正电子发射断层的图像重建方法研究.ppt
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正电子发射断层的
图像重建方法研究
研究生：周健
导师：罗立民
2006 年 10 月
论文组织结构
* 课题背景
* 研究现状
* 本论文的主要工作
* 工作总结与展望
* 致谢
课题背景
* PET成像是目前癌症的早期诊断和脑功能成像非常重要的检查手段
?提供的生理和病理信息可以达到细胞和分子水平
? PET 对心脏和神经系统疾病诊治也极具价值，* PET是活体生化显像
* PET开创了在分子水平无创伤性研究人脑功能和心肌存活情况的先河
课题背景-基本原理(1)
课题背景-基本原理(2)
课题背景-基本原理(3)
研究现状-主要方法
* 解析法(2D，3D)
? 滤波反投影(FBP：filtered back-projection)
? 卷积反投影(CBP：convolution back-projection)
? 直接傅立叶法(DFM：direct Fourier method)
? 子空间分解法(例如：小波，多项式矩重建)
* 代数重建法
? ART：algebraic reconstruction technique
* 统计迭代法(2D，3D)
? 最大似然(ML：maximum likelihood)估计
? 最大后验(MAP：maximum a posteriori)估计
研究现状-统计迭代法(1)
* 快速、稳定和收敛的迭代优化算法研究
? ML-EM(expectation-maximization)算法[Shepp and Vardi, 1982; Carson and Lange, 1984 ]
? 梯度算法[Kaufman 1992; Mumcuoglu et al 1994; Fessler and Booth 1999]
? OS(ordered-subset)技术[Hudson and Larkin, 1994]
? ICD(iterative coordinate descent)算法[Bouman and Sauer 1993]
? SAGE(space-alternating generalized expectation-maximization)算法 [Fessler and Hero 1994]
? RA(row-action)技术[Brown and De Pierro, 1996]
? 基于目标替代函数(surrogate function)[Fessler and Erdo?an 1999; Erdo?an and Fessler 1999; Zheng et al 2000]
研究现状-统计迭代法(2)
* 改善图像质量的方法研究
? 惩罚PML(penalized-ML)估计，正则化(regularization)技术和Bayesian MAP的目标优化算法研究：
-GEM [Herbert and Leahy 1989] ，OSL-EM [Green, 1990] , BSREM [De Pierro et al 2001]
-ICD [Bouman and Souer 1993] ，PML-SAGE [Fessler and Hero, 1994]
-梯度法[Mumcuoglu and Leahy 1994; Fessler and Booth 1999]
? 图像先验分布的研究：
-图像Markov随机场理论[very extensive !]
-全局先验知识约束：曲面和曲线进化方法 [Elangovan and Whitaker 2001; Yuand Fessler 2002; Ye and Bresler 2002; Alvino and Yezzi 2004; Zhu et al 2005]
-利用其他模态信息，例如解剖信息[Gindi et al 1993; Ardekani et al 1996]，MRI功能信息[Hero et al 1999; Baete et al 2004]
研究现状-统计迭代法(3)
* 统计迭代法重建图像的空间分辨率研究
? 估计子的方差特性[Fessler 1996; Qi and Leahy 1999, 2000]
? 重建图像的空间均匀一致分辨率补偿研究[Fessler and Rogers 1996; Qi and Leahy 2000; Stayman and Fessler 2000; Fessler 2003; Stayman and Fessler 2004]
本文的主要工作
本文的工作主要集中于目前流行的统计迭代方法的研究，其涉及的内容包括以下几个部分：
* 基于可变索引集的SAGE优化算法及其应用
* 基于的小波变换的图像重建方法(针对MAP估计)
* 序列化加权最小二乘(WLS)估计与Kalman滤波重建
* 基于正交Legendre矩的有限角度投影数据重建
本文的主要工作
本文的工作主要集中于目前流行的统计迭代方法的研究，其涉及的内容包括以下几个部分：
* 基于可变索引集的SAGE优化算法及其应用
* 基于的小波变换的图像重建方法(针对MAP估计)
* 序列化加权最小二乘(WLS)估计与Kalman滤波重建
* 基于正交Legendre矩的有限角度投影数据重建
1. ML估计和SAGE-模型(1)
1. ML估计和SAGE-模型(2)
1. ML估计和SAGE-ML估计
* 建立ML估计的基本统计假设
观测数据为独立同分布的Poisson随机变量[Shepp and Vardi 1982]
1. ML估计和SAGE-EM(1)
* ML估计的特征
? 非线性优化问题
? 隐含约束条件：
1. ML估计和SAGE-EM(2)
* EM算法
? 迭代公式(E-step和M-step)[Shepp and Vardi 1982]
? 优点
-同时迭代(单调且收敛)
-易实现非负约束条件
? 缺点*
-收敛缓慢
1. ML估计和SAGE-SAGE(1)
* SAGE算法
? 辅助观测模型[Fessler and Hero 1993, 1994]
1. ML估计和SAGE-SAGE
* SAGE算法
? 特点
-部分参数空间可以任意选取，例如：
-参数空间须满足条件
-空间交替迭代,每一次子空间迭代由E和M-Step构成
-序列方式迭代，单调、快速收敛(比传统EM快)
1. ML估计和SAGE-替代ML估计
* 二阶矩近似模型-高斯观测模型
观测数据为独立同分布的Gaussian随机变量
1. ML估计和SAGE-WLS(1)
* 方差预先可以估计得到
? 数据插入法(data plugin)[Fessler 1994; Qi and Leahy 1999, 2000; Li et al 2004]
? 对应的估计为加权最小二乘(WLS: Weighted Least Squares)估计
* 未知方差
-观测数据可作为随机变量均值的某个无偏估计
- * Poisson随机变量的均值即为方差
1. ML估计和SAGE-WLS(2)
* Fessler的估计模型[Fessler 1994]：
1. ML估计和SAGE-WLS(3)
* 目标优化
? SAGE算法，某个参数空间上的迭代更新如下：
? 可变索引集(推广的SAGE)
-避免使用单个参数所构成的参数集(计算耗时严重)
-参数集的按一次完整迭代后重新划分
-参数集的划分结合当前估计所反映的有用的信息
1. ML估计和SAGE-实验(1)
* 实验材料和基本参数说明
1. ML估计和SAGE-实验(2)
* 收敛速度比较
1. ML估计和SAGE-结果(1)
1. ML估计和SAGE-结果(2)
1. ML估计和SAGE-结果(3)
1. ML估计和SAGE-结果(4)
1. ML估计和SAGE-结果(5)
1. ML估计和SAGE-结果(6)
1. ML估计和SAGE-小结
* 指出了Anderson的WLS算法的缺陷，并将其替代为正确的ML估计模型
* 首次给出了上述改进模型下的基于SAGE算法优化，并尝试了将传统的"不变"索引集推广为"可变"索引集
* 算法存在的不足：未能给出收敛性的严格证明
本文的主要工作
本文的工作主要集中于目前流行的统计迭代方法的研究，其涉及的内容包括以下几个部分：
* 基于可变索引集的SAGE优化算法及其应用
* 基于的小波变换的图像重建方法(针对MAP估计)
* 序列化加权最小二乘(WLS)估计与Kalman滤波重建
* 基于正交Legendre矩的有限角度投影数据重建
2. MAP估计与Wavelet
* ML估计的特征
? 仅依赖于观测数据以及数据的噪声统计特性
? 不引入未知参数以外的其他参数
? ML估计子具有统计意义上的无偏性[*nice property]
? 迭代求解ML估计容易产生不稳定现象
-迭代次数过多反而破坏估计的质量
-迭代停止条件不易设定
2. MAP估计与Wavelet-MAP估计
* 采用MAP的一些原因
? 容易将ML估计推广为Bayesian MAP估计
? 先验知识的引入有利于降低ML估计的方差，即控制ML估计随迭代而降质的不稳定行为(但是MAP估计是有偏的，最多是渐进无偏的)
2. MAP估计与Wavelet-先验分布
* 常用的MRF先验
* 势团、邻域( )
2. MAP估计与Wavelet-MRF(1)
* 势函数
2. MAP估计与Wavelet-MRF(2)
* 一维情形下的一个例子：
2. MAP估计与Wavelet-优化算法
* 推广的EM算法
? GEM和OSL-EM
* 推广的SAGE算法
? PML-SAGE
* 特点
? 均有E-step和M-step交替迭代构成(均为单调算法)
? 区别仅在于处理M-step的策略不同
-利用前一次的迭代更新的估计子近似计算先验概率
-不真正求解M-step对应的最大值，而只关心某一个使目标似然增大(或减小)的近似中间估计
? 适合多数MAP估计，但对于一些具有复杂似然函数的估计问题，任不存在闭型M-step(影响收敛速度)
2. MAP估计与Wavelet-Wavelet
* 如何构造具有闭型M-step的MAP-EM估计算法
? 利用近似似然替代复杂的Poisson似然(容易得到)
? 先验分布具有独立同分布的去相关模型
-MRF模型：先验分布具有明显的相关特征(势团，领域结构等等)
-利用正交独立子空间的投影来解决先验分布的建模
* 寻找合适的信号子空间
?Fourier空间(频域)
? 正交多项式空间(正交矩(moment)分析)
? 小波空间
2. MAP估计与Wavelet-Wavelet
* 小波空间处理的优势
?多尺度分析
?系数的稀疏分布特征，可用一些广义高斯(或alpha-stable)分布良好地刻画
?快速变换(反变换)，不会增加太多计算上的负担
* 相关领域的应用
?解析域投影重建[Donoho 1995; Lee Lucia 2001] (从小波域到小波域)
?其他类似重建[Bhatia 1996; Frese 2002](前者并非MAP参数估计，后者使用了小波系数相关尺度模型，加大了估计的难度)
?图像去模糊[Banham 1996; Figueiredo and Nowak 2003] (未考虑快速算法)
?基于有限角度投影数据的断层重建[Rantal et al 2006]
2. MAP估计与Wavelet-Wavelet
* 基本方法
? 两阶段：1)小波系数恢复；2)图像重建
* 观测模型
* 基于小波系数的后验分布函数
* 小波系数的先验模型
2. MAP估计与Wavelet-SAGE
* 多尺度SAGE优化算法(目的：快速收敛)
? 辅助观测模型
2. MAP估计与Wavelet-SAGE
* 多尺度SAGE优化算法
? 参数集选取
? 尺度、方向交替迭代
2. MAP估计与Wavelet-Wavelet
* 多尺度SAGE优化算法
? 参数更新公式(即为系数收缩公式)......（后略) ......
正电子发射断层的
图像重建方法研究
研究生：周健
导师：罗立民
2006 年 10 月
论文组织结构
* 课题背景
* 研究现状
* 本论文的主要工作
* 工作总结与展望
* 致谢
课题背景
* PET成像是目前癌症的早期诊断和脑功能成像非常重要的检查手段
?提供的生理和病理信息可以达到细胞和分子水平
? PET 对心脏和神经系统疾病诊治也极具价值，* PET是活体生化显像
* PET开创了在分子水平无创伤性研究人脑功能和心肌存活情况的先河
课题背景-基本原理(1)
课题背景-基本原理(2)
课题背景-基本原理(3)
研究现状-主要方法
* 解析法(2D，3D)
? 滤波反投影(FBP：filtered back-projection)
? 卷积反投影(CBP：convolution back-projection)
? 直接傅立叶法(DFM：direct Fourier method)
? 子空间分解法(例如：小波，多项式矩重建)
* 代数重建法
? ART：algebraic reconstruction technique
* 统计迭代法(2D，3D)
? 最大似然(ML：maximum likelihood)估计
? 最大后验(MAP：maximum a posteriori)估计
研究现状-统计迭代法(1)
* 快速、稳定和收敛的迭代优化算法研究
? ML-EM(expectation-maximization)算法[Shepp and Vardi, 1982; Carson and Lange, 1984 ]
? 梯度算法[Kaufman 1992; Mumcuoglu et al 1994; Fessler and Booth 1999]
? OS(ordered-subset)技术[Hudson and Larkin, 1994]
? ICD(iterative coordinate descent)算法[Bouman and Sauer 1993]
? SAGE(space-alternating generalized expectation-maximization)算法 [Fessler and Hero 1994]
? RA(row-action)技术[Brown and De Pierro, 1996]
? 基于目标替代函数(surrogate function)[Fessler and Erdo?an 1999; Erdo?an and Fessler 1999; Zheng et al 2000]
研究现状-统计迭代法(2)
* 改善图像质量的方法研究
? 惩罚PML(penalized-ML)估计，正则化(regularization)技术和Bayesian MAP的目标优化算法研究：
-GEM [Herbert and Leahy 1989] ，OSL-EM [Green, 1990] , BSREM [De Pierro et al 2001]
-ICD [Bouman and Souer 1993] ，PML-SAGE [Fessler and Hero, 1994]
-梯度法[Mumcuoglu and Leahy 1994; Fessler and Booth 1999]
? 图像先验分布的研究：
-图像Markov随机场理论[very extensive !]
-全局先验知识约束：曲面和曲线进化方法 [Elangovan and Whitaker 2001; Yuand Fessler 2002; Ye and Bresler 2002; Alvino and Yezzi 2004; Zhu et al 2005]
-利用其他模态信息，例如解剖信息[Gindi et al 1993; Ardekani et al 1996]，MRI功能信息[Hero et al 1999; Baete et al 2004]
研究现状-统计迭代法(3)
* 统计迭代法重建图像的空间分辨率研究
? 估计子的方差特性[Fessler 1996; Qi and Leahy 1999, 2000]
? 重建图像的空间均匀一致分辨率补偿研究[Fessler and Rogers 1996; Qi and Leahy 2000; Stayman and Fessler 2000; Fessler 2003; Stayman and Fessler 2004]
本文的主要工作
本文的工作主要集中于目前流行的统计迭代方法的研究，其涉及的内容包括以下几个部分：
* 基于可变索引集的SAGE优化算法及其应用
* 基于的小波变换的图像重建方法(针对MAP估计)
* 序列化加权最小二乘(WLS)估计与Kalman滤波重建
* 基于正交Legendre矩的有限角度投影数据重建
本文的主要工作
本文的工作主要集中于目前流行的统计迭代方法的研究，其涉及的内容包括以下几个部分：
* 基于可变索引集的SAGE优化算法及其应用
* 基于的小波变换的图像重建方法(针对MAP估计)
* 序列化加权最小二乘(WLS)估计与Kalman滤波重建
* 基于正交Legendre矩的有限角度投影数据重建
1. ML估计和SAGE-模型(1)
1. ML估计和SAGE-模型(2)
1. ML估计和SAGE-ML估计
* 建立ML估计的基本统计假设
观测数据为独立同分布的Poisson随机变量[Shepp and Vardi 1982]
1. ML估计和SAGE-EM(1)
* ML估计的特征
? 非线性优化问题
? 隐含约束条件：
1. ML估计和SAGE-EM(2)
* EM算法
? 迭代公式(E-step和M-step)[Shepp and Vardi 1982]
? 优点
-同时迭代(单调且收敛)
-易实现非负约束条件
? 缺点*
-收敛缓慢
1. ML估计和SAGE-SAGE(1)
* SAGE算法
? 辅助观测模型[Fessler and Hero 1993, 1994]
1. ML估计和SAGE-SAGE
* SAGE算法
? 特点
-部分参数空间可以任意选取，例如：
-参数空间须满足条件
-空间交替迭代,每一次子空间迭代由E和M-Step构成
-序列方式迭代，单调、快速收敛(比传统EM快)
1. ML估计和SAGE-替代ML估计
* 二阶矩近似模型-高斯观测模型
观测数据为独立同分布的Gaussian随机变量
1. ML估计和SAGE-WLS(1)
* 方差预先可以估计得到
? 数据插入法(data plugin)[Fessler 1994; Qi and Leahy 1999, 2000; Li et al 2004]
? 对应的估计为加权最小二乘(WLS: Weighted Least Squares)估计
* 未知方差
-观测数据可作为随机变量均值的某个无偏估计
- * Poisson随机变量的均值即为方差
1. ML估计和SAGE-WLS(2)
* Fessler的估计模型[Fessler 1994]：
1. ML估计和SAGE-WLS(3)
* 目标优化
? SAGE算法，某个参数空间上的迭代更新如下：
? 可变索引集(推广的SAGE)
-避免使用单个参数所构成的参数集(计算耗时严重)
-参数集的按一次完整迭代后重新划分
-参数集的划分结合当前估计所反映的有用的信息
1. ML估计和SAGE-实验(1)
* 实验材料和基本参数说明
1. ML估计和SAGE-实验(2)
* 收敛速度比较
1. ML估计和SAGE-结果(1)
1. ML估计和SAGE-结果(2)
1. ML估计和SAGE-结果(3)
1. ML估计和SAGE-结果(4)
1. ML估计和SAGE-结果(5)
1. ML估计和SAGE-结果(6)
1. ML估计和SAGE-小结
* 指出了Anderson的WLS算法的缺陷，并将其替代为正确的ML估计模型
* 首次给出了上述改进模型下的基于SAGE算法优化，并尝试了将传统的"不变"索引集推广为"可变"索引集
* 算法存在的不足：未能给出收敛性的严格证明
本文的主要工作
本文的工作主要集中于目前流行的统计迭代方法的研究，其涉及的内容包括以下几个部分：
* 基于可变索引集的SAGE优化算法及其应用
* 基于的小波变换的图像重建方法(针对MAP估计)
* 序列化加权最小二乘(WLS)估计与Kalman滤波重建
* 基于正交Legendre矩的有限角度投影数据重建
2. MAP估计与Wavelet
* ML估计的特征
? 仅依赖于观测数据以及数据的噪声统计特性
? 不引入未知参数以外的其他参数
? ML估计子具有统计意义上的无偏性[*nice property]
? 迭代求解ML估计容易产生不稳定现象
-迭代次数过多反而破坏估计的质量
-迭代停止条件不易设定
2. MAP估计与Wavelet-MAP估计
* 采用MAP的一些原因
? 容易将ML估计推广为Bayesian MAP估计
? 先验知识的引入有利于降低ML估计的方差，即控制ML估计随迭代而降质的不稳定行为(但是MAP估计是有偏的，最多是渐进无偏的)
2. MAP估计与Wavelet-先验分布
* 常用的MRF先验
* 势团、邻域( )
2. MAP估计与Wavelet-MRF(1)
* 势函数
2. MAP估计与Wavelet-MRF(2)
* 一维情形下的一个例子：
2. MAP估计与Wavelet-优化算法
* 推广的EM算法
? GEM和OSL-EM
* 推广的SAGE算法
? PML-SAGE
* 特点
? 均有E-step和M-step交替迭代构成(均为单调算法)
? 区别仅在于处理M-step的策略不同
-利用前一次的迭代更新的估计子近似计算先验概率
-不真正求解M-step对应的最大值，而只关心某一个使目标似然增大(或减小)的近似中间估计
? 适合多数MAP估计，但对于一些具有复杂似然函数的估计问题，任不存在闭型M-step(影响收敛速度)
2. MAP估计与Wavelet-Wavelet
* 如何构造具有闭型M-step的MAP-EM估计算法
? 利用近似似然替代复杂的Poisson似然(容易得到)
? 先验分布具有独立同分布的去相关模型
-MRF模型：先验分布具有明显的相关特征(势团，领域结构等等)
-利用正交独立子空间的投影来解决先验分布的建模
* 寻找合适的信号子空间
?Fourier空间(频域)
? 正交多项式空间(正交矩(moment)分析)
? 小波空间
2. MAP估计与Wavelet-Wavelet
* 小波空间处理的优势
?多尺度分析
?系数的稀疏分布特征，可用一些广义高斯(或alpha-stable)分布良好地刻画
?快速变换(反变换)，不会增加太多计算上的负担
* 相关领域的应用
?解析域投影重建[Donoho 1995; Lee Lucia 2001] (从小波域到小波域)
?其他类似重建[Bhatia 1996; Frese 2002](前者并非MAP参数估计，后者使用了小波系数相关尺度模型，加大了估计的难度)
?图像去模糊[Banham 1996; Figueiredo and Nowak 2003] (未考虑快速算法)
?基于有限角度投影数据的断层重建[Rantal et al 2006]
2. MAP估计与Wavelet-Wavelet
* 基本方法
? 两阶段：1)小波系数恢复；2)图像重建
* 观测模型
* 基于小波系数的后验分布函数
* 小波系数的先验模型
2. MAP估计与Wavelet-SAGE
* 多尺度SAGE优化算法(目的：快速收敛)
? 辅助观测模型
2. MAP估计与Wavelet-SAGE
* 多尺度SAGE优化算法
? 参数集选取
? 尺度、方向交替迭代
2. MAP估计与Wavelet-Wavelet
* 多尺度SAGE优化算法
? 参数更新公式(即为系数收缩公式)......（后略) ......
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