本书纸版由浙江人民出版社于2016年

    11月出版

    作者授权湛庐文化(Cheers Publishing)作中国大陆(地区)电子版发行(

    限简体中文)

    版权所有·侵权必究

    书名：妈妈教的数学

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书著者：孙路弘

    字数：153000

    电子书定价：25.99美元

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书目 录

    总序

    引言

    家里有一杆秤

    指尖上的数学

    粗心到底是什么

    默想是智力发展的敌人

    应用题的关键难点

    从手指开窍出大脑智慧

    发烧是多少度

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书孩子懂了吗？妈妈怎么知道

    满分学生没有未来

    不会做题，只有三种可能

    后记

    蔡校长写给读者的话

    保教授写给读者的话

    王博士写给读者的话

    测试题答案

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书妈妈才是孩子智慧启蒙的关键人物

    让我引以为豪的并不是我自己的能力

    而是给我这个能力的人——

    我的妈妈

    我与妈妈，那时我四岁

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书我与弟弟，那时我九岁

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书小时候，爸爸妈妈给买的儿童车

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书获得全国数学竞赛的奖励

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书日记中记载了那天学到的几何题

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书我在实验中学任数学教师，与全班

    同学春游时合影

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书总序

    父母将数学渗透我的人生

    马走日，象走田。这是象棋的规

    则。先乘除后加减，遇到括号全让路。这是四则运算的规则。哆咪唆，大

    调，来发啦，小调。这是音乐调子规

    则。先来后到，排队守则，这是乘车

    规则。这些都是小时候留下的，至今

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书仍然在记忆中的。

    下象棋需要规则，才能够与对手

    进行对抗；做算术题，需要规则，计

    算的结果才有作用；弹钢琴，也要熟

    悉音乐的调性，才能够理解国歌的旋

    律与抒情旋律之间的差别；乘车遵守

    排队的规则，才不会拥挤，不会出现

    磕碰。

    《妈妈教的数学》激发了我对数

    学的兴趣，生活中的点点滴滴都可以

    悄悄地变成数学的形式，比如清点包

    了多少个饺子，下楼数楼梯，记住家

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书里的楼号、门牌号，或是收电费。我

    至今都有这样的习惯，走楼梯数台阶

    ，看地板上瓷砖的数量等。通过这些

    细小的事情，我不害怕数字，对公式

    也不恐惧，并渐渐爱上了数学。

    《爸爸教的数学》更多的是规则；约束自己的行为，用的就是规则。

    吃饭、睡觉，这些生活中的事情都有

    规则，上学放学也有规则，做数学题

    也要依靠规则。爸爸引导我重视规则

    ，遵守规则，并按照规则做事。规则

    仅仅是数学思维方法中的一种，我自

    己小学期间的日记中，出现爸爸的次

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书数并不多，但每次出现都是伴随着想

    法、做法和方法的，都是基于思考方

    式的。由此，爸爸打开了我认识世界

    的多个小路，多个小窗户。当我成为

    父亲以后，延续了这个做法，譬如陪

    伴儿子打篮球的过程，就是一种规则

    意识和对抗角色的思维排练。

    早期购买《妈妈教的数学》的读

    者反馈较多的是受到了启发，却难以

    在自己的生活中落实与操作。于是《

    妈妈这样教数学》就推出了。借助具

    体的示范，具体的活动和具体的模板

    ，将书中的内容贯穿到生活中，妈妈

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书可以三言两语就让孩子对难题茅塞顿

    开，就让孩子觉得好玩，就让孩子在

    不知不觉中，走进数学思维的天地。

    这三本书，就是这样的逻辑，让

    孩子一步步登上智力发展的阶梯，运

    用兴趣激活的方式让孩子的智力自然

    发展，同时系统地将智力发育、规则

    运用与思维方式训练为一种本能。凭

    借这牢固的基础，数学思维可以扩展

    到方方面面，成为智力构成的主干。

    数学是我一生的智慧源泉：从事

    市场营销工作，靠的是数学；从事销

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书售工作，需要掌握心理学，其中蕴含

    着数学中的“模糊的对策模型”；从事

    顾问咨询工作，靠的仍然是数学。在

    当下的大数据时代，数学就是我赖以

    生存的核心血液。数学也是一切科学

    的基础，是一切学问的皇冠。我并不

    介意将数学渗入我人生的过程和细节

    都揭示出来，让每一个爸爸、每一个

    妈妈都能获得启发，给孩子一个数学

    天地的魂，用来迎接未来千变万化的

    挑战。

    随我一本一本来，从《妈妈教的

    数学》开始，翻开第一页，起步……

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书聚辛堂juxintang.cn 每日电子书读书指南针

    感谢您购买这本书，我是孙路弘。正式阅读前，请让我先啰嗦几句：

    第一句：书中的日记。那是我童

    年的记载，源自我的小日记本，其中

    保留了当时不会写的字和用过的拼音。日记中的片段勾起了我对过去的回

    忆，这些回忆让我更加理解孩子与成

    人在视野和思维方式上的差异。看日

    记，权当是理解一个孩子的童心。如

    果你的孩子也是小学三四年级，不妨

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书让他们看看日记部分，他们也会学着

    开始写日记的。我的有些日记是在每

    一个回合的开篇，也有一部分穿插在

    行文中，不妨将它们当做时光穿梭机

    ，让你在我的童年与我的现今之间游

    离一会儿吧。

    第二句：测试题。 每个回合结

    尾还有测试题。测试题就是对读者的

    理解能力进行评估。一个回合阅读结

    束，内容都理解了吗，是否存在不理

    解的地方？这一章节的核心本质到底

    是什么，妈妈们能够完全领会吗？做

    一下测试题，就能帮您梳理一个回合

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书的梗概与要点。

    第三句：二维码。 二维码，不

    是文字；虽读不懂，里面却藏了太多

    的东西。不过，您手里的智能手机能

    够解码。用微信的“扫一扫”，然后镜

    头对准二维码，就能看到了。其中有

    我的讲解，是我本人亲自出马哟!尤

    其是通过阅读文字不太容易理解的地

    方，比如手指操，就可以扫一下旁边

    的二维码，把我召唤出来了。本书最

    后还有一个二维码，就是十道测试题

    的汇总，您可以在线上实时做题，测

    试自己的理解，马上得到答案解析。

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书好了，我啰嗦得够多的了，阅读

    一本书，就是开启一段文字的旅程，旅途中有我伴随。欢迎您随时用二维

    码把我召唤出来，给您说上一段。现

    在，开始你安静的阅读旅程吧……

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书引言

    每位妈妈都能锻造一个有

    价值的人

    我的妈妈是一个普普通通的家庭

    妇女，她怎么有能力教会我数学呢？

    在我小的时候，妈妈的任务无非

    就是给全家人做饭、洗衣，早晨叫我

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书起床、扔给我干净的衣服。10岁那年

    我上小学四年级，在我的印象中，我

    家住在一个筒子楼里，从楼梯上去后

    ，一边有5户人家，另一边有4户人家。9户人家共享3个卫生间、3个厨房。每个月，都有一家要负责收整个楼

    层9家的电费。由于没有电表，电费

    是按照人头计算的。

    轮到我家收电费时，妈妈会给我

    一张纸，上面左侧一列有每家应该缴

    纳的费用，而右侧是空格，用来填写

    收缴上来的实际金额。如果左侧应该

    收到的总数与右侧实际收到的总数能

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书够对上，收缴电费的工作就算完成了。我挨家挨户地去收钱，一收到钱就

    把金额写在右侧相应的位置，然后回

    家把钱交给妈妈。妈妈点钱，我负责

    将右侧的数字都加起来，然后把加好

    的总数写在纸上。

    有一次，我发现左右两侧的总数

    不符，简单一算，差三毛六。妈妈听

    了这个数后，连看都没看就说肯定是

    我把数字的位置写错了。我一一核对

    了一下，还真是，一家应该收五毛九

    ，我写成了九毛五。不过，妈妈清点

    了实际收到的钱数，却是正确的，也

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书就是说，是我粗心将数的位置写错了。吃过晚饭，我问妈妈：“你怎么连

    看都没有看就知道是位置写错了呢？”妈妈说：“差三毛六，是9的倍数，应该不会是加错了，而是位置颠倒了。”正是这句话让我陷入了长时间的

    沉静——至少对一个10岁的孩子来说

    ，连续三天都比较安静，没有那么多

    好奇的问题，算是够长时间了。

    只要差错是9的倍数，最大的可

    能就是位置颠倒了，这是为什么呢？

    没错，九毛五与五毛九的差就是三毛

    六，她是通过三毛六猜测到我将九和

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书五的前后次序弄错了。这里面有什么

    规律吗？如果写错位置的是八毛五和

    五毛八，那么差是两毛七，仍然是9

    的倍数；如果错的是一毛七和七毛一

    ，差是五毛四，还是9的倍数。也就

    是说，不管我错的地方在哪里，只要

    差是9的倍数，妈妈都会推测出是我

    将数字位置弄颠倒了。

    她是怎么知道的呢？这个问题不

    仅让我安静了三天，更让我将一生都

    投进了数学的天地。

    数学这个东西能够吓住许多人，聚辛堂juxintang.cn 每日电子书很多家长却仍然前赴后继地将孩子送

    上这条艰难的旅途。而生活中这么一

    件小事儿，就能够让一个孩子自愿自

    觉地去追求数学这门如此枯燥的学科

    ，其威力可真是不小。多少家长因为

    希望孩子学好数学而送孩子参加各种

    奥数班、补习班，费了九牛二虎之力

    ，最终却适得其反，使孩子一见到数

    字便心生恐惧。孩子遇到的困难越多

    ，内心的挫败感就越强烈。当家长们

    匆匆忙忙送孩子走上艰难的数学之旅

    时，大概从来没有考虑过孩子的心理

    感受，更无从谈什么兴趣激发、培养

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书和发展了。妈妈从来没有强迫过我学

    习数学，我也自然没有被数学吓住。

    我小的时候对数字、算术没有任何意

    识，也就是说，对我而言学的不是什

    么数学，也不是什么算术，而是游戏

    、是挑战、是好奇。

    试想一下，最初孩子的脑海中本

    来没有“数学”这个词汇，父母打算教

    他这么一门高深的学科，于是正经八

    百地说：“孩子，数学是所有科学的

    基础，必须学好，咱们今天就开始从

    数学的基础学起……”这样从一开始

    ，便在孩子的意识中树立了一个艰难

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书的认识，一个模糊的、似懂非懂的概

    念。当孩子发现父母、老师讲的许多

    话都难以理解时，数字、数学、算术

    就渐渐变成让他们恐惧的东西，其心

    理上就会本能地出现抗拒、抵触的情

    绪。这时，父母和老师又觉得孩子不

    听话、不配合，认为孩子的态度有问

    题，却不知道实际上是教学方法、教

    学形式让孩子无法接受。

    孩子在能力上不具备接受抽象事

    物的基础，反映出来的消极、逃避不

    是态度问题，而是能力有限的一种表

    现。如果从学前阶段就留下这样的心

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书理烙印，小学一二年级又得到进一步

    的强化，那么对孩子来说，数学从此

    就真的成了让人恐惧的东西。以后每

    当再遇到数学系的学生，他们就会心

    生敬佩，觉得能够学数学得多么聪明

    啊!其实，数学都是被父母、老师弄

    成这个样子的。

    让我感到自豪的不是我自己，而

    是我有一位难得的妈妈。收电费不是

    杜撰的故事，当然也不是神话，它来

    自真实的生活。此外，还有买日用品

    时让我口算钱数、乘公共汽车时让我

    去买票并核对找的钱是否正确等，这

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书样的生活细节培养了让我引以为豪的

    数学能力。从小学到初中，再到高中

    、大学，在数学领域建立起来的脑力

    成为支撑思想的能力，这些能力帮助

    我更快地理解一些复杂的事情，更快

    地掌握比较抽象的概念，更快地进入

    新的领域。等我自己成为数学教师后

    ，在与各种不同性格的孩子互动的过

    程中，我渐渐认识到，让我引以为豪

    的并不是我自己的能力，而是给了我

    这种能力的人——我的妈妈。

    妈妈的三言两语总是会让我回味

    无穷。每年，我家至少会轮上一次查

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书收电费的任务；每周，我都会有加总

    一周早餐费用的任务；每天，我都习

    惯性地计算一次下楼的楼梯数。在这

    些任务中，我有时能够做对，有时会

    粗心犯错。但是，我的粗心导致的诸

    多错误不但没有成为挨骂的理由，反

    而成了引领我探索数学天地的极大诱

    惑。妈妈指出过我忘记进位的错误，还指出过错位的错误。总之，她总是

    能够快速看出是乘法做错了，还是加

    法做错了。她的这种快速发现错误根

    源的能力总是让我十分感慨，在我成

    人之后更是如此。

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书妈妈才是孩子智慧启蒙的关键人

    物。在北京师范大学数学系求学的过

    程中，我选修的科目中有儿童心理学。这门学科强调，孩子学习任何新知

    识、掌握任何新能力、建立各种新概

    念的过程都是循序渐进的，不仅有术

    语的认识、熟悉、运用、掌握的过程

    ，还有亲自动手尝试的过程。这个过

    程可以在学校里由老师辅导来完成，可以通过同学之间的讨论来完成，当

    然也可以像小朋友玩游戏一样，在参

    与、体验、尝试中完成。从我幼儿时

    期的数数、掰手指加法，到儿童时期

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书的加减混合、一位数乘法，再到少儿

    时期的两位数乘法、简单除法，然后

    是智力思考应用题、火车追击问题、泳池排水问题、鸡兔同笼问题，及至

    初中的初等代数、初等几何，每个阶

    段都有妈妈的影子。妈妈没有上过大

    学，也没有资格当数学老师，甚至连

    幼儿园老师的资质也不具备，但她却

    启蒙了我的数学才智，培养了我一生

    不变的思考习惯。可见，能够真正启

    蒙孩子智慧的不是老师，而是妈妈。

    每位妈妈都能锻造出一个不同的

    人。任何国家、任何民族，其优秀的

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书儿女、杰出的人才都是由母亲哺育的。有人说，两个民族的竞争其实就是

    两位母亲的竞争。妈妈的细致周到成

    就了孩子的健康，妈妈的三言两语塑

    造了孩子的信念，妈妈的一点一滴启

    发了孩子一生的追求。在当数学老师

    的职业生涯中，发现每位妈妈都能够

    在有意无意之间传递一种知识、激发

    一个兴趣、点燃一簇火花。不断积累

    的知识最终会成为思想的基石，不断

    激发的兴趣最终会成就一生的事业，不断放射的火花最终会迸射出光芒，照亮世界、照亮人类，如明星闪烁般

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书灿烂辉煌，妈妈也就成了培养人才的

    伟大的人。

    爱因斯坦有这样一位妈妈，牛顿

    有这样一位妈妈，莱布尼茨也有这样

    一位妈妈。再看看中国历史，祖冲之

    有这样一位妈妈，徐光启也有这样一

    位妈妈。这些妈妈都是平凡得不能再

    平凡的人，教科书中没有她们的名字

    ，历史典册中也没有她们的传记，但

    她们的贡献与所哺育出的伟人的名字

    就镌刻在人类历史进程的丰碑上。

    对于妈妈而言，你的孩子在12岁

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书以前，都是你能够雕琢他的时候。每

    一个时刻的眼神，每一个瞬间的肢体

    反馈，每一次的呕心沥血、梦中惊醒

    ，都贯穿着你对孩子的影响——对孩

    子身体健康的影响，对孩子智力发育

    的影响，对孩子智慧启蒙的影响。你

    培育的不是孩子，而是民族的未来。

    那么，你打算如何启蒙他呢？

    任何一个两位数，比如48，都可

    以变成84，然后做一次减法会得到一

    个数，那个数一定是9的倍数。比如8

    4-48=36，36就是4乘以9的结果。你

    不妨再试试28这个数，先变成82，然

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书后做一次减法，得到的是54，54是不

    是9的倍数呢？多尝试几个，比如37

    、46、19，等等。

    神话来自神奇。我的妈妈并不知

    道这个规律的原理，但却知道这个规

    律，并在比较两个数字不同的时候运

    用了这个规律，让一个孩子觉得如此

    神奇，并将神奇延续下去，从而成为

    神来之笔，最终被艺术家变成神话。

    对孩子来说，原理其实并不重要，重

    要的是应用，把规律用熟、用透、用

    烂，从而激发出好奇心。在追问每一

    个“为什么”的过程中，孩子渐渐培养

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书了兴趣，获得了快乐，而科学的秘密

    也就一点一点地被揭示了出来。这一

    切让孩子陷入其中、不能自拔，不知

    不觉中挖掘的能力、探索的办法都成

    为习惯、成为本能。智慧源于其中，能力萌发于此。

    更重要的是，我的妈妈总是能够

    在日常平凡的生活中找到自然而然的

    机会来激发我的兴趣。借收电费计算

    错误的机会激发了我对数字倍数的兴

    趣，借乘车买票锻炼了我对减法的熟

    练应用，借买书培养了我口算、心算

    、连加的能力。多数妇女都能够生育

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书孩子，但却不是所有生了孩子的妇女

    都能够成为让孩子自豪的妈妈。寻找

    生活中的各种细节，并借机发挥，把

    话题引到孩子有兴趣的层面，这才是

    合格的妈妈应该做到的。

    当我50岁的时候，回顾自己已经

    走过的人生道路，我感谢的人是我的

    妈妈。她能够做到的这一切，所有用

    心的妈妈都能够做到，也一定能够通

    过对孩子智慧的启迪，对兴趣的激发

    、培养和促进，让孩子拥有更强大、更深刻的思考能力，从而创造美好的

    人生。

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书有人说，99%的父母是教不好自

    己的孩子的。还有一种更加鲜明的说

    法：再好、再出色的教师，也教不好

    自己的孩子。有趣的是，妈妈在她40

    岁谈到对我的教育时，她认为自己是

    失败的。根据是我没有成为大学教授

    ，没有成为科学家，没有成为知识分

    子。然而等到她50岁谈到对我的教育

    时，她认为一部分是成功的，比如我

    做人善良、比较正直、追求事业、不

    断努力。根据是我在不断学习新的知

    识，并努力进入全新的领域。等到她

    60岁再谈到对我的教育时，她的说法

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书是，她是成功的。根据是我仍然在从

    事教育领域的工作，并渐渐得到了这

    个领域的认可，获得了一定的知名度

    ，而且自我感觉有所成就、对社会有

    价值。

    在父母能不能教好自己孩子的这

    个问题上，为了比较客观地判断父母

    对孩子教育的作用和效果，请思考如

    下几个问题：

    ● 教好孩子的意思是性格

    好、智力高，还是品质

    好？或者还有其他的意

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书思？

    ● 教好孩子用什么来衡量？是考试分数、老师的

    赞扬，还是各种赛事的

    奖状？

    ● 教好孩子应该用孩子的

    哪个年龄阶段来衡量？

    妈妈用她的实践给出了答案，好

    妈妈胜过好老师。老师给的是知识、是理性、是系统，而妈妈给的是兴趣

    、是动力、是喜悦。妈妈，不是要成

    为家里的老师，而是成为一个启蒙孩

    子智力发育的朋友。在追随科学的路

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书上仅仅有知识、理性、系统并不足以

    启发孩子，往往还会是一种打击。人

    需要被自己的兴趣所驱动，而这就需

    要来自妈妈的细心引导与布局。等孩

    子长大、真正回头望去时，那种感激

    、敬佩便会油然而生，因为那既成就

    了妈妈的期望，也成就了自己的一生。

    请您打开这本《妈妈教的数学》

    ，让自己成为一位锻造有价值人才的

    妈妈。

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书聚辛堂juxintang.cn 每日电子书家里有一杆秤

    ◎4岁左右，孩子就已经对物

    体的重量有感觉了，能够比较

    不同物体的轻重。6岁左右，孩子就能够接受“轻重的不同

    是可以通过数字量化来比较的”这种认知。

    ◎眼睛看得多了，耳朵听得多

    了，并参与其中，看到自己的

    不同做法会产生不同的结果，也就开始对事物有了兴趣。重

    要的是，这一切都不是事先告

    诉你的。

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书我的爸爸在广播事业部文工团工

    作，他工作使用的工具是钢琴，输出

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书的结果是歌曲。我的妈妈年轻时身体

    不好，从部队离休了，她每天的工作

    就是照顾家庭、照顾我和弟弟。这样

    的家庭怎么会有一杆秤呢？

    上大学之后，我渐渐有了一些社

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书会意识，开始觉得在自己成长过程的

    点滴中，还有一些没有解释清楚的情

    况，于是翻阅起了从小学四年级开始

    写的日记，试图理解当时的情况以及

    当时自己生活的细节。我对家里有这

    杆秤感到十分奇怪，于是就此事向父

    母询问，才明白一个没有做过生意的

    家庭怎么会有秤。

    一天，我的父母在下班回家的路

    上看到一家商店门口排起了长队，妈

    妈不由分说赶紧加入队伍，排了一个

    多小时才进到店铺内，发现大家排队

    买的是秤。爸爸埋怨妈妈见队就排，聚辛堂juxintang.cn 每日电子书也不问卖什么。妈妈说，其实家里也

    是需要秤的，有时买回来的肉是按照

    两斤买的，却觉得根本就不到两斤，因此需要秤来称一下。两人也没有更

    多的争议，就把这杆秤买回家了。5

    块钱的秤，对当时每月工资才38块钱

    的家庭来说，不是一笔小数目。在那

    个什么东西都短缺的年代，只要有排

    队的，就意味着有东西卖，不由分说

    排了队再说的情况屡见不鲜，买到不

    需要的东西自然就是家常便饭了，这

    是妈妈排队导致的结果。妈妈说秤有

    用，而秤的价格不便宜，当然她就更

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书多地使用这杆秤了。

    妈妈肯定没有想到，1972年3月2

    1日，她给书包称重量这个举动深深

    影响了我。从那天起，我回家后的第

    一件事就是给我的书包称重量，后来

    开始给爸爸的茶杯称重量，家里10斤

    以内的小东西都被我称过了重量。有

    一天在学校，校办工厂车间许老师到

    班里讲勤工俭学要做橡胶圈的事情。

    下课后，我看到他喝水的大茶杯，用

    手掂了一下，然后自言自语地说：“1

    斤6两。”许老师听到了，看了我一眼

    ，笑笑说：“你说这个茶杯1斤6两？”

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书我没敢说话。等下午放学的时候，许

    老师到班里找到了我，让我去校办工

    厂。到了以后，他让我拿起桌上的茶

    杯，我掂了一下，他问我多重，我说

    差不多9两。他从办公室的门后取出

    一杆秤，把茶杯放上去称重，然后惊

    讶地对我说，你怎么光用手就能知道

    多重呢？

    我每天给书包、书本、铅笔盒、茶杯、水杯称重，都是自己用手拿上

    拿下，连续一个多月，手感就越来越

    准，当然能够做到用手称重了。当我

    有一个小小的绝活儿，能够让学校的

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书老师感到惊讶，并特别叫我到办公室

    去验证而不是批评我时，这对还是孩

    子的我来说简直就是天大的激励。

    记得有一天回家，妈妈见我又在

    给书包称重，她拿过来一个瓶子，瓶

    中有水，让我称一下重量。称完后，我在纸上写下：1斤6两。妈妈说应该

    写成1.6斤。接着，我把瓶中的水全

    部倒掉，再称是8两，然后妈妈让我

    写成0.8斤。这时，妈妈问我刚才的

    水有多重。我哪里知道水有多重，我

    都不知道斤是什么、两是什么，当时

    仅仅知道这些字代表了这个东西重的

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书程度。数越大，当然就越重了。不过

    ，在这种称重的过程中，我学到了10

    两就是1斤、1斤就是10两的知识，记

    得非常快，也理解得非常快，于是算

    出倒掉的水重8两，也就是0.8斤。

    对于小数点的接受过程是自然的

    还是人为的，对孩子的理解与应用至

    关重要。此时，我才意识到小数点的

    作用是更加容易得出两个数之间的差

    ，不然妈妈给我解释1斤6两减去8两

    将是多么大的麻烦。妈妈讲到1斤等

    于10两的时候，我说那么1斤6两不就

    是16两嘛，16两拿走8两，就是剩下8

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书两喽。

    小数点是数学历史发展过程中一

    个重要的里程碑，是数学领域的一件

    大事。这么一件大事讲给小学生听，唯一的结果大概就是成功地把孩子都

    吓住，使他们在平时生活中再也不敢

    碰相关的事情了。妈妈的成功之处就

    在于让我自然地接受了小数点的作用

    ，却没有用多么悠久的历史、多么辉

    煌的成就来培养我敬畏的心情和崇拜

    的心理。没有了类似这样无用的负担

    ，又与眼前的生活息息相关，接受起

    来自然就轻松得多了。

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书这件事至今仍令我记忆犹新，并

    不是因为我第一次知道自己喝了多少

    水，也不是因为算出了瓶子的重量，而是在那个星期五，学校算术课老师

    出了一道题，这道题让我牢记了以上

    所有的画面：一个瓶子中有水，连瓶

    带水共重8斤，倒出了一半的水后称

    了一下，重4.5斤，那么瓶子是多重？

    老师的题目出来后，我都没有举

    手就脱口而出了：“倒出了一半的水

    后重4.5斤，8-4.5=3.5，这3.5斤就是

    倒掉的那一半水，所以原来的水总共

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书有7斤，连瓶带水共重8斤，那么瓶子

    当然就是1斤了。”老师觉得我一定是

    以前做过这个题目，所以没有让我发

    言，而是给了其他同学更多的时间。

    我却开始不安、乱说乱动，甚至开始

    打扰其他的同学。我居然问：那么知

    道倒掉一半水后，瓶子里还有多少水

    吗？我印象很深，那天放学后我被老

    师留了校。老师让我说出来是在哪里

    事先学过的，我说不出来的结果就是

    妈妈被叫到学校领我回家。从此以后

    ，所有有关重量的应用题没有一个难

    倒过我，而且我都能以最快速度讲出

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书正确答案。

    物体的轻重是最容易让孩子理解

    量化作用的切入点。对孩子来说，重

    量是一个比较抽象的概念，要到小学

    五年级才会学到。书中比较明确的说

    法是：重量是物体受万有引力作用后

    的度量，一个物体重量的量化数字就

    是这个物体的重量。其实对孩子来说

    ，4岁左右就已经对物体的重量有感

    觉了，能够比较拿在手里的不同物体

    的轻重感觉。6岁左右，孩子就能够

    接受轻重的不同是可以通过数字量化

    来比较的这种认知。比如，通过看不

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书同罐头上标明的重量，就可以知道哪

    个拿在手里会轻一点、哪个会重一点

    ，而不用依靠手的感觉来区别。

    对物体进行数字量化、对温度进

    行数字量化，这些都曾经在人类文明

    的进程中发挥过重要的作用。仅仅通

    过看数字就能够知道哪个东西沉、哪

    个东西轻，这对孩子来说是神奇的，神奇的标志又是数字，我大概就是这

    样开始喜欢上数字的。每次跟妈妈去

    菜市场买菜的时候，我都是左手拎拎

    、右手拎拎，然后回家用秤来验证我

    的手感，并把重量写成数字。这样，聚辛堂juxintang.cn 每日电子书数字在我脑海中就变成了一个生活中

    的东西，可以用来标重量，也可以用

    来标温度，还可以用来标长度。数字

    打开了我脑海中量化事物的大门。

    小数概念的自然接触和掌握。

    孩子在学习算术的过程中接触到小数

    是五年级，而我在四年级的时候便在

    不经意间接触到了小数，即比1还要

    小的分量。妈妈没有给我讲小数的定

    义，也没有讲小数对数学的意义。对

    我来说，直接测量的时候，秤砣的位

    置在1的左边，就是不到1；如果落在

    1的右边2的左边，就是1点几。接受

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书一个对孩子来说比较抽象的小数概念

    ，对我来说是多么轻松、多么不知不

    觉啊!

    在学校的课堂上，老师一本正经

    地讲了40分钟，许多孩子还是觉得小

    数不就是比较小的数嘛。我在辅导小

    学四年级的孩子时，有的孩子给我举

    小数的例子时说：“1、2、3都是小数。”还有的学生说：“9也是小数。”我

    要求他们进一步解释，于是听到这样

    的回答：“我们现在都是8岁或9岁，还是小孩子，所以8、9都是小数。当

    然，幼儿园的孩子只有3岁、4岁、5

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书岁，他们更小，所以3、4、5就是更

    小数。”居然还有孩子说：“小学是一

    年级到六年级，所以1、2、3、4、5

    、6都算小数。”孩子往往都是通过自

    己体验到的生活认识事物的，产生这

    样的想法也不足为奇。经过我的循循

    善诱，不知不觉间，几个难点的概念

    他们都已经融会贯通了。寓教于乐就

    是来自生活的教育。

    亲手挪动秤砣，让手拎住的那个

    点的两边持平，然后查看秤杆上的刻

    度知道东西的重量，这样就可以学会

    斤两的关系。现在的孩子都是在学校

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书里学习这些内容，但学校并没有足够

    多的秤来让每个孩子都随意地使用。

    其实，在玩的过程中理解了知识，掌

    握了概念，学到的也是融会贯通的知

    识。让孩子在回家后能动手实践，不

    但没有消耗多少时间，反而让孩子觉

    得在玩中得到了更多、更全面、更实

    在、更实用的能力。今天教育界津津

    乐道的寓教于乐，说的不就是我妈对

    我做的事情吗？

    家里需要一杆秤。 等我到大学

    四年级学习儿童心理学时，才理解家

    里的这杆秤对孩子智力发展的作用及

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书其背后的本质原理。重量是一个抽象

    概念，只有与生活中身边的事情结合

    起来时，才会变成眼睛能够看见、手

    能够感觉到的具象的东西。这时，脑

    海中也就建立起了对应的数字概念，理解了物体重量的意思，并能够与手

    里的感觉对应起来，进一步刺激大脑

    皮层与手、数字、概念之间的联系。

    而缺乏这种体验的孩子在学习重量、长度、时间、温度的时候，就会仅仅

    停留在对概念的理解上，无法与具体

    的生活相结合。感谢妈妈那次无心的

    排队，感谢她购买了这样一杆秤，激

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书发了我的数字意识，激活了我的概念

    理解。

    如果你的孩子上学了，你家有这

    样一杆秤吗？其实，你不一定非要照

    搬我的成长过程。你可以把温度计利

    用起来，也可以用上尺子，这些都是

    人类文明发展历程中的里程碑。能够

    用数字计量事物，人类的智力就能够

    在前人的基础上进一步发展了。一杆

    秤，可以让孩子学到重量的概念，掌

    握数字的作用，体会小数点的方法，以及理解比1小的数的实际意义。不

    断地控制平衡，让不同重量的两边到

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书拎节点的距离不同就可以保持平衡……这些知识、术语、概念不知不觉地

    都变成了我脑海中的东西，仿佛我天

    生就会、天生就懂似的。

    其实，哪里有什么天生就聪明的

    人，哪里有什么天赋异禀的人，都是

    后天的环境、后天动手的活动带来的。眼睛看得多了，耳朵听得多了，并

    参与其中，看到自己的不同做法会产

    生不同的结果，也就开始对事物有了

    兴趣。重要的是，这一切都不是事先

    告诉你的。然而许多父母的做法是，在开始讲知识之前就说：今天要教一

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书个会影响你一生的东西……对孩子来

    说，这个套路起到的作用仅仅是恐吓；被吓得僵化以后，孩子对后面听到

    的东西也就变成机械模仿和简单重复

    了，毫无乐趣和生机。作为抚育一个

    民族的母亲，你可以对这种情况说“

    不”，你可以行动起来，让你的家里

    也有“一杆秤”。

    我从初中二年级起就想当老师，尤其想当数学老师。为了这个理想，我报考了北京师范大学。毕业后，我

    成为北京师范大学附属实验中学的数

    学老师。在教学中，当我看到学生在

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书理解概念的过程中遭遇的各种挫折以

    及他们拥有的各种与大人完全不同的

    理解时，我才有意识地去回忆自己学

    习这些概念的过程，才认识到妈妈给

    我创造的生活环境、给我营造的智力

    发育氛围、给我布置的智慧启蒙道具

    ，也才意识到不是所有的孩子都经历

    过类似的环境、体验过类似的氛围，或者接触过类似的道具。

    我很想问问妈妈，她是怎么知道

    环境的重要性、氛围的意义和道具的

    作用的。她没有上完初中就参军了，她怎么能够如此智慧地为我布下了成

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书长的“天罗地网”呢？妈妈的回答出乎

    意料：“我没有故意给你什么好的环

    境，也没有特别弄什么氛围、搞什么

    道具。只是顺着你做的事儿碰巧讲到

    了就讲到了，没有讲到也就算了。”

    这样的回答用一句谚语来描述还真是

    恰如其分，那就是“无心插柳柳成荫”。而我从事教育工作30年后体会到，那些望子成龙的父母们的做法与想法

    以及为此努力落实的方法，大多是另

    外一句谚语的折射：有心栽花花不开。

    一切皆有原因。 当我养成了数

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书学思考的习惯后，我就一直不相信世

    界上的偶然事物。妈妈做的事情对她

    来说可能是无心的，但一定有可以寻

    找、挖掘出来的东西，符合儿童学习

    认知的规律。一定有这样的方法，我

    妈妈不过是偶然契合。找到了这样的

    方法并揭示出其背后的规律，复制人

    们想要的结果，也就能够控制好花朵

    的开放。花朵不是无心随意开放的，有关温度、水分、土壤、气候等本质

    的规律必然存在，否则人类凭什么是

    万物之首，凭什么能随意到太空去转

    一圈、到地下去弄出黑色的煤炭来取

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书暖？

    凡事皆有因果，孩子的成长仅仅

    是许多因的一个果。多数家长要的是

    果，追求的是补习、做题、练习这些

    因。而从妈妈对我的影响过程来看，这些都不是什么真正的因，不过是表

    面的花拳绣腿罢了。智力启蒙一定有

    方法，一定有规律，一定有人可以主

    动控制的因。当一位好妈妈，有效地

    激发孩子形成数字概念，你完全可以

    做很多事情。

    妈妈教的数学

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书◎ 让孩子把手伸到冰箱中10秒

    ，问他有什么感觉，然后用

    温度计测量里面的温度。再

    让孩子把手放到冷水中，然

    后问他，是冰箱里凉还是水

    里凉，看孩子是否用温度计

    上的数字来解释。

    ◎ 问孩子是爸爸高还是妈妈高

    ，然后问他多高、高多少，并拿出尺子来测量，把测量

    的数字写下来。

    ◎ 告诉孩子一个游戏只能玩3

    分钟，然后开始计时，结束

    后告诉他开始时指针的位置

    、结束时指针的位置。再让

    他玩5分钟，让他自己计时

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书。

    ◎ 拿两个不同的杯子，问孩子

    哪个杯子里面的水多。接着

    取一个透明的瓶子，倒入水

    ，在水面(即瓶子对应处)

    画线，然后倒掉；再倒入另

    外一个杯子的水，就可以知

    道是高于那个刻度还是低于

    那个刻度，也就有了水的多

    少这个概念了。

    当然，如果你的家里也有一杆秤

    ，这一回中所讲的事情你就都可以做

    到。

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书从秤的使用开始，还是孩子的我

    ，学到了数字，学到了小数，理解了

    重量，并能够在手中实际感受到分量

    的感觉。这其实完全吻合儿童的认知

    过程。任何人学习新的东西都有三个

    基础模式，分别是触觉模式、听觉模

    式和视觉模式。试错是人类起源并发

    展的最早的模式，试错就是触觉模式。第一个回合中，通过不断地实验、体验、参与，手动的过程驱动了大脑

    ，从启动到疑问，接着就是想出来一

    些事情。这个过程是不能省略的，多

    少父母希望孩子快一点学到知识，快

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书一点掌握知识，快一点提高能力，实

    际上就是省略了探索的过程，彻底剥

    夺了孩子自然的发展步骤，最后即使

    学会也是没有过程的，容易遗忘的。

    这个回合中，还

    是孩子的我，主要是

    通过什么模式真正领

    悟了一些重要的概念

    ：

    A：触觉模式

    B：听觉模式

    C：视觉模式

    D：混合模式

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书(参考答案见全书末尾)

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书聚辛堂juxintang.cn 每日电子书指尖上的数学

    ◎参与的过程比最终记住的结

    果要重要得多。

    ◎每位妈妈都能够做到，在日

    常生活中带孩子玩好手指头，借此来启迪智慧、激发兴趣，获得与众不同的感觉。

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书记忆力这东西，不同孩子的表现

    真不一样。从一年级的时候开始，老

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书师就总是强调讲过的东西要记住，而

    且对班里的男生还要进行特别强调：

    不仅拼音、新字、符号——写在黑板

    上的都要记住，回家还需要按照老师

    的要求背诵指定的短文。

    老师在强调记忆力的时候对男生

    与女生的要求是不一样的，而且给我

    印象最深的是，她对我会格外严格。

    妈妈也说过，我粗心的原因就是记性

    不好。为此她还特别给我找来一些据

    说能够提高记忆力的食品吃，比如核

    桃、豆浆、菜花等。现代脑神经外科

    医学的研究结果也部分论证了妈妈的

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书这些不知从哪儿得来的土法子的正确

    性。比如豆浆来自黄豆，富含大量的

    卵磷脂，是大脑运行需要的主要物质

    ，菜花富含乙酰氯，是直接刺激脑细

    胞活跃的主要物质。

    虽然妈妈在食品上用心良苦，但

    还是无法帮助我快速记住乘法口诀。

    男生与女生的记忆力水平不同，就算

    都是男生，不同小朋友之间的记忆力

    表现也不同。我为什么就记不住那些

    知识呢？于是，她开始使用她的新方

    法——这次竟然是手指游戏。

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书参与的过程比最终记住的结果

    要重要得多。 一一得一，一二得二……七七四十九，七八五十六……三

    九二十一，四九三十九……每一次，不仅同学会笑，老师还会让我留校，让我大声朗读书中的九九乘法表10次

    、30次、50次，只要错一次，就额外

    再加10次，我简直恨透了这个玩意儿

    ，心想：“这有什么意思啊，就算我

    把3乘以9的结果弄错了，又能怎么样

    呢？犯得着这样嘛!”无奈的是，只

    有8岁的我，怎么能拗得过大人呢!

    上课如同受罪，被老师点名站起来回

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书答问题简直就是酷刑，留校更是命运

    的折磨!妈妈来学校接我回家就是快

    乐的时光，一路上我们便开始了各种

    游戏，包括手指头的游戏(图2-1)。

    妈妈： 2加6等于多少？

    我： 8。

    妈妈： 8加6等于多少？

    我： 嗯，14。

    妈妈： 还记得用手指头做的加法吗

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书？

    我： 记得!

    妈妈： 2加6用手指比给我看。

    我伸出双手，伸到自己眼前，一边一个一个地掰着指头，一边说

    ：“1、2、3、4、5、6、7、8，你

    看，这是8个指头。”

    妈妈： 好，我们重新来一次。把10

    个手指都伸出来，从你的左手开始数到4。

    然后把这个手指弯进去，现在还有几个指头

    是伸着的？

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书我： 9个啊!

    妈妈： 弯下去的这个指头左边有几

    个？

    我： 3个。

    妈妈： 弯下去的这个指头右边有几

    个？

    我： 6个。

    妈妈： 你是数到第几个指头弯下去

    的？

    我： 第4个。

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书妈妈： 你还记得4乘以9是多少吗？

    我： 三十……嗯，几来着……

    妈妈： 左边有3个，右边有6个，就

    是36。

    图2-1

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书我重新看着自己的手指头，把

    刚才妈妈说的做法从头做了一次。

    伸出双手10个指头，从左手开始数

    数，数到4，把这个指头弯下去，左边有3个指头，右边有6个指头，这就是4乘以9，是36。

    我： 妈妈，那5乘以9呢？

    妈妈： 数到第5个指头，弯下去，看

    左边几个右边几个。

    我快速地做了一下，左边有4

    个，右边有5个，那就是45。是啊

    ，五九四十五嘛!接着我又试了六

    九、七九、八九，直到九九。其中

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书在做到八九的时候，我右手的中指

    弯不下去，妈妈就帮我按住这根指

    头，左边7个，右边2个，就是72。

    这时从育民小学到回家才走了

    一半，妈妈不断提醒我看车、看路

    、看行人、看树，因为我一直在摆

    弄自己的手指头。

    第二天学校的算术课我就不害

    怕了，一个晚上在家里摆弄手指头

    ，乘以9的口诀都了如指掌，实际

    上我已经完全不用摆出双手，因为

    脑海中就是双手10个指头的影像。

    就这样，九九乘法表中乘以9的

    部分我再也不怕了，也再也没有出过

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书错。老师要求小朋友重复朗诵许多遍

    的意图，其实是想让孩子记住，我妈

    妈让我摆弄手指头的意图也是让我记

    住，但这两个过程却完全不同。机械

    地重复朗读，试图强迫自己记住，这

    是多么无聊、枯燥、折磨的过程啊!

    一点儿乐趣都没有。我妈妈想的法子

    居然是让我摆弄手指，摆弄了一个多

    小时仍沉醉其中。一个小时后，脑海

    里就全是这些不同组合的手指的影像

    ，不也记住了吗？结果都是记住一些

    知识，过程却有着天壤之别。

    老师和同学的认可是一种永恒

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书的、源源不断的激励。 随后的几天

    ，在一位数乘法上我就再也没有出过

    任何错误。我进步的速度非常快，从

    最差的一名，直接超越了班里所有小

    朋友。有时，我还会拿出手指头来摆

    弄一番，然后再说出答案。老师觉得

    我手里事先写好了口诀表，于是检查

    我的手掌，却发现我其实并没有看手

    掌，而是在看手背，可是我手背上没

    有任何字。老师给我出题：“四八多

    少？”我摆出了两只手，然后说：“32。”(图2-2) [1]

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书图2-2

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书老师让我停住两只手，当时我的

    左手有三个指头伸出，右手有两个指

    头伸出。老师发觉其中有奥妙，便问

    我是怎么弄的，我说不出来，也没有

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书说是我妈教的。在我的印象中，妈妈

    没有特别坐下来教过我什么。这一天

    我又被留校了，1973年5月15日，就

    是本回开篇的日记的来历。第二天，老师让我到讲台前把这个法子讲给所

    有同学听。他们的眼神让我觉得自己

    很神奇，老师的认同让我觉得记忆力

    差不见得是坏事，变一个法子反而可

    能更出色。

    自这件事以后，我在算术课上就

    没有走神儿过，也没有感到痛苦，因

    为同学们已经觉得我很神奇了，我当

    然不能轻易走下神坛啊!很难想象，聚辛堂juxintang.cn 每日电子书这居然成了我日后不断努力学习、做

    各种数学题目的动力。孩子的内心其

    实不仅在乎父母的认可，而且更在乎

    同学的认同；孩子的内心其实不在乎

    大家都做同样的事情但我是第一，而

    更在乎我做的事情与大家不一样，也

    得到了同样的结果，而且过程还有趣

    、好玩儿。

    多变换一些方法来讲解，我妈妈

    做得比一些老师要好!我的记忆力水

    平是否提高了，我自己并不清楚，而

    用手指头摆弄乘法这件事让我开了窍

    ：大家都追随的法子不一定就是唯

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书一的真理，如果那个法子不适合我

    (比如我的记忆力很差)，那么肯

    定有一个更适合我的法子。对天下

    所有的孩子而言都是如此。

    我当数学老师时要面对四五十名

    学生，课堂上讲授的方法确实能够让

    一半以上的学生理解、掌握，但这并

    不意味着另外不到一半没有掌握的学

    生就笨、就愚蠢，而是老师讲解的方

    法太单一，讲授的过程与孩子大脑中

    现有的内容没有形成匹配的接口。总

    之，孩子没有掌握、没有理解的主要

    原因就在于，父母、老师是否尝试过

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书用不同的方法来讲解知识。我的妈妈

    为了让我避开记忆力不足的弱点，用

    游戏的方式从手指开始展开了乘法的

    旅途，并让我变得与众不同、得到认

    可，这才是教育家所应该做的事情。

    手指对大脑发育的重要作用。

    孩子从3个月开始就会做啃自己手的

    动作了：先是啃拳头(因为手指还无

    法全部伸开)，等到四五个月的时候

    ，手指渐渐伸开，他们开始啃大拇指

    ，接着就是另外的4个指头。啃大拇

    指的作用最大，直接刺激脑细胞发育

    的作用高达50%；另外4个指头也很

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书重要，可以刺激大脑周边运动神经的

    连接。然后孩子开始用嘴去啃手能够

    抓到的东西。同样，四五岁开始学习

    加法的时候，用手指也是直接刺激大

    脑接受数量变化的好方法。从数学历

    史发展来看，十进制成为最常用的计

    算体系应该与人类有10个手指头有关。不过，在度量时间时，人们通常使

    用12进制，如一天的一半用12小时来

    标记、一年用12个月来标记等。

    如果大家都习惯让孩子用手指来

    练习加法，为何乘法不能这么做呢？

    没错，这些都是学校老师不会教的，聚辛堂juxintang.cn 每日电子书但却是启发大脑最有效的。可能学校

    的根本目的早就不是启发思维，而是

    便于管理、便于控制了。学校教的东

    西有多少在日常的生活中还有用有待

    核查，而学校没教的东西，有多少是

    我们日常的工作、生活所迫切需要的

    啊!比如手指对大脑发育在一岁之前

    的作用、在四五岁时的作用、在六至

    九岁时的作用都没有被列入教学大纲

    ，也没有几个老师了解，更别提掌握

    了。不过，每一位妈妈都能够做到在

    日常生活中带孩子玩好手指头，借此

    来启迪智慧、激发兴趣，获得与众不

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书同的效果。

    从儿童认知的过程入手来引导

    孩子学习。 我当了数学老师后，给

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书妈妈介绍我讲课的情况，包括我班里

    有11个奥数获奖的学生、我开始带一

    个小学奥数班的事情。我妈妈感慨地

    说：“看看你小的时候，怎么能想到

    你会成为一名数学老师呢？你4岁的

    时候还不会数数呢，比其他的孩子晚

    多了!快5岁的时候，你终于能数数

    了，可别的孩子都已经能数到300了

    ，你还在20、30上弄不清呢。不过也

    还是有一些征兆的，比如你会跳数，这可能与你用手指头数数有关。”听

    妈妈说了这些我小学之前许多的成长

    细节，我才慢慢发觉，妈妈用手指教

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书我乘法还是合情合理的，毕竟数数慢

    ，就只能依靠工具。四五岁的时候，妈妈让我伸出左手，用右手来数左手

    的手指头，我就是这样开始数数的。

    数到5以后，妈妈没有让我接着数左

    手的指头，而是让我原路返回(图2-

    3)。

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书图2-3

    当我数到23、24左右开始出错的

    时候，我妈问的问题是，转了几圈了？然后问我能不能在10圈内别出错。

    等我真的数到10圈，她又问我数到10

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书0会转多少圈。对于一个在中学执教

    的数学老师而言，这些都是无关紧要

    的问题，都是教科书中从来不会有的

    问题。它们都是太简单的问题了(图

    2-4)。

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书图2-4

    如果仅仅从数学这个角度来讲，是的，很简单!但如果从儿童心理学

    的角度来讲，这些问题不仅次序巧妙

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书，而且精确地切中要害，调动兴趣的

    作用异常显著。这不是从知识出发来

    考虑孩子应该学什么，而是从孩子认

    识事物的现状出发来推动其求知的进

    步，激发探索的兴趣。具体掌握多少

    知识可能并不重要，重要的是激发了

    多少兴趣。如果单纯灌输大量的知识

    反而失去了求学、求知、读书的乐趣

    ，那才是得不偿失的。妈妈的做法让

    我陶醉在过程的趣味性、参与性、互

    动性和探索性中，可能没有掌握多少

    知识，却使我养成了对知识追求的渴

    望，可以说，这种渴望驱动着我的一

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书生。

    一个孩子的执着程度取决于兴趣

    被调动起来的程度。当我开始回顾这

    些往事的时候，发现难免会有一些遗

    漏了的环节，小时候的日记又没有那

    么全面(没有想到40年后，这些日记

    的内容还能够对许多父母有所帮助)

    ，于是只能指望妈妈还记得当时的一

    些更加详细的内容。比如乘以9的方

    法用手指头解决了，那么乘以8呢？

    乘以8的方法是什么呢？还有乘以7可

    以吗？当时又是怎么解决的呢？我当

    然还是要询问当时的当事人——我的

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书妈妈。

    妈妈： 乘以8的方法是你自己想出来

    的啊!我就知道乘以9的法子，你追着问我

    乘以8、乘以7能不能也用手指的方法算出

    来。我说是，乘以9是最难的，最难的妈妈

    做出来了，乘以8该由你自己去解决了。

    我： 那么然后呢？我自己就做出来了？

    妈妈： 你自己都不记得了，你好像

    研究了一个星期，连吃饭都在掰你的手指头

    ，嘴里还念念有词的，我估计你是在弄那个

    乘法呢。

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书我： 那后来我是怎么做出来的呢？

    妈妈： 你没有跟我说啊，还是那次

    你被留校叫家长，我去了才知道你把乘法表

    里的所有数都用手指头做出来了。

    在北京师范大学学习了儿童心理

    学后我才知道，评价一个人对一件事

    情是否执着，通常要看他做这件事情

    的持久性。坚持做同样事情的时间

    越长，这个人的注意力、执着程度

    就越好，一生也更容易取得超过常

    人的成就。 妈妈说，在掰手指这个

    事情上可以看出来，我的执着度和注

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书意力都比较强。虽然老师经常对她说

    我纪律散漫、精力不集中，但她看到

    我连续几天都在琢磨一件事，便不太

    在意老师的评价了。

    老师可能看到的只是孩子注意力

    不集中的现象，却并没有思考其中的

    原因，也没有思考孩子到底是做什么

    方面的事情注意力不集中，是所有事

    情都不集中，还是你让他做的事情不

    集中。回顾我个人成长过程中妈妈与

    我的所有互动、游戏、交流，我认识

    到我能有那么强烈的执着程度和不达

    目的不罢休的意志力，不过就是投入

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书一件好玩的事情中的忘我境界，是兴

    趣在驱动着人的追求，是强烈的兴趣

    驱动着精力长时间地集中。

    作为父母，不要轻易地说自己的

    孩子精力不集中。有些老师这样说是

    因为老师希望所有的孩子都能够一致

    ，这样他们就省事了——老师才没有

    动力去发现孩子精力不集中究竟是因

    为都掌握了、都知道了，还是因为没

    什么新鲜的，老师怎么能承认自己图

    省事的动机呢!家长就不一样了，你

    让孩子做的事情，孩子可能注意力不

    集中，但换一个视角，孩子自己做的

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书事情是否有忽视外界存在的时候，是

    否有专注于一件对他来说有趣的事情

    而不吃不喝的时候，这才是评价执着

    程度的正确方法。兴趣能够驱动执着

    ，能够催生意志力，能够成就一生的

    事业。

    现在许多孩子从3岁起就具备数

    数的能力了，无论是自发的还是大人

    人为教的，他们都应该可以数数了。

    当孩子能够正确数到100的时候，作

    为启发智力的方法，妈妈可以参考如

    下的建议。

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书妈妈教的数学

    ◎ 向孩子示范可以倒着数数。

    比如你可以说，孩子，跟着

    妈妈数啊，99，98，97……

    观察孩子是否能够跟上，如

    果跟得上，自己的声音就可

    以渐渐小一点，最终只听孩

    子倒数；如果孩子连续20个

    都没有出错，就应该鼓励他

    倒数到1。

    ◎ 以上如果做到了，就可以鼓

    励孩子跳数。比如你可以先

    示范：2，4，6，8……看孩

    子是否能够自己跟上。

    ◎ 做所有这些事情的时候，没

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书有必要讲“这是偶数数列、这是奇数数列”这些大人的

    术语，只要他能够正确数下

    去，可以等将来他们有接受

    术语能力的时候再说，那时

    效果才好。可以这样跟孩子

    说：1，3，5，7……看能够

    数到多少。

    ◎ 以上都非常熟练后，就可以

    示范：3，6，9，12，15……还可以尝试1，5，9，13

    ，17……

    ◎ 这些都做到了，就可以鼓励

    孩子数自己一只手的手指头

    了。一个指头一个指头地数

    下去，问孩子前面我妈妈问

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书过我的问题，也可以问27落

    在哪个手指头上，并让他自

    己解释。然后可以问大一点

    的数，比如87落在哪个手指

    头上、129落在哪个手指头

    上。

    这些事情我妈妈都对我做过，至

    今回顾起来不免心生惭愧。我没有取

    得过什么令世人瞩目的成就、没有上

    过什么世界名牌大学、没有官位、没

    有CEO的头衔，但是我的生活是幸福

    的，我能够给周围的人带来价值。我

    不奢求改变世界，也根本就没有想过

    要改变国家或者民族，我想的只是能

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书回报父母，不给自己的亲人添麻烦，自食其力，给我自己的儿子以榜样，这难道还不够吗？

    一个孩子最扎实可靠的资本不是

    哈佛毕业，或者是什么冠军的称号，而是独立思考的能力。只有自己的学

    习能力、思维能力才是真正属于自己

    的东西，才不是外在的虚荣；只有自

    己有实力，才能够具备周遭可以取用

    的价值。

    任何妈妈在阅读了这一回后，都

    能够做到带着孩子去数数，教孩子数

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书手指头，启发他们的兴趣。在妈妈的

    辅导下，孩子可以进一步主动追求自

    己的兴趣，从而成为一个自信、快乐

    的人。

    数学诞生在手指上，指尖上当然

    有美妙的数学。

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书这个回合开篇的段落是从记忆力

    开始的。那么，指尖跳跃地数数儿的

    过程，与记忆力又是什么关系呢？

    每个读者自己尝试一下，你能够

    回忆起来的事情，最早能够到什么时

    候？能够到六岁前吗？能够到3岁前

    吗？根据现代脑神经研究结论，人类

    的记忆力大约从9岁开始，21岁左右

    达到顶峰。而9岁开始能够系统记忆

    的能力，则一定程度上来自2岁时大

    脑髓鞘的发育和发展。手指连接大脑

    神经元，通过小脑处理信号，反馈到

    大脑加工，再一次发出指令，手指依

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书据指令而作出相应的动作。不断地往

    返，享受玩的过程，脑神经活跃，都

    能激发髓鞘的扩张、连接和伸展。其

    实玩的不是手指，而是通过手指激化

    了大脑的发育。

    那么，为什么社

    会上流传着“上小学还

    用手指数数儿不好”的

    说法呢？如下四个都

    是可能的原因，哪个

    更加普遍？

    (普遍程度较高的选项排列在前面)

    A：很多来自传统的

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书说法都属于人云亦云。

    B：用手指数数儿就没

    有记忆力的锻炼机会

    了。

    C：其实没有想过这些

    说法的依据，感觉好

    像是对的。

    D：学校老师说过，要努力背下来，不能

    用手指。

    (参考答案见全书末尾)

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书聚辛堂juxintang.cn 每日电子书粗心到底是什么

    ◎儿童心理学让我了解到，孩

    子的本性越淳朴，就越不喜欢

    重复性的动作。如果妈妈换一

    个方法让孩子去做，那么主动

    性和被动性将会发生变化。

    ◎父母不要在孩子面前扮演无

    所不知的全能者，否则时间长

    了，当孩子养成凡事都问大人

    的习惯却遭到粗暴回绝时，他

    们探索世界的原生动力就在不

    经意间被消灭了。

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书当看到自己这两天的日记时，我

    还是产生了不少疑问。按照如今自己

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书已为人师表的眼光来看，有什么讲不

    出来的东西吗？为什么我没有讲呢？

    1974年，我当时上小学四年级，开始学习两位数乘法了。先是两位数

    乘以一位数，比如12乘以9、27乘以8

    等。老师教的方法是这样的：

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书我经常做成98。不过也不是每次

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书都错，做完作业妈妈肯定要检查一下

    ，10道这样的题，我总会错上两三道。妈妈一说，我就知道又是我忘记进

    位了。忘记进位有两种可能，一种是

    没有标记进位，另一种可能就是口算

    乘法后忘记做加法了，直接就写了9。改正前一种错误需要孩子严格按标

    准的流程做到，2乘以9以后，立刻要

    点上一个点儿。改正后一种错误就需

    要训练记忆力了。妈妈知道我从小记

    忆力不好，上一年级起就要求我写日

    记，可惜一直都是断断续续的。晚上

    睡觉前妈妈提醒了，这一天我就记了

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书；不提醒，就忘记了。现在，这个记

    忆力的问题开始影响我的学业了，妈

    妈又想了一个办法，让我在做乘法的

    时候，运用下面的方式(图3-1)。

    图3-1

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书不记得经过了多久，我很快就开

    始做两位数与两位数的乘法了，比如

    37乘以69(图3-2)。

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书图3-2

    按照妈妈教的方法，我一次就做

    对了。这个做法的过程中没有涉及加

    法与乘法的混合计算，而是先把所有

    的乘法都算完，然后再一起算加法。

    这样不用在下次算乘法的时候还要记

    住加上一次的进位，对记忆力的要求

    并不高。另外，这个算法不用理解学

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书校老师要求孩子强记的第二行错位(

    图3-3)。妈妈教给我的倾斜方向的

    算法，我根本就没有追问原因，而是

    当作神奇秘法之类的东西接受了。

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书图3-3

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书后来我进入北京师范大学，学习

    了儿童心理学之后才知道：孩子对于

    形式上明显的标志或者能够依赖的线

    条更容易接受；而对于按照某种格式

    来排列事物的接受程度就较低，除非

    将格子写在白纸上。比如，孩子从小

    喜欢画画，给他们不同尺寸的纸张，孩子开始动笔画画的时间就不同——

    拿到小一点纸的孩子动笔要快一点；

    或者在一张白纸上写字，如果画一个

    格子，要求孩子写在格子里，就容易

    一些。所以，妈妈教给我的格子乘法

    有很多好处，当然也有不足，那就是

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书需要不少纸，如果格子能够画得小一

    点，也可以节省一些。但比起总是把

    题目做错，多用几张纸就微不足道了。

    后来，我开始学习两位数和三位

    数的乘法，再到多位数的乘法，用的

    一直都是妈妈教给我的格子方法(图

    3-4)。小的时候没有意识到自己的

    做法与其他孩子的不同，而且我作为

    一个非常调皮的孩子，自然也不会得

    到老师太多的关注。我小学前三年都

    很淘气，在算术学习上也一直给班级

    拖后腿，不是粗心大意就是马马虎虎

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书，要不就是丢三落四。这些词汇我学

    得最早，因为老师对我说得最多。我

    妈妈没有说过这些，却总是想出方法

    来扬长避短。直到我长大，自己当了

    数学老师。

    图3-4

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书当年妈妈教给我的方法在教科书

    中并没有记载，后来我查阅了许多英

    文的数学历史书籍，才找到这种算法

    的出处。这样一种来自1 000多年前

    古印度的乘法计算方式，妈妈是怎么

    知道的呢？面对这个问题，妈妈回答

    得更加简单：“你外婆教的。”“那么

    ，外婆是干什么的？”“她是护士。”“

    那么她怎么知道的呢？”“我没有问过

    她。”……这样的追问恐怕只能停止

    在已经去世了的外婆那里。

    留下的更多疑问得不到妈妈的解

    释，也就只能靠我自己去探索。小的

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书时候，我能够探索的不过就是把所有

    作业都做完，然后自己再去乘更多的

    数字。而自己当了数学老师以后，就

    有能力探索更加广阔的世界，在英文

    数学图书中找到更多的线索。看看图

    3-5，你是不是觉得很熟悉？这是中

    国小学数学书中的九九乘法表。再看

    看图3-6，你肯定能够看懂，却不一

    定熟悉，不像看到一种从小就熟悉的

    事物或者图像那样有亲切感。

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书图3-5

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书图3-6

    图3-6是英国小学教科书中的九

    九乘法表。图3-5的表格有这样3个特

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书点：

    1.运算与结果在一起；

    2.格子与格子的关系是彼此孤立

    的；

    3.乘法的方向是单向的。

    而图3-6恰好是对应的，比如运

    算与结果不在一起；格子与格子是彼

    此有关系的，这些关系能够影响最终

    的计算结果；乘法的方向可以前后互

    换。在图3-5中，你可以找到三六一

    十八，却找不到六三一十八。但在图

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书3-6的表格中，你既可以找到3乘以6

    ，也可以找到6乘以3。

    通过这样两种表格学习的孩子，其思维也将形成明显的分化：图3-5

    的结果就是机械、教条，而图3-6的

    结果就是灵活、多变。两个表格都可

    以对孩子在10岁左右形成的思维造成

    影响，这些影响关乎孩子长大后的思

    维表现。

    如果将这个大格子进一步拆分，就能得到一些小格子(图3-7)。如

    果你手里有许多这样的格子，比如4

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书乘以3、5乘以7，就可以组成图3-8所

    示的四个格子。这样列出全部的乘法

    格子，做两位数之间的乘法就可以变

    成一个动手参与的游戏了。只要挑出

    正确的格子，按要求拼出次序，做一

    次加法就可以解决问题了。

    图3-7

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书图3-8

    从孩子学习新知识、新事物的过

    程来看，只要有机会参与、动手、体

    验，孩子在这些行为过程中就能够渐

    渐吸收许多东西。不同孩子吸收的东

    西虽然可能不同，但可以确定的是，都会有所吸收，比老师在前面讲、孩

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书子在底下听要有效得多。

    能够调动孩子求知的兴趣，这

    才是妈妈最大的成功。 成功并不是

    教会了孩子多少知识，而是把孩子追

    求知识的原始动机培养出来，也可以

    说是让它发育出来。这时，妈妈就退

    到了幕后，那个激发出来的兴趣会推

    动孩子自己向前走。

    面对妈妈给我的乘法表格，刚开

    始我还看不太明白，但当妈妈讲解了

    对应的第一排与第一列之间的关系后

    ，我就全懂了，而且看的时间越长，聚辛堂juxintang.cn 每日电子书就越能够发现其中许多有趣的窍门儿。比如，按照斜线去看图3-6，看到

    的数字就是1、4、9、16、25、36、4

    9、64、81，然后就知道原来两个相

    同的数字相乘后就得这几个数。看的

    次数多了，也就熟悉了，熟悉了也就

    似乎可以不用眼睛看着表格就能说出

    来了。当只看这一条斜线的数字没有

    什么新鲜感和挑战时，就会自然地关

    注到这条斜线旁边的数字。新的发现

    继续产生，比如，这条斜线上数字都

    比其左下角和右上角的数字多1。看

    看36的左下角和右上角是不是都是35

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书，而49的两个斜角上的数字一定是48

    呢？这些都是我当年就看出来的。

    要相信，孩子不需要你向他指出

    这些，因为如果是父母指出的，孩子

    不会觉得新奇，反而觉得你是家长你

    当然知道，才不会觉得他自己有什么

    新发现。你能够做的就是吸引孩子看

    这个表格的时间长一点，如果孩子对

    数字渐渐喜爱了一些，能够专注地看

    这个表格超过10分钟，一定能够发现

    这个斜角数少1的窍门儿。接着，可

    能就会发现更有意思的事情，那就是

    比49少1的数字48，这个数是6乘以8

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书得出的，恰好是7乘以7前面少1、后

    面多1得出的。因此我自己推测出：1

    7乘以19的结果一定比18乘以18的结

    果少1。通过计算我发现，还真是如

    此啊——前面的是323，后面的是324。

    当然，这个表格肯定还更多的规

    律隐藏其中，比如斜线左右的数字是

    对称的，每行从左到右都是加上一个

    固定的数，这个数就是这行最左边的

    那个数。每列的数也是一样，从上到

    下都是叠加的，加上的数字就是这一

    列最上面的那个数。这些发现都应该

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书是孩子自己的发现，都是书本上没有

    写出来的发现——至少没有写出来发

    现的过程。而孩子体会到的发现的过

    程，可以说就是思维扩展的旅途。在

    旅途上所看到的新奇、新鲜的事情，都会当作自己的收获，这种收获会激

    发更浓厚的兴趣，积累更扎实的数字

    习惯和数字意识。这才是激发孩子兴

    趣的正确途径。

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书大人们，无论是父母还是老师，常常在孩子面前扮演无所不知的全能

    者。时间长了，孩子就真的觉得大人

    们都是无所不知的，也就会养成凡事

    都问大人的习惯，并最终把大人问烦

    了而遭到粗暴的回绝——“你怎么这

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书么多问题啊!妈妈忙着呢，等会儿再

    说。”要知道，多少好奇心就这样被

    随意地埋葬了，多少求知欲望就这样

    被轻松地扼杀了，多少探索世界的原

    生动力就这样被不经意地消灭了。展

    示给孩子一些耐看、耐想的东西，剩

    下的就靠激发出的兴趣驱动他们自己

    去发现。

    通过孩子能够意识到的挫折入手

    ，是妈妈激发孩子兴趣的好时机。我

    自己并不想做错题目，我当然也想一

    次就都做对，而且我不认为自己做过

    的题目再检查一遍有什么意义。妈妈

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书应该怎么做呢？回想一下你作为妈妈

    是怎么做的。是讲大道理，耐心劝说？还是直接下命令，说都是为你好、以后你会懂的？或者你还用诱惑的方

    式——你就检查一遍吧，妈妈给你糖

    吃？这些都不对，你真心希望他自己

    检查一遍吗？

    请身体力行，让孩子看到你平时

    也是这么做的，要不就亲自替他检查。检查到错误后，不要立刻表现出不

    高兴的样子，说：“瞧，你这不是有

    错吗？”或者满是埋怨的口气：“怎么

    上次讲过的还错呢？”孩子毕竟是孩

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书子，他们出错是正常的，这也是大人

    们找到好方法的机会。此时，你要帮

    助孩子换一个方法来重做一遍原题目

    ，比如我做错了12乘以9，我妈就用

    一张白纸重新写了一遍，并教给了我

    另外一个法子。这样在我的心理上，就不是指出我有错误，而是让我好奇

    ，原来还可以这样计算，用的不是学

    校老师教的那个法子。后来发现两个

    方法的结果不同，我就开始核对，并

    重新做一次，这时重新做一次是自愿

    的，是出于核对两个不同结果的兴趣

    ，而不是被迫地、被妈妈吆喝着去机

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书械性地重复一遍相同的劳动。

    儿童心理学让我了解到，孩子的

    本性越淳朴，就越不喜欢重复性的动

    作。重复能够让这个动作更加娴熟，但对急于认识新世界、新鲜事物的孩

    子来说就不太适用。你让孩子自己检

    查作业，不就是让他做一次重复性的

    工作吗？如果你换一个方法让孩子去

    做，那么主动性与被动性就发生变化

    了。一个是因为你的要求而不得不重

    复，重复的时候他并不会表达自己内

    心的痛苦、抗拒、纠结，估计大人们

    也看不出来；另外一个是主动的，不

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书是重复，而是换成了另外一个法子来

    应对，这时的动力来自于自己，并在

    发现两者有不同的时候，不用等大人

    们说什么，而进一步地主动去找到原

    因。

    目前教育界常说的启发式教育不

    过就是如此。可惜，教育界内讨论的

    所谓启发式教育，都没有真正从孩子

    认知的次序和能力上切入，还是成人

    想当然地觉得他应该会这个，他应该

    有积极主动的行为来重复检查，等等。只要妈妈留心自己的孩子，当发现

    他出现错误、失误、挫折的事情很多

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书时，能在他面前换一种方式重新做一

    次，就比仅仅口头教育他重新做一次

    要更加深刻、更有刺激性。总之，要

    通过孩子的挫折和失误寻找激发兴趣

    的机会。

    作为一名教育工作者，我自己都

    不知道如何去推动一些教育内容和教

    育方法上的变革。比如，我多么希望

    小学课本能给孩子提供两种计算乘法

    的方式，而不仅仅是一种竖式的方法；至少给孩子提供机会选择他们自己

    偏爱的方式来计算乘法；至少在教科

    书中提供图3-6所示的乘法表，而不

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书是图3-5所示的乘法表，或者至少能

    够提供两个乘法表。这么做的目的并

    不是卖弄大人们有多少新颖的法子，而是给孩子们更多的选择，让孩子能

    够建立不同的习惯模式，而不是千篇

    一律，都是一个套路、一个模子雕刻

    出来的一样的思维。

    我自己就是一个与许多同学不同

    的人，遇到事情总是有不同的想法、不同的视角，而这些想法与视角总是

    能够得到同事、同学、老师的欣赏，并好奇我为何总是用不同的方式来思

    考问题。追本溯源，唯一合理的解释

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书应该就是妈妈不断示范给我全新的做

    法、不同的应对思路。那么多不同的

    方式，让我比同学更准确、更快，这

    都使我坚信自己的方法没有什么错误。与众不同的道路也能够实现快乐的

    人生，这个过程本身不就是价值吗？

    格子里有无尽的数学，有美妙的

    启迪，有太多太多新的发现等待孩子

    去探究。格子里的数学会给读者——

    你，这位妈妈带来什么启发呢？

    妈妈教的数学

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书◎ 你完全可以把格子画出来，展示给孩子看。测一测他是

    否有兴趣在格子里写上数字

    ，你写几个以后，问他另外

    几个分别该写几。

    ◎ 如果孩子在掌握了一些加法

    后，自己提出一个新的问题

    给你，你应该感到高兴，至

    少他在尝试去模仿你给他出

    题目的做法。

    ◎ 陪伴孩子去发现那些在表格

    中隐藏着的规律吧。

    关于第二点，比如在掌握了简单

    的一位数加法后，有的孩子就会不断

    问你新的数相加的结果，如7加9、10

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书加15，甚至有可能问你100加40是多

    少。从儿童心理学角度来看，这种表

    现是形成模式的阶段，作为父母，可

    以给他正确的答案，但要把自己计算

    的过程讲出来，讲的细节步骤越详细

    越好。讲了几次后，当孩子继续问时

    ，就可以摸到一些线索了。

    观察孩子对你前面讲的内容是否

    理解或可以模仿。孩子每次提出的问

    题不同，代表他在寻找不同点之间的

    规律。你可以这样说：“100加40，10

    0呢，就是10个10；40呢，就是4个10；那么10个10，4个10，就是14个10

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书；14个10，其实就是140。”讲完后，一定要给孩子再出一道题，比如100

    加30是多少，让孩子发现你话中的规

    律。孩子问99加66的话，你可以说：

    “99加1等于100，100再加66的话，就

    是166了。开始的时候没有那个1，是

    我故意加上的，所以要扣除出来(不

    要用‘减掉’、‘减法’这些术语，否则

    问题就会被转移到新术语的意思上了)。这样的话，166扣除一个1应该是

    几？”

    你能做一位什么样的妈妈是你自

    己的选择。缺乏足够的信息、故事、聚辛堂juxintang.cn 每日电子书案例，那不是你的错。但给了你足够

    的信息后，做不做，就完全是你自己

    的事了。

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书丢三落四、马马虎虎、粗心大意。这些词汇都是老师用来说我的，小

    时候，我甚至觉得这些词汇简直就是

    专门为我做数学题而发明的。长大后

    ，我学会一件事，普通人做任何事情

    ，只要有10%的出错情况，就说明，做事情的过程有问题，应该改善的是

    做事流程。通过流程的形式降低错误

    概率，而不是追究孩子出错这个事情

    ，大人还会出错呢!出错才是学习的

    机会。并不是让孩子觉得“我又错了”

    ，“我老是错”；长大后，脑海中都是

    出错的记忆碎片，而没有快乐的回忆

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书。父母生一个孩子，难道就是为了通

    过指责孩子的错误来体现自己的责任

    心吗？

    其实，孩子自己

    也不希望出错。得知

    自己做错了，对自己

    也是一种精神的挫伤

    ，类似刮蹭。刮蹭时

    间长了，次数多了，也就无所谓了。对孩

    子来说，大人不去纠

    正做题的过程，而指

    责孩子出错，并归结

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书原因为不专心、不认

    真、不集中。如下四

    个都是对孩子的刮蹭

    ，哪个是长期影响的

    、伤害最持久的情况

    ：

    (影响及伤害程度较高的选项排列在前面)

    A：失去对父母的爱。

    B：失去对自己的信任。

    C：不再喜欢这个学科。

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书D：不再愿意做题。

    (参考答案见全书末尾)

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书聚辛堂juxintang.cn 每日电子书默想是智力发展的敌

    人

    ◎5岁前养成的习惯往往可以

    本能地维持一生。尽早培养孩

    子说出自己的思考，可以是对

    自己讲，也可以是对家里人讲。

    ◎数学也是一样，玩儿一样说

    出来，说多了也就形成印象了

    ，就融会贯通，成为自己熟悉

    的事情了，也就不再感到害怕

    了。

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书聚辛堂juxintang.cn 每日电子书看过这段日记，我向我妈求证当

    时的具体情况，妈妈说不记得了。不

    过我问妈妈中间的日记怎么没有，妈

    妈说你懒呗，让你记你不记，说等到

    星期六多写一点，我就由着你了。

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书我是家中的老大，从小调皮捣蛋

    、喜欢恶作剧，总是不听大人的话，我爸经常说我是逆子，但妈妈没有说

    过。她身体不好，估计是没有力气说

    我，不写日记也就不写了，由着我说

    星期六多写，没想到我还真在星期六

    写了这么两张纸的日记。妈妈回忆了

    那天的情况，唯一还记得的就是那天

    最后做的是炒豆角，因为她隐约记得

    我一直在摆弄两个碗里的那些豆角段。那太好玩了，两个碗里的豆角段数

    相差16，一个是56，一个是40。我在

    日记本中这一天的后面看到了这么一

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书行：

    读者朋友，我不知道你是谁，也

    不知道你的年龄，所以不确定你是否

    知道龙梅、玉荣对我们这些20世纪60

    年代出生的人的意义。那可是大英雄

    ，我们的榜样啊!她们都是小学生，却做出了无比勇敢的事。老师如果说

    我与她们一样，那可真是光荣极了。

    我那天肯定非常高兴。

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书其实班里把羊数搞清楚的还有一

    半同学，但只有我在回答老师问题的

    时候讲清楚了。老师说他没看出来，这么调皮的孩子，脑子还挺好使的，可惜当时的具体字句现在是记不全了。后来我在教小学三年级的时候，特

    意要求学生做这个题目时把自己的想

    法说出来。

    两个牧羊人在一

    起，一个说，你给我8

    只羊，我们两个的羊

    只数就相等了。另外

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书一个说，不用，如果

    你给我8只羊，我就比

    你多一倍了。问：原

    来两个牧羊人各有多

    少只羊？

    我记录过如下的算法：

    韩晓梅： 如果一个牧羊人给另外一

    个人8只，两个人的羊数就相同了，就说明

    之前两人的羊数差16只。反过来，从少的

    那人那里拿走8只给原本羊就多的那人后，两人应该差32只。这时，一个人的羊数就

    是32只，另外一个人是64只。把挪过来的

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书羊补回去，那么原来那个人就是32+8=40只

    ，另外一个人是64-8=56只了。

    以上内容摘自我1985年10月27日

    的日记，这个叫韩晓梅的学生应该是

    北京第二实验小学三年级的学生。当

    时我正在北京师范大学附属实验中学

    当数学老师，受学校委托组建小学奥

    数班，主要从北京第二实验小学三年

    级招收学生。当时从8个班中，我们

    招来了21个孩子，韩晓梅是其中的一

    位。另外一位叫许军的孩子还有一种

    算法。

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书许军： 如果一个牧羊人给了另外一

    个8只就多一倍了，这个时候两个牧羊人之

    间羊的数量相差16只，多的一倍就是这16

    只，那么16只加16只，就是32只。把拿走

    的那8只还回来，这个牧羊人就有40只，而

    另外那个人有56只。

    两个人都得出了正确的答案，但

    许军的说法更跳跃一些，隐含的理由

    较多，而且更快——韩晓梅用了一分

    半，许军用了不到一分钟。

    我不记得自己当时究竟用的是韩

    晓梅的算法还是许军的算法了。我能

    够记得的是，每次做类似这样的算术

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书题，妈妈都要求我把思考的过程说出

    来。就如同当年数碗里的豆角段，每

    次挪动了豆角段后，我都会把碗里还

    剩下的数出来。清点的过程可以不断

    强化对眼前材料的感觉。把实体的材

    料在手里拿过来、拿过去以后，就渐

    渐在脑海中成型，说出来，题目也就

    得到了解答。

    当时在班里，许多孩子都能够做

    出这道题目，但至少能够把过程讲清

    楚的我是第一个，是不是还有第二个

    、第三个，由于老师没有再叫其他小

    朋友回答，我也就无从知晓了。把思

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书考的过程说出来，这个方法是从我学

    习加法妈妈就开始要求的。一位数相

    加的时候，就必须这样说：6加7就是

    从6开始数数，7、8、9、10、11、12

    、13。所以6加7等于13，数了7下，意思就是6加7了。

    当时我还小，妈妈会配合手指头

    来表现。她是这样做的：先让我用手

    指头摆出6来，然后她自言自语地用

    自己的手指头摆出7来。我自己数完

    手里的6以后，就跳到她的手指头上

    ，接着6继续数，数完她已经摆好的7

    个指头，最后那个指头就是13。当妈

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书妈发现我有跳数的习惯或者我在转换

    到她手上时有不敢继续的犹豫，她都

    鼓励我大声读出来，渐渐地，我的胆

    子也就大了，就更加敢数了。说出思

    考过程是一个重要的启发智力的方法。能够说出来的思考，印象也会更加

    深刻。

    我自己当了数学老师以后，尤其

    是在带小学奥数班的过程中，对这些

    十多岁的孩子的要求就是在拿到题目

    后要大声念出来，然后继续说下去，想到什么就说什么。他们在解题的时

    候确实会慢一点，随着边想边说的习

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书惯慢慢形成，解题的思路就越来越清

    晰了。我们通过听他们的思路，也就

    能够准确地把脉孩子解不出题目的症

    结之所在。

    有些妈妈陪孩子学习，看着孩子

    的眼睛滴溜儿地转来转去，知道他在

    思考，却不知道他在思考什么，也不

    知道他思考的方向是否正确，直到孩

    子说出了结果，妈妈才知道对错。其

    实，这已经失去了把脉的最佳机会，也就是对过程的关注。要求孩子说出

    来其实并不难。

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书现在，我学生的孩子都渐渐长大

    了，有时这些学生回来看望我的时候

    也会带他们的孩子来。有一个4岁孩

    子的妈妈自豪地说：“不光是加法的

    问题，我这孩子连减法都会了。”我

    有些惊讶，于是问孩子，37减13是多

    少啊。孩子张口回答：“37先减去10

    ，就是27，然后27再减去3，就是24。”确实厉害，并不是答案正确才厉

    害，而是有本事把思路说出来才厉害。原来，我这个奥数班的学生从我这

    里受到的最重要的启发就是利用说话

    推动思考。在美国科研机构工作的她

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书自己也是受益者，经常因为能够率先

    把思路说清楚而得到重用。有些学者

    能够在纸上完成的东西，就是无法通

    过语言表达出来。这两种能力有着重

    要的差别：能说出来的人有优先权，当然也一定能够写出来；而能够写出

    来的人却不一定能够说出来，通常也

    会丧失机会。

    我在小学前做20以内加法的时候

    ，经常被妈妈要求把想法说出来。比

    如12加7，那就是从12开始数数，数

    完7次停留的那个数就是相加的结果。我的说法是，现在是12，然后是13

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书、14、15、16、17、18、19，数了7

    下吧，12加7等于19。12加16的说法

    是这样的：12先加一个10，就是22，然后数6下，23、24、25、26、27、2

    8，所以12加16就是28。

    5岁前养成的习惯往往可以本能

    地维持一生。尽早培养孩子说出自己

    的思考，想到什么要讲出来，可以是

    对自己讲，也可以是对家里人讲。说

    出来的任何内容都是对自我意识的超

    越，建立在自我思维的水平之上。这

    就相当于为自己制造了双核的计算机

    处理器，无论是在速度上还是深度上

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书，都肯定能够超越单核的处理器。

    以下展示的是我更多的教学记录

    ，做题人都是从奥数班选出来的孩子。

    一个院子里有鸡

    和兔，大人看不清楚

    ，只能看清有35个头

    ，还看到了94只脚。

    问：其中有多少只鸡

    、有多少只兔子？

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书刘晶晶： 有35个头就是说兔子和鸡

    一共35只。都是鸡的话应该有70只脚才对

    ，多出来24只脚，肯定是因为有兔子。兔

    子的脚比鸡多两只，那就是12只兔子了，所以，35只动物中12只是兔子，剩下的23

    只就是鸡。

    程哲： 有94只脚，如果都是鸡，就

    应该有47个头，实际却

    只有35个头，少了12个头，这

    12个头就应该是脚多的兔子。所以

    35减去12只兔子，就是23只鸡。

    当时班里有人做不出这个题目，听孩子自己说出思考过程我才了解到

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书，做不出来的孩子是因为没有见过兔

    子，也就不知道兔子有4条腿。脑海

    中没有兔子的概念，做这个题目的难

    点当然就不是思考，而是根本就没有

    理解题目。一旦对题目理解了，那些

    绕弯的数学思维也就易如反掌了。

    140个乒乓球被放

    到了两个篮子里，从

    其中一个篮子里拿出1

    5个乒乓球放到另一个

    篮子里，两个篮子中

    球数就一样了。问：

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书原来每个篮子里有多

    少个乒乓球？

    王放： 140减去30是110，一半就是5

    5，那么原来一个篮子中是55个，另外一个

    里面是85个。

    张诚东： 一共140个，如果球数相等

    就是一个篮子里有70个，所以拿走15个，就是55，多了15个就是85。

    当你能够收集到自己的孩子对这

    些题目的反应的时候，你才知道孩子

    脑海里的思路是多么简洁、多么优美

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书。尽管许多孩子都能够得出一样的正

    确答案，但却有那么多不同的过程、不同的走向、不同的线索、不同的习

    惯。让他们说出来的同时，孩子之间

    也分享了更多的思路和方法。作为妈

    妈，你至少可以先让自己养成说出来

    的习惯，然后再示范给孩子，甚至可

    以从孩子手边正在做的事情开始，比

    如让他说“我现在去上学”、“我到家

    了”，等等。

    约占87%的中国大学毕业生评价

    自己性格内向，这是一个多么大的比

    例啊!那么，这么多不善于讲话的人

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书彼此之间如何合作呢？都单打独斗吗？培养把思考过程讲出来这个习惯不

    仅有助于建立并梳理其数学思维、提

    高数学思考能力，还能够改善其性格

    ，提高语言表达能力。这也许就不仅

    仅是学好数学这么单一、简单的事情

    了，更有着影响人一生为人处世的重

    要意义。

    回顾自己40多年前的日记，我常

    常感慨妈妈的用心良苦。某道题没有

    完成时，我以为妈妈回来晚了肯定就

    不会看我的作业本，后来才知道，妈

    妈会在我入睡之后，一页一页地看我

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书的作业本。那些掐豆角的记忆碎片，长大后要通过日记才能够前后拼凑起

    来。原来整个就是妈妈布的一个局，事先设计好了前后次序及道具，并任

    由我玩这些将要吃的东西。不像隔壁

    邻居家的妈妈，孩子玩了米都要挨一

    顿骂。不过也不难理解，那个时候贫

    穷，家里有点米，那是珍贵的粮食，怎么能拿来玩呢？后来我与邻居家这

    个孩子闲聊才知道他玩米的游戏内容。我当然毫不示弱，立刻就把家里的

    米袋弄出来了，当时真不知道数大米

    能够耗费那么长时间。

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书他比我高两个年级，他说学校老

    师讲了一个故事。传说很久以前，有

    一个国王奖赏大臣，不知道大臣想要

    什么，就让大臣自己说要什么。大臣

    就说了，你看见那个有64个格子的棋

    盘了吗(图4-1)？第1个格子放1粒

    米，第2个放2粒米，第3个放4粒米，第4个格子放8粒米，第5个格子放16

    粒米……64个格子的米都给我就行了。国王听了哈哈大笑，说：“大臣真

    是不贪功啊，就要这么点奖赏，给了!来人，去粮库拿一袋米来。”国王

    派人开始放米，结果最后，大臣被拉

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书出去砍头了。

    图4-1

    我这个邻居小朋友肯定是上课走

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书了神儿，我问他为什么大臣被砍头，他说不知道。所以，他回家后就开始

    在棋盘上摆米，结果被他妈妈骂了一

    顿，差点还被他爸打一顿。小时候的

    我肯定是愣头儿青，拿出我家的米就

    开始在他家的棋盘上摆了起来。直到

    后来长大了，我才知道这个故事的来

    龙去脉。人家故事里说的其实是国际

    象棋的棋盘，他家只有中国象棋(图

    4-2)，那棋盘是不一样的，所以我

    们摆到第4个格子时就恍惚了。你看

    一下第4个格子，中间有一条斜线，老师没有说这样的格子应该当成一个

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书格子还是当成两个格子。争议不清，我们只能当成一个格子来放米。这一

    行到最后一个格子的时候，已经不太

    容易将128粒米都整齐地放进去了；

    到第二行的第一个格子困难就更大了。

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书图4-2

    这时，我们将书包中的书本都拿

    了出来，当作其中第二行的格子来放

    那些米粒。4本书、3个作业本都堆上

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书了米粒。第三行第一个格子的米粒更

    多了。我们正在想怎么摆这第三行的

    时候，我爸回来了。我妈一直都在家

    ，知道我们在玩米但没有管我们，我

    爸回来发现楼道地上摊了一个棋盘，旁边是书本，上面都是大米，严厉地

    问：“你们干什么呢？”“我们给大臣

    算奖赏呢。”

    我记得那天是下午两点多到家的

    ，开始弄这一袋米差不多就是这个时

    候，到我爸回家已经快六点了，我们

    俩连第三行都还没开始摆呢。我脑海

    里关于那天玩米的经历大概就是这些

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书了。今天回想起来，我还是会疑惑，那到底是多少米呢？为什么后来国王

    干脆杀了那个大臣呢？

    为了把这个问题弄清楚，我干脆

    自己重新来数大米。我数了10粒米一

    堆儿的，50粒米一堆儿的，100粒米

    一堆儿的(图4-3)，等到500粒、1 0

    00粒、10 000粒时，已经耗费了两个

    小时的时间。然后，我开始计算到底

    应该给多少大米，其实就是：

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书这到底是多少大米？我测量了一

    下我手里现有的大米，大约40粒米是

    一克，那么1万粒大米就是250克，4

    万粒大米就是一公斤了。上面那个数

    字太大了，就算变成重量，也要大概

    9 000万吨大米。现在全中国一年的

    大米产量不过就在3 500万吨左右，也就是说，当时那个大臣要的大米量

    放在今天都拿不出来，何况那个时候

    ，所以国王就狠心把这个大臣杀掉了。

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书图4-3

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书这里的重点不是计算出多少大米

    ，而是听完这个故事之后会有多少小

    朋友较真儿地去数一下、算一下，自

    己来发现其中存在的各种各样的问题

    ，而不是听过故事就完事了。我问过

    我妈妈关于这个故事的许多细节，比

    如当时国王用了多长时间来数大米并

    放到格子里？当时参与数大米的人有

    多少？当时他们是不是把64个格子的

    大米都数完了？当然，最后肯定是因

    为没有米了，还有好多格子没有填上。那么，数到第几个格子才发现粮库

    里一点米都没有了呢？

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书这样追问细节是出自严密的思维

    ，还是出自好奇心？孩子最初能够提

    出许多这样的问题，其中有一些有逻

    辑、有含义，有一些可能无厘头、毫

    无意义，但父母不能因为潜在的问题

    就打压孩子提问的行为，这样不仅会

    导致他们再也问不出问题来，而且会

    让孩子对听到的、看到的事情不再进

    行深入的思考。

    不打压孩子玩米的行为、不打压

    孩子提问的行为，这些都是我的妈妈

    无意中做到的。说出解题的过程，说

    出听到故事时脑海里涌现的疑问，或

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书者说出好奇的联想，这一点对我来说

    就是本能，是环境造就的。我没有被

    打压过，没有因为求知好奇、探索新

    鲜事物而被训斥过、被惩罚过。我的

    这些习惯，我发现我弟弟身上也有。

    这就不是偶然的了，而是在一种共同

    环境下成长留在人身上的烙印。

    读完这一回，作为孩子的妈妈，你决定做些什么呢？

    妈妈教的数学

    ◎ 你能够做到每天至少三次在

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书孩子面前把自己的思考过程

    说出来吗？

    ◎ 你能够耐心倾听孩子诉说自

    己的思考过程吗？

    ◎ 你能够给孩子更多的空间，让他随意探索家里的任何事

    物吗？

    人类与动物的不同在于有语言。

    西方哲学就起源于苏格拉底的谈话，他的哲学体系、逻辑体系是说出来的。把自己的思考、思想说出来，让孩

    子养成这样的习惯，将对他探索任何

    事物都有帮助。数学也是一样，即使

    玩儿一样说出来，说多了也就形成印

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书象了，就融会贯通，成为自己熟悉的

    事情，也就不再感到害怕了，这就是

    说着玩儿的数学啊!

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书用心倾听饭桌上的聊天，人们说

    一个事情的时候，用了很多话，比如

    用了300个字，然后理解一下这个事

    情，看有没有人能够用200个字说明

    白，或者有人用100个字说明白。语

    言是思维的反映。做数学题尤其如此

    ，一些题目不会做，实际上是没有理

    解。任何题目都是浓缩了的，精练的

    语言表达，孩子在学习时，尝试把题

    目用自己的话说出来，这就是一个训

    练——思维的训练。说的过程，有时

    就开窍了，一下就明白了。

    那么，学校体系

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书内，这种把题目说出

    来的做法并不普遍，这样符合规律的事情

    ，是什么原因没有得

    到普及呢？下面都是

    可能的原因，你认为

    哪个可能性最大：

    (可能性较大的选项排列在前面)

    A：老师其实也不知

    道认知心理学原理。

    B：学生人数太多，听

    不过来每个学生讲。

    C：中国文化有默想、聚辛堂juxintang.cn 每日电子书静思的传统。

    D：学生已经被打压

    惯了，不想说。

    (参考答案见全书末尾)

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书聚辛堂juxintang.cn 每日电子书应用题的关键难点

    ◎从孩子早期接受数学概念的

    能力来看，语言理解是最基础

    的一关，也是最初的难点。培

    养孩子对数学词汇的熟悉、理

    解，并渐渐形成认知。这样，当孩子再遇到应用题时，题意

    理解这一关就可以轻松跨过了。

    ◎生活中越经常地接触到具体

    、具象的数量，并得到及时的

    启发，孩子就越具备主动走向

    抽象的能力。

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书我15岁以前有关饺子的日记，只

    有这两篇。从这两篇日记中，可以看

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书到一个11岁男孩生活中数字的若隐若

    现。数学的基础就是数字，数字不仅

    可以写成文字，还是一个数量，即字

    面的后面是一个量。能够知道有多少

    个饺子是对量的认识，而能够知道谁

    包的饺子多，就是对量的比较，比较

    能够强化对量更加深入地认识。数学

    就是从这种对量的比较中逐步建立起

    来的。

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书对孩子来说，比较的事物必须要

    有具象的意义，这两篇日记中体现的

    就不是单纯地比较数字，而是用来解

    释现实生活中饺子的数量。包饺子对

    孩子来说很好玩，是一个动手参与的

    过程。我妈妈在我玩的时候顺便让我

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书理解了数量之间的比较，更重要的是

    理解了爸爸比我多包39个饺子的数量

    意义，理解了一样多的实际意义，理

    解了我包的是妈妈的3倍的具体意义。

    这里有一些词汇，读者朋友们不

    妨先看看自己是否理解：

    乘积 扩展 增加 减少 相差 相同 最

    小的 最大的

    最多的 最少的 一样 一半 两倍 同向

    相向 相遇

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书这里仅仅列举了16个词汇，都是

    小学数学教科书中出现频率较高的，尤其是在应用题中会大量出现。这些

    也恰好是孩子在做应用题时常遇到的

    最大难点。对孩子来说，难点不是数

    字之间的运算，比如孩子很容易计算

    47-8=39，却不容易把爸爸比我多包3

    9个饺子变成数学意义上的减法。也

    就是说，孩子在面对应用题时最大的

    障碍在于，能否正确地理解一段语言

    表达的意思，尤其是能否将这段语言

    表达的意思变成数学上加减乘除的运

    算形式。

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书读者朋友们，如果你们不介意的

    话，请再接受一个挑战，那就是把上

    面那16个词汇讲给自己的孩子听，看

    他们是否能够理解。检验他们理解与

    否的方法就是让他们举出例子来，比

    如用他们生活中自己看到的、听到的

    、数过的东西来讲解。

    正如妈妈让我包饺子的过程，真

    的不光只是好玩的包饺子而已，更是

    润物细无声地讲解了抽象的数学概念。如果孩子能比较自然地理解这些抽

    象的数学概念，下面这几道题就容易

    多了。

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书有三根铁丝，第

    一根的长度是第二根

    的6倍，第三根的长度

    是第二根的一半，第

    二根长10厘米。现在

    要把它们截成一样长

    的铁丝而且无剩余，并且要使每段铁丝尽

    可能地长。问：可以

    截成多少段？每段长

    多少厘米？

    有两列火车，客

    车长200米，每秒行驶

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书30米；货车长300米，每秒行驶20米。两车

    在平行轨道上齐头同

    向行驶，问：几秒后

    客车超过货车？如果

    两车相向而行，从相

    遇到错车而过需要几

    秒？

    三年级三个班的

    少先队员为美化校园

    环境自己动手种花，一共种了265盆。一班

    种的是二班种的2倍，聚辛堂juxintang.cn 每日电子书三班种的比一班种的

    多5盆。问：三个班级

    各种了多少盆？

    画展9点开门，但

    早有人排队等候入场

    ，从第一个观众来到

    时起，每分钟来的观

    众一样多。如果开3个

    入场口，9点9分就不

    再有人排队；如果开5

    个入场口，9点5分就

    不再有人排队。问：

    第一个观众到达的时

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书间是8点几分？

    这4道题都涉及抽象的语言概念

    ，分别是：6倍、一半、无剩余、尽

    可能长、同向、相向、错车、2倍、多5盆、每分钟一样多、不再有人排

    队。以上4道题都选自一些小学奥数

    类的图书。编写这些奥数训练图书的

    老师都是小学老师，经验丰富，对数

    学思维的运用也很熟练。但最大的缺

    陷就是，这些图书是从编写老师的视

    角出发的，题目中涌现出大量抽象的

    语言词汇，其实并不是在测试孩子数

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书学量化的能力，而是在测试孩子对抽

    象语言的理解能力。而图书中最缺乏

    的就是对词汇的注解——对词汇进行

    简单解释，用孩子易懂的话来把事情

    讲明白。

    我也是在从事了数学教育之后才

    渐渐理解了那些书本上的心理学术语

    的含义，比如，具象的事物对认知过

    程的意义总是大于对抽象词汇的理解。一项针对来自俄罗斯、德国的天才

    儿童的研究揭示了如下3个结论：

    ● 天才儿童的卓越之处主

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书要体现在对抽象词汇、抽象关系的掌握中。

    ● 生活中越是经常地接触

    到具体、具象的数量，并得到及时的启发，孩

    子就越具备主动走向抽

    象的能力。

    ● 数学方面的天才都具备

    对语言中词汇的特殊理

    解能力。

    比如前面的第1题，如果妈妈能

    够在孩子面前摆出三根线来，让孩子

    一根一根地测量，这道题完全可以做

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书出来。并且在做的过程中，孩子能够

    渐渐理解“6倍”、“一半”、“尽可能长”的意思。如果一定要用数学语言来

    说，这道题背后的概念就是“最小公

    约数”，但完全没有必要让孩子去理

    解“公约数”这个概念，用现实中缝衣

    服的线来实际演示就可以了。等孩子

    非常熟悉并可以快速地自己做类似的

    题目后，他的脑海中便会形成一个概

    念，他会用自己的词汇来解释这个概

    念。到那个时候，再告诉他这就是“

    公约数”的意思。

    我的一个学生是这样思考的：第

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书二根长10厘米，那么第一根就是60厘

    米，第三根就是5厘米。一段只能长5

    厘米，这样所有铁丝就都用上了，第

    一根可以有12段，第二根做成2段，最后一根只有1段，12+2+1=15段，每

    段长5厘米。

    这个学生理解“无剩余”的意思就

    是所有铁丝都用上，那么就只能将就

    最短的那一根，即5厘米，因此“尽可

    能长”这句话其实没有意义。这个孩

    子接着这样说道：“如果你要尽可能

    多一些段，我能不能剪成1厘米长的？”这个学生算是理解了“尽可能”的

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书意思，也理解了“一半”、“6倍”的意

    思。

    目前的学校教育中，老师完全没

    有时间来摆出具象的铁丝，也没有意

    识培养孩子自己去形成一个概念，而

    往往是先灌输给一个孩子肯定不懂的

    词汇，然后再给这个词汇许多解释和

    说明，看哪些孩子能自己悟出来，就

    代表他们懂了。但正常的儿童认知发

    展次序却完全不是这样的。如果孩子

    强迫自己记住老师要求的操作模式而

    心里并不真正懂，再通过大量类似题

    目的训练养成本能，日久天长，孩子

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书的认知理解层面就与操作层面脱节了

    ，失去了思考问题、提出新问题的能

    力，而变成了机械操作的“机器”。

    改变学校的教育并不容易。撇开

    对孩子学习认知的正确理解不说，面

    对这么多学生，要保证每个学生都能

    跟上，在时间短、任务急、教师少的

    情况下，家长们不要对学校有过高的

    期望。还是从父母自己开始吧，至少

    父母应该是孩子最早的启蒙老师。你

    也可以掌握正确的方法，那就是在生

    活中寻找大量的机会来讲解具体的数

    量，并给孩子一个机会，让他自己去

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书形成认识，并学会熟练应用、学会提

    炼，形成含量丰富的词汇。

    按照这个要求来做的话，第二题

    应该从做模型开始：给孩子摆出来两

    辆车的模型，演示什么是相向、什么

    是同向；然后再演示在相遇的点，错

    车实际是什么样子。这就是具象教育

    的操作方法。

    我在澳大利亚也从事过中小学数

    学教育，接触到了大量的具体模型，尤其是在澳大利亚的小学教育中这种

    模型更多。澳大利亚小学生的数学水

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书平无论在熟练程度上、技巧上，还是

    做题的速度、准确性上都无法与中国

    学生相比，但是在面对新问题的时候

    ，他们提炼的能力非常强，解决问题

    的思路也更加多样、灵活，能够实际

    深入到面对的问题的本质，这些能力

    都是中国学生严重缺乏的。于是渐渐

    地，在澳大利亚社会就形成这样一种

    局面：澳大利亚人在企业中做高层，提炼出遇到的问题，并给出解决的思

    路，然后交给中国人来具体做出解题

    过程，并给出正确的答案。比如在保

    险公司，提出新保险项目的人几乎没

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书有华裔，而实际计算出赔率、赔付比

    率的几乎都是华裔。这个结果其实就

    与教育的过程有关。强调具象到抽象

    的形成过程，而不是强化抽象符号的

    高速计算，这样就能够培养出另外一

    种能力来。

    作为妈妈，你应该可以思考：你

    想让孩子具备哪种能力？两种能力是

    否可以共同拥有？当然!完全可以。

    两个能力有次序的先后，也有教育过

    程中的侧重比例。至少目前中国的情

    况就是只顾一个方面，而几乎完全忽

    视另外一个方面。

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书对于第二题，最难的地方仍然是

    对语言的理解，比如“同向”、“相向”

    还有“超过”的意思是什么，“错车而

    过”又是什么意思。

    有了模型，解释“同向”、“超过”

    就容易得多。同样，解释“相向”与“

    错车而过”也就容易了。具体的算术

    问题其实非常简单，不就是300米用

    多长时间、500米用多长时间嘛!如

    果没有模型，那就用视图，通过画图

    的形式来让孩子体会到超过、错车而

    过的意思(图5-1)。虽然数学考试

    不是考理解语言，但是不理解语言，聚辛堂juxintang.cn 每日电子书孩子就可能做不好数学题，而卡在理

    解上。

    图5-1

    从孩子早期接受数学概念的能力

    来看，语言理解是最基础的一关，也

    是最初的难点。许多女孩子过不了这

    一关，就认为自己没有学习数学的天

    分，也就“合情合理”地自我放弃了。

    但这个难点将一直存在，并终生影响

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书对生活中一些抽象事物的理解，比如

    利率的用途、汇率的用途、利息的滚

    动计算等。所有抽象的数学词汇都是

    之前许多数学家从现实生活中提炼出

    来，并用他们的词汇来概括的，而孩

    子的脑海中是空白的，不一定能够直

    接就接受，也绝对不可能在没有任何

    现实可见、可触摸的情况下就直接理

    解。必须让孩子经历具体的操作过程

    ，然后自己去体悟，这才是帮助孩子

    成长的正确方法。

    有一个小朋友在路上看到一只

    蚕茧，就把它带回家，想观察蚕蛾

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书破茧而出的过程。等了几天，他终

    于发现蚕茧在晃动，于是每天观察

    的时间更长了。他细细观察起蚕蛾

    用身躯艰难冲破蚕茧的过程。开始

    的时候，蚕蛾在壳里一点一点地蠕

    动，渐渐地，可以看到蚕茧壳一个

    角出现了一个洞。然后停了好长时

    间，蚕蛾又开始努力了，小洞渐渐

    扩大，能够看到里面是成形的蚕蛾。过了一会儿又有了新的动作，蚕

    蛾试图从小洞中钻出来，但实在钻

    不出来，只能又继续开始摩擦这个

    洞口的边缘。小朋友取来放大镜，仔细看，洞口的边缘先变得有些潮

    湿，然后洞口就一点一点地扩大，扩大了一点后，蚕蛾又尝试钻出来

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书，还是没有成功，它又继续摩擦洞

    口边缘……这样来回至少有15次，孩子明白了蚕蛾的目的，于是拿出

    小剪子，从洞口的边缘剪开这个蚕

    茧。蚕蛾脱离了蚕茧的束缚，终于

    自由了。它尝试扇动翅膀，想飞起

    来，可试了几次都没有成功，翅膀

    上还有没完全展开的皱褶。蚕蛾一

    直在尝试、尝试，但一个小时后就

    不再尝试了。过了4个多小时，蚕

    蛾还在原处，用手触摸时，它已经

    没有动静了。

    我们的老师、父母都是好心人，看着孩子不理解这么简单的概念会十

    分着急，于是干脆就帮助他跳过去—

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书—你记住就行了!照着模仿还不会吗？以后都这么做就可以了!其实就是

    这个意思，懂了吗……这些话都是老

    师、家长们常说的吧？这些话就好比

    泯灭了蚕蛾自己奋力的过程，没有了

    奋力的过程，也就没有机会长出足够

    坚强的翅膀，就算挣脱了、自由了，也仍旧没有足够坚强的翅膀去飞翔。

    妈妈们，让我们回到前面，从生

    活中寻找具体的事情来解释这些词汇

    吧：

    乘积 扩展 增加 减少 相差 相同 最

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书小的 最大的

    最多的 最少的 一样 一半 两倍 同向

    相向 相遇

    ● 乘积：我家住在四楼，每上一层要走两段楼梯

    ，一段的台阶数是7，那么一层楼的台阶数是

    多少？住在四楼，所有

    台阶数的乘积是多少？

    ● 扩展：用尺子来测量一

    下，学校发的自然课的

    课本的长宽高比语文课

    本的分别扩展了多少？

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书● 增加：上个星期，你的

    作文写了156个字。这

    个星期的作文增加了22

    个字，写了多少字啊？

    ● 减少：昨天早晨你喝了

    两杯水，今天减少了一

    杯，喝了几杯？

    ● 相差：去年你的个子高1

    .23米，今年高1.32米，相差多少？

    最小、最大、最高、最多、最少

    、最短、最长，所有的“最”都是多个

    比较后的结果，让孩子理解就要提供

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书尽量多于三个的同类东西来比较长短

    、大小、轻重，孩子才能够渐渐理解

    “最”的含义。一样、一倍、两倍、一

    半、相同，这些都是比较的结果。让

    孩子对事物进行比较，并理解生活中

    这些常用的数学术语。

    多数孩子从小学三年级起就会在

    数学课本中发现许多不太能够理解的

    词汇，而语文教学中又没有专门对这

    类词汇进行说明，也没有提供足够多

    学生见过、听过、遇到过的来自实际

    生活的例子。一旦遇到了不懂的地方

    ，便经常会归罪于数学学不好的常见

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书原因上。其实本质都是对词汇的理解

    没有过关。在日常生活中，爸爸妈妈

    可以借助很多常见的事物来建立抽象

    概念，这对孩子数学能力培养的效果

    要比参加奥数班强得多。

    父母们可能会觉得，社会上有各

    种各样的辅导班，能够把孩子送去，就算对得起自己的良心了，就为孩子

    的智力成长尽到责任了。外包是社会

    分工的一种表现形式，对孩子教育的

    外包不仅可以是学校，也可以是辅导

    机构，但其实最关键、最贴近孩子、最直接有效果的还是父母本身。孩子

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书的第一任老师就是父母，父母也最能

    够把握一切日常生活的机会来建立许

    多概念，扩展脑力智慧。

    数学不仅是由数字构成的，也包

    括词汇。父母应该设法将孩子可以见

    到的各种现象变成词汇，尤其是数学

    中会出现的词汇，培养孩子对这些词

    汇的熟悉、理解，并渐渐形成认知。

    这样，当孩子再遇到应用题时，题意

    理解这一关就可以轻松跨过了。

    这里再给妈妈们列出一些小学数

    学经常会碰到的12个词汇，希望你们

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书能够借助生活中的机会来启发孩子去

    认识、熟悉这些词汇，并理解其本质

    的概念。可通过多举例、多比喻来实

    现。

    顺序 任意 和 往返 轮流 连续

    剩余 多出 同比 匀速 注满 单独

    数学能力的基石正是掌握词汇。

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书具象与抽象，这是人与人在面对

    相同事物时，能够形成不同理解的核

    心挑战。18岁以下的孩子，都不擅长

    抽象能力。任何文字都是对事物的抽

    象过程。桌子，是先看到具象的样子

    ，才学会抽象的这两个字。乘积呢？

    非常抽象的词汇，没有让孩子充分看

    到一个样子，是不能理解具体意思的。

    小学数学中有大量的类似题目，实际上考的都不是数学，而是对词汇

    的理解。这个回合给了一些例子，可

    惜例子还不够多，且看下一本《爸爸

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书教的数学》中，有更多的具象到抽象

    的例子。

    那么，孩子什么

    时候才具备运用抽象

    词汇来学习的能力呢？

    A：要到触觉学习的

    阶段。

    B：要到视觉学习的阶

    段。

    C：要到听觉学习的阶

    段。

    D：要到大学阶段。

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书(参考答案见全书末尾)

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书聚辛堂juxintang.cn 每日电子书从手指开窍出大脑智

    慧

    ◎人类有记载的数学活动基本

    上来自于计算、数数、清点，而早期最方便的工具无疑就是

    手。当然，玛雅人还用过脚趾

    头呢。

    ◎对孩子来说，指尖上的数学

    并不是登堂入室的学术任务，而是启迪心智、启发思维、启

    动乐趣的探索过程。

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书希望你还记得在第二回中指尖上

    的那些数学动作，我们一起回顾一下

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书。

    ● 一位数乘法中，任何乘

    以9的算法都可以通过

    两只手表示出结果。

    ● 在一只手上数数，可以

    来回一直数下去。

    利用手指对孩子的好处有：

    ● 手指活动对大脑细胞发

    育、活跃会起到促进作

    用。

    ● 手指活动能够激发孩子

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书学习的兴趣。

    ● 手指活动能够降低孩子

    学习新知识时的恐惧感。

    你在本回开篇看到的日记，正是

    来自29年前我在北京师范大学附属实

    验中学教书时辅导小学奥数班的经历。当时，利用手指头的学习就已经得

    到了拓展(图6-1)。

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书图6-1(未完)

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书图6-1(续)

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书这就是4乘以8，弯下去的指头左

    边是3，右边是2，所以就是32。

    乘以8与乘以9不同的地方有两个

    ：第一是弯下一个指头还是弯下几个

    指头；第二是当弯下的指头不够时，从左手的指头中减去这个数。

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书图6-2

    图6-3

    如图6-2所示，操作一下7乘以8

    ，数到第7个指头。接着在第7个指头

    的右侧继续弯下去7个指头，现在已

    经弯下去了3个，这样还应该弯下去4

    个(图6-3)。第7个指头左边有6个

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书指头，就是60，减去还应该弯下去的

    4个，就是60-4=56。

    别看说出来一下就明白了，但在

    没有想到之前，自己要突破头脑中多

    少封闭的门啊!这才是创造性的火花

    闪耀，才是兴趣激发的瞬间，才是灵

    感降临后的喜悦，才是一种最深厚的

    激励，让孩子产生自信，并驱动他的

    思想走得更远。这个突破胜过加了10

    0次油的汽车，让孩子可以在探索的

    路上走得很远。

    我曾走过12个国家，每到一个国

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书家都要去当地的图书馆查阅一些数学

    著作，包括英国伦敦的英国图书馆、美国纽约州立图书馆。我阅览过的数

    学方面的英文版图书超过了200本，但都没有找到关于乘以8的算法的记

    载。这次本书中详细讲解的指尖算法

    ，应该属于罕见的内容了。美国纽约

    州立图书馆的一本数学书中提供了另

    外一种指尖算法，但我们需要先回顾

    一下乘以9的手法：以3乘以9为例，弯下去的指头左边剩余两个指头，右

    边剩余7个指头(图6-4)，乘法的结

    果就是27。也就是说，左边的指头数

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书应该乘以10，右边的指头数当作个位

    就可以了，即2×10+7=27。

    图6-4

    其中，我们把左边指头乘的这个

    10当作基础标杆。这个标杆来自于10

    个手指头，计算的目标是乘以9。如

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书果是乘以8的话，应该用9个指头，基

    础标杆就应该是9。让我们来尝试一

    下：4乘以8起始是9个指头，从左到

    右数到4，把这个指头弯下去，左边

    剩余3，右边剩余5；左边的3乘以基

    础标杆9，就是27，用这个27加上右

    边剩余的5，就是32。

    这个手法在计算的时候有一个前

    提条件，那就是乘以9已经掌握得非

    常熟练了，这样左边剩余的手指数乘

    以9的时候，就会立刻在脑海中出现

    一个数字，然后加上右边剩余的手指

    数，得出答案。

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书人类有记载的数学活动基本上来

    自于计算、数数、清点，而早期最方

    便的工具无疑就是手。当然，玛雅人

    还用过脚趾头呢。印度人还有另一个

    计算6～10之间任意两个数字相乘的

    指尖算法。这也不是原创，而是来自

    于我阅读的一本英文版的数学科普读

    物。我也在这里将其介绍给各位读者

    和妈妈们，用于调动孩子参与的积极

    性，激发他们的兴趣。

    请看图6-5所示6乘以8的情况：

    左手的6对应右手的8，对应的6、8两

    个手指下方有4个指头(包含6、8两

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书手指在内)，就是4×10=40，上面左

    边4个、右边2个，4×2=8，所以40+8

    =48。

    图6-5

    再看一下7乘以9的情况(图6-6

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书)。左手的7对应右手的9，对应的7

    、9下面有6个指头，就是60。上面左

    边是3，右边是1，相乘就是3，然后6

    0+3=63。

    图6-6

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书孩子从5岁起就已经具备用手指

    头计算的意识了，同样，在学习加法

    的过程中，也非常熟悉手指头这个工

    具，可以通过清点手指来找到加法的

    答案，当然，也可以找到减法的答案。我们在第二回中已经介绍了通过手

    指头数数的办法，不知读者朋友们是

    否在自己孩子身上应用过。如果试过

    ，你可能会观察到如下反应：

    ● 孩子有兴趣轮流去数。4

    岁左右的孩子应该可以

    数到50。

    ● 此时如果提问40落在哪

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书个手指上，孩子的表现

    应该是重新数数，并找

    到数到40时的那个指头。

    ● 跳数1、3、5时，应该知

    道都落在小拇指、中指

    、大拇指上，跳数2、4

    、6时，明白了都落在

    无名指和食指上。接着

    问199落在哪个指头上

    时，孩子大概能够猜出

    只能是三个手指中的一

    个。

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书● 增加难度后，孩子可能

    会懈怠，需要妈妈想办

    法激发孩子，比如妈妈

    可以说，我不用数就知

    道40落在无名指上。这

    样孩子可能会验证一下

    ，然后就觉得妈妈一定

    有神秘武器。你还可以

    进一步显示规律的威力

    ，比如可以说：我也不

    用数，就知道90落在无

    名指上，100落在食指

    上。能运用规律，才是

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书指尖上的数学在激发孩

    子兴趣后要实现的真正

    目的。那么，规律究竟

    是怎么来的呢？

    现在，妈妈可以陪孩子把指尖数

    数的游戏玩出新花样(图6-7)：

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书图6-7

    ● 增加一个手指头，重复

    往返数数的步骤，重新

    考察1、3、5、7等落在

    哪里。

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书● 重新考察2、4、6、8会

    落在哪里。

    ● 重新考察189会落在哪里。

    启发孩子寻找规律，从而激发孩

    子去验证，进一步产生好奇心，然后

    去探索，渐渐揭示出规律来，并在下

    一次的活动中运用这个规律。

    对孩子来说，指尖上的数学并不

    是登堂入室的学术任务，而是启迪心

    智、启发思维、启动乐趣的探索过程。对12岁以前的孩子来说，还不足以

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书掌握复杂、高深的理论及公式，但他

    们的智力完全可以进行多种形式的变

    换。调动孩子参与这些不同形式的计

    算、数数和清点，都是这个年龄大脑

    发育阶段最合适、最贴切的活动。

    德国著名数学家卡尔·弗里德里

    希·高斯生于1777年，拥有“数学王子”的美誉，与牛顿、阿基米德一同被

    誉为有史以来最伟大的三位数学家。

    在成长过程中，高斯主要得益于自己

    的母亲及舅舅——两个人都极其富有

    智慧。可以说，在数学史上，很少有

    人能像高斯一样，幸运地拥有一位鼎

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书力支持自己成才的母亲。高斯从小就

    对一切现象和事物充满好奇，在探索

    的过程中总免不了会超出一个孩子能

    被允许的活动范围。每当丈夫因此而

    训斥孩子时，高斯的母亲总是支持高

    斯，她十分珍视高斯的才华。

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书高斯(C.F .Gauss，1777年4月30日

    —1855年2月23日)

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书高斯9岁那年在学校上课时的表

    现成了后人世代传诵的佳话。当时老

    师觉得教室里太闹，索性出了一道题

    ，试图让孩子们静下来，自己好消停

    片刻。题目是这样的：从1加到100，结果是多少？教室里确实安静下来了

    ，但不到两分钟，高斯就脱口而出：

    “5 050!”老师心想，答得那这么快，肯定不对，于是顺口就说：“重算。”

    高斯答：“从1加到100，用1加上100

    ，再用2加上99，都是101，一共有50

    对101，就是5 050。”老师愣住了，接着高斯又说：“也可以这样，加两

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书列1到100，其中一列从100排到1，这

    样就是100对101，也就是10 100，这

    个数的一半就是5 050。”他用了两种

    形式，灵活、多变、快速地算出了1

    到100的和。

    这个故事是我妈妈讲给我的，听

    了以后，我自己在纸上用高斯的方法

    计算了一次，验证了他的计算是正确

    的，然后才开始在脑海中品味算法的

    灵活性。这个算法并不是要让孩子掌

    握数列、数列之和，或者是死记硬背

    的算法公式，而是启发孩子扩展思考

    的边界，不一定遵循1先加2，再加3

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书，然后是4、5、6这样的次序，完全

    可以跳跃，可以重新组合，甚至可以

    增加一列数来补充，记着算完后减去

    一半就可以了。

    训练灵活性是在12岁之前最需要

    的脑力活动。手指头在生理上会刺激

    大脑的部分区域，而它本身也确实是

    一种工具，可以用来计数，是灵活性

    训练的一种途径。衡量1岁孩子智力

    发育状况的标准之一，就是看孩子的

    大拇指与食指能否捏合拿起细小的物

    品，如果可以，大脑细胞发育的边界

    就在扩张。同样，对4～6岁的孩子来

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书说，手指头的活动，如清点、计数都

    能够激发灵活性，而不要教条、僵硬

    地按照老师说的一切去模仿。这才是

    《妈妈教的数学》的意义。老师没有

    时间进行这样的教育，妈妈有!老师

    没有足够的爱心和耐心去启发孩子，妈妈有!老师可能没有学过数学教育

    中的心理变化，妈妈看了这本书就学

    会了。老师也许缺乏方法，这本书就

    向妈妈们揭示了这些方法。

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书灵活多变、形式活泼、有动作、有行为、能参与，这些过程会在孩子

    的心里渐渐扎根，并萌发好奇、新奇

    、探求的动力。从小我的记忆力不好

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书，但对乘、除以2还是非常熟悉的，于是我妈妈教给了我另一个窍门儿，至今就算在国内的奥数教材中都没有

    ，我只在小学奥数班上讲过，请看图

    6-8。

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书图6-8

    眼前的题目是17×234=？写上左

    边、右边，中间画一条线，然后把17

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书写在左边，234写在右边。然后开始

    第一行，左边用除法，当然是除以2

    ，不用考虑17除以2的时候的余数，直接写8就可以；右边用乘法，当然

    是乘以2。然后第二行，左边继续相

    除，右边继续相乘。直到有图中的样

    子，然后用线把左边是偶数的行划掉

    (图6-9)。

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书图6-9

    然后看右边剩下了两个数，一个

    是234，一个是3 744，两个相加就是

    答案了。这种算法的好处是仅仅用乘

    除2，而不涉及任何其他数的乘法和

    除法，而且其中有更多的参与活动，与目前学校中教育的方法完全不同。

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书对于乘法，可以提供给孩子竖式算法

    、格子算法，还可以提供这个叫“二

    号算法”的方式。无论是两位对两位

    ，还是三位对三位，都可以。

    我在纽约州立图书馆中一部叫《

    法老时代的数学》的书里查到了这个

    方法，是古代埃及人在4 000多年前

    记载的。那个时候没有九九乘法表，也没有发明出什么乘以3、乘以7，仅

    仅依靠对2的运算就完成了所有数量

    之间的相乘，绝对智慧。

    指尖上的数学有足够的空间引导

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书孩子参与，并培养快乐的体验。所有

    的快乐来自于不同的计算方法，却都

    能够得到相同的结果，这是神奇，是

    奥妙，是无穷的宝藏。妈妈给孩子指

    出通往宝藏的方向，孩子积极主动地

    去探索，一生也就充满了实践、探索

    、满足和快乐的活动。

    这一回中妈妈可以做的事情有很

    多，我就不单独提供额外的建议了。

    用好自己的手，审视手掌、手指，这

    是苹果公司创始人乔布斯的习惯。通

    过长时间的审视，让他下决心要替代

    鼠标，直接用手来解决问题——你一

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书定体验到了苹果那灵动的触摸屏!

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书开窍就是人们对一个事物有一个

    恍然大悟的感觉。“哦，我明白 了。”

    这时才是真正的明白。现在很多孩子

    其实都没有体会过这个感觉，都是被

    动地被灌输了大量已知的内容，并变

    成一种习惯。如同人工养殖的鸭子，不用自己找食物，被人拎起脖子，用

    管子塞到嘴里，打开开关，灌5秒，结束。

    开启智力的窍，需要孩子自己较

    长时间的参与、琢磨和思索，如同徘

    徊在门前，突然想到一个方法，结果

    真的就打开门了。这个回合增加了更

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书多指尖的玩法，本意就是增加更多的

    活动，试图让孩子从活动中去悟、去

    体验，并感受到一种规律性的内核。

    而大多数读者，阅读这个回合的内容

    ，都将注意力放在了

    如下四个方面，其中

    ，哪个方面最多：

    (关注度更高的选项排列在前面)

    A：这么频繁地使用

    手指，好吗？

    B：那个数数儿到底落

    在哪个指头上啊？

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书C：这些手指的法子背

    后原理是什么啊？

    D：这些玩法都是从

    哪里来的？

    (参考答案见全书末尾)

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书聚辛堂juxintang.cn 每日电子书发烧是多少度

    ◎我妈妈做的事情其实很简单

    ，就是在“37度”这个事物上联

    想开去，进行有关联的解释，这样孩子的脑海中就能够不断

    地想这件事。

    ◎儿童心理学在谈到记忆力的

    时候有这样的解释：对一个事

    物的记忆来自于头脑中对这个

    事物的集中时间，集中的时间

    越长，对这个事物记忆的时间

    也就越长。

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书今天回顾这篇日记，我真恨自己

    ，为什么就记得这么短呢!多写一点

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书多好啊!能够想象得出来，当时我妈

    妈应该还讲了很多很多，只可惜我的

    日记中全都没有记载。10周岁生日应

    该算是比较重要的日子，我却没有详

    细地记录。不过，在我记忆深处有关

    3、7、37的记忆的确都是来自10周岁

    生日这一天。

    777÷(7+7+7)=37

    这个神奇的等式就是那天留在我

    脑海里的。这还不算，不信你再看这

    个：

    999÷(9+9+9)=37，888÷(8+8+8)=37

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书，666÷(6+6+6)=37

    后来，我自己得出了更多的结论

    ，好像37能表现出来这种特点的根本

    原因是37×3=111。所以，以上的999

    、888、777……不过都是111的倍数

    ，而其实111本身也可以这样写：

    111÷(1+1+1)=37

    把1都换成7当然也对，都换成9

    或者换成4也一样。这样，那个神奇

    的等式就变成了如此简单的等式，我

    也体会到数学表面不同而背后一定有

    更加美好的根源。

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书当我乐此不疲地把有关我生日的

    数字颠来倒去地计算时，我并不知道

    实际上自己正沉浸在古代数学家的研

    究成果中，也不知道自己其实在重复

    着历代数学家、哲学家们已经反复咀

    嚼过许久的内容。“数学”这个词很有

    意思，拆解开来先是“数”，然后是“

    学”。“数”这个字的含义就更加广泛

    了，可以是数量、数字，也可以是动

    作——清点什么东西的动作也是数。

    数数可以是数牛、羊，也可以是数自

    己的手指头。“学”的意思比较容易理

    解，那就是重复、模仿，深入一点就

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书是对更多的事物进行分类，然后比较

    之间的区别，这就是研究了。“学”的

    对象可以是数、量，可以是字，可以

    是数与数的关系，也可以是“数”这个

    行为的过程。

    中文中还有更多说法，比如，“

    算术”的意思就是算的技术。“算”就

    是对数字之间进行加工的过程，只要

    涉及过程，那就是技术。还有“计算”

    这个词，意思就是计量，把不同的量

    进行标示，并保存下来。算还是加工

    过程，把加工过程保存下来就是计算

    了。

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书数学、算术在英文中对应的词汇

    分别是mathematics、arithmetics，意

    思就是针对量进行清点。数学这门科

    学起源于清点、计数、比较和加工。

    如果孩子能够充满兴趣地投入，去摆

    弄数字，用刚学到的加法、减法、乘

    法、除法来进行反反复复的操作、参

    与、体验，用自己的行为来体验历代

    数学家、哲学家们做过的事情，这不

    就是科学精神吗？

    我的妈妈给我打开了一扇门，没

    有多么严肃地事先声明，而是做了这

    么一件简单的事情——从我的生日这

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书个数字开始，让我站在了一条路的起

    点，而走下去这个动作竟然是我自觉

    自发(或者说是不知不觉)的行为。

    如今年过半百的我才深刻理解了，妈

    妈给我的不是学校老师教的那些知识

    ，而是追求知识的动力，是追求知识

    的乐趣，是追求知识的兴奋。

    遗憾的是，在我以后每年的新年

    日记中都再也没有找到类似的记录。

    这些等式都不是教科书中的，也从来

    没有在学校教育中被要求过，它们都

    留存于生活的瞬间之中，也许在脑海

    中停留过一段短暂的时间，但都随着

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书岁月的流逝而流失了。而能够留在脑

    海中无法泯灭的是那探索数字之间运

    算的过程，这个过程让我熟悉了运算

    ，了解了颠来倒去对结果的影响——

    加法前后次序没有影响，乘法也不受

    次序的影响，减法和除法会因前后数

    字的不同而变化。

    通过1973年、1974年这两年的日

    记，我看到更多的就是妈妈用各种不

    同的形式、事件、活动，来激发我探

    索、尝试、实践，并让我在所有这些

    活动中建立了自信，使我不再怕数字

    ，不再怕运算符号，不再怕长长的等

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书式；也让我对数字更加熟悉、亲切，在脑海中扩展了足够的空间来记住阶

    段性的运算结果。

    直到上了中学，我还一直以为每

    个人的体温应该是不同的——生日不

    同体温当然应该不同。看到这段日记

    我才知道，自己的这种认识原来是出

    自这里。我好奇的是妈妈为什么讲37

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书度的时候要说就是我的生日呢。我想

    她的目的应该就是要让我记住这个数

    字吧，37度是体温，用我出生的日子

    来记住，这也是一种提高我记忆力的

    方法。

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书儿童心理学在谈到记忆力的时候

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书有这样的解释：对一个事物的记忆来

    自于头脑中对这个事物的集中时间，集中的时间越长，对这个事物记忆的

    时间也就越长。

    那么我妈妈做的事情其实很简单

    ，就是在“37度”这个事物上联想开去

    ，进行有关联的解释，这样孩子的脑

    海中就能够不断地想这个事情，在这

    个事物上用的思考时间延长，延长的

    结果就是对这个事物的记忆加深。

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书今天回顾这些日记片段，我才知

    道自己对围棋棋盘的熟悉源自我10岁

    的时候。如果不是妈妈每次都问我这

    、问我那，我可能真不会主动去关注

    那些细节。只有熟悉了细节，对全局

    的情况才更有把握。

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书从七分之一一直到七分之六的结

    果，我到现在都可以不假思索地说出

    来，根源一定就在于我11岁生日那一

    天。数字是数学的基本材料，玩弄数

    字到了极致，就形成了数论，数论是

    数学科学的基石。读者朋友们，培养

    起孩子玩数字的兴趣吧，让他们看到

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书不同过程中的变化、不变，以及奇怪

    的对称、巧合，这些都是激发孩子脑

    海中火花的灵感之源。

    为了强化我的记忆，妈妈列举了

    不少可以让还不到10岁的我十分惊讶

    的东西，比如：

    1×9=9

    2×9=18

    3×9=27

    4×9=36

    5×9=45

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书6×9=

    7×9=

    8×9=

    9×9=

    妈妈提醒我看结果的第一列数字

    ，是1、2、3、4，而最后一列的数字

    是9、8、7、6……我就开始猜了，那

    么接着就是54、63、72、81，妈妈肯

    定地点头。接着她进一步提示我，看

    看还有什么规律，当时的我其实是没

    有明白“规律”这个词是什么意思，又

    不知道其实自己是不懂“规律”这个词

    聚辛堂juxintang.cn 每日电子书，所以肯定就无从做起。妈妈提示了

    我一下：“你看18这个数，1加8等于

    多少啊？”不用思考，“9啊。”我回答。“那么2加7呢，就是第三行。”“9。”接着不用她说了，我快速扫了一眼

    就知道了，都是9。 ......