《初高中数学衔接教材》 | kejianyuan.net

    1

    《初高中数学衔接教材》序言

    童永奇

    高一新生，你们好，祝贺大家考入临潼区马额中学!

    进入我校，同学们必须努力学好《初高中数学衔接教材》，理由如下：一方

    面，由于我校是普通农村高中学校，生源质量相对较差；另一方面，由于高中

    数学是初中数学的延伸与拓展，初中我们学到的知识、方法在高中会经常使用。

    既然学习《初高中数学衔接教材》如此重要，那么我们应该如何学习呢？

    提几点建议：

    一、“信心”是源泉。人缺乏信心，就丧失了驱动力，终将一事无成。

    二、“恒心”是保障。人缺乏恒心，将“三天打鱼，两天晒网”。

    三、“巧心”是支柱。人无巧心，就缺乏灵气和创造力。

    最后，衷心祝愿同学们在《初高中数学衔接教材》的学习中获得成功，请

    将那么成功的经验及时告诉我们，以便让更多的朋友分享你们成功的喜悦!

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    2

    临潼区马额中学高一数学校本教材

    童永奇

    结合我校学生的实际情况——基础知识较差，能力较差，没有掌握较好的学习方法，特设计适合我校

    高一学生使用的校本教材。主要包括以下两个内容：一是《怎样学好数学》 ，二是《初高中数学衔接》 。

    怎样学好数学？

    A.要学好数学，就应该了解数学本身具有的三大特点。(一)抽象性：数学的抽象性是无条件的，它的

    概念一经产生和定义之后，就稳定下来并且被看作是已知的，它们与现实的比较不是数学本身，而是它的

    应用问题。(二)严谨性：由于数学的严谨性，人们往往认为数学是一种“冷而严肃的美”。罗素说：“数

    学，如果正确地看它，不但拥有真理，而且也是具有至高的美，正像雕刻的美，是一种冷而严肃的美，这

    种美不是投合我们天性的微弱的方 面，这种美没有绘画或音乐的那些华丽的装饰，它可以纯净到崇高的

    地步，能够达到严格的只有最伟大的艺术才能显示的那种完美的境地。”(三)应用的广泛性：在任何一个

    领域，只要能从数学的角度提出问题，数学就能给出与所提问题的精确度相符合的答案，数学的这种威力

    恰恰是来源于它的抽象性。

    B.要学好数学，就应该重视数学思想方法的学习。数学思想方法的学习是一个潜移默化的过程，是在

    多次领悟、反复应用的基础上形成的，所以一道题做完后，就应该进行反思，回味解题中所使用的思想方

    法。这正是一个理想的领悟机会，也是我们自己反思、归纳、总结，提炼升华的基础。解析几何的创建者

    笛卡儿说得好：“走过两遍的路就是方法”。解题时走了一遍，解题后又走了一遍，这就是两遍。这么一来，这道题在你手里就不再是一道题，而是一种方法。

    C.要学好数学，就应该学会解题时如何进行思维。从心理学角度说，解题过程是解题者面临新问题，而自己没有现存对策时所引起寻求解决问题办法的一种心理活动，主要是思维过程对思维活动这一系列过

    程的反映，在信息上就是收集、存储、加工和应用；在知识体系上就是联系、转换和应用过程；在解题策

    略上就是方法的选择和调整过程。

    D.要学好数学，就应该培养自己迎难而上、顽强拼搏的精神。比如：数学大师——欧拉，60

    多岁双

    目失明，一场大火又吞没了他的研究成果，他毫不气馁，发誓说：“如果命运是块玩石，我就化作大铁锤，将它砸得粉碎!”此后

    17

    年，他在黑暗中摸索奋斗，又发表了

    400

    多篇论文和多部专著。

    E.要学好数学，就应该学会辩证思维。所谓辩证思维，就是用运动的和寻求联系的观点、方法来思考，用辩证法来揭示事物的本质，这种思维方法能使学习和研究问题更加深入，更加触及数学本质；它既是思

    维发展最活跃，最富有创造性的高级阶段，也是辩证法在中学数学中的生动体现。因此，在解题时，应善

    于运用辩证思维方法分析问题，从而制定解题策略，把握解题规律。

    F.要学好数学，就应该有意识地提高自己的自学能力。有了自学能力，就能广泛猎取知识，见多识广，利于开发智力，提高逻辑思维能力、空间想象能力、推理论证能力、独创思维能力以及运用能力等。

    . G

    要学好数学，就应该加强训练。要真真正正地做到：勤于动手，勤于动脑，积极思考，勇于探索，大胆实践。

    . H

    要学好数学，还应该注重多看一些有关的参考资料。目的：加深对教材知识的理解，开阔自己的知

    识视野，进一步提高自己分析问题、解决问题的能力，进一步领会灵活运用各种技巧、定理、公式在解题

    中的重要作用。对于一些好的解(证)法也应单独摘录出来；对于一些归纳、总结性的结论及一些常用技

    巧等也应摘录出来(此外，对于自己做题中所出现的一些典型错误，不但要摘录出来，而且要彻底搞清错

    误的根源及如何准确求解)。这样做，对于学习数学来说，也是一种提高!

    最后，愿与各位同学共勉：相信自我，战胜自我，超越自我!!

    要踏，就请踏一路青春的风采；要走，就请走一程无怨无悔的人生!

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    3

    初高中数学衔接

    前言

    现有初高中数学知识存在以下“脱节”：

    1.立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中的运算还在用。

    2.因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解，对系数不为“1”的涉及不多,而且对三次

    或高次多项式因式分解几乎不作要 求，但高中教材许多化简求值都要用到,如解方程、不等式等。

    3.二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的

    解题技巧。

    4.初中教材对二次函数要求较低，学生处于了解水平，但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。

    配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值，研究闭区间上函数最值等等是

    高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。

    5.二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系(韦达定理)在初中不作要求，此类

    题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型，而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被

    视为重要内容，高中教材却未安排专门的讲授。

    6.图像的对称、平移变换，初中只作简单介绍，而在高中讲授函数后，对其图像的上、下；左、右

    平移，两个函数关于原点，轴、直线的对称问题必须掌握。

    7.含有参数的函数、方程、不等式，初中不作要求，只作定量研究,而高中这部分内容视为重难点。

    方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题。

    8.几何部分很多概念(如重心、垂心等)和定理(如平行线分线段比例定理，射影定理，相交弦定

    理等)初中生大都没有学习，而高中都要涉及。

    另外，像配方法、换元法、待定系数法初中教学大大弱化，不利于高中知识的讲授。

    第一讲 数与式(一)

    1.1 数与式的运算

    1.1.1.绝对值

    绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零.即

    , 0,| | 0, 0,, 0.

    aa

    aa

    aa

    · ?

    ·

    ·? ?

    ·?? ?

    绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离.

    两个数的差的绝对值的几何意义：

    b a ?

    表示在数轴上，数

    a

    和数

    b

    之间的距离.

    例 1 解不等式：

    13 xx ? ? ?

    >4.

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    4

    练 习

    1.填空题：

    (1)若

    5 ? x

    ，则 x=_________；若

    4 ? ? x

    ，则 x=_________.

    (2)如果

    5 ? ? b a

    ，且

    1 ? ? a

    ，则 b＝________；若

    2 1 ? ? c

    ，则 c＝________.

    2.选择题：

    下列叙述正确的是 ( )

    (A)若

    ab ?

    ，则

    ab ?

    (B)若

    ab ?

    ，则

    ab ?

    (C)若

    ab ?

    ，则

    ab ?

    (D)若

    ab ?

    ，则

    ab ??

    3.化简：|x-5|-|2x-13|(x>5).

    1.1.2. 乘法公式

    我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：

    (1)平方差公式

    22

    ( )( ) a b a b a b ? ? ? ?；

    (2)完全平方公式

    2 2 2

    ( ) 2 a b a ab b ? ? ? ?

    .

    我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：

    (1)立方和公式

    2 2 3 3

    ( )( ) a b a ab b a b ? ? ? ? ?；

    (2)立方差公式

    2 2 3 3

    ( )( ) a b a ab b a b ? ? ? ? ?；

    (3)三数和平方公式

    2 2 2 2

    ( ) 2( ) a b c a b c ab bc ac ? ? ? ? ? ? ? ?；

    (4)两数和立方公式

    3 3 2 2 3

    ( ) 3 3 a b a a b ab b ? ? ? ? ?；

    (5)两数差立方公式

    3 3 2 2 3

    ( ) 3 3 a b a a b ab b ? ? ? ? ?

    .

    对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明.

    例 1 计算：

    22

    ( 1)( 1)( 1)( 1) x x x x x x ? ? ? ? ? ?

    .

    例 2 已知

    4 abc ? ? ?

    ，4 ab bc ac ? ? ?

    ，求

    2 2 2

    abc ??

    的值.

    练 习

    1.填空题：

    (1)

    22 1 1 1 1

    9 4 2 3

    a b b a ? ? ?

    ( )；

    (2)

    (4m?

    22) 16 4 ( mm ? ? ?

    )；

    (3)

    2 2 2 2

    ( 2 ) 4 ( a b c a b c ? ? ? ? ? ?

    )

    .

    2.选择题：

    (1)若

    2 1

    2

    x mx k ??

    是一个完全平方式，则

    k

    等于 ( ) 《初高中数学衔接教材》 | kejianyuan.net

    5

    (A)

    2

    m

    (B)

    2 1

    4

    m

    (C)

    2 1

    3

    m

    (D)

    2 1

    16

    m

    (2)不论

    a

    ，b

    为何实数，22

    2 4 8 a b a b ? ? ? ?

    的值 ( )

    (A)总是正数 (B)总是负数

    (C)可以是零 (D)可以是正数也可以是负数

    1.1.3.二次根式

    一般地，形如

    ( 0) aa ?

    的代数式叫做二次根式.根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为

    无理式. 例如

    2

    32 a a b b ? ? ?

    ，22

    ab ?

    等是无理式，而

    2 2

    21

    2

    xx ??

    ，22

    2 x xy y ??

    ，2

    a

    等

    是有理式.

    1.分母(子)有理化

    把分母(子)中的根号化去，叫做分母(子)有理化.为了进行分母(子)有理化，需要引入有理化

    因式的概念.两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互

    为有理化因式，例如

    2

    与

    2

    ，3 a

    与

    a

    ，36 ?

    与

    36 ?

    ，2 3 3 2 ?

    与

    2 3 3 2 ?

    ，等等. 一

    般地，ax

    与

    x

    ，a x b y ?

    与

    a x b y ?

    ，a x b ?

    与

    a x b ?

    互为有理化因式.

    分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化

    则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程

    在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式

    ( 0, 0) a b ab a b ? ? ?；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行

    运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式.

    2.二次根式

    2

    a

    的意义

    2

    aa ??

    , 0,, 0.

    aa

    aa

    · ?

    ·

    ·? ?

    例 1 将下列式子化为最简二次根式：

    (1)

    12b； (2)

    2

    ( 0) a b a ?； (3)

    6

    4 ( 0) x y x ?

    .

    例 2 计算：

    3 (3 3) ??

    .

    例 3 试比较下列各组数的大小：

    (1)

    12 11 ?

    和

    11 10 ?； (2)

    2

    64 ?

    和

    2 2 6 -

    .

    例 4 化简：

    2004 2005

    ( 3 2) ( 3 2) ? ? ?

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    6

    例 5 化简：(1)

    9 4 5 ?； (2)

    2

    2

    1

    2(0 1) xx

    x

    · ? ? ?

    .

    例 6 已知

    3 2 3 2

    ,3 2 3 2

    xy

    ·?

    ·?

    ·?

    ，求

    22

    3 5 3 x xy y ??

    的值 .

    练 习

    1.填空题：

    (1)

    13

    13

    ·

    ·

    ＝__ ___；

    (2)若

    2

    (5 )( 3) ( 3) 5 x x x x ? ? ? ? ?

    ，则

    x

    的取值范围是_ _ ___；

    (3)

    4 24 6 54 3 96 2 150 ? ? ? ?

    __ ___；

    (4)若

    5

    2

    x ?

    ，则

    1 1 1 1

    1 1 1 1

    x x x x

    x x x x

    · ? ? ? ? ?

    ·?

    · ? ? ? ? ?

    ______ __.

    2.选择题：

    等式

    2 2

    xx

    x x

    ·

    · ?

    成立的条件是 ( )

    (A)

    2 x ?

    (B)

    0 x ?

    (C)

    2 x ?

    (D)

    02 x ??

    3.若

    22

    11

    1

    aa

    b

    a

    · ? ?

    ·

    ·

    ，求

    ab ?

    的值.

    4.比较大小：2- 3 5- 4(填“>”，或“<”).

    第二讲 数与式(二)

    1.1.4.分式 《初高中数学衔接教材》 | kejianyuan.net

    7

    1.分式的意义

    形如

    A

    B

    的式子，若 B 中含有字母，且

    0 B ?

    ，则称

    A

    B

    为分式.当 M≠0时，分式

    A

    B

    具有下列性质：

    A A M

    B B M

    ·

    ·

    ·；

    A A M

    B B M

    ·

    ·

    ·

    .

    上述性质被称为分式的基本性质.

    2.繁分式

    像

    a

    b

    cd ?

    ，2

    m n p

    m

    np

    ·?

    ·

    这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式.

    例 1 若

    54

    ( 2) 2

    x A B

    x x x x

    ·

    ·?

    ·?

    ，求常数

    , AB

    的值.

    例 2 (1)试证：

    1 1 1

    ( 1) 1 n n n n

    ·?

    ·?

    (其中 n 是正整数)；

    (2)计算：

    1 1 1

    1 2 2 3 9 10

    · ? ?

    · ? ?；

    (3)证明：对任意大于1的正整数n， 有

    1 1 1 1

    2 3 3 4 ( 1) 2 nn

    · ? ? ?

    · ? ?

    .

    例 3 设

    c

    e

    a

    ·

    ，且 e>1，2c 2

    -5ac+2a 2

    ＝0，求 e 的值.

    练 习

    1.填空题：

    对任意的正整数 n，1

    ( 2) nn

    ·

    ·

    (

    11

    2 nn

    ·

    ·). 《初高中数学衔接教材》 | kejianyuan.net

    8

    2.选择题：

    若

    22

    3

    xy

    xy

    ·

    ·

    ·

    ，则

    x

    y

    ＝ ( )

    (A)1 (B)

    5

    4

    (C)

    4

    5

    (D)

    6

    5

    3.正数

    , xy

    满足

    22

    2 x y xy ??

    ，求

    xy

    xy

    ·

    ·

    的值.

    4.计算

    1 1 1 1...

    1 2 2 3 3 4 99 100

    · ? ? ?

    · ? ? ?

    .

    习题 1.1

    A 组

    1.解不等式：

    (1)

    13 x ??； (2)

    3 2 7 xx ? ? ? ?；

    (3)

    1 1 6 xx ? ? ? ?

    .

    2.已知

    1 xy ??

    ，求

    33

    3 x y xy ??

    的值.

    3.填空题：

    (1)

    18 19

    (2 3) (2 3) ??

    ＝________；

    (2)若

    22

    (1 ) (1 ) 2 aa ? ? ? ?

    ，则

    a

    的取值范围是________；

    (3)

    1 1 1 1 1

    1 2 2 3 3 4 4 5 5 6

    · ? ? ? ?

    · ? ? ? ?

    ________.

    B 组

    1.填空题：

    (1)

    1

    2

    a ?

    ，1

    3

    b ?

    ，则

    2

    22

    3

    3 5 2

    a ab

    a ab b

    ·

    ·

    ·?

    ____ ____；

    (2)若

    22

    20 x xy y ? ? ?

    ，则

    22

    22

    3 x xy y

    xy

    ·?

    ·

    ·

    __ __；

    2.已知：

    11

    ,23

    xy ??

    ，求

    yy

    x y x y

    ·

    ·?

    的值.

    C 组

    1.选择题：

    (1)若

    2 a b ab b a ? ? ? ? ? ? ?

    ，则 ( )

    (A)

    ab ?

    (B)

    ab ?

    (C)

    0 ab ??

    (D)

    0 ba ??

    (2)计算

    1

    a

    a

    ·

    等于 ( )

    (A)

    a ?

    (B)

    a

    (C)

    a ??

    (D)

    a ?

    2.解方程

    2

    2

    11

    2( ) 3( ) 1 0 xx

    xx

    · ? ? ? ?

    .

    3.计算：

    1 1 1 1

    1 3 2 4 3 5 9 11

    · ? ? ?

    · ? ? ?

    .

    4.试证：对任意的正整数 n，有

    1 1 1

    1 2 3 2 3 4 ( 1)( 2) n n n

    · ? ?

    · ? ? ? ? ?

    <1

    4

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    9

    1.2 分解因式

    因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及

    待定系数法.

    1.十字相乘法

    例 1 分解因式：

    (1)x

    2

    -3x+2； (2)x

    2

    +4x-12；

    (3)

    22

    x a b xy aby ? ? ?； (4)

    1 xy x y ? ? ?

    .

    2.提取公因式法与分组分解法

    例 2 分解因式：

    (1)

    32

    9 3 3 x x x ? ? ?； (2)

    22

    2 4 5 6 x xy y x y ? ? ? ? ?

    .

    3.关于 x 的二次三项式 ax 2

    +bx+c(a≠0)的因式分解.

    若关于 x 的方程

    2

    0( 0) ax bx c a ? ? ? ?

    的两个实数根是

    1 x

    、2 x

    ，则二次三项式

    2

    ( 0) ax bx c a ? ? ?

    就

    可分解为

    12 ( )( ) a x x x x ??

    .

    例 3 把下列关于 x 的二次多项式分解因式：

    (1)

    2

    21 xx ??； (2)

    22

    44 x xy y ??

    .

    练 习

    1.选择题：

    多项式

    22

    2 15 x xy y ??

    的一个因式为 ( )

    (A)

    25 xy ?

    (B)

    3 xy ?

    (C)

    3 xy ?

    (D)

    5 xy ?

    2.分解因式：

    (1)x 2

    +6x+8； (2)8a 3

    -b 3； 《初高中数学衔接教材》 | kejianyuan.net

    10

    (3)x

    2

    -2x-1； (4)

    4( 1) ( 2 ) x y y y x ? ? ? ?

    .

    习题 1.2

    1.分解因式：

    (1)

    3

    1 a ?； (2)

    42

    4 13 9 xx ??；

    (3)

    22

    2 2 2 b c ab ac bc ? ? ? ?； (4)

    22

    3 5 2 9 4 x xy y x y ? ? ? ? ?

    .

    2.在实数范围内因式分解：

    (1)

    2

    53 xx ??； (2)

    2

    2 2 3 xx ??；

    (3)

    22

    34 x xy y ??； (4)

    222

    ( 2 ) 7( 2 ) 12 x x x x ? ? ? ?

    .

    3.

    ABC ?

    三边

    a

    ，b

    ，c

    满足

    2 2 2

    a b c ab bc ca ? ? ? ? ?

    ，试判定

    ABC ?

    的形状.

    4.分解因式：x 2

    +x-(a 2

    -a). 《初高中数学衔接教材》 | kejianyuan.net

    11

    第三讲 函数与方程(一)

    3.1 根的判别式

    我们知道，对于一元二次方程 ax 2

    +bx+c＝0(a≠0)，用配方法可以将其变形为

    2

    2

    2

    4

    24

    b b ac

    x

    aa

    ·

    ·?

    . ①

    由此可知，一元二次方程 ax 2

    +bx+c＝0(a≠0)的根的情况可以由 b 2

    -4ac 来判定，我们把 b 2

    -4ac

    叫做一元二次方程 ax

    2

    +bx+c＝0(a≠0)的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示.

    综上所述，对于一元二次方程 ax 2

    +bx+c＝0(a≠0)，有

    (1) 当 Δ>0 时，方程有两个不相等的实数根：x1，2＝

    2

    4

    2

    b b ac

    a

    · ? ?；

    (2)当 Δ＝0时，方程有两个相等的实数根：x1＝x2＝-

    2

    b

    a；

    (3)当 Δ<0时，方程没有实数根.

    例 1 判定下列关于 x 的方程的根的情况(其中 a 为常数)，如果方程有实数根，写出方程的实数根.

    (1)x 2

    -3x+3＝0； (2)x 2

    -ax-1＝0；

    (3) x 2

    -ax+(a-1)＝0； (4)x 2

    -2x+a＝0.

    说明：在第 3，4 小题中，方程的根的判别式的符号随着 a 的取值的变化而变化，于是，在解题过程

    中，需要对 a 的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨论.分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非

    常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题.

    3.2 根与系数的关系(韦达定理)

    若一元二次方程 ax

    2

    +bx+c＝0(a≠0)有两个实数根

    2

    1

    4

    2

    b b ac

    x

    a

    · ? ?

    ·

    ，2

    2

    4

    2

    b b ac

    x

    a

    · ? ?

    ·

    ，则有

    22

    12

    4 4 2

    2 2 2

    b b ac b b ac b b

    xx

    a a a a

    · ? ? ? ? ? ?

    · ? ? ? ? ?；

    2 2 2 2

    12 22

    4 4 ( 4 ) 4

    2 2 4 4

    b b ac b b ac b b ac ac c

    xx

    a a a a a

    · ? ? ? ? ? ? ?

    · ? ? ? ?

    .

    所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：

    如果 ax

    2

    +bx+c＝0(a≠0)的两根分别是 x1，x2，那么 x1+x2＝

    b

    a

    ·

    ，x1·x2＝

    c

    a

    .这一关系也被称

    为韦达定理.

    特别地，对于二次项系数为 1 的一元二次方程 x 2

    +px+q＝0，若 x1，x2是其两根，由韦达定理可知

    x1+x2＝-p，x1·x2＝q，即 p＝-(x1+x2)，q＝x1·x2，所以，方程 x 2

    +px+q＝0 可化为 x 2

    -(x1+x2)x+x1·x2＝0，由于 x1，x2是一元二次方程 x 2

    +px+q＝

    0 的两根，所以，x1，x2也是一元二次方程 x 2

    -(x1+x2)x+x1·x2＝0.因此有

    以两个数 x1，x2为根的一元二次方程(二次项系数为 1)是x 2

    -(x1+x2)x+x1·x2＝0. 《初高中数学衔接教材》 | kejianyuan.net

    12

    例 2 已知方程

    2

    5 6 0 x kx ? ? ?

    的一个根是 2，求它的另一个根及 k 的值.

    分析：由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出k 的值，再由方程解出另一个根.但

    由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数

    和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出 k 的值.

    例 3 已知关于 x 的方程 x 2

    +2(m-2)x+m 2

    +4＝0 有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两

    个根的积大 21，求 m 的值.

    分析：本题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大 21 得到关于 m 的方程，从而解得 m

    的值.但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此，其根的判别式应大于零.

    说明：(1)在本题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的m 的范围，然后再由

    “两个实数根的平方和比两个根的积大 21”求出 m 的值，取满足条件的 m 的值即可.

    (1)在今后的解题过程中，如果仅仅由韦达定理解题时，还要考虑到根的判别式 Δ 是否大于或大于

    零.因为，韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根.

    例 4 已知两个数的和为 4，积为-12，求这两个数.

    分析：我们可以设出这两个数分别为 x，y，利用二元方程求解出这两个数.也可以利用韦达定理转化

    出一元二次方程来求解.

    例 5 若 x1和 x2分别是一元二次方程 2x 2

    +5x-3＝0的两根.

    (1)求| x1-x2|的值；(2)求

    22

    12

    11

    xx

    ·

    的值；(3)x1

    3

    +x2

    3

    .

    说明：一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题，《初高中数学衔接教材》 | kejianyuan.net

    13

    为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：

    设 x1和 x2分别是一元二次方程 ax 2

    +bx+c＝0(a≠0)，则

    2

    1

    4

    2

    b b ac

    x

    a

    · ? ?

    ·

    ，2

    2

    4

    2

    b b ac

    x

    a

    · ? ?

    ·

    ，∴| x1-x2|＝

    2 2 2

    4 4 2 4

    2 2 2

    b b ac b b ac b ac

    a a a

    · ? ? ? ? ? ?

    ·?

    2

    4

    | | | |

    b ac

    aa

    ·?

    ·?

    .

    于是有下面的结论：

    若 x1和 x2分别是一元二次方程ax 2

    +bx+c＝0(a≠0)，则| x1-x2|＝

    || a

    ·

    (其中 Δ＝b 2

    -4ac).

    今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论.

    例 6 若关于 x 的一元二次方程 x 2

    -x+a-4＝0 的一根大于零、另一根小于零，求实数 a 的取值范围.

    练 习

    1.选择题：

    (1)方程

    22

    2 3 3 0 x kx k ? ? ?

    的根的情况是 ( )

    (A)有一个实数根 (B)有两个不相等的实数根

    (C)有两个相等的实数根 (D)没有实数根

    (2)若关于 x 的方程 mx 2

    + (2m+1)x+m＝0 有两个不相等的实数根，则实数 m 的取值范围是( )

    (A)m<

    1

    4

    (B)m>-

    1

    4

    (C)m<

    1

    4

    ，且 m≠0 (D)m>-

    1

    4

    ，且 m≠0

    2.填空题:

    (1)若方程 x

    2

    -3x-1＝0 的两根分别是 x1和 x2，则

    12

    11

    xx

    ·

    ＝ .

    (2)方程 mx 2

    +x-2m＝0(m≠0)的根的情况是 .

    (3)以-3 和 1 为根的一元二次方程是 .

    3.已知

    2

    8 16 | 1| 0 a a b ? ? ? ? ?

    ，当 k 取何值时，方程 kx

    2

    +ax+b＝0 有两个不相等的实数根？

    4.已知方程 x

    2

    -3x-1＝0 的两根为 x1和 x2，求(x1-3)( x2-3)的值.

    习题 A 组

    1.选择题:

    (1)已知关于 x 的方程 x

    2

    +kx-2＝0 的一个根是 1，则它的另一个根是( )

    (A)-3 (B)3 (C)-2 (D)2

    (2)下列四个说法：

    ①方程 x 2

    +2x-7＝0 的两根之和为-2，两根之积为-7；

    ②方程 x 2

    -2x+7＝0 的两根之和为-2，两根之积为 7；

    ③方程 3 x 2

    -7＝0 的两根之和为 0，两根之积为

    7

    3

    ·；

    ④方程 3 x 2

    +2x＝0 的两根之和为-2，两根之积为 0.

    其中正确说法的个数是 ( )

    (A)1 个 (B)2 个 (C)3 个 (D)4 个

    (3)关于 x 的一元二次方程 ax

    2

    -5x+a

    2

    +a＝0 的一个根是 0，则 a的值是 ( )

    (A)0 (B)1 (C)-1 (D)0，或-1

    2.填空题: 《初高中数学衔接教材》 | kejianyuan.net

    14

    (1)方程 kx 2

    +4x-1＝0 的两根之和为-2，则 k＝ .

    (2)方程 2x 2

    -x-4＝0 的两根为 α，β，则 α2

    +β2

    ＝ .

    (3)已知关于 x 的方程 x 2

    -ax-3a＝0 的一个根是-2，则它的另一个根是 .

    (4)方程 2x 2

    +2x-1＝0 的两根为 x1和 x2，则| x1-x2|＝ .

    3.试判定当 m 取何值时，关于x 的一元二次方程 m 2

    x 2

    -(2m+1) x+1＝0 有两个不相等的实数根？有两个

    相等的实数根？没有实数根？

    4.求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程 x 2

    -7x-1＝0 各根的相反数.

    B 组

    1.选择题:

    若关于 x 的方程 x 2

    +(k 2

    -1) x+k+1＝0 的两根互为相反数，则 k 的值为( )

    (A)1，或-1 (B)1 (C)-1 (D)0

    2.填空题:

    (1)若 m，n 是方程 x

    2

    +2005x-1＝0 的两个实数根，则 m

    2

    n+mn

    2

    -mn的值等于 .

    (2)如果 a，b 是方程 x 2

    +x-1＝0 的两个实数根，那么代数式 a 3

    +a 2

    b+ab 2

    +b 3

    的值是 .

    3.已知关于 x 的方程 x 2

    -kx-2＝0.

    (1)求证：方程有两个不相等的实数根；

    (2)设方程的两根为 x1和 x2，如果 2(x1+x2)>x1x2，求实数 k 的取值范围.

    4.一元二次方程 ax 2

    +bx+c＝0(a≠0)的两根为 x1和 x2.求：

    (1)| x1-x2|和

    12

    2

    xx ?；(2)x1

    3

    +x2

    3

    .

    5.关于 x 的方程 x

    2

    +4x+m＝0 的两根为 x1，x2满足| x1-x2|＝2，求实数 m 的值.

    C 组

    若关于 x 的方程 x 2

    +x+a＝0 的一个大于 1、零一根小于 1，求实数a 的取值范围.

    第四讲 函数与方程(二)

    4.1 二次函数 y＝ax2

    +bx+c 的图像和性质

    二次函数的性质可以分别通过图直观地表示出来.在今后解决二次函数问题时，可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题.

    y

    x＝-

    2

    b

    a

    y

    A

    2

    4

    ( , )

    24

    b ac b

    aa

    ·

    ·

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    15

    例 1 求二次函数 y＝-3x 2

    -6x+1 图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值(或最小值)，并指

    出当 x 取何值时，y 随 x 的增大而增大(或减小)？

    例 2 把二次函数 y＝x

    2

    +bx+c 的图像向上平移 2 个单位，再向左平移 4 个单位，得到函数 y＝x

    2

    的

    图像，求 b，c 的值.

    例 3 已知函数 y＝x 2

    ， (-2≤x≤a) ，其中 a≥-2，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大

    值和最小值时所对应的自变量 x 的值.

    分析：本例中函数自变量的范围是一个变化的范围，需要对 a的取值进行讨论.

    练 习

    1.选择题：

    (1)下列函数图象中，顶点不在坐标轴上的是 ( )

    (A)y＝2x 2

    (B)y＝2x 2

    -4x+2 (C)y＝2x 2

    -1 (D)y＝2x 2

    -4x

    (2)函数 y＝2(x-1)

    2

    +2 是将函数 y＝2x

    2

    ( )

    (A)向左平移 1 个单位、再向上平移 2 个单位得到的

    (B)向右平移 2 个单位、再向上平移 1 个单位得到的

    (C)向下平移 2 个单位、再向右平移 1 个单位得到的

    (D)向上平移 2 个单位、再向右平移 1 个单位得到的

    2.填空题：

    (1)二次函数 y＝2x

    2

    -mx+n 图象的顶点坐标为(1，-2)，则 m＝ ，n＝ .

    (2)已知二次函数 y＝x 2

    +(m-2)x-2m，当 m＝ 时，函数图象的顶点在 y 轴上；当 m＝ 时，函数图象的顶点在 x 轴上；当 m＝ 时，函数图象经过原点.

    (3)函数 y＝-3(x+2)2

    +5 的图象的开口向 ，对称轴为 ，顶点坐标为 ；

    当 x＝ 时，函数取最 值 y＝ ；当 x 时，y 随着x 的增大而减小.

    3.求下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大(小)值及 y 随 x 的变化情况.

    (1)y＝x 2

    -2x-3； (2)y＝1+6 x-x 2

    .

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    16

    4.已知函数 y＝-x 2

    -2x+3，当自变量 x 在下列取值范围内时，分别求函数的最大值或最小值，并

    求当函数取最大(小)值时所对应的自变量 x 的值：

    (1)x≤-2；(2)x≤2；(3)-2≤x≤1；(4)0≤x≤3.

    4.2 二次函数的三种表示方式

    1.一般式：y＝ax 2

    +bx+c(a≠0)；

    2.顶点式：y＝a(x+h)

    2

    +k (a≠0)，其中顶点坐标是(-h，k).

    3.交点式：y＝a(x-x1) (x-x2) (a≠0)，其中 x1，x2是二次函数图象与 x 轴交点的横坐标.

    今后，在求二次函数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件，选用一般式、顶点式、交点式这

    三种表达形式中的某一形式来解题.

    例 1 已知某二次函数的最大值为 2，图像的顶点在直线 y＝x+1 上，并且图象经过点(3，-1)，求二次函数的解析式.

    分析：在解本例时，要充分利用题目中所给出的条件——最大值、顶点位置，从而可以将二次函数设

    成顶点式，再由函数图象过定点来求解出系数 a.

    例 2 已知二次函数的图象过点(-3，0)，(1，0)，且顶点到 x 轴的距离等于 2，求此二次函数的表

    达式.

    例 3 已知二次函数的图象过点(-1，-22)，(0，-8)，(2，8)，求此二次函数的表达式.

    练 习

    1.选择题:

    (1)函数 y＝-x 2

    +x-1 图象与 x 轴的交点个数是 ( )

    (A)0 个 (B)1 个 (C)2 个 (D)无法确定

    (2)函数 y＝-1

    2

    (x+1)2

    +2 的顶点坐标是 ( )

    (A)(1，2) (B)(1，-2) (C)(-1，2) (D)(-1，-2)

    2.填空题：

    (1)已知二次函数的图象经过与 x 轴交于点(-1，0)和(2，0)，则该二次函数的解析式可设为 y＝a 《初高中数学衔接教材》 | kejianyuan.net

    17

    (a≠0) .

    (2)二次函数 y＝-x 2

    +2 3x+1 的函数图象与 x 轴两交点之间的距离为 .

    3.根据下列条件，求二次函数的解析式.

    (1)图象经过点(1，-2)，(0，-3)，(-1，-6)；

    (2)当 x＝3 时，函数有最小值 5，且经过点(1，11)；

    (3)函数图象与 x 轴交于两点(1- 2，0)和(1+ 2，0)，并与 y 轴交于(0，-2).

    4.3 二次函数的简单应用

    一、函数图象的平移变换与对称变换

    1.平移变换

    问题 1 在把二次函数的图象进行平移时，有什么特点？依据这一特点，可以怎样来研究二次函数的

    图象平移？

    我们不难发现：在对二次函数的图象进行平移时，具有这样的特点——只改变函数图象的位置、不改

    变其形状，因此，在研究二次函数的图象平移问题时，只需利用二次函数图象的顶点式研究其顶点的位置

    即可.

    例 1 求把二次函数 y＝x

    2

    -4x+3 的图象经过下列平移变换后得到的图象所对应的函数解析式：

    (1)向右平移 2 个单位，向下平移 1 个单位；

    (2)向上平移 3 个单位，向左平移 2 个单位.

    2.对称变换

    在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时，具有这样的特点——只改变函数图象

    的位置或开口方向、不改变其形状，因此，在研究二次函数图象的对称变换问题时，关键是要抓住二次函

    数的顶点位置和开口方向来解决问题.

    例 2 求把二次函数 y＝2x 2

    -4x+1 的图象关于下列直线对称后所得到图象对应的函数解析式：

    (1)直线 x＝-1；

    (2)直线 y＝1.

    二、分段函数

    一般地，如果自变量在不同取值范围内时，函数由不同的解析式给出，这种函数，叫作分段函数.

    例 3 在国内投递外埠平信，每封信不超过 20g 付邮资 80 分，超过 20g 不超过 40g 付邮资 160 分，超过 40g 不超过 60g 付邮资 240 分，依此类推，每封 xg(0
    出函数表达式，作出函数图象.

    分析：由于当自变量 x 在各个不同的范围内时，应付邮资的数量是不同的.所以，可以用分段函数给

    出其对应的函数解析式.在解题时，需要注意的是，当 x 在各个小范围内(如 20
    对应的函数值(邮资)并不变化(都是 160 分).

    《初高中数学衔接教材》 | kejianyuan.net

    18

    例 4 如图所示，在边长为 2 的正方形 ABCD 的边上有一个动点 P，从点 A 出发沿折线 ABCD 移动一周

    后，回到 A 点.设点 A 移动的路程为 x，ΔPAC 的面积为 y.

    (1)求函数 y 的解析式；

    (2)画出函数 y 的图像；

    (3)求函数 y 的取值范围.

    练 习

    1.选择题：

    (1)把函数 y＝-(x-1)2

    +4 的图象向左平移 2 个单位，向下平移 3 个单位，所得图象对应的解析式

    为 ( )

    (A)y＝ (x+1)2

    +1 (B)y＝-(x+1)2

    +1 (C)y＝-(x-3)2

    +4 (D)y＝-(x-3)2

    +1

    (2)把函数 y＝-2(x+3)2

    +3 的图象关于直线 x＝-1 对称后，所得图象对应的函数解析式为( )

    (A)y＝-2 (x+1)2

    +3 (B)y＝-2 (x-1)2

    +3 (C)y＝2 (x+1)2

    -3 (D)y＝-2 (x-1)2

    -3

    (3)把函数 y＝2(x-3)2

    +3 的图象关于直线 y＝2 对称后，所得图象对应的函数解析式为 ( )

    (A)y＝-2 (x+1)2

    +3 (B)y＝-2 (x-3)2

    +3 (C)y＝-2 (x-3)2

    +1 (D)y＝-2 (x-3)2

    -3

    2.填空题：

    (1)已知函数

    2, 2,2 4, 2

    xx

    y

    xx

    ·? ?

    · ?

    · ? ? ?

    则当 x＝4 时，y＝ ；当 x＝-4 时，y＝ .

    (2)把二次函数 y＝-2x

    2

    +4 3x+1 的函数图象向 平移 单位后，得到的图象所对应的解析式为 y

    ＝-2x

    2

    +7；再向 平移 个单位后，得到的图象所对应的解析式为 y＝-2x

    2

    +1；再将其

    关于 对称后得到的图象所对应的函数解析式为 y＝2x

    2

    +5.

    3.已知点 P 是边长为 1 的正方形 ABCD 的顶点A 出发，顺次经过 B，C，D 移动一周后回到点 A，设 x 表示

    点 P 的行程，y 表示线段 PA 的长，试求 y 关于x 的函数.

    第五讲 三角形与圆 (一)

    5.1 三角形的“四心”

    三角形是最重要的基本平面图形，很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题.

    A

    C

    B

    D

    P

    图 2.2-10

    图 1 图 2 《初高中数学衔接教材》 | kejianyuan.net

    19

    如图 1，在三角形 ABC 中，有三条边 AB、BC、CA，三个角∠A,∠B,∠C，三个顶点 A,B,C，在三角形中，角平分线、中线、高(如图 2)是三角形中的三种重要线段.

    三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心.三角形的重心在三角形的内部，恰好是

    每条中线的三等分点.

    例 1 求证：三角形的三条中线交于一点，且被该交点分成的两段长度之比为 2：1.

    已知 D、E、F 分别为△ABC 三边 BC、CA、AB 的中点，求证：AD、BE、CF 交于一点，且都被该点分成 2：1.

    证明：

    三角形的三条角平分线相交于一点，是三角形的内心. 三角形的内心在三

    角形的内部，它到三角形的三边的距离相等.(如图 3)

    例2 已知

    ABC V

    的三边长分别为

    ,, BC a AC b AB c = = =

    ，I 为

    ABC V

    的内心，且 I 在△ABC 的边

    BC AC AB 、 、上的射影分别为

    D E F 、 、，求证：

    2

    b c a

    AE AF

    +-

    ==

    .

    证明：

    .

    例 3 若三角形的内心与重心为同一点，求证：这个三角形为正三角形.

    已知 O 为三角形 ABC 的重心和内心. 求证 三角形 ABC 为等边三角形.

    证明：

    三角形的三条高所在直线相交于一点，该点称为三角形的垂心.锐角三

    角形的垂心一定在三角形的内部，直角三角形的垂心为他的直角顶点，钝角

    三角形的垂心在三角形的外部(如图 4).三角形的三条高交于一点.

    练 习

    图 4

    图 3 《初高中数学衔接教材》 | kejianyuan.net

    20

    1.求证：若三角形的垂心和重心重合，求证：该三角形为正三角形.

    2.(1) 若三角形 ABC 的面积为 S，且三边长分别为

    a b c 、 、，则三角形的内切圆的半径是___________;

    (2)若直角三角形的三边长分别为

    a b c 、 、(其中

    c

    为斜边长)，则三角形的内切圆的半径是-

    ___________. 并请说明理由.

    5.2 几种特殊的三角形

    等腰三角形底边上三线(角平分线、中线、高线)合一.因而在等腰三角形 ABC 中，三角形的内心 I、重心 G、垂心 H 必然在一条直线上.

    例 4 在△ABC 中，3, 2. AB AC BC ? ? ?

    求

    (1)△ABC 的面积

    ABC S

    及

    AC

    边上的高

    BE；

    (2)△ABC 的内切圆的半径

    r；

    (3)△ABC 的外接圆的半径

    R

    .

    解：

    例5 如图，在△ABC 中，AB=AC，P 为 BC 上任意一点.

    求证：

    22

    AP AB PB PC = - ?

    .

    证明：

    正三角形三条边长相等，三个角相等，且四心(内心、重心、垂心、外

    心)合一，该点称为正三角形的中心.

    例 6 已知等边三角形 ABC 和点 P，设点 P 到三边 AB，AC，BC 的距离分别为 h1,h 2,h3，三角形 ABC 的高

    为

    h

    ，“若点 P 在一边 BC 上，此时

    3 0 h =

    ，可得结论：

    1 2 3 h h h h + + =

    .”(如图 a)

    请直接应用以上信息解决下列问题：

    当(1)点 P 在△ABC 内(如图 b)，(2)点在△ABC 外(如图 c)，这两种情况时，上述结论是否还成立？

    若成立，请给予证明；若不成立，1 2 3 ,, h h h

    与

    h

    之间有什么样的关系，请给出你的猜想(不必证明).

    《初高中数学衔接教材》 | kejianyuan.net

    21

    解

    练 习

    1. 直角三角形的三边长为 3，4，x

    ,则

    x =

    ________.

    2. 等腰三角形有两个内角的和是 100°，则它的顶角的大小是_________.

    3. 满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是 ( )

    A.

    2 2 2

    b a c =-

    B.∠C=∠A+∠B C.∠A:∠B:∠C=3:4:5 D.

    : : 12:13:5 abc =

    4. 已知直角三角形的周长为

    33 ?

    ，斜边上的中线的长为 1，求这个三角形的面积.

    5. 证明：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和为一个常量.

    习题 A 组

    1. 已知：在

    ABC

    中，AB=AC，120 ,o

    BAC AD ??

    为 BC 边上的高，则下列结论中，正确的是( )

    A.

    3

    2

    AD AB ?

    B.

    1

    2

    AD AB ?

    C.

    AD BD ?

    D.

    2

    2

    AD BD ?

    2. 三角形三边长分别是 6、8、10，那么它最短边上的高为 ( )

    A.6 B.4.5 C.2.4 D.8

    3. 如果等腰三角形底边上的高等于腰长的一半，那么这个等腰三角形的顶角等于_________.

    4. 已知：

    ,, abc

    是△ABC 的三条边，7, 10 ab ??

    ，那么

    c

    的取值范围是_________.

    5. 若三角形的三边长分别为

    18 a 、 、，且

    a

    是整数，则

    a

    的值是_________.

    B 组

    1. 如图，等边

    ABC

    的周长为 12，CD 是边 AB 上的中线，E 是 CB 延长线上一

    点，且 BD=BE，则

    CDE ?

    的周长为 ( )

    A.

    6 4 3 ?

    B.

    18 12 3 ?

    C.

    6 2 3 ?

    D.

    18 4 3 ?

    2. 如图，在

    ABC ?

    中，2 C ABC A ? ?? ? ?

    ，BD 是边 AC 上的高，求

    DBC ?

    的度数.

    3. 如图，, 90 ,o

    Rt ABC C M ??

    是 AB 的中点，AM=AN，MNAC，求证：MN=AC. 《初高中数学衔接教材》 | kejianyuan.net

    22

    C 组

    1. 已知

    24

    1, 2 , 2 , 1 k b k a c k ac k ? ? ? ? ? ?

    ，则以

    a b c 、 、为边的三角形是 ( )

    A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.形状无法确定

    2. 如图，把△ABC 纸片沿 DE 折叠，当点A 落在四边形 BCDE 内部时，则

    A ?

    与

    12 ? ??

    之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你

    发现的规律是 ( )

    A.

    12 A ? ?? ??

    B.

    2 1 2 A ? ?? ??

    C.

    3 1 2 A ? ?? ??

    D.

    3 2( 1 2) A ? ? ? ??

    3. 如图，在等腰 Rt△ABC 中

    90o

    C ??

    ，D 是斜边 AB 上任一点，AE CD ?

    于 E，BF CD ?

    交 CD 的延长线于 F，CH AB ?

    于 H，交 AE于 G.求证：

    BD=CG.

    第六讲 三角形与圆 (二)

    6.1 直线与圆，圆与圆的关系

    垂径定理：在直线与圆相交时，设两个交点分别为 A、B.若直线经过圆心，则

    AB 为直径；若直线不经过圆心，如图，连结圆心

    O

    和弦

    AB

    的中点

    M

    的线段

    OM

    垂直于这条弦

    AB

    .且在 Rt△OMA 中，OA

    为圆的半径

    r

    ，OM

    为圆心到直线的距离

    d

    ，MA

    为弦长

    AB

    的一半，根据勾股定理，有

    2 2 2

    2

    AB

    rd -=

    .

    切线长定理：当直线与圆相切时，如图，, PA PB

    为圆

    O

    的切线，可得

    PA PB ?

    ，. OA PA ?

    ，且在 Rt△POA 中，2 2 2

    PO PA OA ??

    .

    切割线定理：

    PT

    为圆

    O

    的切线，PAB

    为圆

    O

    的割线，我们可以证得

    2

    PT PA PB ??

    .

    例 1 如图，已知⊙O 的半径 OB=5cm，弦 AB=6cm，D 是弧 AB 的中点，求弦 BD 的长

    度.

    解：

    《初高中数学衔接教材》 | kejianyuan.net

    23

    例 2 已知圆的两条平行弦的长度分别为 6 和

    26

    ，且这两条线的距离为 3.求这个圆的半径.

    解：

    例 3 设圆

    1 O

    与圆

    2 O

    的半径分别为 3 和 2，12 4 OO ?

    ，, AB

    为两圆的交点，试

    求两圆的公共弦

    AB

    的长度.

    解：

    练 习

    1.如图⊙O 的半径为 17cm，弦 AB=30cm，AB 所对的劣弧和优弧的中点分别为 D、C，求弦 AC 和 BD 的长.

    2.已知四边形 ABCD 是⊙O 的内接梯形，ABCD，AB=8cm,CD=6cm, ⊙O 的半径等于 5cm，求梯形 ABCD 的面

    积.

    3.如图，⊙O 的直径 AB 和弦 CD 相交于点 E，1 , 5 , 60 ,o

    AE cm EB cm DEB ? ? ? ?

    求 CD 的长.

    4.若两圆的半径分别为 3 和 8，圆心距为 13，试求两圆的公切线的长度.

    《初高中数学衔接教材》 | kejianyuan.net

    24

    6.2 点的轨迹

    在几何中，点的轨迹就是点按照某个条件运动形成的图形，它是符合某个条件的所有点组成的.例如，把长度为

    r

    的线段的一个端点固定，另一个端点绕这个定点旋转一周就得到一个圆，这个圆上的每一个点

    到定点的距离都等于

    r；同时，到定点的距离等于

    r

    的所有点都在这个圆上.这个圆就叫做到定点的距离等

    于定长

    r

    的点的轨迹.

    我们把符合某一条件的所有的点组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹.这里含有两层意思：(1)

    图形是由符合条件的那些点组成的，就是说，图形上的任何一点都满足条件；(2)图形包含了符合条件的

    所有的点，就是说，符合条件的任何一点都在图形上.

    下面，我们讨论一些常见的平面内的点的轨迹.

    从上面对圆的讨论，可以得出：

    (1) 到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心，定长为半径的圆.

    我们学过，线段垂直平分线上的每一点，和线段两个端点的距离相等；反过来，和线段两个端点的距

    离相等的点，都在这条线段的垂直平分线上.所以有下面的轨迹：

    (2) 和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线.

    由角平分线性质定理和它的逆定理，同样可以得到另一个轨迹：

    (3) 到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线.

    例 4 ⊙O 过两个已知点

    A

    、B

    ，圆心

    O

    的轨迹是什么？画出它的图形.

    练 习

    1.画图说明满足下列条件的点的轨迹：

    (1) 到定点

    A

    的距离等于

    3cm

    的点的轨迹；

    (2) 到直线

    l

    的距离等于

    2cm

    的点的轨迹；

    (3) 已知直线

    AB CD

    ，到

    AB

    、CD

    的距离相等的点的轨迹.

    2.画图说明，到直线

    l

    的距离等于定长

    d

    的点的轨迹.

    习题 A 组

    1. 已知弓形弦长为 4，弓形高为 1，则弓形所在圆的半径为 ( )

    A.

    3

    B.

    5

    2

    C.3 D.4

    2. 在半径等于 4 的圆中，垂直平分半径的弦长为 ( ) 《初高中数学衔接教材》 | kejianyuan.net

    25

    A.

    43

    B.

    33

    C.

    23

    D.

    3

    3. AB 为⊙O 的直径，弦

    CD AB ?

    ，E 为垂足，若 BE=6，AE=4，则 CD 等于 ( )

    A.

    2 21

    B.

    46

    C.

    82

    D.

    26

    4. 如图在⊙O 中，E 是弦 AB 延长线上的一点，已知 OB=10cm,OE=12cm，30 ,o

    OEB ??

    求 AB.

    B 组

    1. 如图，已知在

    Rt ABC

    中，90 , 5 , 12 ,o

    C AC cm BC cm ? ? ? ?

    以 C 为圆心，CA 为半径的圆交斜边于

    D，求 AD.

    2. 如图在直径为 100mm 的半圆铁片上切去一块高为 20mm 的弓形铁片，求弓形的弦 AB 的长.

    3. 如图，Rt△ABC 内接于⊙O，D 为

    BC

    的中点，AE BC ?

    于 E，求证：AD 平分

    OAE ?

    .

    《初高中数学衔接教材》 | kejianyuan.net

    26

    4. 如图，90o

    AOB ??

    ，C、D 是弧 AB 的三等分点，AB 分别交 OC、OD 于点 E、F，求证：AE=BF=CD.

    5.已知线段

    4 AB cm =

    .画出到点

    A

    的距离等于

    3cm

    的点的轨迹，再画出到点

    B

    的距离等于

    2cm

    的点的

    轨迹，指出到点

    A

    的距离等于

    3cm

    ，且到点

    B

    的距离等于

    2cm

    的点，这样的点有几个？ ......