第一届美国数学邀请赛试题解答及分析
今年3月22日，上海市有76名中学生参加了第一届美国数学邀请赛。竞赛结果，有2名获得15分(满分)，2名获得13分，3名获得12分，8名获得11分，13名获得10分。现在，我们对这次竞赛的试题给出解答，并作扼要分析。这些解答未必最优，仅供参考。一、设x，y和z都大于1，ω是正数，且有logxω=24，1oyω=40，logxyzω=12，求logzω。
这是一道基本题。主要考查对数运算法则和对数的性质。极大多数考生完成了本题，其解法如下:
【解法一】由logχω=24，1ogyω=40，logχyzω=12，知00，且logωχ=1/24，1ogωy=1/40，于是logωχyz=logωx+logωy+logωz=1/12。
∴logωz=1/12-1/24-1/40=1/60，logzω=60。
【解法二】根据题意，得
χ21=ω，y40=ω，(xyz)12=ω1/5。
∴ω=z60，logzω=60。
二、设f(χ)=|χ-p|+|χ-15|+|χ-p-15|，其中00，于是
f(χ)min=12。【解法二】记f(χ)为y，记χsinχ为u，即有9u2-yu+4=0。
(下转47页)
(上接41页)
由u是实数，得(-y)2-4·9·4≥0，即y2≥144，于是y≤-12，y≥12。
∵00，y>0，故y≤-12舍去。于是，当y≥12时，而由
得xsinx=2/3，即xsinx=2/3时，ymin=f(x)min=12。
十、数1447，1005和1231有某些共同点，即每一个都是以1带头的四位数，且每个数恰好有两个数字相等，这样的数共有多少个?
这是一个组合题。如果学生能够掌握组合概念和分类的思想方法，本题也不难解决，但本题得分并不理想，答错者竟达59人之多。
【解法一】事实上，满足条件的四位数有如下六类:
11×△，1×1△，1×△1，1△△×，1×△△，1△×△。
(待续)
(摘自《科学画报》1983年第7期), 百拇医药
这是一道基本题。主要考查对数运算法则和对数的性质。极大多数考生完成了本题，其解法如下:
【解法一】由logχω=24，1ogyω=40，logχyzω=12，知00，且logωχ=1/24，1ogωy=1/40，于是logωχyz=logωx+logωy+logωz=1/12。
∴logωz=1/12-1/24-1/40=1/60，logzω=60。
【解法二】根据题意，得
χ21=ω，y40=ω，(xyz)12=ω1/5。
∴ω=z60，logzω=60。
二、设f(χ)=|χ-p|+|χ-15|+|χ-p-15|，其中00，于是
f(χ)min=12。【解法二】记f(χ)为y，记χsinχ为u，即有9u2-yu+4=0。
(下转47页)
(上接41页)
由u是实数，得(-y)2-4·9·4≥0，即y2≥144，于是y≤-12，y≥12。
∵00，y>0，故y≤-12舍去。于是，当y≥12时，而由
得xsinx=2/3，即xsinx=2/3时，ymin=f(x)min=12。
十、数1447，1005和1231有某些共同点，即每一个都是以1带头的四位数，且每个数恰好有两个数字相等，这样的数共有多少个?
这是一个组合题。如果学生能够掌握组合概念和分类的思想方法，本题也不难解决，但本题得分并不理想，答错者竟达59人之多。
【解法一】事实上，满足条件的四位数有如下六类:
11×△，1×1△，1×△1，1△△×，1×△△，1△×△。
(待续)
(摘自《科学画报》1983年第7期), 百拇医药