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    SEO观察，每天分享优质电子书：http:www.seosee.info数学的故事

    蔡天新 著

    中信出版集团

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    书名：数学的故事

    作者：蔡天新

    出版社：中信出版集团

    出版时间：2018年9月

    ISBN：9787508690766

    本书由中信出版集团授权得到APP电子版制作与发行

    版权所有·侵权必究

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    SEO观察，每天分享优质电子书：http:www.seosee.info序言

    在人类所有的发明中，数学和诗歌无疑是最古老的。可以说自从有

    了人类的历史，就有了这两样东西。如果说牧羊人计算绵羊的只数产生

    了数学，那么诗歌则起源于祈求丰收的祷告，由此看来，两者均源于生

    存的需要。比较而言，数学可能诞生于稍早的游牧文明，而诗歌则出现

    在农耕文明之初。无论数学还是诗歌，它们的故事和触角遍及人类社会

    的每一个角落，以及历史和生命的每一个瞬时。

    2016年初夏，诗人北岛来杭州，电话约我见面。晚餐时，北岛说自

    己小时候数学很糟糕，但认为数学非常重要。当着其他朋友的面，他邀

    请我写一本《给孩子的数学故事》的书。我知道，几年前北岛选编了

    《给孩子的诗》[1]

    ，出版后，一时洛阳纸贵，孕妇和幼孩母亲都纷纷购

    买。虽然如此，我并未立刻答应，因为若干年前，曾有多家出版社向我

    约过同名书稿。

    原因有三。首先，我觉得中国的孩子够辛苦了，不想再给他们增添

    课外负担。其次，我从没有给少年儿童写过书，不知什么样的故事能吸

    引他们。再次，拙作《数学传奇——那些难以企及的人物》写作始于

    1990年，历时14个世纪，而作为“给孩子”系列书的主编，北岛希望

    我年内能完成书稿，是否来得及？撰写可不同于选编，每篇文章每个字

    词都得自己操笔。

    那以后，北岛来过几次电话，分别是从北京和南方，后来他又加我微信交流。北岛很真诚，“我调研过了，你是全中国最适合写这本书的

    人”。这句话最后打动了我。我与北岛认识已经20多年，第一次见面是

    在1995年夏天的巴黎。4年以后还是在同一座城市，我和巴黎的朋友为

    他庆祝50岁生日。2004年夏天，北岛第一次回湖州南浔老家省亲，我和

    家人也陪同前往。

    虽说之前我曾10多次在北岛主编的《今天》杂志上发表诗歌、散文

    或译作，我们也都是《读书》杂志和三联书店的作者，他应该读过我的

    书籍或文章，包括数学文化方面的，没想到他还那么认真地去做调研。

    可以说，是北岛的真诚和认真打动了我，于是我答应下来，在夏日远足

    归来以后，便开始动笔了。幸运的是，那个暑假特别长，因为G20(二

    十国集团)峰会在杭州召开。万事开头难，有了第一篇以后，剩下的都

    好办了。就像写作其他书籍一样，我享受其中。

    其间还有别的故事发生。几乎在北岛来杭州的同一个星期，一位叫

    余建春的河南打工青年给我寄来一封手写的信函。小余老家是信阳新

    县，毕业于郑州一所牧业专科学校，业余喜欢钻研数论问题。在没有学

    过高等数学，也不知道同余符号等基础知识的情况下，小余得出了几个

    有意思的数论结果，包括给出无穷多组相邻的自然数，它们的立方和均

    为立方数。遗憾的是，这个结果外国人已经先他一步得出来了。

    余建春的另一个发现是，给出著名的卡迈克尔数的一种新的判断方

    法，他用二次式代替经典的一次式，且效率不低，这是包括我本人在内

    的数论工作者没考虑过的。卡迈克尔数是一类伪素数，它虽不是素数，但在某种意义上有着与素数相同的性质。我给小余回了信，对这项结果

    表示肯定。他随即回复我，他已到杭州打工，希望来浙大拜访我。刚好

    第三天我有研究生讨论班，便邀他来班上讲，给了他30分钟的时间。我

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    SEO观察，每天分享优质电子书：http:www.seosee.info觉得小余的难能可贵之处在于，不是冲着某某大猜想，而是专注于小问

    题。

    我在朋友圈不经意提及此事，被敏感的晚报记者小Z看见，她联系

    我希望能采访余建春。出乎我的意料，她的报道和消息持续发酵，包括

    新华社、央视、《人民日报》、《中国日报》、《参考消息》，美国的

    CNN(美国有线电视新闻网)、《华盛顿邮报》，英国的BBC(英国广播

    公司)、《泰晤士报》，甚至法国巴黎地铁小报都进行了正面报道。父

    母早亡的小余命运因此改变，先后得到湖州、上海和香港的三位贵人相

    助，有机会迈出国门，并喜结良缘。与此同时，我发现有些报道明显过

    头，因此婉拒了包括伦敦《每日电讯报》等数十家媒体的采访要求。

    这件事给我的启示是，数学虽然比较抽象，有时是无用的，却是大

    众(无论中外)关心的一门学科。毕竟，不管你是否愿意，绝大多数人

    都要学上十几年数学。可以说，学好数学是一桩幸福美好的事儿，学不

    好数学则是一桩痛苦莫名甚或悲惨的事儿。众所周知，一个人能否学好

    一门课程或学科的关键在于他或她有无兴趣，以及兴趣的多寡。这样一

    来，这本书的意义就不言自明了：它也许可以帮助更多人了解和喜欢数

    学。

    至于后来发生的各种分歧，则完全出乎我的意料。这本书的出版也

    延宕了一年，不再属于北岛主编的“给孩子”系列书，但仍然由中信出

    版社出版。虽然如此，我还是要感谢北岛，是他的邀稿和催促，才有了

    这本书。在此期间，拙作《数学简史》(最初来自一位物理学家的建议

    和敦促)由中信出版社出版，入选2017年度“中华优秀科普图书榜”，获得中信出版集团“年度经典再版图书奖”，我本人也荣膺“年度作

    者”称号。《数学传奇》则于2018年年初荣获“国家科学技术进步奖”(上一次数学类图书获此奖项是在2010年，即由华罗庚、段学复、吴文俊、姜伯驹等前辈大家合作的《数学小丛书》)。

    也正是在这一年多时间里，这本书的绝大部分篇目陆续得以发表，其中《人民文学》刊发了三则故事，《南方周末》整版刊发了一则故

    事，其他文章散见于“知识分子”、“赛先生”和“科学人”等微信公

    众号，以及《科学画报》、《中国数学会通讯》、《中国工业与应用数

    学会通讯》和《数学文化》等杂志，在此一并向包括中信出版社在内的

    诸位编辑致意。与此同时，我真诚地希望数龄(学习数学的年份)不同

    的读者会有不同的收获，期待你们的批评指正!

    蔡天新，杭州彩云居

    2017年春节—2018年春节

    [1] 《给孩子的诗》由中信出版社于2014年7月出版。——编者注

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    SEO观察，每天分享优质电子书：http:www.seosee.info甲辑

    数学的故事

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    SEO观察，每天分享优质电子书：http:www.seosee.info从大禹治水到丢勒画《忧郁》

    数起源于远古时代黄河出现的“河图”和洛水出现的“洛

    书”。

    ——[明]程大位

    大洪水的传说

    “大禹治水”是古代汉民族的神话故事，起源于著名的上古大洪水传

    说。大洪水是世界各地许多民族的共同传说，在四大文明古国(古埃

    及、古巴比伦、古代中国、古印度)及希腊、玛雅等民族的神话故事

    里，都有大洪水甚至洪水灭世的传说，只是原因和过程不尽相同。

    埃及《死亡书》中有关大陆沉没的图形依照中国古代传说，大洪水的原因是水神共工和火神祝融相争，水

    神一怒之下，撞折了支撑天的大柱子不周山，使得天崩地陷、洪水滔

    天，这个故事也是神话“女娲补天”的前传。希伯来文和希腊文《圣经》

    则是这样描写的：“上帝见人在地上罪恶极大，于是宣布将使用洪水，毁灭天下地上有血肉气息的活物，无一不死!”

    与此同时，上帝也命挪亚建造了一个巨型方舟，将世上每一种生物

    都至少留一对。这艘船长130米、宽22米、高13米，分上、中、下三

    层。当洪水来袭，天降暴雨，水位不断上涨，把地上的一切生灵都毁灭

    了，唯有挪亚方舟里的生命幸免于难。洪水退去以后，挪亚一家得以生

    还，成为中东地区各个民族的祖先。

    挪亚方舟。美国民间绘画

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    SEO观察，每天分享优质电子书：http:www.seosee.info有人对世界各地200多种大洪水传说做了研究，发现九成以上都提

    到全球性的洪水泛滥，七成以上都提到了船只庇护，五成以上都提到人

    们最终在高山上得以幸存。“无风不起浪”，那么历史上究竟有没有发生

    过大洪水呢？科学家们并没有否定大洪水发生的可能性，只是谁也无法

    确定它于何时何地发生。

    目前，地质学领域有两种较为流行的理论。一是黑海洪灾。大约7

    000年前，黑海还是淡水湖，四周农田围绕，后来，冰川融化造成中东

    地区洪水泛滥，黑海也变成了咸水湖。二是彗星撞击地球。大约5 000

    年前，一颗大直径的彗星撞击了非洲马达加斯加岛海岸，卷起100多米

    高的海啸，一路向北，引发了大洪水。

    不过，也有一种截然相反的意见，认为12 000年前第四纪冰期结束

    时，气候转暖、冰河融化，导致海平面上升，淹没了许多海岸和陆地。

    故而世界性的大洪水确实发生过，但并未达到淹没一切的程度。当时海

    边的人们损失巨大，被迫向内陆迁徙，并带去了可怕的洪水故事，于是

    便有了大洪水的传说。那些淹没在海底的文明遗迹和海水浸没过的痕迹

    成为此说法的有力论据。

    大禹治水和洛书

    在中国神话里，大禹是黄帝的玄孙。大洪水导致黄河泛滥，禹和父

    亲鲧先后受命于尧、舜二帝，负责治水。鲧采用“堵”的办法，结果失败

    了。禹新婚不久便离家远行，他汲取父亲失败的教训，对洪水进行疏

    导。相传大禹为了治水，“三过家门而不入”，哪怕其中一次听到新生儿

    子的啼哭声。经过13年的努力，大禹终于完成治水伟业，从此百姓安居乐业。舜

    禅位于禹，后来禹的儿子启建立了中国第一个王朝——夏。在大禹治水

    期间，他的妻子女娇因为思念丈夫，曾作过一首情诗《候人兮猗》，这

    里“兮”字是语气助词，相当于“啊”或“呀”，后来频频出现在《诗经》和

    《楚辞》中，女娇也成为中国历史上第一位留名的女诗人。在安徽怀远

    的涂山有一块望夫石，相传为女娇所化。

    西汉前期民间流传着一则故事。大禹治水时，洛阳东北孟津县的黄

    河中跃出一匹神马，马背上驮着一幅图，人称“河图”；又从洛阳西南洛

    宁县的洛河中浮出一只神龟，龟背上有一张象征吉祥的图案，人称“洛

    书”。

    洛书上有三行三列的纵横图，分别写着1~9这9个数字，每行、列及

    两条对角线上的三个数相加的结果相同，均为15。

    之所以各行列元素之和为15，原因在于1~9这9个数字加起来是45，微信：876679910 微信公众号：seoseeinfo

    SEO观察，每天分享优质电子书：http:www.seosee.info再除以3是15。有专家分析，这可能也是我国古代将一年划分为24个节

    气，每个节气15天的依据。

    玩纵横图这种游戏时，我们可以用笔在纸上书写，也可以用扑克牌

    来协助拼图。今天的“图书”一词，或许也与“河图”和“洛书”有关。纵横

    图也被称为九宫图或魔方，它既是科学的结晶，又是吉祥的象征。就连

    我们使用的智能手机里的汉语拼音键盘，也采用了九宫格的图案。

    公元前1世纪，汉宣帝时期的博士戴德的政治礼仪著作《大戴礼·明

    堂篇》里就有“二、九、四、七、五、三、六、一、八”的九宫数记载。

    之前，无论《尚书》、《论语》，还是《管子》，都提到了河图和洛

    书。奇书《周易》被认为起源于伏羲八卦，后者又来自河图和洛书。

    可是，自宋朝以来，关于河图和洛书是否真的存在这个问题又有了

    争议。例如，“唐宋古文八大家”之一的欧阳修认为，河图绝非在《周

    易》之前；到了元代，还有学者认为，河图和洛书来自《周易》；而有

    的现代历史学家甚至持彻底否定说，不承认洛书的存在。

    直到1977年，在安徽阜阳出土的一座西汉古墓里，发现了一只太乙

    九宫占盘。盘中数字五居中，一对九、二对八、三对七、四对六，与洛

    书完全相符，这才结束了持续900年的河图、洛书真伪之争。自那以

    后，洛书也被全世界公认为数学分支之一——组合数学的起源。

    如同明代数学家程大位在《算法统宗》一书中所写的，“数起源于

    远古时代黄河出现的河图和洛水出现的洛书，伏羲依靠河图画出八卦，大禹按照洛书划分九州，圣人们根据它们演绎出各种治国安邦的良

    策”。他还指出，大禹受洛书中数的相互制约和均衡统一的启发，建立

    起国家的法律体系，使得天下一统，归于大治。东方的魔方玩家

    数学史上，绝大多数问题都是从一个或几个简单的例子开始的。从

    九宫数出发，人们定义了幻方，英文称之为magic square。这是一种将

    不同数字安排在正方形格子中，使每行、每列和两条对角线上的数字之

    和都相等的方法。正方形的行(列)数被称为幻方的阶，容易推得，二

    阶幻方不存在，幻方至少需要三阶。

    任何一个幻方经过旋转或反射仍是幻方，共有8种等价形式，可归

    为同一类。不难验证，三阶幻方或纵横图只有一类。出乎我们意料的

    是，有人计算出四阶和五阶幻方分别有880类和275 305 224类，六阶幻

    方约有1.8×1019类，这是一个天文数字。

    因为每个n阶幻方的元素之和为从1加到n2，故而其和为 )。用n

    除之，即得各行、列以及对角线的数之和为 当n = 3时，这个数是

    15；n = 4时，这个数是34。

    在古印度、波斯和阿拉伯，均有人研究幻方。先来看看印度人，无

    论早期的吠陀教还是如今的印度教，三阶幻方均是仪式的一部分，且有

    着神灵一样的名字。例如Kubera kolam，其中Kubera是南印度的财神，kolam是南印度的传统粉笔画。人们用玉米粉或粉笔将幻方画在寺庙的

    地板或墙壁上，虔诚的信徒在庙里受戒，祈求财富和好运。

    特别值得一提的是，10世纪的印度人发明了一个四阶幻方，刻在克

    久拉霍一座耆那教寺庙的墙壁上。这个幻方如此神奇，除了每行、列和

    两条对角线以外，任意相邻的两行和两列的4个元素之和也为34。它被

    视为最完美的幻方，不过，得认真比对印度数字与阿拉伯数字，才能够

    辨认出16个数字来。

    微信：876679910 微信公众号：seoseeinfo

    SEO观察，每天分享优质电子书：http:www.seosee.info克久拉霍一座耆那教寺庙墙壁上的幻方

    说到克久拉霍，它是印度中央邦一座有两万人口的小城市。可是在

    1 000年以前，它却是印度月亮王朝的都城。“克久拉”的意思是椰子，如

    今克久拉霍仍是印度宗教的传播中心，有22座千年古寺保存至今，尤以

    性爱雕像群和舞蹈节闻名，1986年被定为联合国“世界文化遗产”。

    再来说说阿拉伯人，他们的数学和天文学最初来自印度的旅行者，但有所发展。迄今为止，最早的五阶幻方和六阶幻方出现在983年前后

    的巴格达，他们还把幻方应用到天文学中。在阿拉伯化前的波斯，也有

    人研究幻方，在一部早期的数学著作里，有用等差数列构成的多种幻

    方。

    1956年，考古人员在西安郊外元朝安西王府旧址发掘出5块铁板，上面都刻有用阿拉伯数字表示的六阶幻方，每行、列及对角线的数之和

    均为111，它们可能是王府用作驱魔避邪的器物。1980年，在上海浦东

    陆家嘴，一块可佩戴的元代玉挂饰物被挖掘出土，正面写着“万物非

    主，惟有真宰，穆罕默德，为其使者”，反面则是一个四阶幻方。13世纪的南宋数学家杨辉是幻方研究专家，他是杭州人，曾在苏

    州、台州等地做过地方官。与古代中国的大部分数学家一样，杨辉利用

    业余时间研究数学。他用等差数列的求和公式，巧妙地给出了三阶幻方

    和四阶幻方的计算方法。虽然对四阶以上的幻方，他只给出结果而未留

    下算法，但他的五阶、六阶乃至十阶幻方全都准确无误。

    画《忧郁》的丢勒

    在欧洲，最著名的幻方属于德国版画家丢勒(A. Dürer)。那是一

    个四阶幻方，出现在他的雕版画《忧郁Ⅰ》里。画中有一个手扶额头做

    沉思状的青年女子，一副翅膀表明她机智聪慧，还有一个球体、一个多

    面体、一束光芒(彗星或灯塔)和一道彩虹。画面右上角有像窗子一样

    的正方形，那正是一个四阶幻方：

    丢勒的幻方

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    SEO观察，每天分享优质电子书：http:www.seosee.info无疑，幻方的出现增添了画面的神秘气氛，让忧郁的主题得到加

    强。这幅画的尺寸比较小，只有24厘米高、19厘米宽。这可能是艺术作

    品中首次出现幻方，它助力此画成为一幅世界名画。值得一提的是，丢

    勒的幻方不仅每行、列以及对角线的数之和均为34，甚至4个角落和正

    中央那5个小正方形的4个数字之和也均为34。

    更有趣的是，如果把丢勒幻方末行中间的两个数15和14合在一起，恰好是这幅画诞生的年份—1514。由此可见，丢勒对幻方的构造已经游

    刃有余。可是比起印度克拉久霍寺庙墙壁上的那个幻方，丢勒的幻方仍

    然稍显逊色，因为前者所含的每个小正方形(共9个)的4个数字之和均

    为34。

    1471年，丢勒出生在德意志帝国南方巴伐利亚的纽伦堡，他多才多

    艺，一生大约有20年时间在荷兰、瑞士、意大利等地旅行或侨居。丢勒

    的作品具有知识和理性的特征，创作领域十分宽广，包括油画、版画、木刻、插图等，还致力于艺术理论和科学著作的写作。

    丢勒自画像丢勒的雕版画《忧郁Ⅰ》

    丢勒被视为文艺复兴时期艺术家里面数学最好的一位，他的著作

    《圆规直尺测量法》主要是关于几何学的，也顺便提到了透视法。书中

    谈到了空间曲线及其在平面上的投影，还介绍了外摆线，即当圆滚动时

    圆周上一点的轨迹。丢勒甚至考虑到了曲线在三个相互垂直平面上的正

    交投影，这个想法极其前卫，直到18世纪法国数学家蒙日(G.Monge)

    才发展出相关数学分支——画法几何。

    一般来说，在绘画语言中，色彩更长于表现情感，线条更长于表现

    理智。德意志民族通常被认为富有理性思维，因而有德国画家擅长用线

    条的说法。无论这一说法正确与否，至少丢勒确实如此。他以精密的线

    描表现出自己细微的观察和复杂的构思，其丰富的思维与热情的理想结

    合在一起，产生了一种奇特的效果，在美术史上留下了显著的印迹。

    在20世纪西班牙建筑师安东尼·高迪(A. Gaudí)的代表作——巴塞

    罗那圣家族大教堂的西门口，有一组石雕群像，上面也刻着一个四阶幻

    方。仔细查看你会发现，这个幻方的各行、列以及对角线的数之和不是

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    SEO观察，每天分享优质电子书：http:www.seosee.info34，而是33，据说是因为基督升天时33岁，人的脊椎骨也是33根。富有

    创意的设计者约瑟夫·苏比拉克(J. Subirachs)让10和14出现了两次，而

    让12和16消失。

    巴塞罗那圣家族大教堂门口的幻方

    在中国作家金庸的小说《射雕英雄传》里，郭靖和黄蓉被裘千仞追

    到黑龙潭，躲进瑛姑的小屋。瑛姑出了一道题，那正是三阶纵横图。这

    道题困扰了瑛姑十几年，却被黄蓉一下就答了出来。在美国作家丹·布

    朗(D. Brown)的小说《失落的秘符》里，丢勒和他的幻方也成为作品

    中不可或缺的组成部分。

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    SEO观察，每天分享优质电子书：http:www.seosee.info马可·波罗和阿拉伯数字的旅行

    阿拉伯数字的传播和马可·波罗的旅行都环绕了地中海，一个

    沿顺时针方向，另一个沿逆时针方向。

    ——题记

    零与印度数字

    1、2、3、4、5、6、7、8、9和0，这10个简洁美观的字符，是我们

    从幼儿时代便熟知的。由它们及其组合形成的十进制数系，是我们经常

    所说的阿拉伯数字。小朋友们会拿它们做加、减、乘、除四则运算，如

    果只是1~7这7个数字，我们还可以用它们指代一周的各天，或用作音乐

    简谱。可是，它们真是阿拉伯人的发明吗？

    1881年夏天，在今天巴基斯坦(当时和古代大部分时间都属于印

    度)西北部距离白沙瓦市(唐代高僧玄奘赴印度取经曾路过此地，赞其

    为花果繁茂的天府之地)约80公里的一座名叫巴克沙利的村庄里，一个

    佃户在挖地时发现了书写在桦树皮上的所谓“巴克沙利手稿”，上面记载

    了公元元年前后数个世纪的印度数学。

    手稿内容十分丰富，涉及分数、平方数、比例、数列、收支与利润

    计算、级数求和与代数方程等。此外，手稿还用到减号，状如今天的加号，不过写在减数的右边，而加号、乘除和等号则用文字表示。最有意

    义的是，手稿中出现了完整的十进制数字，其中零用实心的点表示。

    表示零的点号后来逐渐演变成圆圈，即现在通用的“0”，它最晚于9

    世纪就已在印度出现。在876年瓜廖尔人刻制的一块石碑上，清晰地出

    现了数字“0”。瓜廖尔是印度北方城市，属于恒河流域人口最为密集的

    中央邦。石碑坐落在一座花园里，上面刻着赠予邻近寺庙的一片土地的

    宽和长，以及预备每天供给该寺庙的花环或花冠数，其中两个“0”字虽

    然不大，却写得非常清晰。

    用圆圈符号“0”表示零，这是印度人的一大发明。它既表示“无”的

    概念，又表示位值制记数法中的空位，它也是数的一个基本单位，可以

    与其他数一起计算。而无论苏美尔人发明的楔形文字，还是宋元以前的

    算筹记数法，都是只留出空位而没有符号。采用六十进制的巴比伦人和

    采用二十进制的玛雅人虽说也引入了零号(玛雅人用贝壳或眼睛表

    示)，但仅表示空位而没有把它当作一个独立的数字。

    至于1~9这9个阿拉伯数字的雏形，它们也是印度人首先发明的，但

    年代难以考证。只是由于近代考古学的进展，人们才在印度的一些古老

    的石柱和窑洞的墙壁上发现了这些数字的痕迹，其年代大约在公元前

    250年至200年之间。在那时以及后来的几个世纪里，字母文字既没有未

    知数，也没有数字符号，阿拉伯数字因此有了它的用武之地。

    与古巴比伦、古埃及和古代中国这三个文明古国一样，古印度也对

    数学做出了巨大贡献。不同的是，印度数学源自宗教。印度是一个神秘

    和宗教盛行的国度，诞生了诸如吠陀教、耆那教、佛教、锡克教和印度

    教等著名宗教。其中，历史最为悠久的吠陀教因其唯一的圣典《吠陀》

    得名。

    微信：876679910 微信公众号：seoseeinfo

    SEO观察，每天分享优质电子书：http:www.seosee.info《吠陀》最初由祭司口头传诵，后来被记录在棕榈叶或树皮上。虽

    然大部分已失传，但留存部分也有论及庙宇、祭坛的设计与测量的内

    容，即《绳法经》。这是印度最早的数学文献，成书年代大约为公元前

    8世纪至2世纪，不晚于印度两大古典史诗《摩诃婆罗多》和《罗摩衍

    那》。

    《绳法经》中包含了修筑祭坛的法则。祭坛最常见的三种形状是正

    方形、圆形和半圆形，但不管哪种形状，祭坛的面积必须等于一个特定

    的值。因此，印度人要学会作出与正方形等面积的圆，那样的话圆周率

    必须精确。祭坛还有一种形状是等腰梯形，这就提出了新的几何问题。

    至于印度数字和零号，应该是在《绳法经》的基础上衍生出来的。

    游历阿拉伯的旅行家

    离印度不远的地方便是阿拉伯，后者的发轫地阿拉伯半岛与印度也

    只隔着阿拉伯海，其距离大致相当于东海两侧的中国与日本。阿拉伯人

    把自己所在的半岛称为岛，因为它三面环海，一面靠着沙漠。后来，情

    况有所变化，印度与阿拉伯在地理上越来越接近了，这是伊斯兰的势力

    范围扩大的结果。

    阿拉伯帝国的兴盛被视为人类历史上最精彩的插曲之一。622年，52岁的穆罕默德带领大约70名门徒被迫离开故乡麦加，来到200公里以

    外的麦地那，信徒人数迅速增加。在穆罕默德(62岁)去世后的10年

    里，他的两任哈里发继承人(均是他的岳父)率领军队击败了波斯大

    军，占领了美索不达米亚、叙利亚和巴勒斯坦，并从拜占庭手中夺取了

    埃及。大约在650年，依据穆罕默德和他的信徒得到的真主的启示辑录而

    成的《古兰经》问世，成为伊斯兰教四项基本原则(乌苏尔)之首(其

    余三项分别是圣训、集体一致意见和个人判断)。711年，阿拉伯人扫

    平北非，直指大西洋。接着，他们又向北穿越直布罗陀海峡，占领西班

    牙，建立了迄今为止人类历史上最大的帝国。

    穆斯林军队每到一处，就在那里不遗余力地传播伊斯兰教。755

    年，由于哈里发的权力之争，阿拉伯帝国分裂成东西两个独立王国，宛

    如从前的罗马帝国。西边的王国定都西班牙的科尔多瓦，东边的王国定

    都叙利亚的大马士革。后者在阿拔斯家族掌权之后，重心逐渐东移到今

    天伊拉克的首都巴格达，在那里创建了“一座举世无双的城市”，阿拔斯

    王朝(750—1258)也成为伊斯兰历史上最驰名和统治时间最长的朝

    代。

    巴格达位于底格里斯河畔距离幼发拉底河的最近处，四周是一片平

    坦的冲积平原。巴格达一词在波斯语里的意思是“神赐的礼物”，自从

    762年被选定为首都之后，这座城市开始兴旺发达，到8世纪后期和9世

    纪上半叶，巴格达经济繁荣，成为继中国长安城之后世界上最富庶的城

    市。

    771年，即巴格达建都的9年以后，有一位印度旅行家来到巴格达。

    他带来了两篇科学论文，其中一篇是关于天文学的。国王命人把这篇论

    文译成阿拉伯文，结果那个人就成了伊斯兰世界的第一位天文学家。由

    此可见，那时的阿拉伯世界，科学领域还是一片空白。

    微信：876679910 微信公众号：seoseeinfo

    SEO观察，每天分享优质电子书：http:www.seosee.info底格里斯河。作者摄于巴格达

    早在阿拉伯人还在沙漠里生活的年代，就对星辰的位置很感兴趣。

    他们信奉伊斯兰教后，增加了研究天文学的动力，因为无论身处何地，他们每天都需要向麦加方向祈祷朝拜5次，这个方向必须找准确。我在

    阿拉伯人的航班和长途汽车上亲眼所见，他们非常守时，甚至寸土寸金

    的机舱里也设有祈祷室。

    另外一篇是印度数学家婆罗摩笈多(Brahmagupta)的数学论文，我们所谓的阿拉伯数字，也即阿拉伯人所谓的印度数字，就是由这篇文

    章传入伊斯兰世界的。这些数字通过阿拉伯人的改造演变成阿拉伯数

    字，再通过他们的远征流传到欧洲。13世纪初，意大利人斐波那契(L.

    Fibonacci)的《算经》(又名《算盘书》)里已有包括零号在内的完整

    的印度数字的介绍。

    印度数字和十进制记数法被欧洲人消化、接受和修订之后，在近代

    科学的进步中扮演了重要角色。值得一提的是，比起未经欧洲人改造的“阿拉伯文数字”来，印度瓜廖尔石碑上所刻的数字似乎更接近于今天

    全世界通用的“阿拉伯数字”。事实上，阿拉伯数字的学名就叫“印度数

    字”，或“印度—阿拉伯数系”。但是，印度数字只是外在，要被欧洲人

    看中并接纳，还得有它的内涵，古代印度人和阿拉伯人的数学成就成全

    了此事。

    翻译时代与拜占庭

    不过，印度人的数学和文化输出十分有限。在阿拉伯人的学术和生

    活中，希腊文化最终成为一切外国影响因素中最重要的。事实上，在阿

    拉伯人征服了叙利亚和埃及以后，他们接触到的希腊文化遗产便成为他

    们眼里最宝贵的财富。之后，他们四处搜寻希腊人的著作，包括欧几里

    得(Euclid)的《几何原本》、托勒密(C. Ptolemy)的《地理志》和柏

    拉图(Plato)的著作等在内的书籍便陆续被译成了阿拉伯语版本。

    在马蒙继任哈里发以后，希腊的影响力达到了极致。马蒙本人对理

    性十分痴迷，据说他曾梦见亚里士多德(Aristotle)向他保证，理性和

    伊斯兰教的教义之间没有真正的分歧。830年，马蒙下令在巴格达建造

    了“智慧宫”，开启了所谓的“百年翻译运动”。智慧宫是一个集图书馆、科学院和翻译局于一体的联合机构，无论从哪个方面来看，它都是公元

    前3世纪亚历山大图书馆建立以来最重要的学术机关。

    微信：876679910 微信公众号：seoseeinfo

    SEO观察，每天分享优质电子书：http:www.seosee.info巴格达的智慧宫

    很快，智慧宫就成为世界的学术中心，研究内容包括哲学、医学、动物学、植物学、天文学、数学、机械、建筑、伊斯兰教教义和阿拉伯

    语语法学。在阿拔斯王朝早期这个漫长而有成效的翻译时代后半期，巴

    格达迎来了一个对于科学来说具有独创性的年代，其中最重要、最有影

    响力的人物便是数学家、天文学家花拉子密(Khwarizmi)。从花拉子

    密信仰曾经的波斯国教拜火教这一点来推测，他很可能不是纯粹的阿拉

    伯人，而是波斯人的后裔，至少在精神上倾向于波斯。据说529年东罗

    马帝国皇帝查士丁尼下令关闭柏拉图学园后，不少希腊学者跑到波斯，播下了文明的种子。但花拉子密无疑精通阿拉伯文，智慧宫建成后，他便是主要的领导人。

    花拉子密在数学方面留下了两部传世之作，其中《代数学》又名

    《还原与对消计算概要》，阿拉伯文的“还原”(al-jabr)一词有移项之

    意。这部书在12世纪被译成拉丁文，在欧洲产生了巨大影响，al-jabr被

    译成algebra，这正是今天包括英文在内的西方文字中的“代数学”一词。

    可以说，正如埃及人发明了几何学，阿拉伯人命名了代数学。

    花拉子密的著作在欧洲被用作教科书长达数个世纪，这对东方学者

    来说十分罕见。当时欧洲漫长的黑暗时代(中世纪)即将结束，大约就

    在法国学者热尔贝(西尔维斯特二世)担任罗马教皇的时代，希腊数学

    和科学的经典著作开始传入西欧。希腊人的学术著作在被阿拉伯人保存

    了数个世纪以后，又几乎完好无损地还给了欧洲。

    如果说从希腊语译成阿拉伯语主要是在巴格达的智慧宫完成的，那

    么从阿拉伯语译成拉丁语的路径就比较多样了，包括西班牙的古城托莱

    多(该城后来涌入了大量欧洲学者)、西西里岛(曾经是阿拉伯人的殖

    民地)，还有巴格达和君士坦丁堡(有很多外交官)。

    在这里我们不得不提及以君士坦丁堡(今土耳其伊斯坦布尔)为首

    都的拜占庭帝国，即从罗马帝国分裂出来的东罗马帝国，那里的居民信

    奉东正教。这是欧洲历史最悠久的君主制国家，涵盖了整个阿拔斯王

    朝。它的核心区域位于欧洲东南部的巴尔干半岛，领土曾包括亚洲西部

    和非洲北部，鼎盛时还包括意大利、西班牙、北非和中东的部分地区。

    拜占庭帝国的文化和宗教对于今天的东欧各国仍有巨大影响，留存

    下来的古希腊和古罗马著作、史料和理性的哲学思想，引发了欧洲文艺

    复兴运动，并深远地影响了人类历史。基于地理位置的原因，拜占庭帝

    国成为沟通东西方的桥梁。与此同时，这个庞然大物的存在和宗教上的

    微信：876679910 微信公众号：seoseeinfo

    SEO观察，每天分享优质电子书：http:www.seosee.info分歧，也或多或少地阻隔了欧洲人与阿拉伯人及其他亚洲人之间的交

    往。

    马可·波罗的旅行

    在今天世界上存在的数以千计的语言系统里，印度—阿拉伯数字或

    阿拉伯数字是唯一通用的符号(比拉丁字母的使用范围更广)。可以想

    象，假如没有阿拉伯数字，全球范围内的科技、文化、政治、经济、军

    事和体育等方面的交流将变得十分困难，甚至不可能进行。

    阿拉伯数字是随着阿拉伯人鼎盛时期的远征传入北非的，从埃及到

    摩洛哥，再跨过直布罗陀海峡来到西班牙。一位叫斐波那契的意大利人

    曾游历北非，受教于穆斯林数学家。他回到意大利以后，于1202年出版

    了一部数学著作，这是阿拉伯数字传入穆斯林以外的欧洲的里程碑。这

    与同时期中国造纸术的传播路线几乎一致，两者都对稍后的意大利文艺

    复兴有积极的促进作用。

    有意思的是，也是在13世纪，威尼斯商人马可·波罗(Marco Polo)

    实现了欧洲人对东方的探访，并有一部声名显赫而富有争议性的游记传

    世。其时横跨欧亚大陆的君士坦丁堡仍战乱纷起，马可·波罗一行不得

    不穿越地中海经由北非抵达中东。也就是说，他是沿着逆时针方向，即

    与阿拉伯数字传播路线相反的方向行进。记住了这一点，就不会混淆两

    者的路线。

    根据一个相对完整的《马可·波罗游记》版本，1271年的一天，马

    可·波罗和他的父亲、叔父一起，乘船从故乡威尼斯出发。他们首先到

    达的是地中海东岸的以色列港口城市阿卡。虽说在维基百科中，这一航程只画出了最后一段，但依照游记中的记载，他们乘坐的船只曾经停靠

    在北非的某个港口。

    意大利纸币里拉上的马可·波罗(1982年版)

    之后，波罗一家从陆路去了黑海南岸隶属今天土耳其的特拉布宗，当时它是科穆宁王朝的都城，再从那里转向东方，穿越伊朗高原和帕米

    尔高原进入中国。24年以后，他们从福建泉州出发，从海路到达波斯

    湾，上岸后再次经停特拉布宗。当时拜占庭帝国的局势已没有那么紧

    张，因此他们没再绕道中东和北非，而是先渡过博斯普鲁斯海峡，再穿

    过南欧，最终回到威尼斯。

    有趣的是，虽说印度数字被误当作阿拉伯数字，但阿拉伯人却不买

    账。在全球范围内得到最广泛使用的数字到了阿拉伯国家并不受当地人

    微信：876679910 微信公众号：seoseeinfo

    SEO观察，每天分享优质电子书：http:www.seosee.info待见，甚至可以说街头难觅，依旧是阿拉伯文数字最为流行。这多少会

    让初来乍到的异乡人感到陌生，对此阿拉伯人却不在意。

    埃及汽车牌号，用两种数字体系书写

    毕竟只有10个字符，异乡人在阿拉伯国家生活一段时间后，就会逐

    渐习惯阿拉伯文数字。众所周知，每种文字里都有对应1、2、3、4的数

    字词汇，例如中文的“一、二、三、四”，英文的“one, two,three, four”。

    阿拉伯人拥有一套自己的数字系统，这并不稀奇。只不过它们的使用率

    很高，即便汽车的车牌号码，也是阿拉伯文数字和阿拉伯数字并用，这

    成为一道独一无二的风景。

    最后，值得一提的是，仅在一个世纪以前，中国的状况与现在的阿

    拉伯国家并无二致，民间普遍使用数字“一、二、三、四”或“壹、贰、叁、肆”。阿拉伯数字虽然早在13世纪前后就由回民传入内地，17世纪

    又由欧洲传教士传入东部沿海地区，但真正被广泛使用却是在20世纪

    初，伴随着近代数学的兴起。如今，阿拉伯数字已是我们生活中不可或

    缺的一部分。它与马可·波罗传奇的旅行一样，至今仍然让人津津乐

    道。

    微信：876679910 微信公众号：seoseeinfo

    SEO观察，每天分享优质电子书：http:www.seosee.info公鸡、母鸡、雏鸡与兔子

    没有任何智慧可以不经由感觉而获得。

    ——[意]托马斯·阿奎那

    唐朝的数学教科书

    639年，阿拉伯人大举入侵埃及，当时埃及受制于拜占庭帝国。拜

    占庭军队与阿拉伯人交战三年之后被迫撤离埃及，亚历山大学术宝库里

    仅存的著作被入侵者付之一炬，希腊文明至此落下了帷幕。此后，埃及

    才有了开罗，埃及人改说阿拉伯语并信奉伊斯兰教。

    那时中国正逢大唐盛世，唐太宗李世民在位。唐朝是中国封建社会

    最繁荣的时代，疆域也不断扩大，首都长安(西安)成为各国商人和名

    士的聚集地，中国与西域、东瀛等地的交往十分频繁。

    虽说唐代在数学上并没有产生与它之前的魏晋南北朝或它之后的宋

    元相媲美的大师，却在数学教育制度的确立和数学典籍的整理方面有所

    建树。唐代不仅沿袭了北朝和隋代开启的“算学”制度，也设立了“算学

    博士”的官衔。

    在古代中国，“算学博士”并非最早的专精一艺的官衔，西晋便

    置“律学博士”，北魏则增“医学博士”。除了算学博士官衔，唐代还在科

    微信：876679910 微信公众号：seoseeinfo

    SEO观察，每天分享优质电子书：http:www.seosee.info举考试中设置了数学科目，给通过者授予官衔，不过级别最低，且到晚

    唐就废止了。

    事实上，唐代文化氛围的主流是人文主义，而不太重视科学技术，这与意大利的文艺复兴时期颇为相似。存在近三个世纪的唐朝虽说在诗

    歌领域星光璀璨，在数学方面却表现平平，最有意义的成就莫过于《算

    经十书》的整理和出版，这是唐高宗李治下令编撰的。

    奉诏负责这10部算经编撰和注释工作的是李淳风，他是岐州雍县

    (今属陕西宝鸡)人，自幼聪慧好学，博览群书，尤其精通天文、历法

    和数学。李淳风年轻时成为秦王李世民的幕僚，后来得以执掌负有天

    文、地理、制历、修史之职的太史局，在朝40多年，晚年辞官隐居阆中

    (今属四川南充)，并在那里逝世。

    唐代数学家李淳风淳风祠。作者摄于四川阆中

    李淳风在天文学方面成就斐然，在堪称世界上最早的气象学著作

    《乙巳占》里，他把风力分为8级(加上无风和微风则为10级)。直到

    1805年，一位英国学者才把风力划分为0~12级。

    在这10部算经中，有作者不详的古典数学名著《周髀算经》和《九

    章算术》，也有数学家刘徽的《海岛算经》和祖冲之的《缀术》。刘

    徽、祖冲之与祖冲之的儿子祖暅共同给出了球体积计算公式和圆周率

    (精确到小数点后7位)。此外，至少还有三部算经值得一提，分别是

    《孙子算经》、《张丘建算经》和《缉古算经》。

    6世纪的北周数学家甄鸾(河北无极人)虽只活了31岁，却贡献了

    其中的两部算经——《五曹算经》和《五经算术》，但其价值更多体现

    在人文社科方面。前一部主要服务于相应的社会经济制度，可谓地方官

    员的应用数学教程，对它的研究有助于了解当时的社会背景。后一部对

    儒家经典中与数学有关的叙述详加注释，对经学研究者有一定帮助。

    微信：876679910 微信公众号：seoseeinfo

    SEO观察，每天分享优质电子书：http:www.seosee.info《算经十书》成为唐代和之后各朝代的数学教科书，对中国数学的

    发展产生了巨大影响，特别是为宋元时期数学的高度发展并领先世界创

    造了条件。著名的英国科学史家李约瑟博士对李淳风十分赞赏，“(李

    淳风)大概是中国历史上最伟大的数学著作注释家”。

    公鸡、母鸡与雏鸡

    《孙子算经》、《张丘建算经》和《缉古算经》的共同特点是，每

    一部都提出了一个非常有价值的问题，并世代相传。例如，《孙子算

    经》里著名的“物不知数”问题，导出了闻名于世的中国剩余定理，被收

    入了中外的每一部数论教科书。《缉古算经》是世界上最早讨论三次方

    程解的数学著作。

    宋抄本《张丘建算经》扉页

    《张丘建算经》成书于5世纪，作者张丘建(又名张邱建)是北魏

    人。当时是北魏中期，都城设在平城(今山西大同)，统治者是鲜卑族

    人。北魏通过改革，社会经济由游牧经济转变为农业经济，实行了俸禄

    制、均田制、汉化政策等，极大地促进了经济社会的发展和民族的融

    合。虽然后来北魏迁都洛阳，但大同今天仍有“第九古都”的美誉，世界

    文化遗产之一的云冈石窟也是北魏留给子孙后代的宝贵财富。

    张丘建的家乡在清河县(今属河北邢台)，他所著的算经中最后一

    道题堪称亮点，通常被称为“百鸡问题”，民间则流传着县令以此问题考

    问神童的故事。原文如下：

    今有鸡翁一，直钱五；鸡母一，直钱三；鸡雏三，直钱一。凡百钱

    买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？

    意思是，公鸡每只5钱，母鸡每只3钱，而小鸡三只才1钱。假设有

    100钱，去买100只鸡(钱必须用光)，应买多少只公鸡、母鸡和小鸡？

    设购买的公鸡、母鸡和小鸡的数量分别是x、y、z，此题相当于解

    下列方程组的正整数解：

    在张丘建生活的时代，中国尚未引进字母，也没有未知数的概念，用文字叙述这样的方程组并不容易。可是，张丘建正确地给出了全部三

    组解答，即(4，18，78)，(8，11，81)，(12，4，84)。他通过

    消元法，先把两个三元一次方程化简成一个二元一次方程，即

    7x + 4y = 100

    微信：876679910 微信公众号：seoseeinfo

    SEO观察，每天分享优质电子书：http:www.seosee.info再依次取x为4的倍数，最终得出上述三组解答。

    这个问题在中国民间流传甚广，堪称数学普及的典范。类似的问题

    在国外直到很久以后，才由13世纪的意大利人斐波那契和15世纪的阿拉

    伯人卡西(Kashi)提出并加以研究。遗憾的是，张丘建和其他中国数

    学家没有乘胜追击对这个问题进行总结。此类方程后来被称为丢番图方

    程，以最早搜集、研究和整理它们的希腊数学家丢番图(Diophantus)

    的名字命名。

    中世纪的意大利

    正当中国、印度、阿拉伯在数学等诸多领域做出新贡献时，欧洲却

    处于漫长的黑暗时代。这段历史始于5世纪罗马文明的瓦解(刚好是张

    丘建所生活的北魏时期)，结束于欧洲文艺复兴开始之时，总计长达1

    000多年。

    意大利的人文主义者之所以称其为“中世纪”，是为了凸显他们的工

    作和理想，并与古希腊和古罗马时期遥相呼应。不过，那时在亚平宁半

    岛，数学家的境况不算太糟。罗马教皇西尔维斯特二世非常喜欢数学，他能够登基也与这个嗜好有关，可谓数学史上的一大传奇。爱数学的教皇热尔贝

    这位教皇本名热尔贝，在成为教皇之前是一位学者，曾做过罗马帝

    国太子的家庭教师。据说他还做过算盘、地球仪和时钟，他撰写的一部

    几何学著作解决了当时的一个难题：已知直角三角形的斜边和面积，求

    出它的两条直角边的边长。

    在热尔贝任罗马教皇期间，欧洲迎来了科学史上赫赫有名的翻译时

    代。因为在经过数个世纪的战争洗劫后，希腊的数学和科学著作在欧洲

    早已荡然无存，但好在它们经阿拉伯人之手又回到了欧洲。除了欧几里

    得、阿基米德(Archimedes)、托勒密和阿波罗尼奥斯(Apollonius of

    Perga)等人的名著以外，被译成拉丁文的著作还有阿拉伯人自己的学

    术结晶，例如花拉子密的《代数学》。这些翻译工作一直持续到12世

    纪。

    在同一时期，地中海一带经济力量的重心从东部缓慢地移至西部。

    这种变化首先源自农业的发展，种植豆类使得人类在历史上首次有了食

    物上的保证，人口因此迅速增长，这是导致旧的封建社会结构解体的一

    个因素，也使学术的传播成为可能。

    微信：876679910 微信公众号：seoseeinfo

    SEO观察，每天分享优质电子书：http:www.seosee.info到了13世纪，不同种类的社会组织在意大利各个城邦层出不穷，包

    括各种行会、协会、市民议事机构和教会等，它们迫切希望获得某种程

    度的自治。重要的代议制度有了发展，终于产生了政治议会，其成员有

    权做出决定，且对于选举他们的全体公民具有约束力。

    在艺术领域，哥特式建筑和雕塑的经典模式已经形成，文化生活领

    域则产生了经院哲学的方法论，这方面的杰出代表是托马斯·阿奎那(T.

    Aquinas)。这位出生在那不勒斯的一座城堡里的哲学家，被天主教徒

    视为历史上最伟大的神学家之一，他从亚里士多德的理论中获得了许多

    启示，把理性引入神学，促使保守的教徒们第一次正视科学的理性主

    义。

    阿奎那认为，神学的主要研究对象是上帝，上帝在存在上并不依靠

    物质，相反它能够脱离物质而存在，因而神学是“第一哲学”。其次是数

    学，它以“在存在上依靠物质，在概念上并不依靠物质”的对象(例如线

    和数)为研究对象。再次是物理学，它以“在存在和概念上都依靠物

    质”的对象为研究对象。阿奎那还强调，“没有任何智慧可以不经由感觉

    获得”。

    斐波那契的兔子

    在相对开放的政治和人文氛围中，数学领域也不甘落后，出现了中

    世纪欧洲最杰出的数学家斐波那契。他出生在比萨，年轻时随身为政府

    官员的父亲前往北非的阿尔及利亚，在那里接触到阿拉伯人的数学并学

    会用印度—阿拉伯数字做计算。斐波那契像，他发明了分数中间的横线

    后来，斐波那契又到过埃及、叙利亚、拜占庭和西西里等地，学到

    了东方人的计算方法。回比萨后不久，他就撰写并出版了著名的《算

    经》。他出名以后，很快就成为酷爱数学、诗歌和美女的神圣罗马帝国

    皇帝腓特烈二世的宫廷数学家。

    斐波那契既是欧洲数学复兴的先锋，也是东西方数学交流的桥梁。

    16世纪的意大利数学家、三次和四次方程解法的集大成者卡尔达诺(G.

    Cardano)这样评价他的前辈：“我们可以假定，所有我们掌握的希腊以

    外的数学知识都是由于斐波那契的出现而得到的。”

    《算经》的第一部分介绍了数的基本算法，并介绍了不同进制之间

    的转换方法。他率先使用了分数中间的那条横线，这个记号沿用至今。

    第二部分是商业应用题，其中有“30钱买30只鸟”，与“百钱买百鸡”如出

    一辙。

    “今有30只鸟值30钱，其中每只山鹑值3钱，每只鸽子值2钱，一对

    麻雀值1钱，问每种鸟各多少？”9世纪的埃及数学家阿布–卡米尔(Abū-

    kamil)的著作中出现了“百鸡问题”，一般认为是由印度传入的。斐波那

    契在旅途中接触并受到阿布–卡米尔著作的影响，由此我们可以推测，微信：876679910 微信公众号：seoseeinfo

    SEO观察，每天分享优质电子书：http:www.seosee.info此类问题是由中国经印度、阿拉伯传入欧洲的 。

    第三部分是杂题和怪题，其中以“兔子问题”最引人注目。这个问题

    是：每对大兔每月能生产一对小兔，每对小兔过两个月就能成为可以繁

    殖的大兔。由一对小兔开始，一年后将会有多少对兔子？依据“兔子问

    题”，很容易得到所谓的“斐波那契数列”：

    1，1，2，3，5，8，13，21，34，…

    这个数列的递归公式(可能是数学家发现的第一个递归公式)是：

    F1 = F2 = 1, Fn = Fn–1 + Fn–2 (n≥3)

    有意思的是，这个整数数列的通项竟然是一个含有无理数√5的式

    子，而且前一项与后一项的比值的极限竟然是古希腊的毕达哥拉斯学派

    定义的黄金分割率(参见下一个故事)。

    斐波那契数列出现在许多数学问题中，它还可以帮助解决诸如蜜蜂

    的繁殖、雏菊的花瓣数和艺术美感等方面的问题。在丹·布朗的畅销小

    说《达·芬奇密码》中，斐波那契数列还被用作保险柜的密码。

    举一个有趣的爬楼梯的例子。假设你可以一步上一个台阶，也可以

    一步上两个台阶。试问，爬一段有n个台阶的楼梯有多少种方式？

    设共有an种方式，已知a1 =1，a2 = 2。假设第一步上了一个台阶，则还有an–1种选择；假设第一步上了两个台阶，则还有an–2种选择。这

    样一来，就得到

    an = an–2 + an–1

    比较这个算式和递归公式以及初始值，即可得出an = Fn+1。

    从斐波那契留下来的画像来看，他的神韵颇似晚他三个世纪的同胞

    画家拉斐尔(Raffaello)。斐波那契常常以旅行者自居，人们喜欢称他为“比萨的莱奥纳多”，而把《蒙娜丽莎》的作者称为“芬奇的莱奥纳

    多”。

    1963年，一群热衷研究“兔子问题”的数学家成立了国际性的斐波那

    契协会，并着手在美国出版《斐波那契季刊》(Fibonacci

    Quarterly)，专门刊登与斐波那契数列有关的数学论文。同时，他们还

    在世界各地轮流举办两年一度的斐波那契数列及其应用的国际会议。这

    在世界数学史上可谓一个奇迹或神话。

    微信：876679910 微信公众号：seoseeinfo

    SEO观察，每天分享优质电子书：http:www.seosee.info黄金分割与五角星的故事

    发现音乐与数字比例之间的秘密，这大概是物理学定律的第一

    次数学公式表达。

    ——[美]乔治·伽莫夫

    黄金分割和黄金矩形

    黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体的比值等于较小部

    分与较大部分的比值。这个比值约为0.618，被公认为最美的比例，叫

    作黄金分割比或黄金分割率。

    如果用线段表示，就是把一条线段AB分割为两部分，黄金分割比

    使较长部分AC与全长AB的比值等于较短部分CB与较长部分AC的比

    值，即

    微信：876679910 微信公众号：seoseeinfo

    SEO观察，每天分享优质电子书：http:www.seosee.info设AC = a，CB = b，则得a2 = b(a + b)。经过移项配方，可得

    开方再合并同类项，得到b与a的比值为

    当线段长度a和b满足上述比例关系时，C点就被称为“黄金分割

    点”。

    除了黄金分割，还有黄金矩形，即短边与长边之比为0.618的矩

    形。黄金分割和黄金矩形都能给人以美感，令人愉悦。我们在很多艺术

    品和大自然中都能找到它，希腊雅典的帕特农神庙就是一个很好的例

    子，达·芬奇画中人物的脸部构图也符合黄金矩形。

    任给一条线段，如何作延长线，使延长线与该线段的比为黄金分割

    比？古希腊人的方法是先作出一个黄金矩形，黄金分割比自然而然就有

    了。如下图所示，先作一个边长为1的正方形ABCD，连接上下两条边的

    中点E与F，把正方形均分为左右两部分。黄金分割比和黄金矩形作图法

    以F点为圆心、FC为半径画圆弧，交AD的延长线于G点。过G点作

    垂线，交BC的延长线于H点，则四边形ABHG就是一个黄金矩形。这是

    因为，由毕达哥拉斯定理(勾股定理)可知， 。所以矩

    形ABHG的宽与长的比为

    对线段AG而言，D点就是黄金分割点。

    五角星与正五边形

    五角星是5条等长的线段构成的星形图案。如下图所示，它的每个

    尖角都是36度。

    微信：876679910 微信公众号：seoseeinfo

    SEO观察，每天分享优质电子书：http:www.seosee.info五角星图案

    五角星可能最早出现在两河流域的美索不达米亚。在苏美尔人发明

    的象形文字中，五角星表示墙角、隐蔽处、小房间、空洞、陷阱等意

    思。而在古巴比伦文明中，它又有了占星术的意味，代表5个星球：木

    星、水星、火星、土星和金星。

    一直以来，五角星都与人类对金星的崇拜有密切关系。在造成这一

    关系的各种可能的原因里，最可信的是古代天文学家的观察。在地球上

    遥望天空，金星的绕日轨道每8年重复一次，它自成的5个交叉点恰好构

    成一个近乎完美的五角星。

    在太阳系的八大行星里，地球离太阳是第三近的，金星离太阳是第

    二近的。金星绕太阳的公转周期约为224.70地球日，这个数字与地球的

    公转周期365.26天的比值接近于黄金分割率。事实上，地球每绕太阳运

    行8圈，差不多相当于金星绕太阳运行13圈，8和13是两个相邻的斐波那

    契数(斐波那契数列的第6项和第7项)。

    由五角星可以得到正五边形，只要把5个顶点连接起来或把5个伸展

    出来的三角形去掉就可以了。反之，有了正五边形之后，分别延长5条边，原本不相接的两边相交之后，连同原先的正五边形，就构成了一个

    大的五角星。有意思的是，美丽的牵牛花外形是正五边形，而花蕊恰好

    是五角星。

    美丽的牵牛花。作者摄于张家口

    可以证明，五角星(或正五边形)中也存在着黄金分割率，而且错

    综复杂。举例来说，任取五角星所包含的那个正五边形的一个顶点，它

    与五角星最近的尖点的距离，与它到这两点连线延长线上的另一五角星

    尖点的距离的比值，恰好是黄金分割率，即0.618…。

    五角星是毕达哥拉斯学派的徽章，据说门徒们身上都佩戴着这样的

    徽章。由此可见，毕达哥拉斯(Pythagoras)和他的门徒们已经知道黄

    金分割率了。事实上，毕达哥拉斯生活的年代要比帕特农神庙的兴建时

    间早，这就合乎情理了。

    传说公元前6世纪的一天，毕达哥拉斯走过一个铁匠铺时，觉得铁

    匠打铁的声音很好听，便驻足倾听。毕达哥拉斯发现打铁声音的高低与

    微信：876679910 微信公众号：seoseeinfo

    SEO观察，每天分享优质电子书：http:www.seosee.info铁锤的重量有关，于是，他比较了不同重量的铁锤发出的不同音高之间

    的比例关系，从而测量出各种音调的数学关系，这可能就是他后来探究

    黄金分割率的开始。

    在发现了音乐中的数字比例之后，毕达哥拉斯进一步提出了“万物

    皆数”的观点，这是他“宇宙和谐论”的主要论点，后来被柏拉图所继

    承。以倡导宇宙起源于“大爆炸”的理论而闻名的俄裔美国物理学家乔治

    ·伽莫夫(G. Gamow)曾经赞叹：“发现音乐与数字比例之间的秘密，这

    大概是物理学定律的第一次数学公式表达。”

    因为黄金分割率是无理数，不能表示成两个正整数的比值，因此要

    精确地画出五角星，徒手或只用直尺是不可能做到的。在一些非正式的

    图形中，不精确的五角星反而给人轻松的感觉，但用在国旗、国徽中或

    其他正式场合，五角星则必须是精确的，这就需要借助工具——圆规和

    直尺(可以没有刻度)来作图了。这种方法被称为尺规作图法，又叫欧

    几里得作图法。

    五角星有不同的作图法，下面这种方法比较简洁，但要完全理解还

    需动些脑筋，读者不妨先行跳过。

    1. 在白纸上画一个任意半径的圆O，在其中画两条互相垂直的直径

    AB和CD。取OB的中点E，连接CE，如下页图a。

    2. 以E为圆心，CE的长为半径画圆弧交OA于点F。以C为圆心，CF

    的长为半径画圆弧交圆O于点G，再以点G为圆心，CF的长为半径画圆

    弧交圆O于点H，以此类推，得到点M、N，这样，C、G、H、M、N五

    个点即为圆O的五等分点，如下页图b。

    3. 连接CH、CM、GM、GN和HN，即得到五角星，如下页图c。

    1796年，不满19岁的德国青年高斯(C. F. Gauss)证明上述作图法可以推广，并发现了它与著名的费尔马素数之间的秘密关系。

    五角星的欧几里得作图法

    所谓费尔马素数是形如

    的素数。已知F0 = 3，F1 = 5，F2 = 17，F3 = 257，F4 = 65537均为

    素数，1642年，法国数学家费尔马(Fermat)曾猜测对所有的非负整

    数n，Fn均为素数。但在1732年，客居俄罗斯的瑞士数学家欧拉(L.

    Euler)发现，641是F5的真因子，因此F5是合数。到目前为止，还没有

    人发现一个大于5的整数n，使得Fn是素数。可是，也没有人能够证明费

    尔马素数仅有5个。

    高斯给出了正十七边形的欧几里得作图法，解决了2 000多年前古

    希腊人留下的数学难题。从那以后，他便下决心献身数学，后来成为同

    行赞誉的“数学王子”。只不过，正十七边形不再与黄金分割率有关，而

    是与 这个数有关。

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    SEO观察，每天分享优质电子书：http:www.seosee.info从柏拉图到开普勒

    帕特农神庙建于公元前477年至前432年，它坐落在希腊首都雅典卫

    城的最高点上，是为了庆祝雅典战胜波斯而建。帕特农是雅典保护神雅

    典娜的别号，意为“处女”。这座神庙历经2 500多年的沧桑巨变，如今庙

    顶坍塌，雕像荡然无存，浮雕剥蚀严重，但从仍巍然屹立的柱廊不难想

    象神庙当年的雄伟，可以说它代表了古希腊建筑和雕刻艺术的最高水

    准。

    修道士想象中的帕特农神庙

    从外表看，帕特农神庙气势非凡，光彩照人。它在继承传统的基础

    上又有许多创新。神庙的南北长、东西短，东西两面各宽31米，顶部距

    离地面19米。也就是说，其立面的高与宽比例为19∶31，接近古希腊人

    喜爱的“黄金分割率”。庙内原有一尊黄金和象牙镶嵌的雅典娜女神像，由著名雕塑家菲迪亚斯(Phidias)创作，女神身材的比例(肚脐高与身

    高之比)也符合黄金分割率。

    在帕特农神庙建成的一个世纪以后，哲学家柏拉图在他的著作《蒂

    迈欧篇》里提到了5种仅有的正多面体，即正四面体、正六面体(正方

    体)、正八面体、正十二面体和正二十面体，世人称之为“柏拉图多面

    体”。但也有人认为它们并非柏拉图本人的发现。

    公元前3世纪，希腊数学家欧几里得在《几何原本》里第一次给出

    了黄金分割率的严格定义，他称之为“中外比”。此书共13卷，这个定义

    出现在第6卷，并随着1607年利玛窦和徐光启合作的《几何原本》前6卷

    简译本而被引入中国。在第8卷，欧几里得在讲述正十二面体和正二十

    面体的构成时，反复利用了“中外比”及其相关性质。

    之后，中世纪欧洲最著名的数学家、意大利人斐波那契在他的《算

    经》里提出了“兔子问题”，引出了斐波那契数列。如前文所说，这个数

    列的前两项均为1，从第三项开始，每一项都是前两项的和，即Fn = Fn–

    2 + Fn–1。

    更为有趣的是，斐波那契数列前一项与后一项比值的极限趋近于黄

    金分割率。即

    不过，这一事实直到4个世纪以后的1611年，才被德国天文学家、数学家开普勒(J. Kepler)发现。他还从柏拉图多面体中获得启示，相

    信天体的运行轨道应是几何图形，由此提出了行星运动的三大定律。至

    于这个极限的证明，则要等到19世纪，由法国数学家比内(J. P.

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    SEO观察，每天分享优质电子书：http:www.seosee.infoM.Binet)给出，利用以他自己的名字命名的公式。

    1909年，美国数学家马克·巴尔(M. Barr)建议，用希腊大写字母

    Ф来表示黄金分割率，并沿用至今。除此以外，人们还用它对应的小写

    字母?或φ来表示黄金分割率的倒数1.618…。

    除了古典艺术以外，黄金分割率在20世纪的艺术领域里也有应用。

    1912年巴黎举办过黄金分割画派的展览，参展的有后来移居美国的法国

    画家马塞尔·杜尚(M. Duchamp)。在西班牙画家萨尔瓦多·达利(S.

    Dali)和瑞士建筑师勒·柯布西埃(Le Corbusier)的作品里，也都有黄

    金矩形这一元素。1953年，美国统计学家杰克·基弗(J.Kiefer)提出了

    优选学中的黄金分割法，20世纪70年代中国数学家华罗庚对其进行了推

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    SEO观察，每天分享优质电子书：http:www.seosee.info自行车的发明与黎曼几何学

    当人想要模仿行走的时候，他创造出了和腿并不相像的轮子。

    ——[法]阿波利奈尔

    谁发明了独轮车？

    自行车的发明，让乡村的小伙子们能够去遥远的村庄寻找他们心仪

    的女孩子。我所认识的已故美国作家戈尔·维达尔(G. Vidal)因此认

    定，自行车的发明使得世界人口有了少许增长。在自行车发明之前，人

    类早已发明了有轮子的手推车。大约在公元前1500—前900年完成的印

    度医学典籍《梨俱吠陀》(Rigveda)里，就有这样的诗句：

    男人与女人相互平等

    一如手推车的两个轮子

    这部典籍是印度医学之源，也是吠陀教的经典文献《吠陀》中的一

    部。全书用诗的语言写成，“吠陀”的本义是知识，“梨俱”是赞美诗的意

    思。

    直到19世纪60年代，为躲避宗教迫害，从东海岸的纽约移民到西部

    犹他州盐湖城的摩门教徒们，在首领杨百翰(Brigham Young)的带领下，依靠手推车完成迁移。如今，以杨百翰命名的大学作为美国最大的

    教会大学、历史第三悠久的私立大学以及拥有一个频繁参加国际演出的

    歌舞团而闻名。

    手推车通常分为独轮、两轮、三轮和四轮这4种。虽说多轮运货车

    大约在5 000年前就已经出现，但独轮车的发明却要迟许多。一般认

    为，独轮车是由古希腊人发明的，可是证据少得可怜，仅有两张发现于

    阿提卡半岛的古代建筑物资清单，时间是公元前408年至前406年。

    印度南方的四轮手推车。作者摄于班加罗尔

    清单上出现了monokyklou、dikyklos和tetrakyklos字样，后两者的意

    微信：876679910 微信公众号：seoseeinfo

    SEO观察，每天分享优质电子书：http:www.seosee.info思分别为“双轮车”和“四轮车”；而mono有单一之意，再加上非复数后

    缀，因此monokyklou被解释为独轮车是合理的。但实际上，在整个古希

    腊时期，都没有其他关于独轮车的文字、图像或实物留存下来。

    除了希腊，中国也被视为最早发明独轮车的国家。独轮车的图像出

    现在四川和山东发掘的汉墓壁画及浮雕中，按文字记载，独轮车的概念

    来自三国时期的蜀国丞相诸葛亮。陈寿的《三国志》里记载有“木牛流

    马，皆出其意”，经后人考证，木牛流马就是独轮车。到了宋代，高承

    所撰《事物纪原》也将独轮车的发明归功于诸葛亮。

    早些时候，在主要取材于西汉经学家刘向所著《孝子传》的《二十

    四孝》一书中，有自幼丧母的董永用“鹿车”载父的故事。“鹿车载自

    随”，鹿车正是独轮车的别称。董永后来卖身葬父，成为孝子的模范，他的故乡湖北孝感因此得名。那里还流传着“董永与七仙女”的爱情故事

    和“一日夫妻百日恩”的俗语。

    在范晔的《后汉书》里，也有两则与鹿车有关的故事。其一是“共

    挽鹿车”。大夫鲍宣的新娘少君出自有钱人家，嫁妆丰厚，但鲍宣拒绝

    接受。于是少君便把华丽的服饰全部收起来，改穿简朴衣裳，与鲍宣一

    起推着鹿车去了鲍宣家。拜见婆母后，她就提着水瓮去汲水，奉行做媳

    妇的礼节，获得乡亲称赞。

    其二发生在23年。赤眉起义爆发，赤眉军杀死西汉最后一个皇帝刘

    玄，大臣赵憙也被包围，只得从房上逃走。与他同行的还有好友韩仲

    伯，韩因妻子长得漂亮，担心贼兵强暴她并连累自己受害，于是决定丢

    下她。赵憙责骂韩仲伯，又将泥涂在韩妻脸上，把她装上鹿车，亲自推

    行。每遇贼兵，赵憙就说她病重，得以免受污辱并逃脱。自行车的发明者

    1866年，清朝派出首个出洋考察团，19岁的辽宁铁岭少年张德彝随

    行。回国后他在游记《航海述奇》里使用了“自行车”一词，这是该词在

    汉语里首次出现。除了自行车，电报、螺丝等中译名也是张德彝首先使

    用的，他还介绍了蒸汽机、升降机、缝纫机、收割机、管道煤气、巧克

    力，等等。

    关于自行车的发明，流传着这样一个故事：1790年的一天，一位叫

    西夫拉克的法国青年行走在巴黎的一条小街上，受疾驰而过的马车启

    发，设计出最初的自行车原型。不过，如今的历史学家大多认为，自行

    车是在19世纪初才诞生的。

    此时，离马车(还有牛车、驴车)的诞生已过了4 000多年。大约

    在公元前2000年，黑海附近的草原部落骑马来到底格里斯和幼发拉底之

    间的两河流域，并开始用马来拉有轮子的车。这些马车不仅拉货运物，也载人。之后，马车逐渐成为世界各国主要的交通和运输工具。

    1817年，德国人德莱斯(K. Drais)给自行车装上了车把，用来控

    制方向，次年在巴黎做了第一次展示。实用的自行车则要等到1861年，法国人米肖父子(P. Michaux和E. Michaux)在自行车的前轮上安装了

    曲柄，无须踩地，用脚蹬就可以驱动车轮前进。第二年，他们制造了

    140多辆自行车，第5年的产量达到400辆。1879年，英国人劳森(H.

    Lawson)为自行车装上链条；1888年，爱尔兰兽医邓禄普(J. Dunlop)

    发明了充气轮胎。

    至于张德彝在他的游记中所描述的在伦敦街头见到的自行车，应该

    还没有链条和充气轮胎。“前后各一轮，一大一小，大者二尺，小者尺

    微信：876679910 微信公众号：seoseeinfo

    SEO观察，每天分享优质电子书：http:www.seosee.info半，上坐一人，弦上轮转，足动首摇，其手自按机轴，而前推后曳，左

    右顾视，趣甚。”

    小米肖的自行车(1868)

    其实，中国也有关于自行车发明的史料记载，那是在清朝康熙年

    间，发明者是扬州人黄履庄。据《清朝野史大观》记载：“黄履庄所制

    双轮小车一辆，长三尺余，可坐一人，不须推挽，能自行。行时，以手

    挽轴旁曲拐，则复行如初，随住随挽日足行八十里。”

    黄履庄的表兄弟为他书写的小传里也提到此事，那年黄履庄还不到

    28岁。遗憾的是，黄履庄的自行车既没有保留下来，也没有得到推广，这是一件非常令人惋惜的事。黄履庄在工程机械制造方面有很深的造

    诣，除了自行车，他一生发明无数，被后人誉为“中国的爱迪生”。

    黄履庄的发明远近闻名，并传到了安徽宣城梅文鼎的耳朵里。梅文鼎是清代最著名的数学家，大学士李光地曾邀其住到京城自己的家中，向他学习数学和天文。后来经李光地推荐，康熙召见了梅文鼎，在南巡

    的御舟中两人曾连续三天谈论数学，康熙还亲书“绩学参微”四字以资鼓

    励。黄履庄去世后，其坟墓由江宁织造、作家曹雪芹的父亲奉旨建造。

    梅文鼎听到黄履庄发明许多奇器的传言，将信将疑，亲自到扬州登

    门拜访。当他来到黄家，举手敲门，门边的一条狗突然朝他大叫，梅文

    鼎不知所措。这时候黄履庄开门来迎，只见他拍拍狗的脑袋，它就乖乖

    地躺下，不再吠叫了。

    梅文鼎顿时眼界大开，原来这是黄履庄特制的木狗，有人来敲门时

    就会发出狗叫声，起到门铃的作用。遗憾的是，作为数学家的梅文鼎并

    未发现，黄履庄发明自行车的亮点在于，用两个圆圈代替两条直线(行

    走的双腿)，也就是直线与圆概念的互换。在现代数学中，圆和直线是

    可以等价的。

    神行太保与机器人

    发明一种机械代替人的行走，或像鸟一样飞翔，这是人类存在已久

    的梦想。明代小说家施耐庵的《水浒传》描写的是距今1 000多年前北

    宋的故事。其中有个人物叫戴宗，绰号“神行太保”，他是我孩提时代艳

    羡之人。戴宗原在江州(今江西九江)做官，为救助宋江，他伪造了蔡

    京书信，被识破后入伙梁山。戴宗在梁山好汉榜上排行第20，职司为总

    探声息头领，可谓如今信息社会的先行者。

    戴宗有道术，每当他把甲马拴在腿上，就能日行八百里，为梁山五

    绝之一。《水浒传》第39回有一首《西江月》词描写了他的神行

    微信：876679910 微信公众号：seoseeinfo

    SEO观察，每天分享优质电子书：http:www.seosee.info法：“顷刻才离乡镇，片时又过州城。金钱甲马果通神，万里如同眼

    近。”那么，究竟何为甲马呢？在我小时候的想象里，甲马是一根短小

    的棍子，像田径比赛的接力棒，绑在腿上。用直线代替直线，这无疑是

    模仿，一种较为简单的想象力。

    按评书的说法，戴宗跑得快是因为他有一匹古怪坐骑，集中国十二

    生肖的特征于一身。再细看《水浒传》，甲马每次用后都要烧掉。同样

    是在第39回，戴宗夜宿客店，“解下甲马，取数陌金纸烧送了”。既然如

    此，甲马应与纸钱一样是纸制品，它是供神灵升天时骑用的。戴宗的道

    术即在于此，他利用了神灵享有的权利。但甲马不能白用，所以每次用

    过之后，都要用纸钱一起烧送。

    有时候，写作会是一种预言。1920年，捷克作家卡雷尔·恰佩克

    (K. ?apek)出版了剧本《罗素姆万能机器人》，其中有位名叫罗素姆

    的哲学家研制出一种机器人，被资本家大批制造出来充当劳动力。可

    是，如果世界上充满了机器人，人类就会停止生育而面临末日。因此作

    者描写了一对会恋爱和生育的机器人，以此暗示人类将免遭灭亡。

    次年，这出极富想象力的戏上演后轰动了欧洲。卡雷尔所创造

    的“机器人”角色“robot”，已被西方主要语言接纳，这部作品也被译成各

    种文字。不过，“robot”一词是由卡雷尔的画家哥哥约瑟夫发明的，他依

    据捷克文“robota”(劳役)创造出来。卡雷尔曾7次获得诺贝尔文学奖提

    名，后因肺病英年早逝，约瑟夫则死于纳粹集中营。

    在恰佩克的剧本出版19年以后，美国西屋电器公司便在纽约世博会

    上展出了第一台家用机器人。1956年和1959年，第一台可编程序机器人

    和第一台工业机器人分别获得专利。之后，各式各样的机器人如雨后春

    笋般地在世界各地被发明出来。早在1942年，22岁的美国科幻小说家艾萨克·阿西莫夫(I.Asimov)

    就在一部短篇小说《环舞》(Runaround)中订立了所谓的“机器人三定

    律”，成为业界普遍认可的研发准则 。

    一是机器人不得伤害人类，或袖手旁观坐视人类受到伤害；

    二是除非违背第一法则，机器人必须服从人类的命令；

    三是在不违背第一和第二法则的情况下，机器人必须保护自己。

    不知清朝的扬州人黄履庄发明的那只木狗，可否算作机器人的前身

    呢？

    黎曼的非欧几何学

    欧几里得建立的欧氏几何，在数学的严格性和推理性方面树立了典

    范，2 000多年来，它始终保持着神圣不可动摇的地位。不仅数学家们

    相信欧氏几何是绝对真理，许多哲学家也都认定欧氏几何是明白的和必

    然的，康德(I. Kant)在《纯粹理性批判》中甚至声称，物质世界必然

    是欧几里得式的。

    相反地，早在1739年，即康德上大学的前一年，苏格兰哲学家休谟

    (D. Hume)却在一本著作中否定宇宙中的事物有一定法则。休谟的不

    可知论表明，科学是纯粹经验性的，欧几里得的几何定理未必是真理。

    事实上，欧氏几何并非无懈可击。从它诞生那一刻起，就有一个问

    题一直困扰着数学家们，那就是欧几里得第五公设，也称平行公设。它

    的叙述不像其他4条公设那样简单明了，这条被法国数学家达朗贝尔

    (d’Alembert)戏称为“几何学的家丑”的著名公设可以这样叙述：

    微信：876679910 微信公众号：seoseeinfo

    SEO观察，每天分享优质电子书：http:www.seosee.info过已知直线外一点，能且仅能作一条直线与已知直线平行。

    自古以来，许多数学家都曾尝试证明平行公设，但都没有成功。特

    别值得一提的是，两位波斯数学家欧玛尔·海亚姆(O. Khayyám)和纳

    西尔丁(Nasir al-Din Tusi)，他们对平行公设做了较为深入的探讨。如

    下图所示，假设有一个四边形ABCD，DA和CB等长且均垂直于AB，依

    照对称性∠D和∠C相等，平行公设等价于证明∠D和∠C都是直角。

    波斯人试图利用此图，证明欧氏第五公设

    纳西尔丁证明，如果∠D与∠C是锐角，则可推导出三角形的内角

    和小于180度，这正是罗巴切夫斯基几何的基本命题。它等价于

    过已知直线外一点，能作不止一条直线与已知直线平行。

    这是非欧几何学的一种，它是在19世纪上半叶由德国数学家高斯、匈牙利数学家J. 鲍耶(J. Bolyai)和俄国数学家罗巴切夫斯基

    (N.Lobachevsky)各自独立发明的。

    1854年，德国数学家、高斯的学生黎曼(B. Riemann)建立起一种

    更为广泛的几何学，即现在所称的“黎曼几何”，罗氏几何和欧氏几何都

    是黎曼几何的特例(分别对应于锐角假设和直角假设)。在黎曼之前，数学家们都认为钝角假设与直线可以无限延长的假设相矛盾，因此取消

    了钝角假设，黎曼却把它找了回来。

    黎曼区分了“无限”和“无界”这两个概念，他认为直线可以无限延长

    并不意味着就其长短而言是无限的，而是指它是没有端点或无界的(例

    如开区间)。在做了这个区分之后，黎曼证明了钝角假设与锐角假设一

    样，都能无矛盾地引申出新的几何学。钝角假设所引出的几何学被称为

    黎曼几何。

    在黎曼眼里，地球表面(或任意球面)上的每个大圆都可以看成是

    一条直线。何为大圆？大圆就是圆心在球心的圆，例如地球的每一条经

    线，而纬线中只有赤道是大圆。不难发现，这样的“直线”无界但长度有

    限，而且任意两条这样的“直线”都相交。换句话说，没有两条直线是平

    行的。例如，假设赤道是已知直线，取北极点，则过北极点的每条直线

    都是经线，它们都与赤道相交。由此证明

    过已知直线外一点，不能作一条直线与已知直线平行。

    事实上，每条经线都与赤道垂直，由此可推导出，任意两条经线与

    赤道围成的三角形内角和均大于180度。

    用圆替换直线，这正是自行车的秘密和成功之处。最后，我想说说

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    SEO观察，每天分享优质电子书：http:www.seosee.info西班牙画家毕加索(P. Picasso)。作为立体主义绘画的鼻祖，毕加索的

    艺术灵感来源于四维几何学。当毕加索从一个酷爱数学的精算师朋友那

    里了解到存在一种四维几何学后，他便立刻展开了想象：绘画是把三维

    空间的物体表现在二维平面上，那么四维空间的物体表现在二维平面上

    该是什么样呢？于是就有了《亚威农少女》(1907)这幅立体主义的开

    山之作。

    除了画画，毕加索也创作雕塑，这对他来说似乎是生活的一种调

    剂。《公牛头》是一件现成品，它的材料是自行车的部件，车把手作为

    牛角，坐垫作为牛脸。这两个部件原本不在一起，艺术家通过想象力，去掉了它们中间的三角形车架，一件艺术作品就这样诞生了。又一次，我们回到了这个故事开头提到的自行车!

    毕加索的《公牛头》微信：876679910 微信公众号：seoseeinfo

    SEO观察，每天分享优质电子书：http:www.seosee.info玄妙的统计：从诸葛亮借箭说起

    在抽象的意义下，一切科学都是数学；在理性的世界里，所有

    的判断都是统计学。

    ——[美]C. R. 劳

    从城邦政情到统计学

    统计学是通过收集、整理、分析、描述数据等手段，以推断所测量

    对象的性质、本质乃至未来的一门学科，需要用到许多数学知识。统计

    起源于何时何地，已经很难说清了。有人说是古埃及，有人说是古巴比

    伦，也有史料记载是在公元前2000年左右的夏朝，统治者为了征兵和征

    税而进行了人口统计。

    到了周朝，“司书”一职首次在中国历史上出现，相当于今天的国家

    统计局局长。西方最早的关于统计的记载是《圣经·旧约》，它引用了

    犹太人的人口统计结果。

    仅是小范围的人口统计，即使包括人数、年龄、收入、性别、身

    高、体重等多项指标，统计也派不上大用场。随着统计人数的增加，例

    如一座城市的市民、一个省的女性，以及统计指标的增多，例如健康状

    况、家庭经济状况和寿命等，统计就逐渐体现出规律和价值了。公元前4世纪，亚里士多德撰写的“城邦政情”(matters of state)共

    包含150余种纪要，内容涉及希腊各个城邦的历史、行政、科学、艺

    术、人口、资源和财富等社会和经济情况及其比较分析。

    “城邦政情”式的统计延续了2 000多年，直至17世纪中叶，才逐渐

    被“政治算术”(political arithmetic)这个颇有意味的名称替代，并且很

    快演化为“统计学”(statistics)。最初，它只是一个德文词汇statistik，保留了城邦(state)的词根，本义是研究国家和社会状况的数量关系。

    后来，欧洲各国相继把它译成本国词汇，法文为statistique，意大利

    文为statistica，然后是英文。值得一提的是，英语中统计学家和统计员

    是同一个单词，正如数学家和数学工作者是同一个单词一样。日语最初

    把“统计学”译为“政表”“政算”“国势”“形势”，1880年才确定为“统计”。

    1903年，横山雅南的著作《统计讲义录》被译成中文出版，“统计”这个

    词也从日本传到中国，这与“数学”一词的来历一样。

    既然统计学的主要工作是与数据打交道的，数据通常又有随机性，这就涉及另外一个统计学术语——概率。随机意味着不确定性，但也并

    非没有规律可循，这需要用概率来描述。例如，经验告诉我们，投掷硬

    币出现正面朝上结果的概率约为12，投掷骰子结果为六点的概率是

    16。

    更多时候，我们需要进行大样本的统计才能知道一件事发生的概

    率。例如，某航班的正点率，或某地某日的降水概率。我们在通过计算

    获得概率的同时，也掌握了相应的统计规律。不过，统计与概率是有差

    异的。计算一个有40个学生的班级是否有人同一天生日的概率，与具体

    统计某班级同学的生日，两者是不一样的，且不同班级(即便人数相

    同)的统计结果也不一样。

    微信：876679910 微信公众号：seoseeinfo

    SEO观察，每天分享优质电子书：http:www.seosee.info草船借箭可有其事？

    如同自行车的发明使得人们扩大了交流范围，弓箭的发明也拓宽了

    人们的活动范围。有了弓箭，人类便可走出山洞，离开茂密的森林，来

    到广阔的丘陵或平原安家。弓箭不但能增强人们的安全防御能力，也能

    帮助他们获取更多猎物，为人类的繁衍生息创造良好的物质条件。

    古人在制作弓箭

    弓箭诞生于约3万年前的旧石器时代晚期，它是冷兵器时代最可怕

    的致命武器。弓箭由弓和箭两部分组成，其中弓由有弹性的臂和有韧性

    的弦构成；箭包括箭头、箭杆和箭羽，箭头为铜或铁制，杆为竹或木

    质，羽为雕或鹰的羽毛。射手拉弓时，手指上还有保护工具。

    恩格斯说过，“弓、弦、箭已经是很复杂的工具，发明这些工具需要有长期积累的经验和较为发达的智力”。弓箭的发明或许与音乐的起

    源有某种关系，20世纪英国科学史家J. D. 贝尔纳(J. D. Bernal)认

    为，“弓弦弹出的汪汪粗音可能是弦乐器的起源”。

    在《诗经·小雅》里有一首诗写“角弓”，即弓箭。这首诗劝告周王

    不要疏远兄弟亲戚而亲近小人，以为民众做出表率。首章4句是：“骍骍

    角弓，翩其反矣。兄弟昏姻，无胥远矣。”骍骍指弦和弓调和的样子，翩是弯曲，昏姻即婚姻或姻亲，意为“把角弓调和绷紧弦，弦松弛的话

    会转向。兄弟姻亲是一家人，相互亲爱可别疏远”。

    中国古代神话里有“后羿射日”的故事。在古典小说里，一方面有许

    多神箭手，例如吕布辕门射戟，薛仁贵三箭定天下，养由基百步穿杨，等等。另一方面，打不赢就放箭的例子也比比皆是，清代如莲居士的传

    奇小说《说唐》里的罗成虽武艺高强，最终却陷于淤泥并死于乱箭。

    一般士兵的射术可没有神箭手那么精准。假设他们单次射中目标的

    概率为0.1，没射中的概率就是0.9，连续两次射不中的概率为0.9×0.9 =

    0.81。依此类推，100次都射不中的概率为0.9100 ≈0.000 03，那么至少射

    中一次的概率为

    1 – 0.000 03 = 99.997%

    即便要求至少射中目标三次，概率仍高达98.41%。由此可见，与其

    费力去找神箭手，不如让100个士兵乱箭齐发效果更好。在罗贯中的历

    史小说《三国演义》里，长坂坡(今湖北荆门)一役成就了赵子龙的传

    奇，其实曹操下令不许放箭可能也起到了不可或缺的作用。

    再来看诸葛亮草船借箭，传说是取到10万支箭。依据罗贯中在书中

    的描述，当时江上大雾弥漫，士兵放箭基本是闻声寻的，命中概率估计

    不到0.1，中间还要调转船身，用另一面接箭，自然会射空。即便射中

    微信：876679910 微信公众号：seoseeinfo

    SEO观察，每天分享优质电子书：http:www.seosee.info概率不变，也至少要射100万支箭，而当时曹操的弓箭手仅1万名，每人

    需射100支。专家分析这不太可能，因为古时一个箭壶一般只装箭20~30

    支。

    高斯的正态分布曲线

    生活中偶有小概率事件发生。例如，据有关方面统计，飞机失事的

    概率约为300万分之一。这个概率听起来很小，但每天都有无数乘客搭

    乘飞机，全世界的航班累计数量也是惊人的，因此我们偶尔会听到飞机

    失事的消息。即便如此，人们仍会选择飞机出行。

    再来看一个例子，2010年南非世界杯期间，生于英国养于德国

    的“章鱼帝保罗”成为耀眼的明星。保罗8次预测，全部猜对比赛结果，尤其是西班牙战胜荷兰的那场决赛更让全世界球迷为之瞩目。假如没有

    人为操纵，保罗猜对一次的概率为0.5，连续8次猜对的概率为0.003 9。

    那么我们只能说，小概率事件又一次发生了。

    在统计学中，样本的选取也存在小概率事件。例如，从一个装有红

    球和蓝球的缸中随机取出球来，哪怕缸中的球多数是红球，取出的样本

    也有可能是蓝球占多数，由此得出错误的结论：缸中的球多数是蓝色

    的。鉴于此，统计学家想了一个办法，来提高由样本推断总体特征的能

    力。

    假设有一个装有非常多球的缸，其中红球、蓝球的比例为P∶(1

    –P)，P(P≤1)是某个未知的比例。一次从缸中抽出5个球，这是一个样

    本。设p是所有样本(每个样本均含5个球)中红球比蓝球多(即至少有

    3个红球)的样本所占比例(p≤1)。根据概率论，可得P和p的关系如下：这就说明，当缸中红球比例为0.1时，在抽取的样本中红球占多数

    的样本比例是很小的。确切地说，在100个样本中可能只有一个样本是

    这样的。

    如果只是加减和方幂运算，统计学恐怕成不了一门学科，更无法成

    为与数学并列的一级学科(概率论是数学下面的二级学科)。幸好，统

    计学里有高斯的正态分布理论。19世纪下半叶，英国统计学家高尔顿

    (F. Galton)和皮尔逊(K. Pearson)在研究父母身高与子女身高之间的

    遗传关系时，发现了向平均数回归的现象，即身高不会两极分化。

    高尔顿还做了著名的钉板实验，他在一块平整的木板上均匀放置了

    20排钉子，下一排的每颗钉子恰好处于上一排两个钉子的中间位置。然

    后他让一个小圆球从最上一层中间的钉子处滚下，碰到钉子后向左或向

    右滚落的概率各为0.5。由于钉子的间距正好略大于小圆球的直径，小

    圆球会再次撞击钉子并向左右滚落，概率同样为0.5。

    微信：876679910 微信公众号：seoseeinfo

    SEO观察，每天分享优质电子书：http:www.seosee.info高尔顿钉板实验和高斯正态分布曲线

    高尔顿观察到，小圆球虽然一路碰撞滚落底部，但却没有太过偏离

    中心位置。大多数小圆球都集结在底部中心位置，越往两边数量越少。

    最后，堆积的小圆球形成一个钟形曲线，这正是由法裔英国数学家棣莫

    弗(A. De Moivre)于1733年提出，后以德国数学家高斯(他首先将其

    应用于天文学研究)的名字命名的正态分布曲线：

    如果考虑滚落在中间6个钉距之间的小圆球，则其概率为上述函数

    在区间[–3, 3]上的定积分，大约是99.73%。

    莎士比亚的诗文和忌日

    威廉·莎士比亚(W. Shakespeare)是英国大文豪，也被视为有史以来最伟大的文学家之一。1985年秋天，有位莎翁研究专家在牛津大学博

    德利图书馆里发现了一首写在纸片上的九节诗。这张纸片已被收藏近

    200年，它上面的诗歌是莎翁写的吗？

    莎士比亚之墓。作者摄

    两年以后，两位统计学家对这首诗做了研究，并与莎士比亚的写作

    风格进行对比，结果发现它们惊人的一致。已知莎翁诗文著作中用词总

    量为884 647个，其中31 534个是不同的，它们出现的频率如下：

    由此可见，莎翁喜欢用新词，他使用一次就舍弃的词高达45.6%，微信：876679910 微信公众号：seoseeinfo

    SEO观察，每天分享优质电子书：http:www.seosee.info仅用两次的词占13.8%。倘若对莎翁的部分作品做同样的统计，不同的

    词出现的频率会高一些。这首新诗中共有429个单词，有258个是不同

    的，观测值与基于莎翁写作风格的预测值相对接近。与此同时，统计学

    家也调查了与莎翁同时代的著名诗人约翰逊(S. Johnson)、马洛(C.

    Marlowe)和邓恩(J. Donne)的写作风格，发现他们的预测值与这首诗

    的观测值存在统计学上的显著性差异。

    在此以后，莎士比亚的另外三部著作《罗密欧与朱丽叶》、《托马

    斯·莫尔爵士》和《爱德华三世》也是用同样的方法加以验证的。因为

    《罗密欧与朱丽叶》写的是意大利上流社会，而莎翁出身英国平民，故

    而在过去的三个世纪里，包括狄更斯(C. Dickens)和马克·吐温(M.

    Twain)等在内的文学家都曾怀疑它不是莎士比亚的作品。

    苏联作家肖洛霍夫(M. Sholokhov)的传世之作《静静的顿河》也

    曾遭受类似的质疑，这部小说让肖洛霍夫获得了1965年的诺贝尔文学

    奖。1974年，流亡在外的另一位苏联作家索尔仁尼琴(A.Solzhenitsyn，1970年诺贝尔奖得主)在巴黎公开提出质疑，他认为肖洛霍夫当时才20

    多岁，不可能写出有如此广度和深度的鸿篇巨制，而且书中的思想内容

    和艺术技巧也不均衡。

    这场争论一直持续到肖洛霍夫暮年，有人怀疑他抄袭了已故作家克

    留科夫(F. Kryukov)的作品。1984年，挪威奥斯陆大学的一位统计学

    家领导了一个小组，他们将肖洛霍夫不存在任何争议的作品、《静静的

    顿河》和克留科夫的作品分为三组，利用统计方法进行分析。

    第一，他们统计不同词汇占总词汇量的比例，三组分别为65.5%、64.6%、58.9%。第二，选择最常见的20个俄语单词，统计它们出现的频

    率，三组分别为22.8%、23.3%、26.2%。第三，统计出现不止一次的词汇所占比例，三组分别为80.9%、81.9%、76.9%。

    无论哪一类统计结果都显示，克留科夫的作品风格与《静静的顿

    河》之间存在着显著性差异，而肖洛霍夫更像《静静的顿河》的作者。

    在中国，古典小说《红楼梦》的作者也存在质疑，有红学家认为后40回

    与前80回在风格上有很大差异，因此怀疑是另外一个作者所写。假如用

    统计学方法，也许可以帮助鉴别。

    20世纪印度裔美国籍统计学家C. R. 劳(C. R. Rao)说过，“假如世

    上每件事情均不可预测地随机发生，那我们的生活将无法忍受。反之，假如每件事情都是确定的、完全可以预测的，那我们的生活又将十分无

    趣”。他还指出，“在终极的分析中，一切知识都是历史；在抽象的意义

    下，一切科学都是数学；在理性的世界里，所有的判断都是统计学”。

    最后，我们再来说说莎士比亚。他的生日与忌日同为4月23日，这

    也是西班牙语世界最伟大的作家、《堂·吉诃德》的作者塞万提斯

    (Cervantes)的忌日，他们在1616年的同一天去世。中国历史上最负盛

    名的戏剧家之一汤显祖也在这一年去世。这个概率实在太小了，小到我

    们无法估测，甚至完全可以忽略不计。

    微信：876679910 微信公众号：seoseeinfo

    SEO观察，每天分享优质电子书：http:www.seosee.info恩尼格玛，从戚继光到图灵

    在人类战争史上，从来没有一次像这样，以如此少的兵力，取

    得如此大的成功，保护如此多的民众。

    ——[英]温斯顿·丘吉尔

    伯罗奔尼撒战争

    伯罗奔尼撒战争是指以雅典为首的提洛同盟与以斯巴达为首的伯罗

    奔尼撒联盟之间的一场战争，起因是雅典的称霸野心和斯巴达的坚毅、倔强。这场战争从公元前431年一直持续到公元前404年，周边的绝大多

    数城邦都不得不加入其中一方的阵营。起初，双方互有胜负，战事一度

    陷入僵局。

    有一回，雅典一方曾在一场海战中取得重大胜利，本有机会结束战

    争，但由于他们提出的要求过于苛刻，以致错失了达成和平协定的时

    机。战火继续燃烧，甚至一度蔓延到遥远的西西里岛。终于，在波斯帝

    国的支持下，斯巴达人反戈一击，重创了强大的雅典海军。

    公元前405年，伯罗奔尼撒战争已接近尾声。斯巴达军队逐渐占据

    了优势，准备对雅典发起最后一击。然而，原本站在斯巴达一边的波斯

    人突然改变态度，停止了对斯巴达的援助，并意图使雅典和斯巴达在持

    微信：876679910 微信公众号：seoseeinfo

    SEO观察，每天分享优质电子书：http:www.seosee.info续的战争中两败俱伤，以便从中坐收渔利。

    在这种情况下，斯巴达急需摸清波斯军队的具体行动计划，以便采

    取新的战略举措。其时波斯帝国的阿契美尼德王朝已处于衰落期，斯巴

    达军队又恰巧俘获了一名从波斯军营去雅典送情报的间谍。斯巴达士兵

    仔细搜查了这名间谍，可是除了他身上那条布满杂乱无章的希腊字母的

    腰带以外，别无所获。

    情报究竟藏在什么地方呢？斯巴达军队的统帅莱桑德把注意力集中

    到那条腰带上，认为情报应该就藏在那堆无序的字母当中。他反复摆弄

    那条腰带，把上面的字母用各种方法重新排列组合，但一筹莫展。就在

    莱桑德几乎失去信心的时候，奇迹出现了。

    德加名画《年轻的斯巴达人的操练》

    原来，莱桑德无意中把那条腰带以螺旋形缠绕在他手中的剑鞘上，竟然组成了一段完整的文字。这是雅典间谍企图送回去的一份情报，它告诉雅典人，波斯军队准备在斯巴达军队发起最后攻击时，从背后袭击

    斯巴达人。

    根据这份情报，斯巴达军队及时改变了作战计划，他们以迅雷不及

    掩耳之势袭击了毫无防备的波斯军队，并一举将其击溃，解除了后顾之

    忧。随后，斯巴达人挥师征伐雅典，终于取得了这场长达27年的战争的

    胜利。

    雅典间谍身上的那条腰带，可能是世界上最早的密码情报。具体操

    作方法是，通信双方事先约定好密码解读规则，然后其中一方将腰带缠

    绕在约定长度和粗细的木棍上书写。另一方拿到情报以后，必须把腰带

    缠绕在同等长度和粗细的木棍上，才能读取到情报。

    这种密码通信方式后来在希腊广为流传，据说近代的加密电报便是

    受它启发而发明的。伯罗奔尼撒战争不仅对希腊文明有重要意义，对历

    史学本身也有重要意义，古希腊历史学家修昔底德(Thucydides)在

    《伯罗奔尼撒战争史》中予以详细记载，他对这场战争的原因和背景的

    分析在史学界起到了先驱和表率作用。可惜公元前411年冬天他猝然离

    世，后面半个世纪的历史则由苏格拉底(Socrates)的弟子色诺芬

    (Xenophon)接棒完成。

    汉语拼音的前身

    密码是一种用来混淆视听的技术，它将正常的可识别信息转变成无

    法识别的信息。当然，对一小部分人来说，这种无法识别的信息是可以

    通过加工转变成可识别信息的。严格来说，登录网站、电子邮箱、银行

    取款或开启保险箱时输入的“密码”只是“口令”，而不是真正的密码，因

    微信：876679910 微信公众号：seoseeinfo

    SEO观察，每天分享优质电子书：http:www.seosee.info为它并非原本意义上的“加密代码”。

    中国是世界上最早使用密码的国家之一。早在东汉末年，我们的先

    辈就发明了反切注音法，即用两个字为另一个字注音，取上字的声母和

    下字的韵母，“切”出另一个字的读音。这对于使用象形文字的民族来说

    无疑是一种创举，“反切码”就是在反切注音的基础上出现的。

    据说“反切码”的发明者是明代著名的抗倭将领、军事家戚继光，他

    也是一位诗人和书法家。戚继光专门编了两首诗词，作为“密码本”：一

    首是“柳边求气低，波他争日时。莺蒙语出喜，打掌与君知”；另一首

    是“春花香，秋山开，嘉宾欢歌须金杯，孤灯光辉烧银缸。之东郊，过

    西桥，鸡声催初天，奇梅歪遮沟”。

    这两首诗词包含了反切码的全部秘密，即取前一首诗前15个字的声

    母，依次分别编号1~15；取后一首词前36个字的韵母，依次分别编号

    1~36；再将字音的8种声调，也按顺序编号为1~8，便形成了完整的“反

    切码”系统。

    具体方法是：若收到的情报上密码有一串是5—25—2，对照声母歌

    编号5是“低”，对照韵母歌编号25是“西”，两字的声母和韵母合到一起

    就是di。其声调是2，便可切出“敌”字。为此戚继光专门编写了一本《八

    音字义便览》，作为训练情报人员、通信兵的教材。

    历史学家范文澜认为，用反切法来注字音，可能是当时一些儒生受

    梵文拼音字理的启示。他同时认为，这也是音韵学的开始。在此之前，中国人用的是直音，即用同音字来注音，这对许多字来说并不容易。值

    得一提的是，音韵学是训诂学的得力工具，后者是研究古代文字意义的

    学问，因为训释词义往往需要通过语音来理解和说明。

    语言学家周有光(20世纪50年代与吴玉章在我国制订和实施汉语拼音方案时起到了重要作用)称反切注音法是一种“心中切削焊接法”。可

    是，反切也有其局限性。例如，反切上下字可用的字过多，使用的人难

    以掌握；字又常常含有多余成分，在拼合时有一定障碍；有些窄韵[1]

    还

    需借用其他韵的字作为反切下字，造成切音不准确。

    到了明朝末年，一批有学识的西方传教士来中国传教，为了学习汉

    字，他们开始用拉丁字母给汉字注音。1605年，意大利传教士利玛窦在

    北京出版了《西字奇迹》，其中有4篇汉字文章加上了拉丁字母的注

    音。这是最早用拉丁字母给汉字注音的出版物，据说只有梵蒂冈图书馆

    才有此书藏本。

    1626年，法国传教士金尼阁(Nicolas Trigault)在杭州出版了《西

    儒耳目资》，这是第一本用拉丁字母给汉字注音的字汇表。注音所用方

    案是在利玛窦方案的基础上修订的，可以说这是中国最早的汉语拼音方

    案。金尼阁的故乡如今归属法国，但他生前自称比利时人，该地区当时

    是在西班牙的统治之下，属于历史上的佛兰德斯地区。

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    SEO观察，每天分享优质电子书：http:www.seosee.info穿道袍的金尼阁。鲁本斯作

    三年后，金尼阁在杭州逝世，葬于西湖区留下街道东岳村大方井，离寒舍仅数百米之遥。值得一提的是，与金尼阁同龄的佛兰德斯画家鲁

    本斯(P. P.Rubens，他的出生地位于今德国北莱茵–威斯特法伦州)为

    他画过一幅身着道袍的肖像，现藏于纽约大都会艺术博物馆。那应是鲁

    本斯在金尼阁回欧洲探亲期间画的，鲁本斯有一句话似乎就是说给金尼

    阁听的：我把世界的每一处地方都看成是自己的故乡。

    运筹学和恩尼格玛

    在现代战争中，密码学的作用更加明显。1940年5月，德军以闪电

    战击溃英法联军，英国军队从英吉利海峡的法国港口敦刻尔克狼狈撤离，史称“敦刻尔克大撤退”。当时，英国陆军已经战败，大量重型装备

    被丢弃，空军无论从数量、质量和飞行技术方面都大大落后于德军。

    德国空军司令格林甚至认为，只要派飞机飞过英吉利海峡狂轰滥炸

    一番，就能使英国屈服。于是，1940年7—10月，伦敦等城市几乎天天

    拉响空袭警报，美国电影《魂断蓝桥》讲述的就是那段经历。空战结果

    出人意料，德军损失了1 733架飞机，而英军只损失915架飞机，希特勒

    不得不放弃征服英国的计划。

    究竟是什么决定了那场战争的胜负呢？一般认为，胜利的一方凭借

    的是士兵的勇敢无畏、统帅的英明果断、武器的精良、国力的雄厚或人

    心所向，等等。但是，“一战”时期的飞行员、“二战”时期的英国情报官

    员、曾获大英帝国勋章和美国荣誉勋章的英国人温特博瑟姆(F. W.

    Winterbotham)却把“二战”盟军的胜利归因于“科学的拯救”。

    首先，应用数学的重要分支——运筹学便诞生于“二战”战场上。那

    时英国人刚刚发明雷达，在性能指标上逊色于德国雷达。于是，英军成

    立了以数学家为骨干的运筹学小组，研究雷达的最佳配置和高射炮的射

    击范围，结果从每200发击落一架敌机改良至每20发击落一架敌机。之

    后，美国、加拿大也相继成立运筹学小组，到“二战”结束时共有700多

    名研究人员。

    此外，更重要的一方面，便是密码战线的斗争。1918年，德国电气

    工程师谢尔比乌斯(A. Scherbius)为他发明的“谜语机”(Enigma，本义

    为“谜”，音译为恩尼格玛)申请了专利。这是世界上第一台电气装置的

    密码机，其形状如同一台打印机，拥有26个字母的键盘，但却没有标点

    符号。

    此外，谜语机还有由26个字母组成的字母板和正反转轮。字母可以

    微信：876679910 微信公众号：seoseeinfo

    SEO观察，每天分享优质电子书：http:www.seosee.info通过转轮以规律的方式改变，从而产生加密效果。除了基础的加密过程

    之外，每个字母板下面都有插口，可以用一根电线把任何两个插口相

    连，比如A插口和Z插口，字母A通过转轮变成字母Z。对方收到后，又

    通过反转轮将字母Z变回字母A。德国人的“谜语机”

    微信：876679910 微信公众号：seoseeinfo

    SEO观察，每天分享优质电子书：http:www.seosee.info一般来说，使用者每次要连接6对字母的插口。不难计算，从26个

    字母中选取6对的方法有

    再考虑转轮的排列和位置的不同选择，得到的将是一个天文数字，任何人工和统计方法都无能为力。希特勒亲自了解并观看了“谜语机”的

    演示之后，深信它是不可破解的，因此下令在全军安装，但他却低估了

    数学的力量和数学家的智慧。

    雷耶夫斯基与图灵

    在“二战”以前，破译密码似乎不需要数学知识，许多国家都请语言

    分析专家、纵横字谜高手或国际象棋冠军来帮忙，却很少会想到数学

    家。但波兰例外，这个国家因为左右邻国——德国和苏联的存在及威

    胁，警惕性一直比较高。而且，“一战”结束后不久，波兰著名数学家席

    宾斯基(W. Sierpínski，以他名字命名的三角形是分形理论中的重要例

    子)曾帮助波兰军情局密码处破译过苏联的密码。

    1928年，波兰军队发现德军开始使用一种全新的密码，他们根本无

    法破译，便焦虑起来。1929年年初，波兰西部波兹南大学数学系的一群

    大学生和研究生被要求宣誓保密以后，开始学习密码学课程。波兹南邻

    接德国，那里的人都会讲德语。

    这些学生每周两晚学习密码学，几个星期以后有的人便能破解各种

    旧式密码了，而破解能力差的人则被淘汰。最后，只剩下三位最优秀的学生，他们是雷耶夫斯基(W. Rejewski)、齐加尔斯基(H.Zygalski)

    和鲁日茨基(J. Rózycki)。正是他们三位破解了德军的“谜语机”，其中

    雷耶夫斯基厥功至伟。

    雷耶夫斯基像

    雷耶夫斯基从波兹南大学获得硕士学位后，又去德国哥廷根大学进

    修了一年，然后回到母校做起了老师。1932年，他和两位同道加入了密

    码处，第二年年初便取得了突破。雷耶夫斯基的解密法基于19世纪法国

    数学家伽罗华(évariste Galoìs)发明的置换群原理和特征值理论，他还

    证明了一条后来被称为“可以打赢世界大战”的置换群定理。

    可是，波兰人虽然破译了早期的“谜语机”，但他们却不能应对德国

    人后来采取的一系列改进措施，更由于国力的差距，最终无法逃脱亡国

    的命运。幸好，他们及时把关键技术和设备交给了英法两国。然而，波

    兰沦陷不到一年，法国就被德国的闪电战击败。于是，继续破解“谜语

    机”以争取反法西斯战争胜利的重任，就落到了隔海相望的英国人肩

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    SEO观察，每天分享优质电子书：http:www.seosee.info上。

    图灵

    比雷耶夫斯基年轻7岁的图灵(A.Turing)出生在伦敦，双亲曾在英

    国的殖民地——印度马德拉斯(今名金奈)工作。1935年，他以优异的

    成绩毕业于剑桥大学国王学院，留校成为一名教师。第二年他提出

    了“通用计算机”的概念，后来被称作“图灵机”且沿用至今。1938年，他

    在美国普林斯顿大学取得数学博士学位，谢绝了做匈牙利人冯·诺依曼

    (J. von Neumann)助手的邀请，回国进入伦敦的“密码学校”。

    雷耶夫斯基发现“谜语机”的一个缺陷是，在字母A加密成Q之后，Q

    也必然会加密成A，由此证明了置换群定理。图灵则发现了“谜语机”的

    另一个缺陷，就是字母A无法加密成A本身，他利用德国人行文的刻板

    风格和密码机操作上的漏洞(两段分开发送的文字之间的连接语的重

    复)，大大简化了密码破译工作。因为这个发现，1940年3月，英军制造出第一台破译“谜语机”的电

    气机械装置“炸弹机”(bombe)。第二年这种机器的数量增加到14台，1945年更是达到211台，操作人员近2 000名。据后来解密的文件，“炸弹

    机”破译了德军90%以上的“谜语机”情报，为赢得“二战”胜利做出了极其

    重要的贡献。

    举一个例子，驻扎北非的隆美尔是希特勒手下的一员大将，足智多

    谋、英勇善战，被誉为“沙漠之狐”。然而，“炸弹机”问世之后，盟军每

    每破译他与德军总部的电报往来，总能摧毁他的补给和运输部队。得知

    隆美尔弹尽粮绝的处境后，英军统帅蒙哥马利发动了“阿拉曼战役”，一

    举将隆美尔击败。

    随后，在大西洋海战、诺曼底登陆战役，甚至是美日间的中途岛海

    战(美军摧毁日军4艘航母)中，“炸弹机”也发挥了重要作用。1943年4

    月17日，美国海军截获日军密电，得知日本联合舰队司令、海军上将山

    本五十六将去前线视察(此人曾精心策划珍珠港事件)。第二天上午，美军飞机在所罗门群岛拦截并击落了有6架战机护航的山本座机。这为

    世界反法西斯战争的最后胜利，奠定了坚实的基础。

    在空战取得胜利之后，英国首相丘吉尔曾在下议院发表演讲。他赞

    叹道：“在人类战争史上，从来没有一次像这样，以如此少的兵力，取

    得如此大的成功，保护如此多的民众。”这番话既是对空军飞行员的表

    扬，也是对破译密码的情报人员的褒奖。

    当然，数学方法除了可用来破译密码以外，还可以设置密码。1977

    年，麻省理工学院的三位年轻人利用欧拉定理和秦九韶的大衍求一术，提出了著名的RSA(三位年轻人英文姓氏的首字母)公开密钥密码体

    系。从那以后，数学便真的与密码学难解难分了。

    微信：876679910 微信公众号：seoseeinfo

    SEO观察，每天分享优质电子书：http:www.seosee.info[1] 窄韵指诗韵中字数较少的韵部，与宽韵相对。——编者注乙辑

    数学家的故事

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    SEO观察，每天分享优质电子书：http:www.seosee.info第一个留名的泰勒斯

    不懂几何学的人请勿入内。

    ——[古希腊]柏拉图

    米利都的泰勒斯

    在人类文明史上不乏接踵而至的巧合。例如，1616年4月23日，英

    语世界最伟大的作家莎士比亚和西班牙语世界最伟大的作家塞万提斯同

    日辞世，这个日子后来成为“世界读书日”。1642年，意大利最伟大的科

    学家伽利略(Galileo)去世，同年英国最伟大的科学家牛顿(Newton)

    出生。更早些时候，古希腊的数学家和哲学家人才辈出，就如同文艺复

    兴时期意大利的作家和艺术家层出不穷一样。

    微信：876679910 微信公众号：seoseeinfo

    SEO观察，每天分享优质电子书：http:www.seosee.info米利都的泰勒斯像

    1266年，即大诗人但丁(Dante)降生佛罗伦萨的第二年，这座城

    市又诞生了那个世纪最杰出的艺术家乔托(Giotto)。意大利人一般认

    为，艺术史上最伟大的时代，就是从他开始的。而按照英国艺术史家贡

    布里奇爵士(Sir E. H. Gombrich)的说法，在乔托以前，人们看待艺术

    家就像看待一个出色的木匠或裁缝一样，他们甚至经常不在自己的作品

    上署名；而在乔托以后，艺术史就成了艺术家的历史。

    相比之下，数学家则幸运得多，第一个留名后世的数学家是古希腊

    的泰勒斯(Thales)，他生活的年代比乔托早18个世纪。泰勒斯出生在

    小亚细亚的米利都城(今土耳其亚洲部分西海岸门德雷斯河口附近)，其时它是希腊在东方最大的城市，周围的居民大多是爱奥尼亚移民，因

    此，那个地区也被称作爱奥尼亚。

    在米利都城，商人统治代替了氏族贵族政治，因而思想较为自由和

    开放，产生了多位文学艺术和人文领域的著名人物，相传诗人荷马(Homer)和历史学家希罗多德(Herodotus)也来自爱奥尼亚。据说泰

    勒斯早年经商，曾游历埃及和巴比伦，并趁机学会和掌握了数学、天文

    学知识，他后来涉足的研究领域除了这两个以外，还有物理学、工程学

    和哲学。

    泰勒斯创立了米利都学派，企图摆脱宗教，透过自然现象去寻求真

    理。他认为处处有生命和运动，并以水为万物的本源。说到这里，我们

    讲述一则与水有关的逸事。青年时期泰勒斯趁从商之机，广泛接触社

    会。一次，他用骡子运盐，一头骡子滑倒在溪流中，盐溶解了一部分。

    这头骡子顿时感觉负担减轻了许多，于是它每过一次溪流就打一个滚

    儿。泰勒斯为了改变它的恶习，便让它驮上海绵。海绵吸水之后，重量

    倍增，从此这头骡子再也不敢故伎重施了。

    在数学方面，泰勒斯在埃及时曾利用日影和杆高的比例关系算出金

    字塔的高度。有一则广为传颂的故事：在一个艳阳天，泰勒斯在地上垂

    直插了一根杆子。等到杆子的影子与杆子的高度等长时，他测量了金字

    塔影子的长度，此长度即为金字塔的高度。不过，由于金字塔的底部较

    大，不是一个点，故而只在特殊的日光角度下才能测准。这个故事的升

    级版是，泰勒斯在金字塔影子的端点竖立一根杆子，借助太阳光的投

    影，构成两个相似三角形，塔高与杆高之比等于两者影长之比。

    名家眼里的泰勒斯

    虽说泰勒斯青史留名，但有关他的生平我们却知之甚少。幸运的

    是，有几位后世哲学家和作家的著作，提到了他的一些逸事，从中我们

    可以了解到他的为人和气质。或许，这是最早的数学故事。遗憾的是，微信：876679910 微信公众号：seoseeinfo

    SEO观察，每天分享优质电子书：http:www.seosee.info虽说中国古代也涌现了一些著名数学家，却没有形成这样的氛围，人文

    学者极少关心科学家的工作。少数的例外是，《庄子·杂篇天下》记载

    了名家惠子阐述的无穷概念，《周髀算经》也写到了周公与大夫商高谈

    论勾股数。

    关于泰勒斯，比他晚近三个世纪的哲学家亚里士多德讲过一则故

    事。有一次，泰勒斯依据他掌握的农业知识和气象资料，预见到第二年

    橄榄必将获得大丰收，于是筹资提前低价租借了该地区所有的榨油机。

    事情果然如他所料，榨油机供不应求，于是他高价出租，获得巨额财

    富。他这样做并不是想成为富翁，而是想回击有些人对他的讥讽：如果

    你真那么聪明，为什么没发财呢？同时他也告诫人们，知识胜于财富。

    柏拉图是亚里士多德的老师，既是哲学家，也是数学家，据说他的

    学园正门口写着“不懂几何学者请勿入内”，而学园的后门又写着“懂哲

    学者方可治国”。柏拉图在著作里记述了泰勒斯的另一桩逸事。有一

    次，泰勒斯仰观天象，不小心跌进了旁边的沟渠。附近一位长相秀美的

    女仆嘲笑他说：“近在足前您都看不见，怎么会知道天上的事情呢？”对

    此泰勒斯并未回应，倒是梭伦(Solon)的发问刺痛了他。

    据罗马帝国时代的希腊作家普鲁塔克(Plutarchus)记载(此时距

    离泰勒斯辞世已经过去6个多世纪了)，有一次，比泰勒斯年长14岁的

    雅典执政官梭伦来米利都探望泰勒斯。他们两人都属于“希腊七贤”，泰

    勒斯有一句格言是“过分稳健只会带来灾难”，而梭伦的格言则是“避免

    极端”。果然，两人的谈话起了微小的波澜，梭伦问泰勒斯为何还不结

    婚。

    泰勒斯可能是许许多多终身独居的智者中的第一人，当时他未予回

    答。几天以后，情感丰富、喜欢作诗和旅行的梭伦得到消息，有位不幸死于雅典的年轻人可能是他儿子，这令他悲痛欲绝。这时候泰勒斯笑着

    出现了，在告诉梭伦这个消息是虚构的以后，解释自己不愿娶妻生子的

    原因就是害怕面对失去亲人的痛苦。

    普鲁塔克的作品在文艺复兴时期很受欢迎，法国作家蒙田(M. de

    Montaigne)对他推崇备至，莎士比亚的不少剧作也取材于他的著作。

    每次记载以后，他还有评述。例如，针对泰勒斯的婚姻观，他这样写

    道，“如果由于害怕失掉就不去获得必需的东西，这既不合理，也不足

    贵……无论如何，我们决不可用贫穷来防止丧失财产，用离群索居来防

    止失掉朋友，用不育子嗣来防止儿女夭折。应该以理性来对付一切不

    幸。”

    多才多艺的泰勒斯

    亚里士多德的得意弟子欧德莫斯(Eudemus)被视为科学史上的第

    一位数学史家，编写有算术史、几何史和天文学史方面的著作，他还与

    人合编过恩师亚里士多德的全集。欧德莫斯在书中写道，“……(泰勒

    斯)将几何学研究(从埃及)引入希腊，他本人发现了许多命题，并指

    导学生研究那些可以推导出其他命题的基本原理。”

    基于柏拉图的一位门徒的记载，我们知道泰勒斯证明了包括泰勒斯

    定理在内的平面几何中的5个定理。另外4个定理分别是：直径将圆分成

    两个相等的部分；等腰三角形的两个底角相等；两条相交直线形成的对

    顶角相等；如果两个三角形有两角、一边对应相等，那么这两个三角形

    全等。

    不仅如此，泰勒斯还引入了命题证明的方法，即借助一些公理和真

    微信：876679910 微信公众号：seoseeinfo

    SEO观察，每天分享优质电子书：http:www.seosee.info实性已经得到确认的命题来论证其他命题。虽然没有原始文献可以证实

    泰勒斯取得了所有这些成就，但以上记载流传至今，使他获得了历史上

    第一个数学家和论证几何学鼻祖的美名，“泰勒斯定理”自然也就成了数

    学史上第一个以数学家的名字命名的定理。

    在数学领域以外，泰勒斯也成就非凡。他有一句名言：“水是最好

    的。”他认为，阳光蒸发水分，雾气从水面上升形成云，云又转化为

    雨，因此断言水是万物的本质。虽然此观点后来被证明是错误的，但他

    敢于揭露大自然的本来面目，并建立起自己的思想体系(他还认定地球

    是个圆盘，漂浮在水面上)，因此被公认为古希腊哲学的鼻祖。

    在物理学方面，琥珀摩擦产生静电的发现也归功于泰勒斯。在柏拉

    图出生的两年前去世，有着“历史之父”美誉的希罗多德声称，泰勒斯曾

    准确地预测出一次日食。欧德莫斯则相信，泰勒斯已经知道按春分、夏

    至、秋分和冬至来划分的四季是不等长的。

    希罗多德的代表作《历史》是西方第一部完好地流传下来的散文作

    品，因此他也被视为西方文学的奠基人、人文主义的杰出代表。书中记

    叙了泰勒斯对一次日食的预测，当时在米底和吕底亚之间有一场战争，连续5年未见胜负，造成生灵涂炭、横尸遍野。泰勒斯预测到将有日食

    发生，便宣称上苍反对战争，必用日食警告。结果两军酣战之际，白昼

    顿成黑夜，将士因而十分惊恐，他们想起泰勒斯的预言，于是停战和

    好。《历史》的拉丁文版(1494，威尼斯)

    泰勒斯平常言谈幽默，而且富有哲理。他对于“怎样过正直的生

    活？”这个问题的回答是：“不要做你讨厌别人做的事情。”这与《论语·

    颜渊》中的“己所不欲，勿施于人”有异曲同工之妙。当有人问“你见过

    的最奇怪的事情是什么？”时，泰勒斯的回答是“长寿的暴君”。“当你做

    出一个发现时，想得到些什么？”从未获得任何奖赏的他答道：“当你在

    告诉别人时，不说这是你的发现，而说它是我的发现，这就是对我的最

    高奖赏。”

    微信：876679910 微信公众号：seoseeinfo

    SEO观察，每天分享优质电子书：http:www.seosee.info畴人之家出身的祖冲之

    割之弥细，所失弥少……

    ——[魏晋]刘徽

    阮元编纂《畴人传》

    1795年对中国数学和数学史来说，都是个有意义的年份，被誉

    为“三朝阁老、九省疆臣、一代文宗”的扬州人阮元初到杭州就任浙江学

    政(相当于教育厅厅长)，即开始主持编纂《畴人传》。所谓“畴人”是

    指古代中国专门执掌天文历算之学的人，往往是父子世代相传为业。魏

    晋南北朝时期的祖冲之和他的儿子祖暅，就是其中的典范。

    在古代中国，数学虽曾在周朝被列入儒家必习之“六艺”，后来却渐

    渐被统治者所忽视。在他们看来，数学是九九贱技，会“玩物丧志”。

    《新唐书》称，“凡推步、卜相、医巧，皆技也，小人能之”。此处“推

    步”即推算天象历法，无疑包括了数学。古代中国科技虽也有辉煌的成

    就，但与儒家经典的研究相比较，实在是微乎其微。

    微信：876679910 微信公众号：seoseeinfo

    SEO观察，每天分享优质电子书：http:www.seosee.info阮元像

    虽说宋代出现了秦九韶、朱世杰等数学名家，但元、明两代却没有

    算学馆，国子监的学生也不知宋代数学研究的成果为何物。到了明末，因为历法的需要，数学才又开始活跃起来。清朝，康熙晚年复设算学

    馆；乾隆则接受大臣的建议，将一些失散已久的数学著作收录进《四库

    全书》。一时间，掌握天文、数学知识，也成为学者的进身之阶。

    正是在前辈同道的精神和时事引导之下，阮元将数学升格为儒家

    的“实事求是”之学。一方面，他以此作为评判通才的标准；另一方面，他已经领悟到了数学的实用性。阮元还提出“算造根本，当凭实测”，从

    而赋予数学以经学研究的方法论意义。在苏州人李锐和台州人周治平的

    协助下，阮元主持编纂了《畴人传》，旨在将包括数学和天文学的自然

    科学纳入儒学。在他出任浙江巡抚后，又创办了诂经精舍并率先开设天

    文、算学课程。

    《畴人传》初版共46卷，包括316位传主，既有商高、荣方、陈子、孙子、张苍、司马迁、耿寿昌、刘向、王充、张衡、蔡邕、郑玄、赵爽、刘徽、葛洪、何承天、祖冲之、祖暅、王孝通、李淳风、一行、沈括、苏颂、秦九韶、杨辉、李冶、郭守敬、刘基、朱载堉、程大位、徐光启、薛凤祚、黄宗羲、梅文鼎等275位同胞科学家，也有欧几里

    得、阿基米德、托勒密、希帕恰斯、哥白尼、第谷、利玛窦、汤若望等

    41位外国科学家作为附录。

    值得一提的是，在东汉大儒郑玄的小传里，有“然则治经之士，固

    不可不知数学矣”这样的评论，这或许是我国最早谈论文理交融重要性

    的言论。郑玄是山东高密人，祖上务农，他天资聪颖，从小习书数之

    学，除了儒家“五经”，八九岁时便精通四则运算，后又研习《三统历》

    和《九章算术》。郑玄编注儒家经典，是汉代经学的集大成者，世

    称“郑学”。

    《畴人传》的出版使得中国开始有了系统记载天文、数学方面的科

    技人物和创造发明的书籍，此书为中外科学史家所瞩目，民国时清人列

    传收入《清史稿》。英国著名科学史家李约瑟博士在《中国科学技术

    史》中称《畴人传》为“中国前所未有的科学史研究”，并称赞阮元

    是“精确的科学史家”。在杭州，为纪念阮元多方面的杰出成就和贡献，也有了“西湖三岛”之一的阮公墩。

    祖冲之与圆周率

    祖冲之祖籍河北涞水(今属河北保定)，与北京市的门头沟区和房

    山区相接。他出生于南北朝时期南朝的政治、经济中心建康(今江苏南

    京)，在我看来，这是比较稀罕的，大都市不容易产生天才人物。自从

    微信：876679910 微信公众号：seoseeinfo

    SEO观察，每天分享优质电子书：http:www.seosee.info晋室(东晋)南迁以来，江南地区的经济迅速发展，出现了一些繁荣的

    城市，建康是其中较为突出的代表。

    祖冲之像

    祖家是一个官宦人家，祖冲之的曾祖父在东晋时官至侍中、光禄大

    夫，类似于宰相和国策顾问。他的祖父和父亲都在南朝做官，祖父是大

    匠卿，掌管宫室、宗庙、陵寝等的土木营建；父亲是奉朝请，这是闲散

    大官。古时称春季的朝见为朝，称秋季的朝见为请。这个家族的历代成

    员，大多对天文历法颇有研究。

    相比之下，祖冲之担任过的官职虽然较低，但却在天文学和数学领

    域，乃至机械制造方面都取得了突出的成就。在刘宋时期，他曾担任南

    徐州(今江苏镇江)的从事史，这是督促文书、察举非法的官职。他也

    做过娄县(今江苏苏州昆山)县令，还有掌朝廷礼仪与传达使命的谒者仆射。到了萧齐王朝，他曾官至长水校尉，这是祖冲之一生担任的最高

    官职(四品)。

    从青年时代开始，祖冲之便对数学和天文学怀有浓厚的兴趣，他曾

    在著作中自述，自幼时起“专功数术，搜炼古今”。祖冲之把从上古时期

    起至他生活年代的各种文献资料都搜罗来研究，同时亲自进行精密的测

    量和仔细的推算，不把自己束缚在古人陈腐的思想中。可以说，祖冲之

    批判地接受了前人的学术遗产，并勇于提出自己的新见解，这是古往今

    来一切杰出科学家共有的优良品质。

    在数学领域，祖冲之师承的是比他早200多年的魏晋时期的刘徽，后者发明了计算圆周率的“割圆术”和计算球体积的方法。由圆面积计算

    公式S=πr2可知，只要求得圆的面积(S)，再除以半径的平方(r2)，即为圆周率(π)。关于如何求圆面积，刘徽在《九章算术》的注释里

    这样写道：

    割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无

    所失矣。

    刘徽从圆内接正六边形开始计算面积，依次将边数加倍，求出内接

    正十二边形、正二十四边形、正四十八边形等的面积。随着边数的增

    加，内接正多边形的面积越来越接近圆的面积，圆面积和圆周率的精确

    度就越高。

    微信：876679910 微信公众号：seoseeinfo

    SEO观察，每天分享优质电子书：http:www.seosee.info刘徽的割圆术

    在古代，包括中国和巴比伦在内的一些民族，都把3作为圆周率。

    在这方面，古埃及人的计算较为准确，他们得到的圆周率为3.1。刘徽

    用他的割圆术，求得圆周率为3.14，这与古希腊数学家阿基米德算得的

    圆周率是一致的，不过后者比刘徽要早6个世纪。学界普遍推测刘徽也

    算出了3.141 6，但未有直接的证据。

    祖冲之算出的圆周率π的范围为

    3.141 592 6 < π<3.141 592 7

    即精确到小数点后7位。此外，他还得到了被称为密率的 这个

    分数形式的圆周率，虽然只精确到小数点后6位，却同样令人惊叹。直

    到962年以后，祖冲之的圆周率才被阿拉伯数学家卡西改进。卡西利用

    余弦函数的半角公式简化了计算，将圆周率精确到小数点后17位。而德

    国人奥托(V. Otho)求得密率，则比祖冲之晚了1 000多年。

    祖冲之的这些成就是如何取得的？没有任何相关史料留下来，祖冲

    之的著作全部失传了，记载圆周率值的《隋书》也没有具体交代。由于当时只有刘徽的割圆术这一种方法，因此我们只能猜测祖冲之用的是割

    圆术。那样的话，他需要算出圆内接正24 576边形的面积。而密率(有

    日本学者建议称之为“祖率”)的求得，恐怕是借助了前辈天文学家何承

    天发明的“调日法”。

    球体积与大明历

    相比圆的面积，球(古人称之为“立圆”)体积的计算公式更富技

    巧。在中国古典数学名著《九章算术》里，是按照以下比例公式来求球

    体积的：

    显而易见，正方形面积、圆面积和圆柱体面积这三项数值是比较容

    易求得的。

    祖冲之知道这个公式有误，他在为《大明历》所写的驳议中写

    道，“至若立圆旧误，张衡述而弗改……此则算氏剧疵也……臣昔以暇

    日，撰正众谬”。可见球体积计算也是祖冲之的工作之一，但是，400年

    后唐代学者李淳风却在为《九章算术》所写的注文中，将它作为“祖暅

    开立圆术”加以引述。无论如何，我们可以将它看成是祖氏父子共同的

    研究成果。

    说起来，祖冲之父子的这一成就，也是在刘徽的研究成果的基础上

    取得的。刘徽首先发现上述比例公式的错误，并提出“牟合方盖”的新概

    微信：876679910 微信公众号：seoseeinfo

    SEO观察，每天分享优质电子书：http:www.seosee.info念，它指垂直相交的两个同样直径的圆柱体的共同部分。在上述比例公

    式中，刘徽用牟合方盖体积来代替圆柱体体积，即

    这个思想和方法是正确的，但可惜的是，刘徽本人求不出牟合方盖

    的体积。而这一步是由祖氏父子完成的，他们求得球体积公式为 。但

    遗憾的是，这个公式早在公元前3世纪就有了，同样出自古希腊数学家

    阿基米德之手。

    除了数学领域，祖冲之在天文学方面也有出色的成就。经过实际观

    察，他发现何承天编制的为当时刘宋王朝采纳的《元嘉历》有不少错

    误。例如，冬至时太阳所在宿度距实测已差三度，冬至、夏至时刻已差

    一天，五星(金、木、水、火、土)的出没时间更是相差40天。于是，祖冲之便动手编制了新的历法《大明历》，成为那个时代最准确的历

    法。

    462年，33岁的祖冲之上表孝武帝刘骏，请求对新的历法展开讨

    论。不料，却遭到皇帝宠幸的大臣戴法兴的反对。朝中百官惧怕戴的势

    力，多有所附和。祖冲之理直气壮，勇敢地进行了辩论，并写下了著名

    的驳议呈送皇帝。文中有他的两句名言，“愿闻显据，以核理实”，“浮

    辞虚贬，窃非所惧”。这场辩论反映了进步与保守、科学与反科学两种

    势力的斗争，这也是科学的每一次进步几乎都会遇到的。

    由于种种阻碍，直到半个世纪以后，经过了刘宋王朝和萧齐王朝，在梁朝天监九年(510)，在祖暅的坚决请求下，再经过实际天象的校验，《大明历》才终于以“甲子元历”之名正式颁行，那时祖冲之已去世

    10年了。这部历法引入了“岁差”的概念，把旧历中每19年闰7年改为每

    391年闰144年，使得一年的误差仅为50秒。直到宋代，才有更好的历法

    出现。

    指南车和千里船

    除了数学和天文学方面的工作以外，祖冲之还制造过各种奇巧的机

    械，包括指南车和千里船，他还通晓音律，堪称毕达哥拉斯式或阿基米

    德式的博学多才的科学人物。指南车的名称在我国由来已久，但其机制

    构造均未见流传。据说三国时期的大发明家马钧曾制造出指南车，但到

    晋朝时就已失传。

    马钧是陕西兴平人，不善言辞，还口吃，有点儿像16世纪给出三次

    方程一般解的意大利人塔尔塔利亚(N. Tartaglia)。除了指南车，他还

    奉诏制木偶百戏，民间称“水转百戏”；又改造了织绫机，将工效提高了

    四五倍。马钧也改良了用于农业灌溉的龙骨水车，以及由诸葛亮发明的

    军事机械连弩，后者是一种可以连续射箭的装置。

    微信：876679910 微信公众号：seoseeinfo

    SEO观察，每天分享优质电子书：http:www.seosee.info相传祖冲之建造的千里船

    据说东晋末年，南朝刘宋的开国皇帝刘裕攻入十六国时期后秦的首

    都长安，得到的许多器物中就有指南车，但“机数不精，虽曰指南，多

    不审正，回曲步骤，犹须人功正之”。南朝宋顺帝在位时，辅政的萧道

    成“使冲之追修古法。冲之改造铜机，圆转不穷而司方入如一，马钧以

    来未有也”。

    除了指南车，祖冲之还“以诸葛亮有木牛流马，乃造一器，不因风

    水，施机自运，不劳人力”，但因缺乏图像资料，我们无法想象这是何

    种机械。不过，祖冲之“又造千里船，于新亭江试之。日行八百里”。这

    显然是一种快船，却不知新亭江在何处，是否长江上的一段呢？他又“于乐游苑内造水碓磨，武帝(齐武帝)亲自临视”。

    祖冲之的成就不仅限于自然科学方面，他还精通乐理，对音律颇有

    研究。有史料记载，“冲之解钟律博塞当时独绝，莫能对者”。另外，祖

    冲之著有《易义》《老子义》《庄子义》《释论语》等哲学著作，可惜

    与他的数学著作一样均已失传。他的文学作品有《述异记》，在宋代的

    类书《太平御览》等古籍中，尚可看到此文的片段摘录。

    在祖冲之生活的年代，算盘尚未发明，人们使用一种叫算筹的计算

    工具，它是一根根几寸长的方形或扁形的小棍子，材质为竹、木、铁、玉等。计算数字的位数越多，所需要摆放的面积就越大，筹算每计算一

    次就要用笔记下结果，但这样就无法得到直观的图形和算式。因此只要

    有差错，就又要从头开始。祖冲之精益求精，反复筹算，才求得圆周率

    的精准数值。

    至于祖暅，他的生卒年代不详，只知他曾任太府卿，这是南朝设置

    的掌管金帛财帑的官职。受家庭尤其是父亲的影响，祖暅从小就对数学

    产生了浓厚的兴趣，祖冲之的《大明历》便是在祖暅三次建议的基础上

    完成的。祖冲之的名著、曾作为唐代数学教科书并流传朝鲜和日本的

    《缀术》经学者们考证，有些条目实为祖暅所作。至于球体积计算公

    式，应该是祖暅一生最具代表性的发现。

    纵观祖冲之父子的两项主要数学成就，因为阿基米德早已给出球体

    积计算公式，所以他们在圆周率方面的工作更为世人称道。但这类工作

    就像体育比赛的纪录一样，是为了被人打破而存在的。自从有了无穷级

    数表示法和计算机，圆周率的人为竞争便失去了意义。我认为，南宋数

    学家秦九韶的两项成就——中国剩余定理和秦九韶算法更有意义，也更

    重要。但圆周率的结论和故事无疑更易于被普通人了解，也更符合国人

    微信：876679910 微信公众号：seoseeinfo

    SEO观察，每天分享优质电子书：http:www.seosee.info的英雄想象。微信：876679910 微信公众号：seoseeinfo

    SEO观察，每天分享优质电子书：http:www.seosee.info会造桥和打仗的秦九韶

    他是他那个民族、他那个时代，也是所有时代最伟大的数学家

    之一。

    ——[美]乔治·萨顿

    杭州西湖的北边是一座70多米高的宝石山，山脚下是以民国建筑风

    格闻名的北山路，山顶东端有一座始建于五代十国的砖塔——保俶塔，迄今已有1 000多年了。山的北侧如今是著名的黄龙商务区，有位于山

    脚下的名胜黄龙洞，有位于杭大路两侧的五星级酒店——黄龙饭店和世

    贸君澜大饭店，也有浙江图书馆和浙江小百花越剧团。

    在古代的大部分时间里，西湖都在城墙之外，宝石山北侧更是一片

    荒芜的田野。即便到了南宋，在作为都城的杭州(临安)，皇城设在西

    湖西南的玉皇山下，宝石山北仍属郊区，有一条叫西溪的河流穿过。终

    于有一天，在距离宝石山数百米远的地方建起了一座石桥，连接起西溪

    两岸。它位于今天杭大路和西溪路交界处西侧，1987年冬天我来到杭州

    时此桥还在，可以行走和通车，它的名字叫“道古桥”。

    会造桥的气象学家

    在我的记忆里，道古桥长宽各五六米，两侧护栏上有方形石柱。桥西是一个村庄，村民有房屋出租，其中一户住家是我的亲戚，因此我常

    过此桥。只是走不了100多米，便是田野小路，两旁种着庄稼。那会儿

    既没有黄龙路，也没有黄龙体育中心。我有时会骑车穿行在那条无名小

    路上，去玉古路看望一位前辈同事。

    多年以后，在道古桥及其下面的溪流消失之后，我才开始了解它的

    来历和故事。原来，道古桥始建于南宋嘉熙年间，初名西溪桥。南宋地

    方志《咸淳临安志》有载：“‘西溪桥’，本府试院东，宋代嘉熙年间道古

    建造。”这个造桥的道古不是别人，正是南宋大数学家、气象学家秦九

    韶，道古是他的字。

    秦九韶祖籍河南范县，该县位处鲁豫交界处，县城有数百年设在山

    东莘县境内，故他自称山东鲁郡人。秦九韶出生在四川普州(今成渝之

    间)安岳，并在那里长大。其父中过进士，曾任巴州(今四川东北巴

    中)太守，1219年此地发生了一起兵变，秦九韶的父亲弃城逃走，辗转

    来到首都临安，全家住在西溪河畔。

    1201年春天，即秦九韶出世的前一年，临安发生了一场火灾。大火

    烧了三天三夜，烧毁了御史台、军器监、储物库等官舍，受灾居民达35

    000多家、18万人，死亡59人。这是南宋定都临安后发生的最大一次火

    灾，火灾后，部分朝廷命官携家眷迁居当时属于郊外的西溪河畔。

    秦九韶自幼聪颖好学，兴趣广泛。他的父亲来临安后一度出任工部

    郎中，掌管营建；后任秘书少监，掌管图书，这使秦九韶有机会博览群

    书，学习天文历法、土木工程和数学、诗词等。1238年，秦九韶回临安

    丁忧父(为父奔丧)，见河上无桥，两岸人民往来很不方便，于是亲自

    设计，再设法从府库获得银两资助，在西溪河上造了一座桥。

    桥建好后没有取名字，因为建在西溪河上，所以被称作“西溪桥”。

    微信：876679910 微信公众号：seoseeinfo

    SEO观察，每天分享优质电子书：http:www.seosee.info直到元代初年，另一位大数学家、游历四方的北方人朱世杰来到杭州，才提议将“西溪桥”更名为“道古桥”，以纪念造桥人、他所敬仰的前辈数

    学家秦九韶，并亲手将桥名书镌桥头。

    道古桥一直存在到新千年之交(历史上有无重建不得而知)，因为

    西溪路扩建改造，原先的桥和小溪被夷(填)为平地(道古桥居委会也

    随之消失)，并建起高楼大厦，诸如国际商务中心、浙江省国土资源厅

    和黄龙世纪雅苑，只留一个公交车站名为道古桥(据说还有地图上未标

    示的道古桥路)。

    2005年，西溪河支流沿山河上修建了一座人行石桥，西距道古桥原

    址约100米。我前往实地勘察，此桥跨河而建，两岸垂柳披挂，风景优

    美，且闹中取静，尚未命名。故突发联想，建议将其复名为“道古桥”，后杭州市政府果然予以批准。立碑时我亲自挑选石料，草拟碑文，并邀

    请数学家王元先生题写了桥名，可惜没有秦九韶塑像。西溪河上的新道古桥。作者摄

    后来我得知，在南京玄武湖南边鸡鸣山巅的北极阁气象博物馆里，有数位古代著名气象学家的雕塑，其中也有秦九韶。一日我前往探视，见到了那尊富有现代感的秦九韶雕塑，系雕刻家吴为山的作品。它的碑

    文上写着：他用“平地得雨之数”(即单位面积内的降雨量)量度雨水，在世界上最早为雨量和雪量测定提供了科学理论依据。

    会打仗的数学家

    秦九韶自幼生活在四川，18岁时曾“在乡里为义兵首”，后随父移居

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    SEO观察，每天分享优质电子书：http:www.seosee.info京城临安。据说他“游戏、球、马、弓、剑，莫不能知”。1225年，秦九

    韶的父亲被任命为潼川(今四川绵阳三台)知府，该地靠近吐蕃部落，为边关重地。秦父决定把家眷安置在离临安不远的湖州，只携心爱的小

    儿子秦九韶前往赴任。秦九韶曾出任擢郪县县尉，故有为义兵首的说

    法，表明他有领兵打仗的才能。

    1232年，秦九韶考中进士，之后他曾在四川、湖北、安徽、江苏、江西、广东等地为官。1236年，元兵攻入四川，嘉陵江流域战乱频繁，当时在故乡为官的秦九韶不得不时常参与军事活动。在《数书九章》序

    言中，秦九韶写道：“际时狄患。历岁遥塞，不自意全于矢石间，尝险

    罹忧，荏苒十祀，心槁气落。”这段文字真实地反映了那段动荡的生

    活。后来，他不得不离开故乡，先后出任湖北蕲春通判和安徽和州太

    守。

    1244年，秦九韶任建康府(南京)通判期间，因母丧离任，回浙江

    湖州丁忧母。正是在湖州守孝的三年期间，秦九韶专心研究数学，完成

    了20多万字的《数书九章》，因此名声大振，加上他在天文历法方面的

    丰富知识和成就，曾受皇帝(宋理宗赵昀)召见。他在皇帝面前阐述自

    己的见解，并呈奏稿和“数术大略”(即《数书九章》)。

    《数书九章》分九章九类。在卷二天时类中，秦九韶给出了历法推

    算和雨雪量的计算。最有数学价值的要数卷一的“大衍术”和卷九的“正

    负开方术”。“正负开方术”即今天所指的“秦九韶算法”，这是有关一般n

    次代数方程的正根解法。在古代，方程论是数学的中心课题。可是在宋

    代以前，学者们只能解系数为正整数的方程。11世纪的北宋数学家刘益

    虽去掉了正整数的限制，但方法不够完整和系统。《数书九章》插图，疑为湖州飞英塔

    在秦九韶之前，解此类方程需经n(n+1)2次乘法，而秦九韶将其转

    化为n个一次式，只需n次乘法，他还给出了21个十次方程的例子。在欧

    洲，直到19世纪初，这一算法才被英国数学家霍纳(W. G.Horner)重

    新发现，被称为“霍纳算法”。即便在计算机时代的今天，秦九韶(霍

    纳)算法仍有重要意义。此外，秦九韶还提出了“三斜求积术”，此乃著

    名的海伦公式(已知三角形的三条边长求面积)的等价形式。

    值得一提的是，《数书九章》里有一幅插图，是关于计算图中的宝

    塔塔尖高度的。通过观察角度的调整和正切函数的运用，便可以求解。

    这座宝塔与今日湖州城内唐代建造的飞英塔造型相似，后者系全国重点

    微信：876679910 微信公众号：seoseeinfo

    SEO观察，每天分享优质电子书：http:www.seosee.info文物保护单位。虽然飞英塔的内塔和外塔分别建于唐代和北宋年间，但

    在12世纪前后被拆毁，现在的塔重建于13世纪30年代，刚好在秦九韶寓

    居湖州之前。

    中国剩余定理

    “大衍术”是中国古代数学家提出的最著名的定理。大约在四五世纪

    成书的《孙子算经》里有所谓的“物不知数”问题。“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”“答曰二十

    三”。换句话说，孙子只是给出了一个特殊的例子。而在江苏淮安的民

    间传说里，下面这则故事则可追溯至公元前二三世纪，西汉名将韩信用

    此方法点兵，以提升和振奋士气。

    秦朝末年，楚汉相争。一次，韩信率兵与楚军交战。苦战一场，汉

    军死伤数百，遂整顿兵马返回大本营。当行至一处山坡，忽报楚军骑兵

    追来。只见远方尘土飞扬，杀声震天。此时汉军已十分疲惫，韩信令士

    兵3人一排，结果多出2名；接着令5人一排，结果多出3名；再令士兵7

    人一排，又多出2名。韩信当即宣布：我军1 073名勇士，敌人不足

    500。果然士气大振，一举击败了楚军。

    用现代数学语言来表述，“大衍术”是：设有k个两两互素的大于1的

    正整数mi

    (1≤i ≤ k)，其乘积为M。则对任意k个整数ai

    ，存在唯一不超过

    M的正整数x，x被各个mi除所得余数依次为ai。秦九韶给出了求解的过

    程，为此他提出了“辗转相除法”(欧几里得算法)和“大衍求一术”。后

    者是指，设a和m是互素的正整数，m大于1，可以求得唯一的正整数x(不超过m)，使得ax被m除后余数为1。

    1801年，德国数学家高斯在其著作《算术研究》里也给出了上述结

    果，但他不知道中国数学家早已做到。直到1852年，秦九韶的工作被英

    国传教士伟烈亚力(A. Wylie，与清代数学家李善兰合作完成欧几里得

    《几何原本》中译本)译介到欧洲，并被迅速从英文转译成德文和法

    文，引起了广泛关注。至于何时何人命名了中国剩余定理，仍是一个未

    解之谜，但应该不晚于1929年。

    据我的先师潘承洞教授分析，西方人之所以称之为中国剩余定理，是因为古代中国数学家注重计算，缺乏理论建树，因而是一种轻视。但

    无论如何，它都可以说是中国人发现的最具世界性影响的定理，是中外

    任何一本基础数论教科书不可或缺的，而且被推广至另一数学分支——

    抽象代数。此外，它还被应用于密码学、哥德尔不完备性定理的证明，以及快速傅里叶变换理论等诸多领域。

    德国数学史家莫里斯·康托尔(M. Cantor)赞扬秦九韶是“最幸运的

    天才”。有着“科学史之父”美誉的美国科学史家萨顿(G.Sarton)甚至认

    为，秦九韶是“他那个民族、他那个时代，也是所有时代最伟大的数学

    家之一”。2005年，牛津大学出版社出版了《数学史，从美索不达米亚

    到现代》，该书内容提要仅提及12位数学家，秦九韶是其中唯一的中国

    人。

    值得一提的是，在中国的数论教科书里，中国剩余定理被称为孙子

    定理，这是因为如下节所言，虽然秦九韶第一个给出了此定理的完整陈

    述和求解方法，但由于他的道德疑案，史书、地方志或教科书里均未出

    现他的名字。而依照国际惯例，中国剩余定理或孙子定理应被称为秦九

    韶定理。在我的数论著作《数之书》里，无论中文版(2014)还是英文

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    SEO观察，每天分享优质电子书：http:www.seosee.info版(2016)，均率先这样称呼它。

    有待澄清的疑案

    必须指出的是，由于秦九韶的学术成就未被同代人认可，加上一些

    不好的传闻和说法，称其贪赃枉法、生活无度，甚至伤及人命，导致他

    在后世成为有争议的人物。宋史和地方志未为他列传，他的名字时隐时

    现，后裔也隐姓埋名。不仅中文教科书里不出现他的名字，就连英国

    BBC制作的4集纪录片《数学的故事》也一味渲染他的道德污点(他是

    片中唯一提及的中国人)。

    经过多方求证，我得知关于秦九韶的传闻有两个出处，其内容大有

    相通之处。福建词人刘克庄的《缴秦九韶知临江军奏状》在前，湖州文

    人周密的《癸辛杂识·续集》(癸辛是杭州街名)在后，后者曾被《四

    库全书》列入“小说家之类”而流传。

    到了清代，扬州学派学者焦循、阮元和湖州藏书家陆心源等相继批

    驳周密，指其造谣诽谤，始有人为秦九韶列传。刘克庄生前即被认为谀

    辞谄语，连章累牍，为人所讥。1842年，《数书九章》由历算名家宋景

    昌校订后首次印行出版，结束了近600年的传抄史。从这个意义上说，《数书九章》堪与荷马史诗媲美。

    需要指出的是，吴潜和贾似道是宋理宗时一忠一奸的宰相，秦九韶

    和刘克庄分别与两人过从甚密。吴潜出身状元，正直无私、忧国忧民、忠君爱国，还是一代词人、水利专家和抗倭英雄，而贾似道恶贯满盈、卖国求荣，人称“蟋蟀宰相”。1261年，即秦九韶去世那年，年近七旬的

    吴潜被贾似道罗织罪名，再度罢免宰相，流放岭南，次年便暴病身亡(疑被投毒杀害)。

    吴潜本是湖州人(一说是安徽宁国人)，秦九韶在巴州任职时便与

    之相识，后一同在湖州丁忧母。或许是因为秦九韶在吴潜赠送的土地上

    建起的房子有些奢华，招致落魄文人周密的嫉妒。又或许是因为周密是

    本地人而秦九韶是异乡人。据说秦九韶在诗词骈俪方面也颇有造诣，因

    此也不排除文人相轻的可能性。

    秦九韶造桥的故事，堪与牛顿造桥的故事媲美。现今流经剑桥大学

    皇后学院的剑河上有一座数学桥，相传设计师是牛顿，并因此闻名。据

    说牛顿造桥时没用一根钉子，后来有好事者悄悄把桥拆开，发现真是这

    样，却再也无法安装回去，只好在原址重造一座桥，如今它是到访剑桥

    的旅客必游之地。

    剑桥的数学桥，相传为牛顿设计。作者摄

    最后，我想谈谈秦九韶为《数书九章》所作的自序。他在开头提

    微信：876679910 微信公众号：seoseeinfo

    SEO观察，每天分享优质电子书：http:www.seosee.info到，自周朝数学便属“六艺”之一，学者和官员们历来重视、崇尚数学。

    从大的方面说，数学可以认识自然，理解人生；从小的方面说，数学可

    以经营事务，分类万物。秦九韶坚信，世间万物都与数学相关，这与毕

    达哥拉斯学派的观点不谋而合。

    秦九韶塑像，吴为山作。作者摄于南京

    正是因为这一点，秦九韶向学者、能人求教，深入探索数学之精

    微。“我在青少年时代曾随父亲到过都城临安，有机会访问国家天文台

    的历算家，向他们学习历算。此外，我还从隐居的学者那里学习数

    学。”后来元军入侵四川，秦九韶返回故乡为官，有时不得不在战乱中

    长途跋涉，可是他仍不忘钻研数学。

    与此同时，秦九韶也感叹，数学家的地位和作用不被人们所认同。

    他认为，数学这门学问遭到鄙视，算学家只被当作工具使用，就犹如制造乐器的人只能拨弄出乐器的声音。“原本我想把数学提升到道的高

    度，只是实在太难做到。”由此我们可以推断，这是一位有思想、有品

    位的人，与传言描述的秦九韶实不相符。

    我殷切期望，在不久的将来，会有像李安那样的好导演来拍一部关

    于秦九韶的传记片。电影的素材应有尽有，例如南宋、科举、战争、文

    人、冥想、发现、丁忧、火灾、洪水、桥梁、建筑、皇帝、宰相、贪

    婪、杀戮、乱政、边关；秦九韶的生活和品德可以按两种方式演绎——

    政敌的诽谤和著述中折射出来的理性之光。

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    SEO观察，每天分享优质电子书：http:www.seosee.info拿破仑与他的数学家师友

    蒙日爱我，就像一个人爱他的情人。

    ——[法]拿破仑·波拿巴

    拿破仑·波拿巴

    1769年，正当两位姓氏以L字母开头的法国青年数学家意气风发

    [31岁的拉格朗日(J. L. Lagrange)在普鲁士科学院担任数学物理学部

    主任，20岁的拉普拉斯(P. S. Laplace)受聘巴黎军事学院数学教授]

    之时，他们未来的学生、朋友和执政官拿破仑·波拿巴在地中海第四大

    岛——科西嘉呱呱坠地。仅仅一年以前，这座岛屿还隶属于亚平宁半岛

    的热那亚，倘若这桩关于岛屿的交易推迟若干年进行，欧洲的历史恐怕

    需要重新书写。

    这是因为成年后的拿破仑会更加强烈地意识到自己是热那亚人，所

    以极有可能致力于意大利的领土扩张，或参加抵抗法兰西的地下组织，正如他父亲所做的那样。事实上，拿破仑家族原本是以佛罗伦萨为首府 ......