癌细胞扩散和治疗的预测及分析

http://www.100md.com 2018年7月15日 《健康大视野》 2018年第14期

     【摘 要】

    癌细胞是一种变异的细胞，是产生癌症的病源，癌细胞与正常细胞不同，有无限增殖、可转化和易转移三大特点，能够无限增殖并破坏正常的细胞组织。研究癌细胞的扩散与治疗对于临床医学具有非常重要的意义。本文将Logistic模型引入到癌细胞生长的研究中，并建立了癌细胞在生长环境约束下数量增长的数学模型，同时还进行了定量的分析。此外，本文还考虑了癌细胞与正常细胞的种群竞争关系，基于Lotka-Volterra模型分析了癌细胞与正常细胞生长的变化趋势，为临床实验提供了理论的指导。

    【关键词】 癌细胞扩散和治疗；Logistic模型； Lotka-Volterra模型 多种群相互抑制

    【中图分类号】R249 【文献标志码】

    B 【文章编号】1005-0019(2018)14-208-01

    1 引言

    癌症是我们熟知的“危险杀手”之一。至今，科研者们的工作主要集中在临床实验上，而本文认为利用数学建模来洞悉癌细胞扩散从而达到及早发现及早治疗的目的也不失为一种方法。如张鹏鸽等人在《肿瘤细胞的生长模型与预测治疗》[1]中建立了肿瘤细胞的增长模型，并用Logistic模型得到了肿瘤细胞倍增次数的计算公式，就为临床医学的发展提供了强有力的工具。

    首先，本文将建立癌细胞扩散和放射治疗的微分方程模型，同时利用方程得到的数据，作出相应的癌细胞数量增长图像，求出其增长模型。然后，在增长模型的基础上利用Lotka-Volterra竞争模型了解癌细胞与正常细胞之间的竞争关系及其稳定点，最后制定合理的方案，以便达到早发现，早治疗，对正常细胞危害少的目的。

    2 考虑生长环境约束的Logistic模型

    通常情况下，人们用癌细胞的数量或浓度来衡量癌症的扩散程度[2]。假设x=x(t)是t时刻癌细胞的总数，单位时间内癌细胞数量的增长率与当时癌细胞的数量成正比，所以本文记比例系数为r。由于癌细胞的生长受环境的限制，本文用Logistic模型来描述癌细胞在组织内的生长：

    (1)

    其中，K为环境容纳量，表示组织所能承受的最大细胞数量。其解析解为：

    (2)

    这里xo=x(0)是t=0是癌细胞的数量，即若估计出初始时刻癌细胞的数量，则能利用这个模型来正确计算出癌细胞数量随时间的变化情况。

    根据细胞分裂的知识，假设初始时刻的癌细胞的数量为No，那么t时刻癌细胞的数量就为：

    (3)

    其中k表示癌细胞分裂的次数。鉴于在临床检测中能检测出来癌细胞的最小直径为1cm，所以得到k约为30。不难得到，细胞倍增30次时细胞的数量大约是1011，代入(3)式可得N0=93。所以假定癌细胞的初始数量为93，r=1.005，再以胃癌细胞90d倍增一次的时间间隔，本文得到了如下图表：

    Logistic模型中癌细胞数量增长与天数的关系

    参照图表，当天数达到1680d左右时癌细胞数量有了明显的增长，而后的1350d里，癌细胞的数量达到的非常惊人的程度。但由于加入了环境的限制，癌细胞不能无限的增长，于是，我们便得到了一条近似“S”型的曲线。根据可观察到的癌细胞的大小，我们可以估计2160d至2520d的时间段内，进行癌细胞或肿瘤的检查比较合适。再参考《肿瘤细胞的生长模型与预测治疗》中利用加入权重的双目标问题得到的解，本文建议癌症患者每350d到医院检查一次。

    3 考虑多种群相互抑制的Lotka-Volterra竞争模型

    (4)

    (5)

    在(4)(5)中式中，x1(t)和x2(t)分别表示t时刻健康细胞的细胞浓度和癌细胞的细胞浓度；r1和r2分别是健康细胞和癌细胞的增长率；K1、K2的分别表示一定的环境对这两种细胞的最大承载量，β1与β2分别是两种细胞间的竞争系数。

    以上两式又可以改为如下形式

    (6)

    (7)

    a11与a21分别表示两种细胞的种内竞争系数，化简可得a11=r1K1、a21=r2K2；a12、a22分别等于β1、β2。

    易得，该微分方程有四个稳定点：

    计算可得

    由前人工作可知，当系数满足一定的条件时，该方程有不同的解：

    ①时，方程的解将收敛于，即癌细胞和正常细胞的竞争最终趋向于平稳，两种细胞的数量达到平衡，共同生存且都保持有一定的数量。

    ②时，方程的解将按不同的区域收敛与三个点，即两种细胞中或有一方完全灭绝，或双方相互共存。

    而在没有进行任何治疗时，一般癌细胞总能在竞争中占据主导地位，即系统满足条件K1β2(李茂生)

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