直观奇妙的“形数”(2)
形数操作：按每层的折线划分，每个区域是连续的偶数2、4、6、8、10，刚好组成一个长方形数(如图5)，由此不难得出：2+4+6+8+10=5×6= 5×(5+1)。
推而广之，如果长方形数有n层，第n层就有2n个点，则有：2+4+6+…+2n=n(n+1)。
形数的奇妙性质
在三角形数和正方形数基础上，如果把三角形数1、3、6、10、15、21、28、36、45、55、66……“一层一层叠加”，就形成了“四面体数”(所谓四面体，是指底面是三角形的锥体)：
1、4、10、20、35、56、84、120……④
同样，如果把正方形数1、4、9、16、25、36、49、64、81、100……“一层一层叠加”，就形成了“金字塔数”(所谓金字塔，是指底面是正方形的锥体)：
1、5、1 4、3 0、5 5、9 1、1 4 0、204……⑤
有人突发奇想开始在⑤中探寻恰好是正方形数又是金字塔数的数，结果竟然只有一个，那就是4900。这令人颇感意外。不过，有关自然数、三角形数、正方形数、四面体数、金字塔数之间的奇妙性质，更让人啧啧称奇。
1.从1开始的连续自然数的立方和，等于相应的三角形数的平方。
3.任意两个相邻的四面体数的和，都是金字塔数。
譬如，四面体数④中，1+4=5，4+10=14，10+20=30，20+35=55，35+56=91，56+84=140，84+120=204；而5、14、30、55、91、140、204都是金字塔數。
或许，正是由于这些具有几何特征的数字的奇妙特性，毕达哥拉斯和他所创立的学派崇尚“万物皆数”，认为“数是万物之源”。即用1表示点，用2表示线，用3表示面，用4表示体(如图9)，世间万物皆由点、线、面、体所组成。而1+2+3+4=10，因此，10就可以表示宇宙。
用现代技术和知识进行评判显然不够客观与科学，不过，毕达哥拉斯发明的“形数”确实让人们认识到自然数的鬼斧神工和奇特绝妙，以上种种便是佐证。
形数的影响
“形数”之所以历久不衰，引发关注，除了其巧妙利用数形结合和合情推理的特点之外，能够充分反映出数学内在的奥秘和魅力似乎更具说服力。
需要说明的是，在公元前6世纪，纸张还没有出现，所以，这种用小石子来研究数的性质的方法，不仅是认识数的一种简洁而直观的方法，更是古希腊人的一种伟大创造。正因为此，英文中的“计算”(calculation)一词来源于拉丁字calculus，而calculus正是小石子的意思。这充分说明了西方人对毕氏“形数”的重视和尊重。就此而言，毕达哥拉斯非同凡响的思维和创新能力理应获得我们的敬仰和钦佩。, http://www.100md.com(林革)
推而广之，如果长方形数有n层，第n层就有2n个点，则有：2+4+6+…+2n=n(n+1)。
形数的奇妙性质
在三角形数和正方形数基础上，如果把三角形数1、3、6、10、15、21、28、36、45、55、66……“一层一层叠加”，就形成了“四面体数”(所谓四面体，是指底面是三角形的锥体)：
1、4、10、20、35、56、84、120……④
同样，如果把正方形数1、4、9、16、25、36、49、64、81、100……“一层一层叠加”，就形成了“金字塔数”(所谓金字塔，是指底面是正方形的锥体)：
1、5、1 4、3 0、5 5、9 1、1 4 0、204……⑤
有人突发奇想开始在⑤中探寻恰好是正方形数又是金字塔数的数，结果竟然只有一个，那就是4900。这令人颇感意外。不过，有关自然数、三角形数、正方形数、四面体数、金字塔数之间的奇妙性质，更让人啧啧称奇。
1.从1开始的连续自然数的立方和，等于相应的三角形数的平方。
3.任意两个相邻的四面体数的和，都是金字塔数。
譬如，四面体数④中，1+4=5，4+10=14，10+20=30，20+35=55，35+56=91，56+84=140，84+120=204；而5、14、30、55、91、140、204都是金字塔數。
或许，正是由于这些具有几何特征的数字的奇妙特性，毕达哥拉斯和他所创立的学派崇尚“万物皆数”，认为“数是万物之源”。即用1表示点，用2表示线，用3表示面，用4表示体(如图9)，世间万物皆由点、线、面、体所组成。而1+2+3+4=10，因此，10就可以表示宇宙。
用现代技术和知识进行评判显然不够客观与科学，不过，毕达哥拉斯发明的“形数”确实让人们认识到自然数的鬼斧神工和奇特绝妙，以上种种便是佐证。
形数的影响
“形数”之所以历久不衰，引发关注，除了其巧妙利用数形结合和合情推理的特点之外，能够充分反映出数学内在的奥秘和魅力似乎更具说服力。
需要说明的是，在公元前6世纪，纸张还没有出现，所以，这种用小石子来研究数的性质的方法，不仅是认识数的一种简洁而直观的方法，更是古希腊人的一种伟大创造。正因为此，英文中的“计算”(calculation)一词来源于拉丁字calculus，而calculus正是小石子的意思。这充分说明了西方人对毕氏“形数”的重视和尊重。就此而言，毕达哥拉斯非同凡响的思维和创新能力理应获得我们的敬仰和钦佩。, http://www.100md.com(林革)