画家和数学的不期而遇(3)
需要指出的是，梵高这些画作均为其后期作品，当时的他已经陷入癫痫病带来的内心狂乱状态，时而清醒，时而混乱。阿拉贡相信，正是梵高的幻觉让他得以洞察旋涡的原理。持类似观点的还有哈佛大学神经病学教授史蒂文·沙克特，他认为：“有人会在发病时产生新的、异常的意识，他的感觉和认知都会变得不正常。”换句话说，梵高画作里表现出的物理现象，极有可能与其受癫痫病影响有关。科学家们相信癫痫令梵高产生的幻觉，可能赋予他洞察湍流奥秘的特殊能力，并不自觉地在作品中留下湍流的经典数学模型的影像。
尽管这样的解释并不能完全令人信服，但这种艺术与科学的碰撞，或许与梵高天才的想象和苦行僧般的经历有关，冥冥之中的注定恐怕只可意会，难以言传，因此我们在对科学家的发现表示惊讶的同时，也只能对这位艺术大师的传奇表达敬意。
埃舍尔的错觉图形
莫里茨·科内利斯·埃舍尔是荷兰科学思维版画大师，20世纪画坛中别具一格的艺术家。其作品多以平面镶嵌、不可能的结构、悖论以及循环等为特点，从中可以看到对分形、对称、双曲几何、多面体、拓扑学等数学概念的形象表达，为绘画艺术增添了难以言说的数学之美，他也被公认为将绘画艺术性与数学科学性融会贯通并发挥到极致的艺术大师。
1956年，埃舍尔举办了生平第一次重要的画展，这个画展得到了《时代》杂志的好评，使他在世界范围获得了极高的名望。许多数学家给予埃舍尔艺术作品充分的肯定，认为埃舍尔艺术作品中的数学原则和思想得到了非同寻常的形象化。后来，随着埃舍尔创作的发展，创造出许多反映悖论和“不可能”的图形结构的艺术作品，见者莫不驚叹于数学思维融入艺术创造中的奇特魅力。
图⑩《互绘的双手》
比如上面这幅引人注目的作品《互绘的双手》(图⑩)，你看到后会情不自禁地研判究竟是哪一只手绘出了另一只手。画面中既像左手画着右手，又像右手画着左手，当然也可以看作左右手互绘，在确定无解后只能感慨“你中有我，我中有你”的神奇。而这恰好反应了埃舍尔作品中极为重要的特征—自我复制和完全循环。事实上，在埃舍尔其他代表作品中，这种特征随处可见，已成特色，并由此营造出匪夷所思的视觉效果。
不仅如此，埃舍尔的许多作品还体现了平面镶嵌的特点。所谓“平面镶嵌”，是指完全没有重叠并且没有空隙的封闭图形的排列。一般情况下，构成镶嵌的封闭图形的基本单元是多边形或类似的常规形状，埃舍尔更痴迷于那些不规则的、形状特别的平面镶嵌。因此，在他的很多艺术作品中，都运用了几何学中的反射、旋转来得到更加多变的图案，并独具匠心地使这些图案通过扭曲、变形成为人、鸟、鱼等，这样美不胜收的效果既自然又令人拍案叫绝。比如《骑士平面镶嵌》(图〇11)和《黑白鸟的镶嵌》(图〇12)就充分反映出重叠、翻转的数学美。
此外，交叉几何体也常常出现在埃舍尔的艺术作品中，比如木版画《星空》(图13〇)：这是一个由八面体、四面体和立方体交叉构成的几何体，这些正面体都是外凸的，同时还存在内凸的正多面体，数学家已证明出存在26种可能的规则立体，它们之间互相交叉后还可以形成无数规则的立体系列。埃舍尔设计出飘浮着无数规则立体的星空背景，并在奇妙的正多面体中加入了两条变色龙，带给观众奇妙的视觉冲击，巧妙展现出了立体几何的数学美。
特别值得一提的是，在埃舍尔用数学观点完成的所有重要艺术作品中，最重要的是处理空间性质的作品。比如《瀑布》(图〇14)，从中可以发现这个瀑布本质上就是两个彭罗斯三角的叠加，形成了矛盾的空间，显示了埃舍尔对空间维度的关注以及用二维的方式表现三维空间的矛盾和诡术。
所谓彭罗斯三角 (图〇15)，看起来像是一个固体，由三个截面为正方形的长方体所构成，三个长方体组合成为一个三角形，但两长方体之间的夹角似乎又是直角。但上述性质无法在任何一个正常三维空间的物体上实现，是所有不可能图形中最基础的一个。
在埃舍尔手中，刚性的维度可以任意扭曲反转，从而展示出在其丰富想象空间中的魔法变换。
在《莫比乌斯带上的蚂蚁》(图〇16)中，如果我们跟踪蚂蚁的路径，就会发现蚂蚁并不是在相反的面上爬行，而是爬行在同一个面上。这就是埃舍尔艺术作品中展现出的拓扑学价值和数学美。
早在公元前6世纪，古希腊著名数学家毕达哥拉斯就认为：数与美紧密关联，甚至可以说，数是美的本源，一切艺术都产生于数。这足以说明艺术与数学有着悠远的渊源。由此不难理解，从事艺术创作的画家为何流连于鲜花盛开的数学园林，探寻和呈现数学之美才是主线和主题。 (林革)
尽管这样的解释并不能完全令人信服，但这种艺术与科学的碰撞，或许与梵高天才的想象和苦行僧般的经历有关，冥冥之中的注定恐怕只可意会，难以言传，因此我们在对科学家的发现表示惊讶的同时，也只能对这位艺术大师的传奇表达敬意。
埃舍尔的错觉图形
莫里茨·科内利斯·埃舍尔是荷兰科学思维版画大师，20世纪画坛中别具一格的艺术家。其作品多以平面镶嵌、不可能的结构、悖论以及循环等为特点，从中可以看到对分形、对称、双曲几何、多面体、拓扑学等数学概念的形象表达，为绘画艺术增添了难以言说的数学之美，他也被公认为将绘画艺术性与数学科学性融会贯通并发挥到极致的艺术大师。
1956年，埃舍尔举办了生平第一次重要的画展，这个画展得到了《时代》杂志的好评，使他在世界范围获得了极高的名望。许多数学家给予埃舍尔艺术作品充分的肯定，认为埃舍尔艺术作品中的数学原则和思想得到了非同寻常的形象化。后来，随着埃舍尔创作的发展，创造出许多反映悖论和“不可能”的图形结构的艺术作品，见者莫不驚叹于数学思维融入艺术创造中的奇特魅力。
图⑩《互绘的双手》
比如上面这幅引人注目的作品《互绘的双手》(图⑩)，你看到后会情不自禁地研判究竟是哪一只手绘出了另一只手。画面中既像左手画着右手，又像右手画着左手，当然也可以看作左右手互绘，在确定无解后只能感慨“你中有我，我中有你”的神奇。而这恰好反应了埃舍尔作品中极为重要的特征—自我复制和完全循环。事实上，在埃舍尔其他代表作品中，这种特征随处可见，已成特色，并由此营造出匪夷所思的视觉效果。
不仅如此，埃舍尔的许多作品还体现了平面镶嵌的特点。所谓“平面镶嵌”，是指完全没有重叠并且没有空隙的封闭图形的排列。一般情况下，构成镶嵌的封闭图形的基本单元是多边形或类似的常规形状，埃舍尔更痴迷于那些不规则的、形状特别的平面镶嵌。因此，在他的很多艺术作品中，都运用了几何学中的反射、旋转来得到更加多变的图案，并独具匠心地使这些图案通过扭曲、变形成为人、鸟、鱼等，这样美不胜收的效果既自然又令人拍案叫绝。比如《骑士平面镶嵌》(图〇11)和《黑白鸟的镶嵌》(图〇12)就充分反映出重叠、翻转的数学美。
此外，交叉几何体也常常出现在埃舍尔的艺术作品中，比如木版画《星空》(图13〇)：这是一个由八面体、四面体和立方体交叉构成的几何体，这些正面体都是外凸的，同时还存在内凸的正多面体，数学家已证明出存在26种可能的规则立体，它们之间互相交叉后还可以形成无数规则的立体系列。埃舍尔设计出飘浮着无数规则立体的星空背景，并在奇妙的正多面体中加入了两条变色龙，带给观众奇妙的视觉冲击，巧妙展现出了立体几何的数学美。
特别值得一提的是，在埃舍尔用数学观点完成的所有重要艺术作品中，最重要的是处理空间性质的作品。比如《瀑布》(图〇14)，从中可以发现这个瀑布本质上就是两个彭罗斯三角的叠加，形成了矛盾的空间，显示了埃舍尔对空间维度的关注以及用二维的方式表现三维空间的矛盾和诡术。
所谓彭罗斯三角 (图〇15)，看起来像是一个固体，由三个截面为正方形的长方体所构成，三个长方体组合成为一个三角形，但两长方体之间的夹角似乎又是直角。但上述性质无法在任何一个正常三维空间的物体上实现，是所有不可能图形中最基础的一个。
在埃舍尔手中，刚性的维度可以任意扭曲反转，从而展示出在其丰富想象空间中的魔法变换。
在《莫比乌斯带上的蚂蚁》(图〇16)中，如果我们跟踪蚂蚁的路径，就会发现蚂蚁并不是在相反的面上爬行，而是爬行在同一个面上。这就是埃舍尔艺术作品中展现出的拓扑学价值和数学美。
早在公元前6世纪，古希腊著名数学家毕达哥拉斯就认为：数与美紧密关联，甚至可以说，数是美的本源，一切艺术都产生于数。这足以说明艺术与数学有着悠远的渊源。由此不难理解，从事艺术创作的画家为何流连于鲜花盛开的数学园林，探寻和呈现数学之美才是主线和主题。 (林革)