合,这个集合也只有一个
元素,就是这个人。
只有一个元素的集合叫做单元素集。
集合中的元素可以是有限多个,也可以是无限多个,如自然
数集,它的元素是无限多个。
由无限个元素所组成的集合作叫做无限集。
一个学校的学生是有限的,所以一个学校学生的集合是有限
集。
集合怎样表示
集合的表示法有三种。
列举法:把一个集合的所有元素一一列举出来,放在 { }
里面。例如:
全体自然数的集合用来表示。
记作: { !,,,……}
小于,的自然数集合用-表示。
记作:-+ { !,,,}
描述法:用文字来描述一个集合的特征。
例如:全体自然数组成的集合用表示。
记作: { 全体自然数}
小于,的自然数组成的集合用.表示。
记作:.+ { 小于,的自然数}
· ! · 新编十万个为什么 !!!!!!!!!!!! 除了上述表示法以外,还可以在一个集合的所有元素外面画
一个圈,直观地表示这个集合。这种图叫韦恩图(韦恩是英国的
一位逻辑学家) 。小学数学课本就采用这种表示法。
若!是集合中的一个元素,我们就说!属于集合。用!
表示“属于” ,写作:! !。
例如:锐角三角形属于三角形集合,写作:锐角三角形!
{ 三角形} 。
反过来,若!不是集合中的一个元素,我们就说!不属
于集合,用表示“不属于” ,写作:! 。
例如:正方形不属于三角形集合,写作:正方形 {三角
形} 。
什么叫子集
请看下面一组集合。
{ %、、’}
( { %、、’、)}
{ 、)、’、%}
我们看到,集合的每一个元素都是集合(的元素,我们
就说集合(包含集合 ,包含于(,写作:(或 (
(读作(包含,包含于 ,那么集合 叫做集合(的子
集。
我们又看到,集合 的每一个元素都是集合(的元素,我
们就说集合(包含集合 ,包含于(,那么集合是集合(
的子集。
我们仔细观察集合(包含集合 与集合(包含集合 是
有区别的。集合的每一个元素都属于集合(,但集合(有一
个元素不属于集合,从而得出:
· ! · % 数学·信息卷如果集合!的每一个元素都属于集合,但集合至少有一
个元素不属于集合!,那么集合!叫做集合的真子集。记作:!!或!(读作!包含于,包含!) 。例如:
{ 一个班的学生} { 一个班的男学生}
{ 以内自然数}! { 全体自然数}
{ 直角三角形}! { 所有三角形}
一个班的男学生是这个班学生的真子集。
以内自然数是全体自然数的真子集。
直角三角形是所有三角形的真子集。
我们又看到集合 %的每一个元素都属于集合,而集合
的每一个元素也属于集合 %,从而得出:
如果集合!包含集合,且集合包含集合!,则集合!
与相等。即
如果!且! 则!’
由此可见,两个集合是否相等,只要看它们是否由相同的元
素组成,而与元素的排列顺序无关。如:!’ { ,(,)}
{ ),(,}
{ 小于+的自然数}
,’ { -的约数,-除外}!’’’,子集包括真子集与集合相等两种。
每个集合是这个集合本身的子集。空集也是任何一个集合的
子集。!’ { . , , 0 }集合!有1个子集,即: { . }{ }{ 0 }
{ . , }{ . , 0 }{ , 0 }{ . , , 0 }
一个非空集合至少有两个子集,即集合本身和空集。
在小学数学教材中渗透了一些子集思想。例如用韦恩图表示
· ! · 新编十万个为什么 %%%%%%%%%%%% 四边形的关系。
什么叫交集
由集合!和集合的共同元素组成的集合,叫做!与的
交集。写作!!。
例如: { ,,%,, (}! { (, ), (,’ ),’ (}
{ (}
又如:+ { , ,- , . } { . }
+! { . }
当+ +!
当是+的子集时,是+、的交集。
如果集合!和集合(都不是空集) ,没有共同的元素,它
们的交集是空集。! { ,’,} { , ,- , . }!! { } 或!!
我们就说!与是不相交集。
在小学数学教材中渗透了一些交集的思想。例如韦恩图表示
两个数的公约数和公倍数。
什么叫并集
两个集合!、中的元素合在一起组成的新集合,叫做!与
的并集(若!、有共同元素,只列举一次) 。写作!。
例如:! { ,’,} { 0,(,}! { ,’,,0,(,}
又如:+ { , ,- , . } { 1 , 2 , . }
注意:+、的公共元素.只算一次,这与数的加法不同。
· ! · % 数学·信息卷!! { ,% , ,’ , ( }
再如:) { ,,} { ,})! { ,,}
当%) )!)
是)的子集时,)是、)的并集。
从集合的观点来看,加法运算就是求两个不相交集的并集的
基数。例如:
+,-.
两个不相交集的基数都叫做加数,加法的运算符号叫做加
号。加得的结果,即两个集的并集的基数,叫做和。
什么叫差集
两个集合)、,若集合的所有元素属于)但不属于,就叫做)与的补集。写作:)0或) 。
例如:) { 1 2 2以内的自然数}
{ 能被.整除的自然数}
)0 { 1 2 2以内不能被.整除的自然数}
在这里)不包含。
特殊情况,若集合是集合3的子集,把集合3看作全集,那么3与的差集3 0,叫做在3中的补集。写作:。
例如: 3 { 全校的学生}
{ 全校的男生}
{ 全校的女生}
3 00
反过来,。
从集合的观点来看,减法运算是已知两个集合(不相交)的
并集的基数,以及其中一个集合的基数,求另一个集合的基数。
· ! · 新编十万个为什么 也可以看作是求集合!与集合(必须是的子集)的差集的
基数。
什么叫空集
集合可以没有元素。一个元素也没有的集合叫做空集。写
作:!或 { } 。
例如:光华小学通知说: “数学不及格的同学在本星期六下
午补考。 ”五年级一班没有数学不及格的同学,所以“五年级一
班数学不及格同学”这个集合没有元素,它就是一个“空集” 。
又如:没有小于%的自然数,因此小于%的自然数是一个空
集。! { 小于%的自然数} 。
空集和“”的概念不一样,如小学数学第一册教材讲“”
的时候是这样讲的:圈里有’个茶杯,记作“’” ,圈里有%个茶
杯,记作“%” ,圈里%个茶杯也没有,记作“” ,这里的“’” 、“ %” 、“”都指的是元素的个数,也就是基数,“基数为的集
合”叫空集。
空集和只含有一个元素的集合也不一样,只含有一个元素
的集合是单元素集,记作:{ } 。
什么叫等价集合
两个集合、,如果集合里的每个元素,都和集合里
一个唯一的元素对应;反过来,集合里的每个元素,都和集
合里一个唯一的元素对应,我们就说这两个集合的元素是一
一对应的。
两个集合、,如果它们的元素一一对应,两个集合叫做
等价集合。记作:!。例如:左手手指的集合和右手手指的
· ! · 数学·信息卷集合是等价集合。
我们数数就是利用了等价集合的元素一一对应性质。例如:
{ ! ! ! ! ! ! }
{ ! % }
数到最后一个圆圈“” ,就是圆圈这个集合的元素的个数
(这个集合的基数)是。
利用一一对应,可以比较两个集合的元素的个数。例如:
{ !!!} { }
{ }相等 { }比多
对于有限集合,如果两个集合等价,那么它们的元素个数相
等,对于无限集合来说,则不是这样。如:
自然数集合’ { !,,……}
偶数集合’ { ,,……}
很显然,偶数集合是自然数集合的真子集,因此,初看起来
偶数集合里的元素“个数”要比自然数集合少,但是偶数集仍然
可以和自然数集建立一一对应的关系,因而这两个无限集合是等
价的。
由此可见,一个集合能否与它的真子集等价,是区别有限集
合与无限集合的分界线。
什么叫函数
在某一过程中可以取不同数值的量,叫做变量,在这一过程
中保持一定数值的量,叫做常量。表示常量的数叫做常数。
例如:一台抽水机每秒钟抽水 (千克,那么抽水总量)和
时间之间有下面的关系:) ( 。 ,)都可以取不同的数值,都是变量, (千克在抽水过程中保持不变的量。
对于自变量的每一个确定的值,另一个变量都有确定的值和
· ! · 新编十万个为什么 %它对应,这样的变量叫做自变量的函数。
如上例:时间!的值可以在!!的范围内任意选取,对于!的每一个确定的值,抽水总量都有唯一确定的值和它对应。! (小时) % ( ……
(千克) ) % ( ……!是自变量,是!的函数。
如果是!的函数,一般可以记作: + , (! ) 。
自变量的取值范围叫做函数的定义域。
在小学数学教材中渗透函数知识。
+! -((一次函数)
+) ! (正比例函数)
+.!(反比例函数)
+! %(二次函数)
什么叫自然数
我们数物体时,用来表示物体个数的、%、、’、(、)、、0、、 、 ……叫做自然数。
在自然数中,是最小的。任何一个自然数都是由若干“”
组成的。所以,是自然数的单位。如果从起,把自然数按照
后面的一个数比前面的一个多“”的顺序排列起来,就得到一
列数:
、%、、’、(……
这个由全体自然数依次排列成的一列数叫做自然数列。自然
数列有以下性质:
· ! · 数学·信息卷一、自然数列是有始的,!是自然数列最前面的一个数;
二、自然数列是有序的,即自然数列每一个数的后面都有一
个而且只有一个后继数。
三、自然数列是无限的,即自然数列里不存在“最后”的
数。
为什么说“”不是自然数
自然数是表示“有”的符号,是从数物体个数的过程中产生
的,因此,它是对数量的肯定;而在实践中,常常会遇到一个物
体也没有的情况,如房间里一个人也没有,盒子里一支笔也没有
等等, “”是表示“没有”的符号,是对数量的否定。
“”是一个数,但不是自然数,它小于自然数!,也就小于
一切自然数。
“没有”用“”来表示,但是“”不仅仅表示“没有” ,在
特定的条件下, “”还含有特定的内容。
“”既不是正数,也不是负数,它是仅有的一个中性数。
“”是正负数的分界,它对应于数轴上的一点,便决定了其它各
点的位置。从“”点起,在一条直线上的某一方面被定为正,而相反的方向则为负。因此,数轴上原点“”比表示正负数的
任何点都更为重要。
在温度计上, “”度是零上温度和零下温度的分界线。当气
温是“”摄氏度时,我们可以实实在在地感觉到它的存在,因
此,不能说“”度是“没有”温度。
“ ”在记数中可以用来占位。在一个四位数中,千位是,百位、十位、个位上没有数,就要用“”来占位,写成 ,这里的“”既不能随意增添,也不能随意删去,增添了,使原
数扩大若干倍,删去了,使原数缩小若干倍,造成错误。
· ! · 新编十万个为什么 !!!!!!!!!!!! “ !”可以参加运算。任何数与!相加,它的值不变。即:
! ,! 。任何数减!,它的值不变。即: %! 。相
同的两个数相减,差等于!。即: % !。任何数与!相乘,积
等于!。即:!!,!!。!被非零的数除,商等于!。
即: !!,!’ !。
“!”是一个偶数,因为它能被(整除; “!”是任意自然数的
倍数; “!”不能作除数,因为它作除数是无意义的,或是商不存
在的,或是得不到确定的商; “!”可以作为刻度的起点; “!”的
相反数还是!; “!”没有倒数; “!”和自然数都是整数。
随着数学知识的不断扩充,对“!”的认识也将更加全面。
如引入绝对值的概念之后, “!”的绝对值等于!,即: ! !;
引入指数的概念之后,任何非零的数的!次幂等于),即:!!, !)……
为什么要建立进位制
人类早期,为了数猎物、果实等物体的需要,逐渐产生了
数。人的手指是最早的计数工具。随着生产力的不断发展,人们
在实践中接触的数目越来越多,也越来越大,因而需要给所有自
然数命名。但是自然数有无限多个,如果对于每一个自然数都给
一个独立的名称,不仅不方便,而且也不可能,因而产生了用不
太多的数字符号来表示任意自然数的要求,于是,在产生记数符
号的过程中,逐渐形成了不同的进位制度。可能由于人们常用十
个手指来计数的缘故,多数民族都采用了“满十进一”的十进
制。
按照十进制计数法,我国是这样给自然数命名的。自然数列
的前九个数各给以单独的名称,即:一、二、三、四、五、六、七、八、九;按照“满十进一”规定计数单位。 ) !个一叫做十,· ! ! · 数学·信息卷! 个十叫做百,! 个百叫做千,! 个千叫做万,! 个万叫做十
万,! 个十万叫做百万,! 个百万叫做千万,! 个千万叫做万
万,再给以新的名称叫做亿,亿以上又有十亿,百亿,千亿等
等。这样,每四个计数单位组成一级,个、十、百、千级称为个
级,万、十万、百万、千万称为万级,亿、十亿、百亿、千亿称
为亿级等等。
其他自然数的命名,都由前九个数和计数单位组合而成。例
如,一个数含有个千、个百、%个十、个一,就称作三千
四百五十六。并且规定,除个级外,每一级的级名只在这一级的
末尾给出。例如,一个数含有%个百万,’个十万,个万,就
称作五百二十六万。
世界上许多国家的命数法不是四位一级,而是三位一级,!
个千不给新的名称,就叫十千,到千千才给新的名称— — —密(译
音) ,这样从低到高,依次是:个、十、百(是个级) ;千、十
千、百千(是千级) ;密、十密、百密(是密级)等。
为什么有了十进
位制,还要有二进位制
用十进位制来记数和运算,是大家都很习惯和熟悉的事。十
进位制采用“满十进一”的“十进”计数、读数、写数的方法,即相邻的两个单位间的进率是十,有十个记数符号:、!、’、、、%、、(、)、,把它们写在不同的数位上,数字所代表
的数值就不同。所以,用十个数字与位置相结合,就可以写出一
切自然数,是世界各个国家通常使用的一种进位制。
为什么有了十进位制以后,还要有二进位制呢?二进位制是
什么样的,它有什么特别呢?
二进位制是“满二进一” ,写一个二进位制的数只有和!
· ! · 新编十万个为什么 !!!!!!!!!!!! 两个数字,根据位值原则, “一”至“十”各数的写法如下:
一记作!, 二记作! ,三记作! !, 四记作! ,五记作! !, 六记作! ! ,七记作! ! !, 八记作! ,九记作! !, 十记作! ! ,用和!这两个数字,也可以写出任何数值的数来。
由于二进位制只有两个基本数和!,这就优于十个数字的
十进位制,只要找到有两种稳定状态的元件,就可以用来表示二
进位制的数了,在自然界中具有两种稳定状态的元件是很多的,如开关的“开”和“关” ,纸带有“有孔”和“无孔” 。只需“通
电”和“断电”两种信号来表示和!,所以,二进位制被广泛
应用于电子计算机中。
采用二进位制还能使计算简单化。如果用二进位制做加法,对每一位来说只可能有种情况:%,!%!,!%!,!!%! 。而十进位制做加法,情况就要复杂得多,,!,,……!,!!,…,!,,……’,’
!,’,……(,(!,……((等! 种情况。做减
法、乘法、除法也同样是二进位制只有几种情况,十进位制有近
百种情况。在四则运算中,满足四种情况自然优于满足一百种情
况,由于算法简单,也就使电子计算机的运算器结构简单一些。
因此,二进位制的产生,是因为它具有一定的有利条件和适
应现代化建设的需要。
十进位制和二进位制是两种不同的进位制。平时,人们习惯
使用的是十进位制的数,而电子计算机运算是用二进位制的数,当电子计算机运算后得到二进位制的数以后,人们仍将用十进位
制数把它表示出来,所以,两种不同的进位制之间是可以进行换
算的,关于这个问题,以后有机会我们再作介绍,你不妨自己试
· ! · ! 数学·信息卷着先研究研究。实际上,电子计算机里也配备有将两种进位制进
行换算的程序,这是人类智慧的结晶。
什么是二进数和八进数
用几进制写出的数,我们就简称它是几进数,用十进数写出
的数,就叫做十进数。二进数和八进数,就是分别用二进制、八
进制写出的数。
在一种进位制中,某一单位满一定个数就组成一个相邻较高
的单位,这个一定的个数就叫做这种进位制的底数。例如,十进
制的底数是! ,八进制的底数是,二进制的底数是。进位制
的底数是!以外的任何自然数。
每一种进位制都可以按照位值原则来记数。由于每种进位制
底数不同,所用数字个数也不同。十进制要用包括在内的十个
数字;八进制要用包括在内的八个数字,即!,,%,,’,(,)和;二进制只用!和两个数字。由于二进制只有两个数
字,决定了它的运算法则比较简单,并且由于!和可以与开和
关,有孔和无孔等建立对应,所以二进制广泛应用于电子计算机
中。但是,用二进制记数位数比较多,使用很不方便,因此,在
编制计算机的解题程序和在控制台的实际工作中,在二进制的基
础上,有的采用八进制。
为了标明是哪个进位制中的数,一般在数的右下角注出进位
制的底数。十进数除特殊需要以外,一般不注出底数。
用二进制记数的原则是“满二进一” ,例如,零写作 ,一写作(!) ,二写作(! ) ,三写作(! !) ,四写作(! ) ,五写作(! !) ,六写作(! ! ) ,七写作(! ! !) ,八写作
(! ) 。
因为二进制是满二进一,所以二进数的各个数位上的计数单
· ! · 新编十万个为什么 !!!!!!!!!!!! 位是:从右边起,第一位是一(! ) ,第二位是二 ,第三位
是四(! !) ,第四位是八(! ) ,第五位上是十六(! %)……
用八进制记数的原则是“满八进一” ,例如八写作( ) ,九写作( ) ,六十四写作( ) 。
因为八进制是满八进一,所以,八进数的各个数位上的计数
单位是:从右边起,第一位是一( ) ,第二位是八( ) ,第三
位是六十四( !) ,第四位是五百一十二( )……
十进数和二进数怎样互相换算
要把一个十进数化成二进数,根据满二进一的原则,用底数!去除这个十进数,所得的余数是二进数的第一位数;第二次用!去除第一次除得的商,所得的余数是二进数的第二位数;第三
次是用!去除第二次除得的商,所得的余数是二进数的第三位数……继续除下去,直到商余为止,最后所得的余数就是二进
数最左边的一位上的数。
例如,把’ (化成二进数。
! (……(余数是二进数的第一位数)
! (……(余数是二进数的第二位数)
!(……(余数是二进数的第三位数)
!%……(余数是二进数的第四位数)
%)!!……(余数是二进数的第五位数)!)!……(余数是二进数的第六位数)
)!……(余数是二进数的第七位数)
按简头顺序写,就得:
(( ) !
要把一个二进数化成十进数,先将二进数写成底数!的幂的
和的形式,再按照十进数的计算法则算出结果,就是这个二进数
· ! · ! 数学·信息卷化成的十进数。
例如,把(! ! ! !) 化成十进数。
( ! ! ! !) !%!% (’% )’%!%% !
!% )’’’)’’!! !
十进数和八进数怎样互相换算
要把一个十进数化成八进数,根据满八进一的原则,用底数
+去除这个十进数,所得的余数是八进数的第一位数;第二次用
+去除第一次除得的商,所得的余数是八进数的第二位数;第三
次用+去除第二次除得的商,所得的余数是八进数的第三位数……继续除下去,直到商为止,最后所得的余数就是八进数最
左边的一位上的数。
例如,把) !化成八进数。) !(, ! +
要把一个八进数化成十进数,先将八进数写成底数+的幂的
和的形式,再按照十进数的计算法则算出结果,就是这个八进数
化成的十进数。
例如, ( +%+%+ !’(%+ !
为什么时间和角
度的单位采用六十进位制
时间的基本单位是“小时” ,角度的基本单位是“度” 。从表
面看来,两者之间没有什么关系,可是,为什么它们都分成分、秒等名称相同的低级单位呢?为什么又都采用六十进位制呢?我
们仔细研究一下,就可以发现,这两种量之间有着密切的联系。
我们的祖先在研究天文和历法的时候,观察地球自转的角度是和
· ! · 新编十万个为什么 !!!!!!!!!!!! 时间紧密联系在一起的。因为历法需要较高的精确度,时间单位
“小时”和角度单位“度”都嫌太大,必须进一步研究它们的低
级单位。
因为! 有 个约数,它能使
、
%、
、
、!……都能
成为它的整倍数。以! 作单位,那么
(% ! ,即% 个! ;
%(
! ,即 个! ;
(! ,即个! ;
( ! ,即 个! ;!
( ! ,即 个! ……等,说明六十进位制有它的好处。数学上
习惯地把小时的! 和度的! 的单位称作分,用符号“ ) ”
来表示;把分的! 的单位称作秒,用符号“ ”来表示。如
果是’分% 秒,可以记作’ ) % ; +度分 %秒,可以记作
+ , ) % 。
在体育比赛中,往往用到比“秒”还要精确的时间来说明比
赛的成绩,如男子一百米短跑的世界记录是- - ,表示:九又
百分之九十秒。
什么是小九九
小九九是乘法口诀中的一种。乘法口诀(也叫“九九歌” )
在我国很早就已产生。远在春秋战国时代,九九歌诀就已经广泛
地被人们利用。在当时的许多著作中,已见引用部分的乘法口
诀。完全的乘法口诀,最早见于《孙子算经》 ,从“九九八十一”
起到“一一如一”止共句口诀。敦煌发现的古“九九术残木
简”上也是从“九九八十一”开始的。 “九九”之名就是取口诀
开头的两个字。大约在宋朝(公元 、 %世纪)九九歌的顺序
· ! · ! 数学·信息卷才变成和现代用的一样,即从“一一如一”起到“九九八十一”
止。元代朱世杰著《算学启蒙》一书所载的! 句口诀,就是从
“一一”到“九九” ,并称为九数法。
由于我国语言都是单音节,九九口诀非常简捷方便,是我国
特有的提高乘、除计算能力的一种方法。
现在用的乘法口诀有两种,一种是! 句的,通常称为小九
九,还有一种是 句的,通常称为大九九。
什么叫整除
整数%除以整数(!’) ,除得的商正好是整数而没有余
数,我们就说%能被整除,记作% ( ,或者说整除% ,记作
% 。
判定一个整数能不能被另一个不为零的整数整除,只要进行
除法运算,如果所得的余数是’,就是整除的情况;如果所得的
余数不是’,就是不能整除的情况。如果%不能被整除,或者
说不能整除% ,记作 % 。
例如,)能整除 +,)不能整数 ,记作) +,) 。
应该注意,整除的概念是在整数范围内讨论的,只有当被除
数、除数和商都是整数(除数不能是零)时,才能叫做整除。引
进小数后,出现了),-! . ,+ . ,- . , . ,’ . - 0的
情况,只能说被除数能被除数除尽,而不能说整除。因此,整除
和除尽是两个完全不同的概念,应当严格区分。数%能被数整
数,数%必然能被数除尽,如果数%能被数除尽,数%不见
得能被数整除。因此,整除是除尽情况的特例。
· ! · 新编十万个为什么 %整除有哪些性质
性质! 如果甲数整除乙数,而乙数整除丙数,那么甲数必
整除丙数。这一性质称为传递性,可以表示为:
如果 ! , ! ,那么 ! 。
例如:% ! , ! !,那么% ! !。
性质% 如果两个数都能被一个数整除,那么它们的和或差
也能被这个数整除。这一性质称为“和、差整除性质” ,可以表
示为:
如果 ! !, ! %,那么 !( !( %)
例如:) ! ,) ! + ,,那么) !( (+ ,) ,即) ! ! -,) ! !。
注意:对于差的情况,小学数学中要求. !. %-,待引入
负数后,这一限制可以去掉。
性质 如果两个整数. !、. % 中,有一个能被整除,而
另一个不能被整除,那么它们的和(或差)一定不能被整
除。
例如: ! % 0, ! -。
而 % 01! -2 0 % 0! -2! 0
那么 0, ! 0
性质+ 如果一个整数能被一个自然数整除,那么这个整数
与另一整数的积也能被这一自然数整除。这一性质简称为“积的
整除性质” ,可以表示为:
如果 ! ,3为整数,那么 ! 3 。
例如:! ) ! ,0 24%
那么 , ! ) ! 0 。
由此还可以得出:如果一个自然数能整除几个整数中间的某
一个,那么,它必能整除它们的积。
· ! · %%%%%%%%%%%%% 数学·信息卷例如:因为! !
所以! ! %!
怎样判别能被或(、)或 (、’或! (整除的数
一个数能被(或整除的特征:一个数的末一位数能被
(或整除,这个数就能被(或整除。否则不能被
(或整除。
例如:判断% ! )、 能否被、(整除。
因为% ! )的末位数是)能被整除,不能被(整除,所以
% ! )…,% ! )不能被(整除。
因为 的末位数是能被、(整除,所以 …, …(。
我们知道,任何一个自然数,都可以表示成! 的幂的和的
形式。例如:
% ! )+%! ,!! ,! ,)
把这个等式改写成:
% ! )+(%! ,!! !,)! ,)
这个等式的右边是两部分数的和,其中第一个加数中有因数! ,! 能被或(整除,根据数的整除性质),第一个加数一定
能被或(整除。又根据数的整除性质,决定% ! )能否被或
(整除是第二个加数)(也就是这个数的末位数)能否被或(
整除。
一个能被)或 (整除的数的特征是:这个数的末两位数能
被)或 (整除。
例如:判断% ! 、! % (能否被)、 (整除。
因为% ! 的末两位数 能被)整除,不能被 (整除,所
· ! · 新编十万个为什么 以! …%,! 不能被 整除。
因为 ! 的末两位数! 不能被%整除,能被 整除,所
以 ! 不能被%整除, ! … 。
同样道理 ! +’) +!)
()) +!
这个等式右边的第一个加数中有因数 , 能被%或
整除,第一个加数一定能被%或 整除。决定 ! 能否被%或
整除是第二个加数! (也就是这个数的末两位数)能否被%
或 整除。
一个能被’或 整除的数的特征是:这个数的末三位数能
否’或 整除。
例如:判断, 、! ! 能不能被’、 整除。
- ! .’ ! , ;- . , ;-’ ! .’ ! ! ;- ! . ! ! 。
此特征的理由请读者自己想一想。
怎样判别能被或整除的数
能被或整除的数的特征是:这个数的各个数位上的数的
和能被或整除。
例如:判断 ! ,、 ! %能不能被、整除。
-+!++,(, ! , ! ,. ! ! ,, ! ! ,。
-+!++%( , , ! ,. ! %, ! ! %。
我们把 ! ,分解为:
! ,( ! ,( )+ )!+ )+,(( +))+( )))!+(+))+,( )++ )!+!+)++,· ! · 数学·信息卷! %%’(!( %(%’)
这个等式右边的第一个加数中有因数,能被或(整除,因此第一个加数一定能被或(整除。决定% ( )能否被或(
整除是第二个加数%’的和(也就是这个数各个数位上
的数的和)能否被或(整除。
怎样判别能被
、 、 (整除的数
能被’、 、 (整除的数的特征是:这个数的末三位数和末
三位以前的数字所组成的数之差(用两数中较大的数减较小的)
能被’、 或 (整除。
例如:判断 % + (、 + + , % 能不能被’、 、 (整除。
% + (的末三位数是:% + (
末三位数以前的数字所组成的数是:
% + (- ! + ,.’ ! + , + , ( + ,’ ! % + ( % + ( ( % + (
+ + , % 的末三位数是: %
末三位数以前的数字所组成的数是: + + , + + ,- % !’
! ! (
.’ ! + + , % ! + + , %
( + + , %
此特征的理由是:
% + (! + + +% + (! + + (% + (- )
· ! ! · 新编十万个为什么 因为! !%! !%! ,’ (%! !也能被、! !和! 整除就
要看第二个加数) (的差(即这个数末三位数与末三位数以
前的数字组成的数之差)能被、! !或! 整除。
能被! !整除的数的特征:一个数的偶数位上的数之和与奇
数位上数之和的差(大的数作被减数)能被! !整除,这个数就
能被! !整除。
例如:判断+ ) , ) !能否被! !整除。
-(+..).!)(.,.))! ! ! ! ! ! + ) , ) !
怎样判别能被! )、! +、! ,、! (、) !整除的数
一个数既能被整除,又能被+整除(和+是互质数) ,这个数一定能被! )整除。
例如:判断+ , )、 + ! +能否被! )整除。
- ! + , ) + ! + , ) ! ) ! + , )
- ! + ! + + + ! + ! ) + ! +
一个数既能被)整除,又能被整除和是互质数) ,这个
数一定能被! +整除。
例如:判断’ ( 、 + ) , )能否被! +整除。
- ! ( ) ( ! + (
- ! + ) , ) ) ! + ) , )
! + ! + ) , )
一个数既能被整除,又能被,整除(和,是互质数) ,这个
数一定能被! ,整除。
例如:判断 0 ,、+ ) ! 能否被! ,整除。
- ! 0 , , ! 0 , ! , ! 0 ,· ! · 数学·信息卷! ! % % (% ! %
一个数既能被整除,又能被)整除(和)是互质数) ,这个
数一定能被% 整除。
例如:判断 + 、’ % 能否被% 整除。! + ) + (% + ! % ) ! % (% ! %
一个数既能被整除,又能被+整除(和+是互质数) ,这个
数一定能被 %整除。! % % + % % ( % % % ! + , + ! + , ( % ! % + ,
为什么约数和倍数是“双胞胎”
- 、.是任意两个整数,其中.。如果-能被.整除,那
么-叫做.的倍数,.叫做-的约数(也叫因数) ;如果-不能被
自然数.整除,那么,-不是.的倍数,或得说.不是-的约数。
例如0,是的倍数,是的约数。因为 ! +,所以+
不是的倍数,不是+的约数。
约数和倍数表明的是两个数之间的关系,所以是互相依存的
“双胞胎” 。% 0,只能说:“% 是的倍数,是% 的约
数。 ”而不能说: “% 是倍数” ,因为% 是的倍数,% 却不是
的倍数。也不能说: “是约数” ,因为是% 的约数,却不
是% 的约数。
怎样确定一个大
于%的整数有多少个约数
在数学竞赛中,经常出现一个数有多少个约数的题目。怎样
· ! · 新编十万个为什么 %很快确定它们约数的个数呢?我们先来讨论! 共有几个约数?
如果我们把! 的约数一个不落地写出来,再数一数,是能找到
答案的。为达到这个目的,先将! 分解质因数,! %%’
’% %’,下面把! 的约数从小到大写出来,依次为!、%、’、(、)、、! %、! 、% +、’ )、, (、! ,共! %个。这! %个
约数还可用下面数阵的形式列出。! %
% %’ %’ % %’
% % % %’ % %’ % % %’
这个数阵的规律是先将只有%的约数写成一竖列,把只含有
的约数写成一横行,然后把竖列、横行中的一些数的积写在相
应的位置上,这样得到的数阵包含了原数的所有的约数。
在上面的数阵中,每列有’个约数,有(列’(! %,所
以一共有! %个约数。但当数较大时,这样做很麻烦,有没有别
的好方法呢?我们观察等式! % %’,如果把式子中的指数
%与’分别加!,得’和(,而’(正好是! %,与! 约数个数
相同。
因此,一个大于!的整数的约数的个数,等于它的质因数分
解式中每个质因数的指数加!的连乘积。又如( , 有多少个约
数?
因为( , %’ %, (
而(’-!)(%-!)((-!)) ,所以( , 有)
个约数。
· ! · ! 数学·信息卷什么叫“筛法”
“筛法”是一种求质数的方法。是公元前! 年左右由古希
腊著名数学家埃拉托色尼提出的,所以,也叫埃拉托色尼筛法。
埃拉托色尼把自然数、、!、%……写在一块涂了一层白
蜡的板上,将去掉数的地方用工具刺成小孔,很像一个筛子。因
为用它把有的合数都筛掉,留下的都是质数,所以,人们把这种
求质数的方法叫做“筛法” 。
筛法的根据是:对于一个正整数,如果不能被小于或等于
的任何一个正整数所整除,那么这个数必定是质数。
具体的做法是: (以 以内的质数的筛选为例)先把到
这一百个数依次排列(如下表) 。
! % ( ) +
! % ( ) +
… …
不是质数也不是合数,先划去或圈上。!,,!,%,’,(,),,+, , , ……
留下,把后面所有的倍数都划去,凡是的倍数都是
偶数,也就是把后面的所有偶数划去;!,,!,% !,’,( !,), !,+, !, , !, !, % !……
留下!,把!后面所有!的倍数都划去;!, ,!,%,’,( !,),,+ !, , , !, !, %, !, (……
留下’,把’后面的所有’的倍数都划去,也就是把’后面
· ! · 新编十万个为什么 所有个位是!和的数都划去;!,,,%,,,’,(,), ! !, , , , %, !, ……
留下’,把’后面所有’的倍数都划去;
如此继续做下去,一直筛到 ! !以内的合数全部划尽。
下面的表就是筛去了全部合数后,得到的 ! !以内的质数。! % ! ! ( ! ) ! ! !
! % ! ! ! ( ! ) ! ! !
! ! % ! ! ! ! ( ! ) ! !
! ! % ! ! ! ( ! ) ! % ! !
% % ! % % % ! % ! % ! % % ( ! % ) ! ! !
! ! % ! ! ! ! ( ! ) ! !
! ! % ! ! ! ( ! ) ! ! !
! ! % ! ! ! ! ( ! ) ! ( ! !
( ! ( ! ( ! ( % ! ( ! ( ! ( ( ( ! ( ) ) ! !) ! ) ! ) ! ) % ! ) ! ) ! ) ! ) ( ! ) ) ! ! ! !
! !以内质数有:,,,’, , ,, ), , ), , ,% ,% ,%, , ), ,,’ ,’ ,’ ),( ,( ),)共 个。
· ! · 数学·信息卷为什么“首同末合十” “末同
首合十”的两个两位数相乘可以速算
两个两位数相乘,它们的十位数相同,个位数的和是! ,称作“首同末合十” ,如 % ,’ (%’ ,) %)等。
两个两位数相乘,它们的个位数相同,十位数的和是! ,称作“末同首合十” ,如 %( ,’ (% (,) %) 等。
“首同末合十” “末同首合十”的两个两位数相乘可以不用笔
算,掌握了速算方法 ,便可以迅速口算出相乘的积来。
“首同末合十”的速算方法是:先用十位数乘以比它多!的
数,所得结果作为积的前两位数,两个个位数相乘作为积的后两
位数。
如 % +%(,!)%! ,%
+’ ,’ !
+’ !
(%’ +’%(’,!)%! ,(%
+( ,’ +( ) %)+)%,!)%! ,%’
+ ,! (+ ! (
“末同首合十”的速算方法是:先用十位数相乘的积加上一
个个位数,所得的结果作为积的前两位数,个位数的平方作为积
的后两位数,如果个位数平方不满十,积的十位上用“”占位。
如 %( +(%(,)%! ,
+’ ,-
+’ -
(% (+(’%,%! ,(
+’ , (
· ! · 新编十万个为什么 !!!!!!!!!!!! !
%% !(%’%’) ( ! ( +! +
那么速算方法的根据又是什么呢?
“首同末合十”是这样推导出来的:
设两个两位数的十位数是, ,个位数分别是-和. ,而且- (
. !) ,这两个两位数相乘,可以写成:
, (- ) , ( . )!) , , - , . (- .!) , , (- ( . )(- .!) , , (- .!, (, )’) (- .
, (, )’) (- .表示用十位数乘以比它多)的数,再乘
以) ,得到相乘的积有多少个百,再加上个位数的积,便是这
两个两位数相乘的结果。
“末同首合十”是这样推导出来的:
设两个两位数的个位数都是. ,十位数分别是,和- ,而且,(- !) 。这两个两位数相乘可以写成:
, ( . ) - ( . )!) , - , . - . ( . !) , - . (, (- )( . !) , - . ( . !(, - ( . )’) ( .
( , - ( . )’) ( . 表示用十位数相乘的积加上一个个位数,所得结果乘以) ,便是相乘的积有多少个百,再加上个位数的
平方,就是这两个两位数相乘的结果。
· ! · ! 数学·信息卷为什么小数点对齐才能相加减
在计算加、减法时,都要相同计数单位才能相加减。在整数
中,从右边起,第一位是个位,第二位是十位,第三位是百位……因此,在计算整数加减法的竖式中,只要末位对齐,相同数
位就对齐了,相同计数单位也就能相加减了。在小数中,小数点
的左边是整数部分,第一位是个位,第二位是十位,第三位是百
位……,小数点右边是小数部分,第一位是十分位,第二位是百
分位,第三位是千分位……在计算小数加、减法的竖式中,只要
小数点对齐,相同数位就对齐了,相同计数单位也就同样能相加
减了,而不必考虑小数的末位是不是一定对齐,因为相加减的两
个小数,小数的位数不一定相同,如! % ! (第一个加数两
位小数,末位是百分位,第二个加数是三位小数,末位是千分
位,如果末位对齐,个百分之一和(个千分之一怎么能相加
呢?因此在小数加减中,小数点对齐才能相加减。
为什么小数相乘
不需要对齐小数点
小数乘法是利用因数变化引起积的变化规律进行计算的。如
) ,先转化成整数乘法 ) ,第一个因数扩大 + +
倍,第二个因数扩大 +倍,积扩大 + + +倍。 ) ,! ( 要
求 )乘以 的积就要把 )乘以 的积! ( 缩小 + + +倍
即! ( ,积! ( 的小数位数正好是两个因数 )和 小
数位数之和。
因此计算小数乘法,先按照整数乘法的法则算出积,再看因
数中一共有几位小数,就从积的右边起数出几位,点上小数点。
· ! · 新编十万个为什么 !!!!!!!!!!!! 在相乘过程中不需要对齐小数点。
为什么除数是小数的除法
要把除数转化成整数后再除
除数是小数的除法,不容易直接看出商几,要根据被除数和
除数扩大同数倍,商不变的性质,先移动除数的小数点,使它变
成整数;除数的小数点向右移动几位,被除数的小数点也向右移
动几位(位数不够的,在被除数的末尾用“ !”补足) ;然后按照
除数是整数的除法进行计算。如 %’ %’ +。
如果利用商不变性质,把被除数变成整数,如 %’ %
( !) +在被除数的小数位数比除数多时,是可以的,但扩
大同数倍后数目比较大,算起来比较麻烦。被除数的小数位数比
除数少,就不容易直接看出商几了,如 %! %’ (。
因此除数是小数的除法要把除数转化成整数后再除。
为什么“!”不能作除数
在四则计算中,减法是加法的逆运算,除法是乘法的逆运
算。
为什么不能用“!”作除数?我们可以分两种情况加以说明。
一种情况是:当除数是“!” ,而被除数不是“!” ,如,!,’ (!, ( !!等。那就是要求出与“!”相乘的积不等于“!”
的“商”来,!-?),,!-?)’ (,!-?) ( !。因为,任何
数与“!”相乘的积都是“!” ,所以,在这种情况下,商是不存
在的,除法计算没有结果。
另一种情况是:当除数是“!” ,而且被除数也是“!” ,如!
!。那就是要求出与“!”相乘的积等于“!”的“商”来,!
· ! · ! 数学·信息卷!?。因为,任何数与“”相乘的积都是“” ,所以,在这
种情况下,不能得到一个确定的商,商可以是任何数,即商有无
限多个。
我们知道,规定一种运算,它的运算结果必须是存在的,而
且应该是唯一确定的。但是,当除数为“”时,被除数不是
“” ,商是不存在的;当除数为“”时,被除数也是“” ,商得
不到一个确定的数。因此,必须明确规定“”不能作除数。
因为有了“”不能作除数这条规定以后,在除法的基本性
质中,被除数和除数同时乘以或除以相同的数(零除外) ,商不
变。在分数的基本性质中,一个分数的分子和分母同时乘以或除
以相同的数(零除外) ,分数的大小不变。在比的基本性质中,比的前项和后项同时乘以或者同时除以相同的数(零除外) ,比
值不变。 “零除外”这三个字在完整表述除法、分数、比的基本
性质时不能丢。
由此说明,在除法里, “”不能作除数;对于分数来说,就
是分母不能是“” ;对于比来说,就是比的后项不能是“” 。
当然,应该强调的是,除法中的除数、分数中的分母、比的
后项这三者不是一回事。 “比” 、 “分数”和“除法”之间尽管有
着上述的一些联系,但它们毕竟是三个不同的概念。 “比”是指
两个数(或量)的倍数关系, “分数”是一个数, “除法”是一种
运算。
总之, “”不能作除数的这一规定是有根据的,也是十分重
要的,希望大家在理解的基础上能正确地进行应用。
求积的近似值和
商的近似值有什么不同
求积的近似值时,先按小数乘以一般计算方法得出完整的
· ! · 新编十万个为什么 !!!!!!!!!!!! 积,再按要求用四舍五入法求出积的近似值。如! % !
( ) ! (保留两位小数) 。
求商的近似值,只要除到比要求保留小数位数多一位,根据
这一位用四舍五入法求出商的近似值。如 ) +,( )! ! )(保
留两位小数) 。
为什么两数相除(除数不
为零)不会得到无限不循环小数
在两数相除时,因为余数重复出现,所以商就会重复出现,是一个循环小数。如,) - +, 在这个除法里,因为余数重复
出现(和-,所以商就会重复出现和’。因此,) - +, .) ( ……
在有余数除法中,余数一定要比除数小,比如除数是 ,余数可能是、、(、!、)、+、’、-、、 ,因此在相除过程
中,余数一定会有重复出现的情况,所以商一定不会得到无限不
循环小数。商一定是无限循环小数或者是有限小数。
怎样把循环小数化为分数
因为
. …….
·
. …….
· ·
. …….
·
·
所以纯循环小数
·
、
· ·
、
·
·……化成分数分别是
、
、
……
· ! ! · 数学·信息卷纯循环小数分数:
例如,把!
·
、! %
· ·
化成分数。
方法:!
·
! ……
! ……(
!
·
(’)(’)
! %
· ·
! % %……
! !
· ·
! % %……
! !
· ·
( %
) )( %’ %) )
方法:!
·
( !’ ……!
·
(’! ……
!
·
+!
·
)! %
· ·
( ! !’ % % %……! %
· ·
(’! % %……
! %
· ·
)’ %
,! %
· ·
%) )
从上面的例题可以得出:
纯循环小数可以化成一个分数,这个分数的分子就是一个循
环节里的数字所组成的数,分母的各位数字都是),)的个数和
一个循环节的位数相同。
混循环小数化分数:
· ! · 新编十万个为什么 !!!!!!!!!!!! 例如:把!
·
、! %
·!
·
化成分数。
方法’:!
·
(! ……
(! )! ! ……
(! )! ……’
!
(
!)
!
(
!)
!()
!
(’ !+)
!
( +
! ( %
!! % !
·
·
(! % ! ! ……
(! %)! ! ! ! ! ……
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!
(%
!)
!
(%
!)
!
(% )
!
(%’ ! !+%)
!
(% ! +%
! (% ! , !
(’
- -
方法.:!
·
! !( ……(’)!
·
!( ……(.)
· ! · ! 数学·信息卷(!)得 %
·
+
, %
·
) +)
% +
·)
·
(! ) % ) ) )……(!)
% +
·)
·
(! % ) ) )……
得: % +
·)
·
) -
. % +
·)
·
)+) ) -) ) !
从上面例题可以得出:
混循环小数可以化成一个分数,这个分数的分子就是小数点
右边的第一个数字到第一个循环节末位的数字所组成的数,减去
不循环数字所组成的数,所得的差。分数的分母是数字)后面带
数字所组成的数,其中)的个数等于循环节的位数,的个数
等于不循环部分的位数。
无限小数、无限循
环小数和!有什么区别
在小数除法中,有时能够除尽,也就是说,得到的商的小数
位数是有限的,例如! % -0 % + % ;有时也遇到除不尽的情
况。例如,计算! 0+在这个除法里,因为余数重复出现!,所
以商就重复出现+,总也除不尽。因此! 0+ % + + +……这样除
得的商的位数是无限的,而且也是按照十进位制的位值原则写成
的数,这样的数也叫做小数。
小数部分的位数是有限的小数,叫做有限小数。小数部分的
位数是无限的小数,叫做无限小数。无限小数有两种情况:一种
是循环小数,一种是无限不循环小数,也叫无理数。
· ! · 新编十万个为什么 !!!!!!!!!!!! 一个小数,从小数部分的某一位起,一个数字或者几个数字
不断地重复出现,这样的小数叫做循环小数。循环小数的小数部
分中,依次不断重复出现的数字叫做循环节。
例如,! ……是循环小数,是它的一个循环节;
% ……是循环小数, 是它的一个循环节;
为了书写方便,一个循环小数只写出不循环部分和第一个循
环节,并在这个循环节的最左和最右的数字上面各记一个点,这
个点叫做循环点。例如:! ……记作!
·; % ……记作
%
· ·。
循环节从小数点后的第一位就开始的循环小数,叫做纯循环
小数。小数点后面有一位或几位数字不循环的循环小数,叫做混
循环小数。例如,!
·
,
· ·
,’ %
·
(
·
都是纯循环小数; %
· ·
,! ! )
· ·
都是混循环小数。! (圆周率)是一个无限不循环小数,到% 年已有人利用
巨型电子计算机把!的值算到小数点以后的+ ) 亿位。
什么是准确数和近似数
人们在计数和计算过程中,有时得到的是与实际数值完全符
合的数,这种数叫做准确数。例如一班有学生 )人,’,(-,这里的“ )” 、 “”都是准确数。有时得到的是与实际数值大体
符合,比较接近真实数值的数,这样的数叫做近似数。例如我们
在测量物体的长度、重量时,由于测量工具的限制,必然会产生
误差,所得的结果都是近似数。例如用最小刻度“厘米”的尺去
量课桌面的长,知道它的长不足+ (厘米;用最小刻度“毫米”
· ! · ! 数学·信息卷的尺去量课桌面的长,知道它的长不足! 毫米。这里的“! ” 、“! ”都是近似数。
我们对大的数目在进行统计时,一般也只需要用它的近似数
来表示。例如平常说一个城市有! %万人,一个钢铁厂去年产钢
%万吨。这里的“! %万” 、 “ %万”都是近似数。
我们在进行计算时也常常遇到近似数。例如:’!% (,)!% ( ! ) +,这里的“% (” 、 “% ( ! ) +”都是近似数。
求近似数的方法,一般有以下三种。
四舍五入法。这是最常用的求近似数的方法。用这种方法求
一个数的近似数,主要是看它省略的尾数最高位上的数是小于
“!”的,就把尾数舍去(称为四舍) ,这样得到的近似值叫不足
近似值;如果省略的尾数最高位上的数大于或等于“!” ,把尾数
略去后,要向前一位进一(称为五入) ,这样得到的近似值叫过
剩近似值。例如),’ ( + ! )……用四舍五入法保留两位小
数得 )!’ ( +(四舍) ,用四舍五入法保留三位小数得 )!’ ( +(五入) 。
进一法。在解决实际问题中,有时把一个数的尾数省略后,不管尾数最高位上的数是几,都要向前一位进。例如把+ % %千
克粮食装进麻袋,如果每条麻袋最多装) !千克,至少需要多少
条麻袋?+ % %) !,! (……就是说:+ % %千克粮食装!条麻装
后,还剩 !千克,这 !千克还需要一条麻袋,所以一共需要-
条麻袋。即+ % %) !,! (……!-(条) 。
去尾法。在解决实际问题中,有时把一个数的尾数省略后,不管尾数最高位上的数得几,都不需要向它的前一位进。例
如,每条床单需要 ( 米布,有- %米布,可以做多少条床单?
- % ( , ( ! ) + ……或- % ( 商 余 ( ,这说明- %米
布做了 条床单后,还剩下 ( 米,这余下的 ( 米不够做一
条床单,所以只能做 条,这时要用去尾法。就是:- % ( ,· ! · 新编十万个为什么 ! % ! ……!! (条) 。
什么叫有效数字
一个近似数,如果准确数与近似数的差不超过它最末一位的
半个单位,那么,从左边第一个不是零的数字起,到右边取得的
最后一个数字止,所有的数字都叫做这个近似数的有效数字。例
如,近似数 有两个有效数字和’;近似数 (有三个有
效数字,即、’、(。
当一个近似数是整十、整百、整千……的数时,通常写成)
( + (,+是整数的形式) 。这样根据有效数字就可以
确定近似数的精确度。例如,用四舍五入法把! ( ( 分别
精确到个位:! ( ( !! ( (,! ( ( ( -(表示有’个有效
数字)
精确到十位:! ( ( !! ( (,! ( ( -(表示有-个有效
数字)
精确到百位:! ( ( !! ( (,! ( -(表示有!个有效数
字)
为什么( 和( (
有时相等有时又不等
当( 和( (是准确数时,在小数末尾添上或去掉(,小
数的大小不变。如铅笔单价( 元,( 元表示角;铅笔单价
( (元,( (元也表示角,所以( 和( (相等。
当( 和( (是近似数时,它们就不相等了。因为近似数
( 取值范围是( ( 到( 之间(也就是从( ( 到( ,保
留一位小数,约等于( ) ,近似数( (的取值范围是( ( . 到
· ! · 数学·信息卷! ! 之间(也就是从! ! % 到! ! 保留两位小数,约等于! ! ) ,两者的精确度(近似数接近准确数的程度)不一样,保
留一位小数,表示精确到十分之一,保留两位小数,表示精确到
百分之一。例如,! ( )! %……如果保留一位小数,! ( )!! ;如果保留两位小数,! ( )!! !,显
然! !比! 更接近准确数。所以,近似数小数末尾不能随意
添上!或去掉!,近似数! 和! !是不相等的。
为什么异分母
分数不能直接相加减
计算整数、小数、分数加减法时,都要相同单位才能相加
减。在计算整数加减法的竖式中,只要相同数位对齐,就可以几
个一和几个一相加减,几个十和几个十相加减……在计算小数加
减法的竖式中,只要小数点对齐,就可以几个十分这一和几个十
分之一相加减,几个百分之一和几个百分之一相加减……
在分数中,分母表示把单位“”平均分成多少份;分子表
示有这样的多少份。把单位“”平均分成若干份,表示其中一
份的数叫做分数单位,如
的分数单位是
。两个同分母分数表
示分数单位相同,如)
+与,+的分数单位都是
+,)
+与,+相加,只
要)个
+加上,个
+,得个
+是
+。即)
+-,+)-,+
+。而
两个异分母分数表示分数单位不同,如
%与
),
%的分数单位
是
%,
)的分数单位是
)(
%与
)的每份大小不同) ,
%与
)相
加,分数单位不相同,不能直接相加,正如整、小数加减法中,几个十和几个一不能相加,几个十分之一和百分之一不能相加一
· ! · 新编十万个为什么 样。只有经过通分,转化成同分母分数,再按照同分母分数加减
法的法则进行计算。如!
%% (% ) %) (。
怎样比较异分母分数大小
异分母分数,分母不相同,分数单位不同,一般来说,不能
直接比较大小,必须经过通分,化成同分母分数,再比较大小。
例如比较
+和
(的大小。先通分,
+’ %
!,
(’ , !,- %
!! , !,.
+!
(。除此以外,还可以用下面的方法进行比较大小。
(%)化成同分子分数,再比较大小。
例如,把下面分数按从小到大顺序排列起来。
% ,%
%
%
%
)
,) )
( ,
这五个分数的分母都不相同,要想把它们变成同分母分数比
较麻烦,再看它们的分子,这五个数虽然不同,但要把它们变成
相同的数比变分母方便一些。这是因为( ,正好是 ,、% 、% 、% ,这四个数的倍数,利用分数的基本性质,可以将上面的五个
分数变为分子都是( ,的分数:
% ,%% ,(
% (’( ,% , ;%
%%
%( , ;%
)’% !
)!’( , ; ,) )’
,)) ))’( , ;( ,
- ( ,% , ( , ( , ( , ( ,
.% ,% ,) )( , %
% %
)
先和“%”比较大小。
· ! · 数学·信息卷例如,比较! ! ! ! ! ! 和
的大小。
这两个分数化成分母相同或分子相同都不太简便,把这两个
分数和“”比,! ! ! ! ! ! 比小 ! ! ! ,
比小
。
% ! ! ! !
%! ! ! ! ! !
先和!比较大小。
例如,比较
和( ))的大小。
的分子不是分母的一半,
!,( ))的分子超过分母的一半,( ))!!
%
( ))
为什么不用通分能很快
算出一些复杂的分数加减法
计算异分母分数加减法,必须先通分,再按照同分母分数加
减法进行计算。例如,
(+! ,-
.! ,+! ,- (! ,.+-(! , .,这样解法当然是对的,如果我们对通分的过程进行研究,发
现两个异分母分数通分后计算出结果,也可以还原回去把结果折
成两个异分母分数的减法,我们把这种方法叫“拆分” 。例如,
-
(.(-
(.
(.! ,反回去,! ,.
(.
-
(
这样,上面这道题的计算过程变成:
· ! · 新编十万个为什么 !
!
%!
(!
!
!
!
(%
像这样在计算分数加减法的时候,先将其中的一些分数作适
当的拆分,使得有一部分数可以互相抵消,而使计算简便的方
法,我们叫做“裂项法” 。
例如计算:!! ) ) !! ) ) !! ) ) ! ) ) + !! ) ) +! ) ) !! ) )
分析:运用裂项法不难发现!! ) ) !! ) ) ( !! ) ) ! !! ) ) !! ) ) ! ) ) +( !! ) ) !! ) ) +!! ) ) +! ) )( !! ) ) + !! ) )
解: !! ) ) !! ) ) !! ) ) ! ) ) + !! ) ) +! ) ) !! ) )
( !! ) ) ! !! ) ) !! ) ) !! ) ) + !! ) ) + !! ) ) !! ) )
( !! ) ) !
这道题如果用通分的方法计算,工作量是很大的,也不容易
算对,有一些分数求和的问题,用通分的方法几乎是算不出来
的,而用裂项法却可以轻而易举地求出结果。
一般来说,对任意的一个自然数, ,都有:!
, (, !) (!
, !
, !
又如计算:!
!
-!! !
%!
+ %!
!
-!
. !) %
分析:每个分数的分子是!,分母分别可以写成!,
· ! · ! 数学·信息卷!,!,,%,%,’,’(, ,即每个分母
都可以分解为两个连续自然数的积,于是每个分数都可拆成两个
分数的差:)
+, ))+,)-)
+)
%, )
+!,)
+-)!)) +, )!,)!-)
)
( , )
,)
(-))
解:原式, ))+. )
+!. )!. )
. )
%. )
%. )
. )
(. )
,)-)
+.)
+-)!.)!-)
.)
-)
.)
-)
%.)
%-)
.)
-)
.)
-)
(.)
(-))
,)-)) ,
繁分数和连分数有什么区别
一个分数的分子或分母是分数,或者分子和分母都是分数,这样的分数(或式子) ,通常叫做繁分数(或繁分式) 。例如)!
+!
、)
+)-)
,繁分数中有一条较长的分数线,叫做
主分数线。主分数线把繁分数分成分子、分母两个部分。
繁分数的化简一般采用两种方法:
· ! ! · 新编十万个为什么 !!!!!!!!!!!! 一种是把繁分数的分子和分母分别计算出来,再用分子部分
除以分母部分。例如:!
!%
!
(!
)!’
另一种是根据除法中商不变的性质,把繁分数的分子部分和
分母部分同时乘以(或除以)一个不为零的数,进行化简。例
如:!
!%
(!
))
(!%
))
%’
形如! !! !! !!!
这样的繁分数叫做连分数。
连分数的化简与简分数的化简基本相同,只要一步一步地把
分母计算出来,就可以化简成一般的分数。例如:! !! !! !!!
! !! !!!
! !! !!!
! !! !
· ! · ! 数学·信息卷!
%!
%!%
!%
等式和方程式有什么区别
用等号“!”连接的式子,叫做等式。
方程式也是等式,是含有未知数的等式。如(!,) ( ! +,( ,!) -,( . !-等
使方程左右两边相等的未知数的值,叫做方程的解。例如:
( !是方程( !的解。
( ! )是方程) ( ! +的解。
求方程解的过程叫做解方程。
在小学解简易方程,是根据加、减之间的关系,乘、除之间
的关系。例如:
解方程 ( ,!
解: (被减数!减数差)
( !
( !
又如解方程- ( !
解: (因数!积.另一个因数)
( !.-
( !
什么叫综合法和分析法
解答两步以上复合应用题时,由于出发点的不同,思想的方
· ! · 新编十万个为什么 !!!!!!!!!!!! 法有综合法和分析法两种。
综合法是从已知条件出发,根据数量关系,先选择两个已知
条件,提出可以解决和需要解决的问题,然后把这个问题作为已
知,再与另一个已知条件搭配,提出新的问题,这样逐步推导,直到应用题的问题得到解决为止。
例如,一个服装厂计划做上衣! 件,前天每天做!
件,以后提高工作效率,每天做! % 件,完成计划共需要多少
天?
用综合法解题思路如下:
已经做了天,每天做! 件,由此可以求出已经做的件
数。
已知要做! 件和已经做的件数,可以求出还要做的件数。
已知还要做的件数和以后每天做! % 件,可以求出还要做的
天数。
已知做了天和还要做的天数,可以求出完成计划共需要的
天数。
分析法是以应用题的最后问题入手,根据数量关系,找出解
决这个问题所需要两个条件,如果这两个条件中有一个不知道或
者两个都不知道,再找出求这一个或两个未知条件所需要的条
件。这样逐步推导,直到所需要的条件都是已知为止。
上例用分析法解题思路如下:
要求共需多少天,需要知道先做的天数(天)和还要做的
天数(未知) 。
要求还要做的天数,需要知道还要做的件数(已知)和以后
每天做的件数(! % 件) 。
要求还要做的件数,需要知道计划做的件数(! 件)和
已经做的件数(未知) 。
要求已经做的件数,需要知道已经做的天数(天)和每天
· ! · ! 数学·信息卷做的件数(! 件) 。
怎样求等差奇数列的和
等差数列求和的公式是: ( !% )’
(
怎样求等差奇数列的和?有没有一些特殊规律呢?
请看下面奇数列求和。!)! (!%)+)( (!%%),) (!%%%-)! .)+ (
因此,奇数列的和 ) (
这一求和公式,可以解决一些数学问题。例如:
有一串数,!;!
(,(
(,!
(;!
,(
,
,(
,!
;!
+,(
+,
+,+
+,
+,(
+,!
+……
求(!)-! 是第几个分数? (第+ 个分数是几分之几?
可以这样想(!)我们把分母相同的分数叫做一组,组号与
分母相同,各组分数个数有下列规律:
第一组:!个
第二组:个
第三组:个……
所以,分母为的那一组分数个数为( 0!。
从中还可以看到:-! 位于第! 组的第-个和倒数第-个位
置上,由于第! 组共有分数(’! 0!)! ,(个) ,倒数第-个
· ! · 新编十万个为什么 !!!!!!!!!!!! 相当于正数第! %! (个) 。
前个组共有分数!’’(’…… )% !(个)所以+! ,位于
这串数的第 !’+% (个)位置上和第 !’! % -(个)位置
上。
( ))由于- , ,%) , ),) , ) 又等于自!开始的连续) ,个奇数
的和。所以第- , ,个分数位于第) ,组的最后一个位置上,应为!) ,。
什么情况下. 0%. 0
. 0是表示两个数的积,. 0表示两个数的差。. 0%.
0表示两个数的积与两个数的差相等。这可能吗?
在整数范围内,两个数相乘,除,和!外,会越乘越大,如
! -%! ) -,! ) -大于 !、大于-;+ ,) %! ! ,,! ! ,大于
+ ,、大于) 。而两个数相减,就会越减越小。如 !-%) +,) +
小于 !;+ ,) %- +,- +小于+ ,。可见在整数范围内, !-! !-,+ ,) !+ ,) ,所以. 0 !. 0 。
但是,我们还知道,在分数范围内,确实存在着两个数相
乘,会越乘越小。如!)!)%!
-,!
-小于!);!
-%!
-,!
-小
于!
,也小于
-。这与两个数相减,越减越小的发展趋向是一致
的。但是,!)!)%,,!
不够减
-,可见在分数范围内,!)!)!!)!),!
-!!
-那么,能不能说在分数范围内,.
0也不等于. 0呢?让我们再来研究下面这几道题。!!)%!),!!)%!);
· ! · 数学·信息卷!
!
%!
,!
!
%!
;!
!
(%!! ,!
!
(%!! ;!
(!)%!
,!
(’!)%!
;……!
+ !
+ !% !
( , + ,!
+!
+ !% !
( , + ;……!
, , !! % !
, , ,!
, ,’ !! % !
, , ;
通过这些题又说明了在分数范围内,确实有两个数的积与这
两个数的差相等的情况,即:-.%-’. 。当然,这是有条件
的。你仔细观察一下,这两个分数的分母之间的差与分子是什么
关系?你能发现这样的规律:分母之间的相差数都是!,它们的
分子也是!,这样的两个分数相乘的积与相减的差是相等的。
你能否从这个规律中又得到新的启示,并能列举出另外一些
- . %-.的题目来。
)%(! ),
)%(! );
+
,%(
,
+’
,%! (
;
)
%,( , )’
%,( ;
+! %,+ ,
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(
+(! !%!
+ +, (
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(
,(! %! ! ! +, (
,’(! %! ! ! +;
· ! · 新编十万个为什么 !!!!!!!!!!!! !
!
%’ !
( ), !
!
%’ !
( );……
什么样的两个数相乘的积与这两个数相减的差相等的规律,你一定完全掌握了。
数“+ ”
数+在数学、物理学、天文学和其他科学部门中都有很大的
作用。下面举的一些问题,在进行数学考察的时候必须用到这个
数:
气压公式(气压随高度的不同而变化) ,欧拉公式,物体冷却的规律,放射性衰变和地球的年龄,空气中摆锤的摆动,计算火箭速度的齐奥尔科夫斯基公式,线圈中的电磁振荡,细胞的增殖,……
这类问题举不胜举。
在高等数学上起着很大的作用,也许,所起的作用并不小于
著名的数! 。数+是一个无理数,约为’ , - %……它不能用有限
位的数字正确地表示出来,而只能利用下面的级数
.
.
·.
· · %.
· · % · ).……
计算它的近似值,显然可以达到任何准确程度。
另外:
· ! · ! 数学·信息卷(!!
)
这式子当无限地增大的时候的极限就是 。把当做对数
的底有很多好处,这种对数表叫“自然对数”表,而且在科学和
技术上得到广泛的应用。
数常常出现在完全预料不到的地方。例如,看这么一个题
目:
已知数% ,把它分若干部分,如果各部分的乘积要最大,应
该怎样分法?
我们已经知道,诸数的和不变的时候,要使它们的乘积最
大,必须各数相等。显然,数%必须分成相等的若干部分。可是
究竟分成几部分呢?分做两部分、三部分、十部分吗?用高等数
学的方法可以证明,当分成的每一部分和!最接近的时候,乘积
就是最大。
例如,! 必须分做这么多的相等部分,使得各部分尽可能
地接近于’ ( ) ! ……要求这些部分的份数,应该求商。!
( ) ! ……+, ( - ) ……
因为把一个数分成, ( - ) 个相等的部分是说不通的,所以不
得不把商数取最接近的整数.。因此,我们可以得出! 的各部
分的最大乘积,如果各部分都等于!
.,就是’ ( 的话,显然
(’ ( ) .+, 0 ( - !(!
,) ,+, ) ( ,!(!
) +,!是超越数! ) -年琼斯第一次用记号!来表示圆周率,!取自希腊语
“圆周”的第一个字母。后来由于欧拉在《无穷分析导论》 (! ) .
· ! · 新编十万个为什么 年)中采用该符号而得以普及。! !年,兰伯特证明了!为无
理数,! %年,林德曼证明了!是超越数。
超越数就是,对于数,如果不存在这样一个整系数多项
式( ( ) ,使是方程( ( ))的一个根,则称是超越数。!的计算和理论研究反映了一个民族的数学水平,对于古代
人民来说,!的计算是一件复杂繁重的工作。约公元前% + 年,阿基米德的结果相当于, - ! +;约! . 年托勒密,, - ! + ! . % ;
+ 年,祖冲之,, - ! + ! . %;由此可见,在古代,我国的伟大数
学家祖冲之贡献卓杰。
随着时间的推移,社会不断发展,!的计算成果已达到了相
当的程度,摘要如下:
约! ! 年,鲁道夫,精确到小数点后第, .位;! , 年,格林贝尔格,, 位;! 年,夏普,利用无穷级数,精确到小数点后第 !位;! 年,梅钦,利用他自己给出的一种级数,精确到小数
点后第! 位;! + +年,达瑟,% 位;! ,年,香克斯, 位;! + 年,弗格森、伦奇, 位;! + 年,马利兰德,利用电子计算机,% , 位;! 年,吉劳及其合作者,. 万位;! 年,美国,利用巨型电脑,% , 万位。
什么是最小数原理
最小数原理是一个极为简单、极为重要而又易被人们忽视的
原理。
一班学生,必有身高最小的学生。一筐苹果,必有最大的苹
· ! · ! 数学·信息卷果。这个事实如此的明显,甚至是简单到了不必一提的地步。其
实,这就是最小数原理的具体例子。
最小数原理:设!是全体自然数组成的集合,是!的一
个非空子集,则中必有最小数。
该原理对于是整数集、有理数集或实数集的有限非空子
集,结论又是明显的,因此还有如下的原理。
设%是全体实数组成的集合,是%的有限非空子集,则中必有最小数。
设%是全体实数组成的集合,是%的有限非空子集,则中必有最大数。
最小数原理虽然十分简单,但它说明了在集合中存在着最小
数或最大数这样的事实,因此在一些涉及到存在性的命题中,这
个原理大有用武之地。在国内外数学竞赛中应用这个原理的题目
也屡见不鲜。下面给出一道例题,可见原理在解题中的作用。
平面上有(个点,它们不全在一条直线上,证明一定有一条
恰好通过其中的两个点的直线。
证:过任意两点连线为),对每一条直线),必有线外的
点,)外的点到)的距离为+ ,) 。不难想象,+ ,)
的个数是有限个的,由最小数原理,必有一个最小的距离+
,, ,)-+ ,。下面证明了) , 上恰好有二个点。反证,假设) .上有个给定的 、、 ,点 ,到) ,的垂线垂足记为0, 、、 至少有二点在0的同侧(或一点与0重合,一边一
点) ,并设 靠0较近些,此时连 , 这条线为) ,则有+
、 )! ,, ,) ,这与+ , 最小矛盾。(其它情况同理可
证) 。
此题看来没什么出奇的地方,证明也不难。但在人们没有注
意最小数原理用于证明此题时,该题曾是一道“难题” ,好长时
间得不到证明。而用最小数原理证明这个题,又显得该题如此容
· ! · 新编十万个为什么 易。可见最小数原理的作用是很大的,值得我们特别重视。
什么是孪生素数
孪生素数是指两个相差为!的素数对。例如和, 和
, % 和 % 等等。孪生素数又称为双生素数。
(年,数学家波林那克猜想:孪生素数有无穷多个。这
就是所谓的“孪生素数猜想” 。我国数学家曾对证明这一猜想作
了许多贡献。尤其是 ( ) 年陈景润证明了:存在无穷多个素数
,使得!为不超过!个素数之积。这一结论十分接近孪生
素数猜想的解,构成“筛法”理论光辉的一顶点。 ( ) ,年,威
廉斯和察恩克发现了当时所知的最大的孪生素数为) ,- , (.。
( ) (年,伯莱发现了目前所知的最大的孪生素数对为! ( )-! ,. 。 ( !年月,美国新泽西州的环球计算机服务公司提供! % % %美元奖金,悬赏解决孪生素数猜想,曾经轰动一时。然
而,至今仍没人领走这笔奖金。
孪生素数猜想是哥德巴赫猜想的姊妹猜想,它的难度和解决
哥德巴赫猜想的难度是等同的。数学家们认为,仅就目前的已知
数学方法,要想解决这个难题几乎是不可能的。甚至有的数学家
认为,到目前为止还看不出可以沿着什么途径,利用什么方法来
解决它。
什么是“亲和数”
传说在公元前 % %多年,古希腊的克罗托那城中,毕达哥拉
斯学派正在讨论“数对于万物的作用” ,一位学者问“在我们交
朋友时,存在数的作用吗? ”伟大的数学家毕达哥拉斯答到: “朋
友是你灵魂的倩影,要像! ! %与! 一样亲密。 ”他的话使人感
· ! ! · ! 数学·信息卷到蹊跷,接着他宣布:神默示我们,! ! 的全部真因子之和!
% ! ! !% % 恰好等于! %,而! %
的全部真因子之和!%( % !又恰好等于! ! ,它们是
一对奇妙的“亲和数” 。毕达哥拉斯的妙喻,简直使学者们惊呆
了,不过在此后的一段漫长的时间里,人们知道的亲和数就只有
这一对。
直到公元七世纪,在古老的巴格达城中,出现了一位伟大的
博学者泰比特·伊本柯拉。他是医生、哲学家和天文学家,并且
酷爱数学,他对亲和数的特性潜心思索,竟惊人地发现了一个求
亲和数的公式。即) · ! ,-,. · ! , --, 0 · ! ! , --,这里,是大于的正整数,则当) 、.和为素数时,! , ) .和! ,
是一对亲和数,同时给出了公式的证明,并验证当1!时,求
得的亲和数就是! ! 和! %。然而令人惋惜的是泰比特·伊本柯
拉并没有给出新的亲和数。
又过了( 多年,法国数学家费尔马在 2 + 2年再度独立地
证明了泰比特·伊本柯拉公式并且给出了第二对亲和数 ( ! 0 2和
% 2。继而另一位数学大师笛卡尔在给一位朋友的信中又确切
地给出了第三对亲和数0 + 2 + %和0 % + ( 2。这新的发现震动了
数学界,吸引了许多数学家像寻宝一样投身于这场“寻数”的竞
争。
直至 ( 年,诞生在瑞士国土上的伟大数学奇才欧拉宣布:
他一举求出如! 2 ! 和! 0 ! %, ! 和 2 %,2 ! + !和2 + 2等六十
对亲和数(一说五十九对) ,使他在寻数竞争中独占鳌头。
又过了一百多年,奇迹出现了, 2 2年,一位年仅十六岁
的孩子竟正确地指出,前辈们丢掉了第二对较小的亲和数 %
和 ! ,这戏剧性的发现使数学家们大为惊讶,据本世纪七十
年代统计,人们已经找出一千二百多对亲和数,数学真是一个深
不可测的海洋,它蕴藏着无穷无尽的奥妙。
· ! · 新编十万个为什么 !!!!!!!!!!!! 什么样的数能组成勾股数
如果三个正整数合于勾股定理,那么就称这三个数为一组勾
股数。!、、是最简单的一组勾股数,因为它们合于勾股定
理:! % 。
在中学数学里不仅涉及勾股定理及其逆定理的许多数学问题
的解答要用到勾股数,不少涉及代数、立体几何、解析几何、三
角函数的问题也需要用到勾股定理,所以奇妙的勾股数在许多问
题中起到很大的作用。掌握一些勾股数的知识很有必要。!,,;,’ ,’ !;(, , ;), ,……
观察这些勾股数组成的规律发现,第一个数是奇数,第二个
数是第一个数的平方减’再除以。第三个数是第二个数加’,也就是第一个数的平方加再除以。
结论:如果+是一个奇数,且+ !!,那么
+ 、+ ,’
、+ %’
就是一组勾股数。
证明:-+ %(+ ,’
) + %+ , + %’
(+ %’
)
.+ 、+ ,’
、+ %’
是一组勾股数。
这样,我们任意给出一个奇数’、’ !……同学们就可写出
各组勾股数来。
又如简单的勾股数:
,!,;,0,’ ;0,’ ,’ (;’ , , ……
观察这些勾股数组成的规律发现,第一个数是偶数,第二个
数是第一个数的一半的平方减’,第三个数是第一个数一半的平
方加’。
结论:如果1是一个偶数,且1!,那么,· ! · 数学·信息卷!, (!
) , (!
) %,就是一组勾股数。
证明:! %[(!
) ]! (%) ! %
(! %(
( )
[(!
) %]
+!, (!
) , (!
) %是一组勾股数。
这样,任意给出一个偶数 ,、 ……读者就可以写出各组
勾股数来。
如果- 、. 、是一组勾股数,那么 0 - 、0 . 、0 也是勾股
数。0为自然数且0!。
这样,如果1、(、2是一组勾股数,运用上面的结论,就可
得出、)、 ,;3、 、 2; 、 、 ,……都是勾股数。
什么是默比乌斯带
默比乌斯带是拓扑学家们的杰作之一。它使人感到古怪的
是:只有一侧的曲面。
它的制作是极为简单的。我们把一个双侧环带随意在一处剪
开,然后扭转一半,即 ) , 4 。再粘合到一起来形成封闭的环,就得到了默比乌斯带。
但如果描述为没有“另一侧” ,这是很难理解和想象的。但
做起来却很容易,你可随意从一处开始涂色(不离开这面)最终
你将会发现默比乌斯带都被你涂上了颜色,也就说明这的确是一
个单侧面的带子。
默比乌斯具有各种意想不到的性质,有人称之为“魔术般的
变化” 。如果我们把默比乌斯带沿中线剪开,出乎意料地得到了
一条双侧带子而不是两条。数学家对这种奇妙的现象解释为:一
· ! · 新编十万个为什么 条默比乌斯带只有一条边,剪开却使它增加了第二条边与另一
侧。如果把默比乌斯带沿三等分线剪开将使你又获新奇之感。剪
刀将环绕纸带子走整整两圈,但只是一次连续的剪开,剪的结果
是两条卷绕在一起的纸条,其中的一条是双侧纸圈,另一条则是
新的默比乌斯带。你看,这真是一个奇妙的带子。
什么是黄金分割矩形
提起黄金分割知道的人很多。一点分两条线段的比大致是!:! ! ,这点就叫黄金分割点。但提起黄金分割矩形,知道的
人就少多了。
先说一下黄金分割矩形的几何做法,以正方形% (的边
% 的中点)为圆心,)为半径画弧交% 延长线于一点,过
点作 +!% 交(延长线于+,矩形% + (就是黄金分割矩
形。满足% (:% ,!:! ! 。
黄金分割矩形有一个不同寻常的性质,如果去掉图形中原来
的正方形留下来的仍然是一个黄金分割矩形。
黄金分割矩形是看上去令人十分舒服的图形之一。早在公元
前-世纪,希腊的建筑家们就知道了它的协调平衡的性质,并应
用到自己的设计中。雅典的巴特农神殿的“人字墙” ,几乎是一
个极其准确的黄金分割矩形。
黄金分割矩形也被大量地应用到现代建筑中,建筑师们说:
“数学使人们生活变得舒适了。 ”
黄金分割矩形也成为画家们的“几何消遣” ,我们在《圣杰
罗姬》这幅达·芬奇未完成的油画中,看到了包围着圣杰罗姆躯
体的一个黄金分割图形。
一位艺术家声称:法国印象派画家舍勒特, “用黄金分割原
理来画他的每一幅画” 。
· ! · 数学·信息卷为什么直角三角形分割成全等三
角形的个数不一定是完全平方数
易知,任意三角形可分割成与原三角形相似的! 个全等的
三角形(!为任意的正整数) 。
直角三角形也不例外地可以分割成与原三角形相似的! 个
全等的三角形。这样能否断言:一个直角三角形分割成全等三角
形的个数必为完全平方数。
如果那样,就显得太轻率了。你看,直角三角形斜边上的高
把直角三角形割成两个相似的直角三角形。这就为非完全平方数
的产生制造了机会。如果相似比是有理数,不妨设为
(、
为正整数) 。这样直角三角形% 就可分割成 个与原三角形
相似的全等的小直角三角形。而直角三角形% (也可分割成
个与原三角形相似的全等的小直角三角形。而这 ) 个
小直角三角形又都是全等的,正整数+又未必是完全平方数,如
当+ ), - ,时。从而可以确信:对于每个两平方数之和形
式的+ ,存在可分割成+个全等三角形的直角三角形,而+可以
不是完全平方数。
为什么答案是错的
某中学举行数学邀请赛,其中有这样一道题:
“直角三角形的斜边% 长- . !,内切圆半径为 0 1 !,求
其周长。 ”
有两位要好的同学,如此解答。由圆外一点向圆引二切线,切线长相等,四边形2 3 (为正方形。则有( 2( 4 0 1 !
· ! · 新编十万个为什么 !!!!!!!!!!!! ! %, %,() % + , -。
%)’ . 0 1) 0 11 , -。周长为 ) %)). %).
1 , -。
得到了同一结果。当他们向数学老师汇报时,数学老师看了
题和解答后,让这两位同学,一个剪一个半径为 0 1 , -的图纸
片,另一个同学作一个斜边为 + , -的直角三角形,然后让他们
按题设条件把圆放在三角形纸板上,两位同学惊奇的发现,无论
怎样变化直角三角形的两条直角边,也容不下这个圆,这就是说
答案错了。为什么答案是错的?他们去问数学老师。
老师说: “这是著名的勾股容圆问题,我国古代数学家在这
方面有许多贡献” 。接着老师给出解答。
设 %2 ,3 ,! %,
(2 )3 +又有(2 ) 0 1) )(3 ) 0 1) +
解方程组有
2 )3 +
(2 ) 0 1) )(3 ) 0 1) !
+
4 2 54 + 2 ) 1+
(54 +) )4646 1
7 + +5 + + +%+
所以方程组无实数解。
“为什么是这样? ”学生追问着。
设直角三角形内切圆的半径为8 ,则有8
( .) 5
)
( + , 9 : ) + : ; < 5 +)1( , 9 : ) : ; < 5)
, 9 :) : ; < 最大值为
所以8 最小1( 5)而1( 5)% 0 1
这就是说,斜边上 + , -的直角三角形,内切圆半径,不可
· ! · ((((((((((((( 数学·信息卷能为! %。同学解答错了的原因是只靠几何直观,而这种直
观,有时是不能正确反映出事物的内在联系的。
圆面积与圆周长的一种特殊关系
我们知道,物体作匀速直线运动时,位移与所经过时间’
的比,就是物体运动速度! ,即! (
。
如果物体作非匀速直线运动,设运动规律是(( ) ,从
)到’ )!这段时间!内,物体位移!((’ )! )+
( ))与时间改变量!的比,就是这段时间内物体的平均速度! ,即! (!!(( )! )+( ))! 。当! )时,!!的极限值
为’ )时刻的即时速度。
一般情况下,对函数, (-)考虑上述相应的情形。即在- )
处给出!-的改变量,函数改变量!.(, (- )!-)+, (- ))
与!-的比!.!-(, (- !’ )!- ,当!-)时,!.!-的极限值为,(- )在- )点的导数。导数是微积分中最重要的概念之一。对各
种函数求导已经形成一套完整的求导公式。例如, , (-)(- ,, 0 (-)( - +1 , 0 (-)表示, (-)的导数,即当!-)时, , 0
(- )等于!.!-的极限值。仅就, (- )(- 2的导数, (- )(2 !情形
给予简单证明,当!-!.( (- !- ) 2+- 2!- (2 - !2 - 。(!-)
(!- ) 2,当!- )时,!-!.2 - !,即, 0 (- )(2 - !。没有学过微
积分的读者,可从上面简单的叙述对微积分窥见一斑。
导数的应用极广,而在很多其它学科里面对于某个问题求
导,其导数都有明显的实际意义。例如,物体作功 3 的时间’
· ! · 新编十万个为什么 %的函数 !!( )其导数 ! ( )就是功率。再如,电流通过
导线横截面的电量为%% ( ) ,对时间的导数就是电流强度,即 % ( ) 。那么,在数学这门学科里面,导数除了有其几何
意义(即在某点处的导数,就是在该点处的切线的斜率)之外,是否对某个具体问题,也有明显的意义呢?答:是的。圆面积与
圆长的特殊关系是一个生动的例证。
我们知道,圆面积’’( ( ) ,即圆面积是半径(的函数,具
体的是’! ( )。如果对该函数求导,’ ( ( )(! ( )) !(( ))
! ( )) ! ( (注意,!为常量,求导时可以“提出来” ) 。其
导数’ ( ( )) ! ( ,恰恰是圆的周长。
还可以举出一个例子。球体积(( )是球半径(的函
数,( ( )+
,! ( ,,其导数, ( ( )(+
,! ( ,) +
, !( ( ,)
+ ! ( )。即,球体积关于其变量(求导,其导数是球的表面面积。
为什么圆的周长的计算是极限问题
我们知道,圆的周长是- ! .,其中.是圆的直径,所以,要计算圆的周长,关键是! ?中国古代数学家刘徽在《九章算
术》中,创立了“割圆术”来计算! ,使用了极限思想。一个直
径为.的圆。作内接正六边形,然后平分每个边所对的弧,作
内接正十二边形,再平分,得到二十四边形、四十八边形等等。
让第次分割后的正多边形的周长是- 。我们知道- 是可以计算
的。但不论怎么分, - 是一个多边形的周长。刘徽说: “割之弥
细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆合体而无所失
矣。 ”也就是说,割的次数越多,即越大,则- 与圆周长-相
差越小,到最后不能割了,它就是圆的周长。也就是说对数列
{ - } ,我们感兴趣的不是具体的- ,而是- 当增大时的变化趋
· ! · ! 数学·信息卷势, ! 与!越来越接近。比如若!
%,有! %%
, !
, !
(, ! (……我们看到当越来越大时, ! 的变化趋势越来
越接近于%。通过这种计算方法,刘徽得到了’ % ( % )!!!
% ( % +的结果。在当时的情况下,处于世界领先地位。
通过刘徽的割圆术,我们看到,对数列 { , } ,我们不仅要
考虑到每一项, 是什么,而且更感兴趣的是当越来越大时,,
的变化趋势。有很多问题都是要研究这种变化趋势的。也就是,
逐渐接近的那个数是什么?我们把, 逐渐接近的数称为, 的极
限。这样就发展起来了极限理论。为微积分找到了严密的理论基
础。
为什么两箱铁球一样重
有两个完全相同的立方体包装箱。左边箱里装一个大铁球、直径刚好与箱子的高度相同。右边箱里装满许多小铁球。
两箱铁球质量相同,那么,哪一个箱子重些呢?很显然应考
虑两箱铁球的体积。
设大立方体的体积为-,其内装球的体积为-球。小立方体
的体积为- . ,其内装球的体积为- . 球
显然-球
- - . 球
- .( . %,,’…… )
即:- %球
- %
- 球
-
-球
-
……- 球
-
-球
-
由等比定理有:
- %球- 球-球……- 球
- %- -……-
-球
-
就有- %球- 球……- 球
- -球
-
· ! · 新编十万个为什么 所以,! 球! 球……! % 球!球
即:左图一个大球的体积等于右边几个小球的体积,故两箱
铁球一样重。
为什么五面体
四面体可能等于五面体
五面体和四面体的组合体,要想获得最少的面,完全可以想
象,它们有一个面重合,这样就得到了’个面。面数
还能否再减少些呢?这就决定于五面体和四面体的形状了。如果
五面体是一个正四棱锥,四面体是一个正四面体,且正四棱锥的
侧面能与正四面体的面重合,这时的组合体就是五面体。我们来
证明一下这个问题。
我们把正四面体的面+ , -与正四棱锥的侧面! . 重合,得
到一个多面体,这个多面体有平面0 . 1、! 0 .、! . 2、! 2 、! 1 、! 0 1、2 . 等七个面,但仔细一观察发现 ! 0 .与 ! . 2
共面,! 1 与! 2 共面,七个面再减少两个面,就只剩五个面
了。
平面! 0 .与! . 2共面也是不难证明的。
在棱! .上取中点3,连结30、3!、32显然:!03、!23分别是二面角)! .)0与2 ! .)!的平面角,这样,只要证明!03!23 4 5 6 ,即证平面 ! 0 .与平面 ! . 2
共面。
若设棱长0 .7
03中, 0 7 ,033 8
7
由余弦定理, 9 : ; !03033 )0
03 · 3
· ! · %%%%%%%%%%%%% 数学·信息卷!
(!
) %(!
)
(!
)·(!
)!’
则! + , , - . (’
)!! + , , - .’
在)0中, 0! ,)0!)0!!
由余弦定理: , - . )0!) %)0 0
) · )0!
(!
) %(!
)
(!
)·(!
)!’
则)0! + , , - .’
即证:0%)0!1 + , , - .’
% + , , - .’
!!
同理,平面2 3 0与平面2 0也共面。
怎样进行应用题验算
检查应用题解答是否正确,可采用以下几种方法:
第一,对求出的数量和应用题所反映的实际情况进行粗略的
估计,如果计算结果同实际情况差不多,就有可能是正确的。例
如, “五年级一班有男生 人,平均身高为’ 4 4 5 6厘米,有女生
6人,总身高为 7 5 厘米,全班学生平均身高是多少厘米? ”
列式计算为:(’ 4 4 5 6% 7 5)8( %’ 6)!7 6 5 9(厘米) ,根据题意估计,全班学生平均身高应为’ 4 4 5 6厘米左右,然而计
算结果为7 6 5 9厘米,显然很不符合实际情况,所得结果错误。
第二,把求出的结果当作已知条件,代入原题,依据题意,· ! ! · 新编十万个为什么 %能否求出其中一个条件。例如, “美霞服装厂计划做! 套衣服,已经做了 % 天,平均每天做’ (套。剩下的要在) % 天内做完,平均每天应做多少套? ”
(! (+ % ),) % -’ !(套)
验算时,把’ !套作为已知条件代入题目中,依据题意列式
计算,看能否求出已知条件。!’ (+ % .’ !+) % -! (套)
(! !+) % ),’ (- % (天)
(! !+) % ), % -’ ((套)
代入后所求结果与已知条件相符,原答案正确。
第三,用不同解法检验。这种方法适用于有不同解法的应用
题。如果有的题目只能用一种解法,可以通过不同的解题思路进
行检验。
第四,根据题目中总量与部分量的关系,或量的对应关系来
检验原解是否正确。例如: “配制黑火药用的原料是火硝、硫磺
和木炭。这三种原料重量的比是 0 ( 0 )。要配制这种黑火药 !
千克,需要三种原料各多少千克? ”
.(.)-(
火硝千克数: ! +
( - ( (千克)
硫磺千克数: ! +(
( - !(千克)
木炭千克数: ! +)
( -( (千克)
验算: ( . !.( - ! (千克) ,三种原料的总千克数与
火药的千克数相等。
( 0 ! 0 ( - 0 ( 0 )
三种原料重量的比与已知条件相同,说明解答正确。
· ! · ! 数学·信息卷列方程解应用题的关键是什么
列方程解应用题的一般步骤是:
弄清题意,找出未知数,并用表示;
找出应用题中数量之间的相等关系,列方程;
解方程;
(%)检验,写出答案。
其中找出应用题中数量之间的相等关系最关键,只有这样才
能列出方程。
例如:“小青买两节五号电池,付出 (元,找回了 )
元。每节五号电池多少元? ”
这样想:付出的钱数两节电池的钱数+找回的钱数。
从而列出方程: ( + )
怎样利用“假设”
的数学思想解答应用题
有些应用题可将题中某个条件假设为与之相近的另一个条
件,并从假设条件入手,分析数量关系,找出解题思路。
例如: “学校买了%个篮球和,个足球,共花! ( ! 元,一
个篮球比一个足球贵- )元,一个足球多少元? ”
可以这样想:假设把%个篮球换%个足球,可以少花- ).
% ! (元) ,就可以找到(,%)个足球的总价是(! ( !
! )元,从而求出每个足球的单价是:
(! ( ! ! )0(,%)
+! 0!
+! (元)
· ! · 新编十万个为什么 !!!!!!!!!!!! 篮球单价是:! %! % (元)
如果把足球假设成篮球,思路也是一样。
再举一道数学竞赛中的题目。
“蜘蛛有条腿,蝴蝶有(条腿和)对翅膀,蝉有(条腿和!
对翅膀。现在这三种小虫共) !只,共! 条腿和) +对翅膀。问
蜘蛛、蝴蝶、蝉各多少只? ”
题中要求三个未知量。但是,蝴蝶与蝉每只的腿数相同,因
此按每只腿的多少,可分为两类:条腿的蜘蛛和都是(条腿的
蝴蝶与蝉。
假设) !只都是蝴蝶与蝉,那么应有(,) !’! ) ((条)腿,比实际的总腿数少了! -! ) (’! (条) 。这是由于每只蜘蛛少
算了)条腿,从而算出只蜘蛛,蝴蝶与蝉一共! 只。
再根据翅膀数分别求出蝴蝶和蝉。假设! 只都是蝴蝶,那
么应有翅膀),!) (对) ,这比实际翅膀总数多了) -) +’.
(对) ,这是由于每只蝉多算了!对翅膀,从而算出蝉的只数。
即 (! -! ) (-
! )’(只) (蜘蛛数)) !-’! (只) (蝴蝶和蝉共有数)
,! -) +)-!)
.(只)! -.’0(只) (蝴蝶数)
用不同的假设也可以如例求出蜘蛛、蝴蝶、蝉各多少只。
怎样利用“转化”
的数学思想解答应用题
有些应用题,题里给出两个或两个以上未知数量的关系。要
求这些未知数量,思考的时候,可以根据所给的条件,用一个未
· ! · ! 数学·信息卷知数量转化为另一个未知数量,从而找到解题的方法。
例如, “师徒二人合作一批零件,徒弟做了!小时,师傅做
了小时,一共做了 %个零件。徒弟小时的工作量等于师傅
%小时的工作量。师徒每小时各做多少个? ”
可以这样想:把师傅的工作量转化为徒弟的工作量。以徒弟
每小时工作量作为份,师傅%小时的工作量相当于这样的
份,小时里有’个%小时,相当于% (份徒弟每小时的工作量。
从而得出:
%)[!+%) ]
, %(个) (徒弟每小时工作量)
%+)%, ((个) (师傅每小时工作量)
也可以这样想:以徒弟每小时工作量作为份,先看师傅
小时工作量相当于这样的几份,再看师傅小时的工作量相当于
这样的几份,从而得出徒弟每小时的工作量。即 %)[!+
%) ]
也可以以师傅每小时的工作量作为一份,把徒弟的工作量转
化为师傅的工作量,从而得出师傅每小时的工作量。即
%)[!+(%)) ]
又如:“某农机场修理一批拖拉机,在责任制前每天只修
台,实行责任制后,每天比原来多修%台。因此,这批拖拉机可
以提前’天修好,这批拖拉机有多少台? ”
根据现有条件,不易直接求出这批拖拉机有多少台。把已知
条件加以转化。
天 台— — —!台
天
天 台— — —!台
天
责任制后比责任制前每台少用
· ! · 新编十万个为什么 !
!
%! (天)
因为这批拖拉机提前’天完成,从而求出这批拖拉机的总台
数。
((!
!
)% )(台)
怎样利用“对应”
的数学思想解答应用题
利用集合的元素和集合+元素之间的对应关系来分析应
用题,找到其解题思路。
例如,“洗衣机厂门市部上午卖出台洗衣机,下午卖出
台洗衣机,下午比上午多收货款 , -元,每台洗衣机售价多少
元? ”
这道题中下午比上午多卖出的台数,和下午比上午多收的钱
数是对应关系。多卖出台,多收 , -元,即 , -元所对
应的是台洗衣机,从而求出每台洗衣机的售价。
再看下例:
“一堆苹果,人平分剩!个,’人平分剩个,人平分剩
个,.人平分剩’个,,人平分剩个。这堆苹果至少有多少
个? ”
我们以苹果数为被除数,那么除数与余数的对应关系如下
表:
除数 . ,余数 !
除数余数
· ! · ! 数学·信息卷由表可见:除数与余数的差都是!,这就是说,被除数加!
的和能分别被、、、%、整除。因此,先求出、、、%、的最小公倍数是 !, !(!) +(个)就是这堆苹果的至少
个数。
怎样用“点图”的
思考方法解答应用题
有些应用题的题意比较抽象,关系比较复杂,我们可以用
“点图”表示它们之间的关系,不仅直观、形象,甚至能直接找
到问题的答案。请看下例:
“甲、乙、丙、丁与小强五名同学一起进行象棋比赛,每两
人都要比赛一盘,到现在为止,甲已经赛了盘,乙赛了盘,丙赛了!盘,丁赛了盘。问小强已经赛了多少盘? ”
在分析这个问题时,先将五个人看成五个“点” ,两人比赛
过,就用线段连结相应的两点,根据“甲已赛了盘” ,再依次
根据“丁赛了盘” 、 “乙赛了盘” 、 “丙赛了!盘” ,画出图。
然后可以得到答案:小强已经赛了!盘。
怎样利用“倒推法”
灵活巧妙地解决实际问题
生活中有些实际问题,如果按照事情发展的过程,由先到后
顺序思考,不易得到解决。如果换一个方向,用倒推法分析,有
时倒能灵活巧妙地解决实际问题。现举一个例子:
有一天,三个小朋友在图书馆相会。甲说:我每隔一天来一
次。乙说:我每隔两天来一次。丙说:我每隔三天来一次。管理
员告诉他们说:每逢星期三闭馆。三个小朋友说:如果预定来的
· ! · 新编十万个为什么 !!!!!!!!!!!! 日子正好是闭馆日,那就次日来。从今天开始 ......
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