目 录

    内容提要

    再版前言

    第一版前言

    第一章 行列式

    §1.1 二阶行列式

    §1.2 三阶行列式

    §1.3 n阶行列式

    §1.4 行列式的展开和转置

    §1.5 行列式的计算

    §1.6 行列式的等价定义

    §1.7 Laplace定理

    第二章 矩阵

    §2.1 矩阵的概念

    §2.2 矩阵的运算

    §2.3 方阵的逆阵

    §2.4 矩阵的初等变换与初等矩阵

    §2.5 矩阵乘积的行列式与用初等变换法求逆阵

    §2.6 分块矩阵

    §2.7 Cauchy-Binet公式

    第三章 线性空间

    §3.1 数域

    §3.2 行向量和列向量

    §3.3 线性空间

    §3.4 向量的线性关系§3.5 向量组的秩

    §3.6 矩阵的秩

    §3.7 坐标向量

    §3.8 基变换与过渡矩阵

    §3.9 子空间

    §3.10 线性方程组的解

    第四章 线性映射

    §4.1 线性映射的概念

    §4.2 线性映射的运算

    §4.3 线性映射与矩阵

    §4.4 线性映射的像与核

    §4.5 不变子空间

    第五章 多项式

    §5.1 一元多项式代数

    §5.2 整除

    §5.3 最大公因式

    §5.4 因式分解

    §5.5 多项式函数

    §5.6 复系数多项式

    §5.7 实系数多项式和有理系数多项式

    §5.8 多元多项式

    §5.9 对称多项式

    §5.10 结式和判别式

    第六章 特征值

    §6.1 特征值和特征向量

    §6.2 对角化

    §6.3 极小多项式与Cayley-Hamilton定理

    §6.4 特征值的估计

    第七章 相似标准型

    §7.1 多项式矩阵

    §7.2 矩阵的法式

    §7.3 不变因子

    §7.4 有理标准型

    §7.5 初等因子

    §7.6 Jordan标准型

    §7.7 Jordan标准型的进一步讨论和应用举例

    §7.8 矩阵函数

    第八章 二次型

    §8.1 二次型的化简与矩阵的合同

    §8.2 二次型的化简

    §8.3 惯性定理

    §8.4 正定型与正定矩阵

    §8.5 Hermite型

    第九章 内积空间

    §9.1 内积空间的概念

    §9.2 内积的表示和正交基

    §9.3 伴随

    §9.4 内积空间的同构，正交变换和酉变换

    §9.5 自伴随算子

    §9.6 复正规算子

    §9.7 实正规矩阵

    §9.8 谱

    §9.9 最小二乘解

    第十章 双线性型§10.1 对偶空间

    §10.2 双线性型

    §10.3 纯量积

    §10.4 交错型与辛空间

    §10.5 对称型与正交几何普通高等教育“十一五”国家级规划教材

    普通高等教育“十五”国家级规划教材

    博学·数学系列

    高等代数学

    (第二版)

    姚慕生 吴泉水 编著内容提要

    本书是普通高等教育“十五”、“十一五”国家级规划教材.

    全书以线性空间为纲，在线性空间的框架下展开高等代数的主要

    内容.内容包括：行列式、矩阵、线性空间和线性变换、多项式、特

    征值、相似标准型、二次型、内积空间和双线性型.本书力求深入浅

    出，在介绍抽象的数学概念时交代其来龙去脉，在讲解精妙的数学方

    法时不忘交代其思路.书中还有大量精选的例题和习题.

    本书是高等学校数学系的教材，也适合统计系、理工科各系，以

    及经济、管理类专业的学生、研究生和教师参考.再版前言

    本书的第一版作为普通高等教育“十五”国家级规划教材于2003

    年出版.本书出版以来，得到了广大读者的关心和肯定.本书第二版

    又作为普通高等教育“十一五”国家级规划教材.第二版的主导思想

    是：废止灌输式，倡导启发式.编者始终认为学习数学的最好方法是

    自己动手做数学.虽然基础课讲授的内容都是前人积累下来的成果，但是自己动手做一遍和光听别人说一遍或被动地读一遍，其收获完全

    不同.主动地学习，不断地思考问题，自己动手解决问题是培养创新

    能力的关键.编者建议读者在阅读本书的每一章节时，都要认真地思

    考一下：这一节要解决什么问题？我有什么办法去解决这些问题？对

    一些定理、例题可尝试给出自己的证明或解答，然后和书本的证明或

    解答进行比较.为了帮助初学的读者思考问题，在本书的许多章节，编者都安排了各种问题，读者可以此作为学习的线索；在引进基本概

    念时也尽量对其来龙去脉进行了说明.书中配有大量各个层次的习

    题，有些习题有相当的难度(往往打有星号)，初学者可跳过去，不

    必为之大伤脑筋，亦可参考姚慕生编著的《高等代数(大学数学学习

    方法指导丛书)》(复旦大学出版社)一书.

    与第一版相比，本书第二版作了较大的改动.第一章和第九章的

    大部分章节都重新编写.行列式的引进采用了更加易懂的方法.第三

    章也作了较大的改动，特别对向量线性关系的引进、向量线性相关和

    线性无关的判定、向量秩的计算等方面都作了比较多的改动.其他各

    章也不同程度地作了修改.比如第五章，删去了Sturm定理，加进了中

    国剩余定理.各章节中许多概念的引进、定理的证明、内容的编排次

    序也都有不同程度的变动.第一版中一些文字上的错误及不妥之处也得到了纠正.所有这些变动的目的是为了使本书更加容易理解，对读

    者更具启发性.当然话好说，做起来却不那么容易.这本书究竟能否

    达到编者的目的还有待于实践的检验，因此我们真诚地欢迎读者以及

    同行的批评意见和建议.

    本书的出版得到了复旦大学出版社的大力支持，在此谨向他们表

    示衷心的感谢!

    编 者

    2007年于复旦大学

    E-mail地址：yaomsk@126.com

    qswu@fudan.edu.cn第一版前言

    一、编写指导思想

    高等代数是大学数学系学生的一门基础课.本书是根据国家教育

    部关于综合性大学数学系的课程设置及教学大纲的要求编写的，可作

    为综合性大学数学系、师范大学数学系的教材或教学参考书，也可供

    力学、物理学、工程学、经济学、管理学等系科学生与教师作参考

    书.

    高等代数是一门基础课，它涉及的内容都是早已积累起来的成熟

    知识.我们的目的是要根据现代科学技术发展的需要，通过进一步的

    整理和组织，使学生学到必要的基础知识，为今后的学习和工作打下

    良好的基础.

    本书在结构上采用以线性空间为纲的做法，即把高等代数的主要

    内容放在线性空间的框架下展开，同时对必要的代数方法也作了尽可

    能详细的介绍.事实证明：几何的直观可以帮助学生更好地理解，而

    代数方法则往往比较简洁直接.如何使两者有机地结合起来是一个值

    得研究的问题，编者希望在这一方面作一尝试.本书常常采用这样的

    方法：在线性空间的框架下“几何地”提出问题，再把问题“代数

    化”，然后用代数方法来解决问题.

    学生能力的培养比单纯知识的积累更重要.本书在叙述基础知识

    的同时，努力做到交代清楚概念的来龙去脉.通过不断地提出问题、分析问题、指明解决问题的途径，让学生主动地思考问题，提高分析

    能力.高等代数的内容极其丰富，人们很难简单地断言哪些是有用的，哪些是没有用的.此外，学生的需要和能力是因人而异的，因而每个

    学生对学习内容的要求也不相同.我们不可能做到面面俱到，因此在

    选材上只能选择最基本、最重要的内容.同时为了照顾不同的需要，把一些内容作为选修(即打号的内容)，教师应鼓励学有余力的学生

    学习这些内容.

    二、内容说明

    全书共分10章.

    第一章主要讲行列式.在行列式的引进上采用比较容易理解的方

    法，即从解线性方程组提出问题，用归纳的方法引进行列式.这样做

    的好处是目的性强，容易为学生接受.Cramer法则放在比较前面也是

    为了同一个目的.

    第二章介绍矩阵的基本概念和运算.重点放在矩阵的乘法和矩阵

    的初等变换上.对分块矩阵也作了比较详细的介绍.

    第三章引进线性空间的概念.从学生熟悉的二维和三维空间出

    发，引入n维向量和n维空间.我们把线性空间的基域假设为一般的数

    域，这样虽然在开始时比较抽象，但对以后的学习有很大的好处.对

    一般抽象的n维空间，我们尽早引入坐标的概念使之表示为具体的n维

    行向量空间或列向量空间.这种把几何的概念代数化的思想将在以后

    的章节中重复出现，并且作为一种基本的方法要求学生熟练掌握.在

    引进子空间的概念后我们立即引进了直和的概念，为相似标准型理论

    的几何背景做好准备.对向量的线性关系、向量组秩的概念和矩阵秩

    的概念等作了统一处理，从而精简了篇幅.线性方程组的解可以借助

    子空间的概念来阐明，这样可以使线性方程组的解有了几何意义.当

    然解法仍然是“代数的”，即用矩阵方法.第四章主要介绍线性映射和线性变换的概念.在思想方法上重点

    向学生阐明线性映射(或线性变换)与矩阵的关系，让学生学会如何

    把一个“几何的”问题代数化并用代数的工具加以处理，或者反过来

    把一个代数的问题“几何”化，用线性空间的理论来解决它.

    第五章介绍多项式.多项式理论在本课程中主要作为标准型理论

    的准备而安排的，因此在内容上可以根据实际情况加以取舍.

    第六章介绍特征值.特征值与特征向量是作为一维不变子空间而

    引进的，这种引进方法具有直观的几何意义.接着就用它们来解决矩

    阵相似于对角阵的问题.Cayley-Hamilton定理的引进和证明采用了典

    型的几何与代数相结合的方法.

    第七章介绍相似标准型.相似标准型的理论有各种讲述法，我们

    采用比较简单的λ-矩阵的方法.首先把数字矩阵的相似等价于它们的

    特征矩阵的相抵，然后用λ-矩阵的初等变换来求法式，求不变因子和

    初等因子.这样处理不仅比较简单易算，而且可以向学生介绍处理各

    种标准型问题的思想方法.由于约当标准型的重要性，约当型将作重

    点介绍.这一章的处理方法基本上是“代数”的，为了让学生从几何

    的角度来了解标准型理论，我们在本章第七节介绍了根子空间和循环

    子空间的概念.考虑到矩阵函数在后继课程中的用途，我们在最后一

    节中作了介绍，可作为选修内容.

    第八章介绍二次型.在二次型理论的叙述中，我们仍然将几何问

    题与代数方法紧密结合，把几何问题代数化，然后用矩阵来处理.

    第九章介绍内积空间.内积空间主要介绍欧氏空间的理论，但同

    时也介绍酉空间的理论，而且在一些地方加以统一的处理.这种安排

    的目的是让学生对复空间不再感到神秘，看到复线性空间理论与实空

    间理论的共同之处.正规算子、谱分解等概念在通常的线性代数课程

    中不作介绍，但这是一些重要的概念，可以作为选修的内容让学有余力的同学选学.最小二乘解是很有用的，用欧氏空间来处理非常直观

    和简单，因此也把它作为选学内容.

    第十章介绍双线性型.这一章都是选修内容.安排这部分内容主

    要考虑在我国的大学教育中很少有这方面的内容，而这些内容对数学

    学科又具有重要的意义，让有兴趣的学生学习这一内容是有益的.

    本书是编者在复旦大学数学系多年教学实践的基础上编写而成

    的，并在教学实践中作了多次修改.尽管如此，限于编者的水平与经

    验，错误和不妥之处在所难免.恳请专家、学者和读者提出宝贵意

    见.

    编 者

    2002年7月第一章 行列式

    §1.1 二阶行列式

    我们在中学里曾经学过如何解二元一次方程组和三元一次方程

    组.在许多实际问题中，我们还会遇到未知数更多的一次方程组，通

    常称之为线性方程组.一般来说，具有下列形状的方程组我们称为n元

    线性方程组的标准式：

    其中aij ，bi (i＝1，2，…，m；j＝1，2，…，n)都是常数，xi

    (i＝1，2，…，n)是未知数，方程组中所有未知数都是一次的.注

    意在一般的线性方程组中，m和n可以不相等，即方程组中未知数个数

    和方程式个数可以不等.凡是经过有限次移项、合并同类项可以变为

    (1.1.1)式形状的方程组都称为线性方程组.求解线性方程组是线性

    代数的一个重要任务，我们在这一章中主要讨论当m＝n，即方程式个

    数等于未知数个数时如何来解上述线性方程组.

    我们首先回忆一下中学里学过的解二元一次方程组的方法.先看

    一个简单的例子.

    例1.1.1 求解二元一次方程组：解 用代入消去法，在第一个方程式中解出y用x表示的式子：

    y＝2x-5.

    代入第二个方程式中得到

    3x+2(2x-5)＝11.

    整理后得

    7x＝21.

    解得x＝3，代入y＝2x-5求得y＝1.于是上述线性方程组有唯一组

    解：

    读者不难想象这种方法也可用来解一般的线性方程组.比如对一

    个含10个未知数的方程组，利用一个方程式将第一个未知数用其他9个

    未知数表示出来以后分别代入其余方程式，于是原来的方程组就化为

    只含有9个未知数的方程组了.再用同样的方法可以得到一个只含8个

    未知数的方程组等等.一直做到只含1个未知数.解出这个一元一次方

    程式并返回去求所有其他未知数.这个办法在理论上似乎是可行的，但是当未知数个数很多时(在许多实际问题中，未知数的个数可能有

    成千上万个)，运算将变得难以想象的复杂.另外，用代入法无法得

    出一个规范化的公式，这对于从理论上分析线性方程组的解不能不说

    是个很大的缺陷.我们现在希望给出线性方程组解的一个公式.这样

    的公式真的存在吗？我们首先来考察二元一次方程组的解，设有二元

    一次方程组：用a22 乘第一式的两边，用-a12 乘第二式的两边得：

    将这两个方程式两边相加得：

    (a11 a12 -a12 a21 )x1 =b1 a22 -b2 a12

    于是

    用类似的办法消去x1 ，解得：

    我们注意到二元一次方程组的两个解都可以表示为分数的形状，其中分母仅和未知数的系数有关.二元一次方程组解的公式是有了，但是这个公式不太好记忆.

    如果我们引进二阶行列式，则上述解可用行列式表示：

    在用行列式表示的解公式(1.1.4)中，我们发现解的表达有一定

    的规律：

    (1)x1 与x2 的分母都是行列式 ，即只需将原方程组未

    知数前的系数按原顺序排成一个行列式即可.

    (2)x1 的分子行列式的第一列是原方程组的常数列，第二列由x2

    的系数组成，因此这个行列式可以看成是将x1 与x2 的分母行列式

    中的第一列换成常数项而得.这个规则对x2 的分子行列式也

    适用.

    显而易见，这样的解的公式一目了然而且很容易记忆.我们自然

    希望用同样的公式来表示三元一次方程组的解乃至n元线性方程组的解.在做这件事之前，我们先来研究二阶行列式的性质，这将启发我

    们如何定义一般的n阶行列式.

    设有二阶行列式

    ｜A｜的值根据定义为a11 a22 .我们称上述行列式为上三角行列式，元素a11 ，a22 为行列式的对角线元素(或主对角元素)，于是我们得

    到行列式的第一个性质.

    性质1 上三角行列式的值等于其对角线元素之积.

    性质2 行列式某行或某列全为零，则行列式的值等于零.

    比如若第一行全为零，则显然

    其他几种情形也类似可验证.

    性质3 用常数c乘以行列式的某一行或某一列，得到的行列式的

    值等于原行列式的值的c倍.

    比如将c乘以｜A｜的第一行，我们有

    其他几种情形读者可自己验证.性质4 交换行列式不同的两行(列)，行列式的值改变符号.

    证明也很容易：

    同理

    性质5 行列式两行或两列成比例，则行列式的值等于零，特

    别，若行列式两行或两列相同，则行列式的值等于零.

    对列成比例的情形我们可证明如下：

    同理可证明行成比例的情形.

    性质6 若行列式中某行(列)元素均为两项之和，则行列式可

    表示为两个行列式之和.

    如验证也非常容易，只需按照行列式定义计算等式两边的值即可.需要

    注意的是下面的等式不成立：

    请读者想一想为什么？上式左边的行列式应该等于什么？

    性质7 行列式的某一行(列)乘以某个数加到另一行(列)

    上，行列式的值不变.

    比如行列式

    同理可证设有二阶行列式

    ｜A｜的值根据定义为a11 a22 -a12 a21 .我们称下列行列式为｜A｜

    的转置：记为｜A′｜.注意｜A′｜的第一列就是｜A｜的第一行，｜A′｜的

    第二列就是｜A｜的第二行.根据定义｜A′｜＝a11 a22 -a21 a12 ，我们发现它就等于行列式｜A｜的值.于是我们得到行列式的又一个性

    质.

    性质8 行列式和其转置具有相同的值.

    注 从性质1到性质7我们发现行列式性质具有行和列的对称性，即对行成立的性质，对列也成立.这是因为性质8在起作用.转置将行

    变成了相应的列，既然行列式转置后值不改变，那么同样的性质对列

    也成立.

    现在我们试着用行列式性质来解二元一次方程组(1.1.3).

    将b1 ，b2 代入下面的行列式：

    由性质7，在右边的行列式中用-x2 乘以第二列加到第一列上，行列

    式值应该不变，即上式等于

    再由性质3，综上所述，故

    同理，通过计算行列式我们得到

    从这里我们得到启发，既然用二阶行列式性质(注意我们没有用

    到性质8)就可以求解二元一次方程组，那么只要从性质着手定义出一

    般的n阶行列式，我们就可以求出n元线性方程组的解.

    习题1.1

    1.计算下列行列式：

    (1)

    (2)

    2.计算下面两个行列式并和性质3比较：

    (1)

    (2)3.计算下面3个行列式并和性质6比较(第一个行列式的第二行等

    于后两个行列式第二行之和)：

    4.比较下列行列式的值：

    5.计算下面两个行列式并和性质8比较：

    6.举例说明下列等式不成立：

    问：根据性质6，行列式 应等于什么？

    §1.2 三阶行列式

    我们遵循上一节的思路来定义三阶行列式，设称｜A｜是一个三阶行列式.我们要定义三阶行列式的值，使得行列式

    具有上节中所述的8个性质.我们不妨倒过来，假定行列式已经定义且

    适合8个性质，那么行列式｜A｜的值应该等于什么？

    根据行列式性质6，上述行列式｜A｜可以表示成为3个行列式之

    和：

    对于上述和式中的第二个行列式，利用性质4，将其第二行和第一

    行对换，就可将它化为与和式中第一个行列式相同的类型.同理，和

    式中第三个行列式也可以通过行对换化为和第一个行列式具有相同的

    类型.因此，现在的问题是，行列式应该等于什么？我们利用性质7可以将上面这个行列式化为上三角行列

    式：将 乘以第二行加到第三行上，由性质7，行列式值不变，即

    再根据性质1，有

    于是再由性质4和上面的结果，我们得到

    现在我们引进几个名词.如果将上述行列式｜A｜划去某个元素aij

    (i，j＝1，2，3)所在的一行和一列，则剩下的元素按原来的次序组成一个二阶行列式，我们称这个二阶行列式为元素aij 的余子式，记为

    Mij

    比如｜A｜中元素a11 的余子式为M11 ＝ ，元素a12 的

    余子式为M12 ＝ ，元素a23 的余子式为M23 ＝

    ，等等.

    根据上面的分析，我们有理由作出如下的定义.

    定义(1.2.1)式中行列式｜A｜的值为

    ｜A｜＝a11 M11 -a21 M21 +a31 M31 .

    例1.2.1 计算下列三阶行列式：

    解 根据定义，行列式值为

    1× -2× +(-1)× ＝4.

    例1.2.2 计算下列行列式：解 由定义得此行列式值为

    从三阶行列式的定义，我们可以容易地证明所有三阶行列式都满

    足§1.1中的8条性质.但我们将这个任务交给读者来完成.

    现在我们要用三阶行列式性质来解三元一次方程组.设有下列三

    元一次方程组：

    和第一节的做法类似，我们计算行列式将上述右边行列式的第二列乘以-x2 加到第一列上，再将第三列乘以

    -x3 加到第一列上，根据行列式性质7，得到的行列式的值等于原行

    列式的值，即

    再由行列式性质3，可将上式右边第一列中的x1 提出来，即

    于是得到x1 的解：同理，可得

    可见，三元一次方程组有着和二元一次方程组类似的公式解.这里行

    列式称为方程组(1.2.2)的系数行列式，即未知数的系数组成的行列式.

    习题1.2

    1.计算下列行列式：

    (1)

    (2)

    2.计算下列行列式：

    (1)

    (2)

    3.计算下列行列式：

    (1)(2)

    4.解下列方程：

    (1)

    (2)

    5.用行列式解下列三元一次方程组：

    (1)

    (2)

    §1.3 n阶行列式

    有了二阶行列式和三阶行列式的概念，定义n阶行列式就不困难

    了.

    我们先介绍n阶行列式及其相关概念.我们称下面用两条竖线围起

    来的由n行n列元素组成的式子为一个n阶行列式：它由n行n列共n2

    个元素组成，第i行上元素全体称为行列式｜A｜的第i

    行，第j列上元素全体称为行列式｜A｜的第j列.第i行第j列交点上的

    元素aij 称为行列式｜A｜的第(i，j)元素.元素a11 ，a22 ，…，ann 称为｜A｜的主对角线，因为如果把行列式看成一个正方形，这些

    元素恰在正方形的对角线上.

    定义1.3.1 定义元素aij 的余子式Mij 为由行列式｜A｜中划去

    第i行第j列后剩下的n-1行与n-1列元素组成的行列式：

    我们注意到三阶行列式的值是用二阶行列式来定义的，因此n阶行

    列式值可以用n-1阶行列式来定义.即我们可以用归纳法来定义上述

    行列式｜A｜的值.

    定义1.3.2 当n＝1时，(1.3.1)式的值定义为｜A｜＝a11 .

    现假定对n-1阶行列式已经定义了它们的值，则对任意的i，j，Mij 的值已经定义，定义n阶行列式｜A｜的值为

    对于任一自然数n，(1.3.2)式给出了一个计算n阶行列式的方

    法：将n阶行列式化为n-1阶行列式，再化n-1阶行列式为n-2阶，…，最后便可求出｜A｜的值.(1.3.2)式又称为行列式｜A｜按第一

    列展开的展开式.

    为了使(1.3.2)式的形状更好些，我们引进代数余子式的概念.

    定义1.3.3 在行列式｜A｜中，aij 的代数余子式定义为

    Aij ＝(-1)i+j

    Mij ，其中Mij 是aij 的余子式.

    用代数余子式(1.3.2)式可写为如下形状：

    注 我们的定义与二阶、三阶行列式的定义是一致的.以二阶行

    列式为例，设有二阶行列式

    a11 的余子式M11 ＝a22 ，a21 的余子式M21 ＝a12 ，故A11 ＝(-1)1

    +1

    a22 ＝a22 ，A21 ＝(-1)2+1

    a12 ＝-a12 .而

    ＝a11 a22 -a12 a21 ，恰好和二阶行列式的定义一致.

    例1.3.1 设有五阶行列式｜A｜的第(1，1)元素a11 ＝1，它的余子式等于

    a11 的代数余子式为A11 ＝(-1)1+1

    M11 ＝M11 .

    ｜A｜的第(3，4)元素a34 ＝1，它的余子式为代数余子式A34 ＝(-1)3+4

    M34 ＝-M34 .

    ｜A｜的第(4，1)元素a41 ＝0，它的余子式为

    代数余子式A41 ＝(-1)4+1

    M41 ＝-M41 .

    n阶行列式同样适合前二节中二阶行列式和三阶行列式适合的8条

    性质，因为我们是用归纳法定义的行列式，自然地，这些性质的证明

    也要用归纳法.

    性质1 若｜A｜是一个n阶行列式，且则｜A｜＝a11 a22 …ann .

    证明 我们称上式中左边的行列式为上三角行列式(这时aij ＝0

    对一切i>j成立)；右边的行列式为下三角行列式(这时aij ＝0对一切

    i
    立.对上三角行列式，由定义，有

    ｜A｜＝a11 M11 .

    但M11 仍是一个上三角行列式，故由归纳假设M11 ＝a22 …ann 即知｜A

    ｜＝a11 a22 …ann .

    对下三角行列式，由定义，有

    对Mi1 (i>1)，它仍是一个下三角行列式且Mi1 主对角线上的元素至

    少有一个为0，故由归纳假设Mi1 ＝0(i>1).对M11 ，由归纳假设等

    于a22 …ann ，于是｜A｜＝a11 a22 …ann .证毕.

    性质2 若n阶行列式｜A｜的某一行或某一列的元素全为0，则｜

    A｜＝0.

    证明 仍用数学归纳法.当n＝1时显然正确.假定结论对n-1阶

    行列式成立.先设｜A｜中第i行元素全为0，则

    ｜A｜＝a11 M11 -a21 M21 +…+(-1)n+1

    an1 Mn1 ，其中每个Mj1 (j≠i)都有一行元素全为0，故由归纳假设Mj1 ＝0.另

    外，ai1 ＝0，故ai1 Mi1 ＝0，从而｜A｜＝0.

    再设｜A｜中第i列全为0.若i＝1，显然｜A｜＝0.若i>1，在展

    开式中每个Mj1 都有一列元素全为0，由归纳假定Mj1 ＝0，故｜A｜＝0.证毕.

    性质3 将行列式｜A｜的某一行或某一列乘以一个常数c，则得

    到的行列式｜B｜＝c｜A｜.

    证明 对行列式的阶用数学归纳法.当n＝1时显然正确.假定｜B

    ｜中第i行的每个元素等于｜A｜中第i行的每个元素乘以c，而其他行

    元素与｜A｜完全相同.由定义可知，其中Nr1 为｜B｜的第r行第一列元素的余子式.由题意及归纳假设知道

    Nr1 ＝cMr1 (r≠i)，Ni1 ＝Mi1 ，其中Mr1 ，Mi1 均为｜A｜相应的余子式.由(1.3.5)式即知｜B｜＝c

    ｜A｜.

    对列的情形也不难证明.若｜B｜的第一列元素都是｜A｜的第一

    列元素的c倍，则将｜B｜按定义展开即可得结论.若｜B｜的第

    i(i>1)列元素是｜A｜的第i列元素的c倍，利用展开式及归纳假设即

    可得到结论.证毕.

    性质4 对换行列式｜A｜的任意不同的两行，则行列式的值改变

    符号(绝对值不变).

    证明 对n用归纳法.当n＝2时已知成立，假定结论对n-1阶行列

    式也成立.对n阶行列式｜A｜，先证明特殊情形，即对换行列式的相

    邻两行，其值改变符号.设｜B｜由｜A｜对换第r行及第r+1行而得.

    记Nij 为｜B｜的第i行第j列元素的余子式，将｜B｜按行列式定义展开

    并注意到｜B｜由｜A｜对换第r行及第r+1行而得：若i≠r，r+1，则由归纳假定Ni1 ＝-Mi1 ，而Nr1 ＝Mr+1，1 ，Nr+

    1，1 ＝Mr1 ，由此即知｜B｜＝-｜A｜.

    现来考虑一般情形.要将｜A｜的两行对换，不妨设所换两行为第

    i行及第j行，且j>i.我们可先将第i行与第i+1行对换，再与第i+2

    行对换，一直到与第j行对换.然后再将第j-1行经过不断与相邻行的

    对换换到原来第i行的位置.这样一共换了2(j-i)-1次，因此仍有

    ｜B｜＝-｜A｜.证毕.

    性质5 若行列式｜A｜的两行成比例，则｜A｜＝0.特别若行列

    式的两行相同，则行列式的值等于零.

    证明 先证明特例，设行列式｜A｜有两行相同，将这两行对换可

    得｜A｜＝-｜A｜，因此｜A｜＝0.再证明一般情形，设｜A｜有两行

    成比例，则由性质3，将比例因子提出后得到的行列式有两行相同，值

    等于零，故｜A｜＝0.证毕.

    性质6 设｜A｜，｜B｜，｜C｜是3个n阶行列式，它们的第

    (i，j)元素分别记为aij ，bij ，cij .｜A｜，｜B｜，｜C｜的第r

    行元素适合条件：

    而其他元素相同，即cij ＝aij ＝bij (i≠r，j＝1，2，…，n)，则

    ｜C｜＝｜A｜+｜B｜.

    证明 对n用数学归纳法.当n＝1时结论显然成立.设结论对n-1

    阶行列式成立.将｜C｜按定义展开：

    其中Qij 为C的余子式.若i≠r，则Qi1 仍适合(1.3.6)式，由归纳假

    设得Qi1 ＝Mi1 +Ni1 .这里Mi1 ，Ni1 分别是A，B的余子式.若i＝r，则Qr1 ＝Mr1 ＝Nr1 .因此(1.3.7)式为

    证毕.

    性质6可用行列式具体表示如下：性质7 将行列式的一行乘以某个常数c加到另一行上，行列式的

    值不变，即

    证明 由性质6可将上式左边分拆成两个行列式之和，一个等于右

    边的行列式，另一个利用性质3将c提出，再由性质5知其值应为零.证

    毕.

    上面我们对行证明了性质4至性质7.实际上这些性质对列也成

    立.

    性质5′ 若行列式｜A｜的两列成比例，则｜A｜＝0.特别若两

    列相同，则行列式值等于零.

    证明 先证明若｜A｜有两列相同，则值等于零.假设｜A｜中相

    同的两列都不是第一列，则将｜A｜展开并用归纳法即可得｜A｜＝0.

    因此我们不妨设｜A｜的第一列与第r列相同.这时如果第一列元素全

    为0，则｜A｜＝0.故假设｜A｜的第一列元素至少有一个不等于零，比如as1 ≠0.将｜A｜的第一行与第s行对换，仅改变｜A｜的符号，由

    于-｜A｜＝0即意味着｜A｜＝0，因此我们不妨设a11 ≠0，这时｜A｜

    的形状为将｜A｜的第一行乘以 加到第i行上去(i＝2，3，…，n)，则得

    到一个新的行列式｜C｜，它的形状为

    由性质7知｜C｜＝｜A｜，将｜C｜按定义展开，｜C｜＝a11 Q11 .而

    Q11 是一个有一列全为0的n-1阶行列式，故Q11 ＝0，即有｜C｜＝0，于是｜A｜＝0.一般情形的证明和行性质证明相同，证毕.

    性质6′ ｜A｜，｜B｜，｜C｜是3个n阶行列式，｜C｜的第r列

    元素等于｜A｜的第r列元素与B的第r列元素之和：

    cir ＝air +bir (i＝1，2，…，n)，当j≠r时，cij ＝aij ＝bij ，则

    ｜C｜＝｜A｜+｜B｜.证明 若r＝1，用行列式定义展开｜C｜即可得到结论.若r>1，将｜C｜展开：

    C＝a11 Q11 -a21 Q21 +…+(-1)n+1

    an1 Qn1 ，每个Qi1 由归纳假设得：

    Qi1 ＝Mi1 +Ni1 ，其中Qi1 ，Mi1 ，Ni1 分别是｜C｜，｜A｜，｜B｜的余子式.代入可

    得

    ｜C｜＝｜A｜+｜B｜.

    证毕.

    性质7′ 将行列式的一列乘以常数c加到另一列上，行列式的值

    不变.

    证明 类似性质7的证明.利用性质6′，性质3及性质5′即可证

    明.证毕.

    性质4′ 交换行列式的两列，行列式的值改变符号.

    证明 设｜B｜由｜A｜交换第r列及第s列得到，即作行列式｜C｜，它的第r列及第s列相同，都等于｜A｜的第r列及第s

    列之和，则除｜A｜，｜B｜外的两个行列式各自都有两列相同，因此值为0.而｜

    C｜也有两列相同，值也等于0.于是｜B｜＝-｜A｜，证毕.

    行列式的第8个性质我们将在下一节证明.

    现在我们的任务是利用行列式性质，求出n元线性方程组的公式

    解.设有n个未知数n个方程式的线性方程组

    记方程组的系数行列式为

    行列式

    用-x2 乘以右边行列式的第二列加到第一列上，再用-x3 乘以第三列

    加到第一列上，…，最后将-xn 乘以第n列加到第一列上，由行列式性质知道行列式值不变，即

    于是

    同理，通过计算可得

    不断做下去，得上述结论通常称为Cramer(克莱姆)法则，我们把它写成如下定理.

    定理1.3.1(Cramer法则) 设有线性方程组记这个方程组的系数行列式为｜A｜，若｜A｜≠0，则方程组有且仅有

    一组解：

    x1 ＝ ，x2 ＝ ，…，xn ＝ ，其中｜Ai ｜(i＝1，2，…，n)是一个n阶行列式，它由｜A｜去掉第

    i列换上方程组的常数项b1 ，b2 ，…，bn 组成的列而成.

    注 当系数行列式｜A｜＝0时，方程组的解比较复杂，我们将在

    第三章讨论这个问题.

    习题1.3

    1.求下列行列式中第(1，2)，第(3，1)及第(3，3)元素的

    余子式和代数余子式：

    (1)

    (2)

    2.计算下列行列式的值：

    (1)(2)

    3.计算下列行列式的值：

    (1)

    (2)

    4.计算行列式的值：

    (1)

    (2)

    §1.4 行列式的展开和转置

    行列式的定义通常称为行列式按第一列展开的展开式，那么行列

    式是否也可以按其他列展开呢？我们可这样考虑(仍用上一节中的行列式｜A｜)：先交换第r列

    与第r-1列，再交换第r-1列与第r-2列，等等，经过r-1次这样的

    交换便可将｜A｜的第r列换到第一列，再按定义展开行列式.记｜B｜

    是经过这样变换以后的行列式，则

    因此

    上面Ni1 ，Mi1 分别表示｜B｜及｜A｜的余子式.利用代数余子式可将

    上式改写为

    其中Air ＝(-1)i+r

    Mir 是A的代数余子式.

    定理1.4.1 设｜A｜是n阶行列式，第i行第j列元素aij 的代数

    余子式记为Aij ，则对任意的r(r＝1，2，…，n)有展开式：

    ｜A｜＝a1r A1r +a2r A2r +…+anr Anr .

    又对任意的s≠r，有

    a1r A1s +a2r A2s +…+anr Ans ＝0.

    证明 只需证明后一结论.注意下面的行列式，由于其第r列与第

    s列相同，其值应为零：将这个行列式按第s列展开，便有

    a1r A1s +a2r A2s +…+anr Ans ＝0.

    证毕.

    行列式可以按列展开，是否也可以按某一行展开呢？我们先看看

    能否按第一行展开，看一个特例.

    例1.4.1

    证明 由定理1.4.1将上述行列式按第s列展开，得

    ｜A｜＝a1s A1s +a2s A2s +…+ans Ans .

    除了A1s 外，Ais (i>1)中都有一行等于零，因此Ais ＝0.此即｜A

    ｜＝a1s A1s ，证毕.

    引理1.4.1 若则

    证明 由行列式的性质6′及上面的结论得：

    证毕.

    定理1.4.2 设｜A｜是如(1.4.3)式所示的行列式，则

    证明 由引理以及性质4，采用与定理1.4.1的证明类似的方法即

    得.证毕.

    我们现在来证明行列式的性质8.

    定义1.4.1 设｜A｜是如(1.4.3)式所示的行列式，令即｜A′｜的第一行为｜A｜的第一列，｜A′｜的第二行为｜A｜的第

    二列，…，｜A′｜的第n行为｜A｜的第n列，则称｜A′｜是｜A｜的

    转置.换言之，｜A′｜可由｜A｜将行变成列、列变成行得到.

    性质8 行列式转置后的值不变，即｜A′｜＝｜A｜.

    证明 对行列式的阶用数学归纳法.当n＝1时显然成立.设Mij 及

    Nij 分别是｜A｜及｜A′｜的余子式，则Nij 等于Mji 的转置.由归纳

    假设，Nij ＝Mji .将｜A′｜按第一行展开：

    证毕.

    习题1.4

    1.通过计算证明下列行列式按第一行展开的值等于按第一列展开

    的值：2.将下列行列式分别按第二行及第三列展开求值并比较其结果：

    3.设｜A｜是n阶行列式，若｜A｜的第(i，j)元素aij 与第

    (j，i)元素aji 适合关系式：

    aij ＝-aji ，则称｜A｜是一个反对称行列式.求证：当n是奇数时，n阶反对称行列

    式的值等于零.

    4.求证n阶行列式

    5.求下列关于x的多项式中一次项的系数：§1.5 行列式的计算

    我们已经看到，线性方程组可以用行列式求解.但是当未知数个

    数很多时，行列式的阶将很大，用行列式的定义来计算高阶行列式是

    非常麻烦的.有没有好办法使得行列式的计算简单一些？这是这一节

    要研究的问题.

    我们先来看下面一个例子.

    例1.5.1 设有行列式

    即｜A｜的第一列除了第一个元素外都等于零，则｜A｜＝a11 M11 .注意M11 是一个n-1阶行列式.这个命题启发我们，如果能设法把

    一个行列式变成上例中行列式的形状，那么我们就可以将这个行列式

    “降阶处理”.不断地重复这个过程，就可以将高阶行列式的值计算

    出来.如何做到这一点？我们来看下面的例子.

    例1.5.2 计算下列行列式：

    解 我们的目的首先是设法将｜A｜的第一列中的第二、第三及第

    四行的元素变为零.为此，先将｜A｜的第一行乘以-2加到第二行上

    去，由性质7可知｜A｜的值不变，我们用下列记号来表示这个过程：

    再将第一行乘以-1后加到第三行上，即再将第一行加到第四行上去：

    这样就把｜A｜的第一列除第一行外的元素全化为零，于是可将行列式

    降阶处理：

    在上面的三阶行列式中，第一列元素除-1外都是零，又可作降阶处

    理：

    对二阶行列式可直接用定义计算出它的值：

    ｜A｜＝(-1)(-4-8)＝12.

    我们详细分析了求｜A｜值的过程.在实际运算过程中，常把上述

    运算简写为上面的方法是基于行列式可按列展开这一事实.同理，由于行列式也

    可按行展开，也可采用将第一行除第一个元素都消为零的办法来求行

    列式的值.仍以上面的行列式为例，采用行消去法：

    这时再按列展开即可.

    究竟何时用行消去法，何时用列消去法，要具体分析，看用哪种

    方法能较顺利地降阶.在计算一个行列式中可以交叉地使用这两种方

    法.

    有时会出现这样的情形，行列式的第一行第一列的元素等于零，这时可用其他非零元素来消去别的行或列，再将行列式降阶.

    例1.5.3 计算行列式：解 这时可将第二行乘以-3加到第三行上去再按定义展开：

    有时为了方便，我们不必拘泥于消去第一行的或第一列的元素，要看哪行(列)消为零方便就消去该行(列).

    例1.5.4 计算行列式：

    解 这时若消去第一列将出现分数运算.因此我们采用消去第三

    列的方法：如果一个行列式中某一行或某一列有公因子，则可根据性质3可以将它

    提出来，这样往往能简化计算.

    例1.5.5 计算行列式：

    解 先将第一行中的公因子析出：再计算

    因此，｜A｜＝3×54＝162.

    上面详细介绍了计算行列式的方法.在实际计算过程中不必拘泥

    于固定的步骤，可以根据不同的情况灵活运用行列式的性质，较快地

    计算出行列式的值.其原则是尽可能多地使行列式的元素变为零，尽

    可能快地将行列式降阶处理.

    下面举几个文字行列式的例子.

    例1.5.6 计算n阶Vander Monde(范德蒙)行列式：解 我们采用行消去法.将第n-1列乘以-xn 后加到第n列上，再将第n-2列乘以-xn 加到第n-1列上.这样一直做下去，直至将第

    一列乘以-xn 加到第二列上为止.每次这样变形后行列式的值不改

    变，于是

    将上式中各行公因子析出后得到一个n-1阶行列式恰好是一个x1 ，x2

    ，…，xn-1 的n-1阶Vander Monde行列式，我们记之为vn-1 .于是

    我们得到了递推公式：

    Vn ＝(xn -x1 )(xn -x2 )…(xn -xn-1 )vn-1 .

    于是

    Vn ＝ (xi -xj ).

    这里∏表示连乘积.i，j在保持j
    V5 ＝(x5 -x1 )(x5 -x2 )(x5 -x3 )(x5 -x4 )V4 .

    例1.5.7 求下列行列式的值：

    解 按第一行展开并注意到以下两点：一是an 的余子式是一个上

    三角行列式，故其值等于(-1)n-1;二是λ的余子式是与Fn 相类似

    的n-1阶行列式，我们记之为Fn-1 ，于是

    Fn ＝λFn-1 +(-1)1+n

    (-1)n-1

    an ＝λFn-1 +an .

    利用递推关系不难求得

    Fn ＝λn

    +a1 λn-1

    +a2 λn-2

    +…+an .

    例1.5.8 计算下列n阶行列式：解 将第二行、第三行直至第n行都加到第一行上，｜A｜的值不

    变：

    再将第一行乘以-a分别加到第二行、第三行，直至第n行上，得：例1.5.9 计算

    解 设｜A｜＝f(x)，将所有行加到第一行上可以提出因子x+y

    +z+w.将第二行乘以1，将第三行、第四行乘以-1加到第一行上可

    提出因子x+y-z-w.同理可知｜A｜有因子x+z-y-w，x+w-y-

    z.又将｜A｜看成为x的函数是四次的，首项系数为1，故

    ｜A｜＝(x+y+z+w)(x+y-z-w)(x+z-y-w)(x+w-y-

    z).

    一般说来，文字行列式的计算往往需要较高的技巧.但在实际问

    题中人们大量遇到的是数字行列式，这类行列式现在已可借助计算机

    进行计算，但是懂得行列式的计算原理及行列式的性质对正确应用计

    算机计算行列式是有益的.习题1.5

    1.用行列式性质计算下列行列式：

    (1)

    (2)

    (3)

    (4)

    2.设bjk ＝(aj1 +aj2 +…+ajn )-ajk ，求证：

    3.计算n阶行列式：(1)

    (2)

    4.证明：

    (1) ＝1

    (2) ＝b1 b2 …bn .

    5.利用Vander Monde行列式计算下列行列式的值：

    6.设fi (x)(i＝1，2，…，n)是次数不超过n-2的多项

    式，求证：对任意的n个数a1 ，a2 ，…，an ，均有

    提示：设法证明下列行列式的值恒为零：§1.6 行列式的等价定义

    设有行列式

    我们已经知道如何用归纳法求它的值，但是读者也许仍觉得不满

    意.能否将｜A｜的值直接表示出来呢？我们可以这样考虑：利用行列

    式性质，将｜A｜分拆成若干个简单的行列式之和，然后设法将这些简

    单的行列式计算出来再求和.

    首先，为了叙述方便，我们做一些约定.将行列式的第j列简记为

    αj (j＝1，2，…，n).｜A｜写为｜α1 ，α2 ，…，αn ｜.又

    用e1 表示由n个数组成的列，其中第一个数为1，其余为零，即

    e1 ＝ .

    为了防止混淆，我们把这一列数用括号括起来.类似地定义ei 为

    由n个数组成的列，其第i行为1，其余行为0.定义一个数a与ei 的乘

    积仍为一个由n个数组成的列，其第i行元素为a，其余为零.定义aei+bej 为这样的一个由n个数组成的列，其第i行为a，第j行为b，其余

    为零.如果i＝j，则第i行为a+b，其余行为零.这样，行列式｜A｜

    的第一列可写为

    α1 ＝ ＝a11 e1 +a21 e2 +…+an1 en ＝ ai1 ei .

    同样，第j列写为

    αj ＝a1j e1 +a2j e2 +…+anj en ＝ aij ei .

    由行列式性质6及性质3，有

    对行列式｜ei ，α2 ，…，αn ｜，由α2 ＝ ak2 ek 得

    ｜ei ，α2 ，…，αn ｜＝ ak2 ｜ei ，ek ，…，αn ｜.

    于是

    ｜A｜＝ ai1 ak2 ｜ei ，ek ，…，αn ｜.

    不断做下去即可得：注意行列式 ，当 时其值为

    零.因此不为零的行列式 必须适合条件：

    ki ≠kj ，即(k1 ，k2 ，…，kn )是数(1，2，…，n)的一个全排

    列或称(k1 ，k2 ，…，kn )是(1，2，…，n)的一个置换.这时

    候，行列式 是一个每一行和每一列都有且

    只有一个元素等于1、其余元素都为零的行列式.显然，经过若干次行

    或列的对换，这样的行列式可以化为下列形状：

    上面行列式的值等于1，因此行列式 的值或

    等于1或等于-1.故｜A｜的展开式一共有n!项，每一项的值为

    其中ε只与排列(k1 ，k2 ，…，kn )有关.

    为了决定行列式中每一项的符号，我们引进逆序数的概念.我们

    称n个数1，2，…，n的排列(1，2，…，n)为常序排列.即数字从小

    到大的排列为常序排列.如果在一个排列中j>i但是j排在i之前，则称

    这是一个逆序排列.一个逆序排列的所有逆序的总个数称为这个排列

    的逆序数.逆序数的求法是：设排列为(k1 ，k2 ，…，kn )，先看

    k1 后面有多少个数小于k1 ，不妨记为m1 ，再看k2 后有多少个数小于k2 ，设为m2 ，…一直做到kn-1 为止.和m1 +m2 +…+mn-1 就是排

    列(k1 ，k2 ，…，kn )的逆序数.常序排列(1，2，…，n)的逆序

    数为零.

    例1.6.1 试确定(4，1，3，2)的逆序数.

    解 m1 ＝3，m2 ＝0，m3 ＝1，故这个排列的逆序数为4.

    定义1.6.1 若排列(k1 ，k2 ，…，kn )的逆序数是一个偶数

    (包括零)，则称之为偶排列；若(k1 ，k2 ，…，kn )的逆序数是

    一个奇数，则称之为奇排列.

    引理1.6.1 设(k1 ，k2 ，…，kn )是一个n个数的排列，若

    将其中ki 与kj 的位置对换，其余数不动，则排列的奇偶性改变.即奇

    排列变为偶排列，偶排列变为奇排列.

    证明 首先我们考虑相邻两个数的对换.若是ki >ki+1 ，则对换

    后逆序数减少了1；若ki
    种情形，奇偶性都改变了.再考虑一般情形.ki 与kj 的对换可通过相

    邻数的对换来实现：不妨设i
    换，…，换了j-i次后再将kj 与kj-1 对换，再与kj-2 对换，…，换

    了j-i-1次后，kj 到了ki 原来的位置，ki 到了kj 原来的位置.这

    样一共换了2(j-i)-1次，因此改变了奇偶性.证毕.

    引理1.6.2 在n!个不同的n个数的全排列中，奇排列与偶排列各

    占一半.

    证明 设奇排列有p个，偶排列有q个.将每个奇排列的头两个数

    对换一下，则所有的奇排列变成了偶排列，因此p≤q.同理q≤p，故p

    ＝q.证毕.

    现在我们来计算行列式｜ek1 ，ek2 ，…，ekn ｜.若ki ＝i，即

    (k1 ，k2 ，…，kn )＝(1，2，…，n)，则该行列式的值等于1，设n在第i位置，即n＝ki ，其逆序数为mi (这时mi ＝n-i).将ki

    与ki+1 对换，再与ki+2 对换，…，经过mi 次对换，n就到了最末一位.对n-1进行类似的处理，经过mj (mj 为n-1的逆序数)次对换，n-1到了末尾第二位.依次类推，正好经过m次对换以后(k1 ，k2 ，…，kn )变成了(1，2，…，n).这里m是(k1 ，k2 ，…，kn )的

    逆序数.因此｜ek1 ，ek2 ，…，ekn ｜的值等于(-1)m

    ，其中m为

    (k1 ，k2 ，…，kn )的逆序数.这样，我们就求得了行列式的值.

    其中N(k1 ，k2 ，…，kn )表示排列(k1 ，k2 ，…，kn )的逆序

    数.

    注 我们也可以将上式作为行列式值的定义，从而推出行列式的

    诸性质.事实上，有不少教科书就是采用这种方法来定义行列式的.

    读者不妨自己做一尝试.

    习题1.6

    1.写出二阶、三阶行列式的展开式并与(1.6.1)式进行比较.

    2.试求定义(1.6.1)式中项a1n a2，n-1 a3，n-3 …an1 所带的

    符号.

    3.试用(1.6.1)式来证明行列式的诸性质.

    4.根据(1.6.1)式证明行列式转置后值不变，因此行列式｜A｜

    的值还可以这样定义：

    5.若一个n阶行列式中零元素的个数超过n2

    -n个，证明这个行列

    式的值等于零.

    6.设fij (t)是可微函数，求证： F(t)＝ Fj (t)，其中

    7.设其中x是未知数，aij 是常数，证明：f(x)是一个最高次项系数为1的

    n次多项式，且其n-1次项的系数等于a11 +a22 +…+ann .

    §1.7 Laplace定理

    我们已经知道，行列式可以按任一列或任一行展开.现在我们要

    将这个结论作进一步推广.

    首先引进k阶子式的概念.设｜A｜是一个n阶行列式，k
    ，i2 ，…，ik 及j1 ，j2 ，…，jk 是两组自然数且适合条件：

    1≤i1
    取行列式｜A｜中第i1 行，第i2 行，…，第ik 行以及第j1 列，第j2

    列，…，第jk 列交点上的元素，按原来｜A｜中的相对位置构成一个k

    阶行列式，我们称之为｜A｜的一个k阶子式，记为

    把这个子式写出来就是：在行列式｜A｜中去掉第i1 行，第i2 行，…，第ik 行以及第j1 列，第j2 列，…，第jk 列以后剩下的元素按原来的相对位置构成一个n-k

    阶行列式.这个行列式称为子式(1.7.1)的余子式，记为

    若令p＝i1 +i2 +…+ik ，q＝j1 +j2 +…+jk ，记

    称之为子式(1.7.1)的代数余子式.我们这一节主要证明如下的

    Laplace(拉普拉斯)定理.

    定理1.7.1(Laplace定理) 设｜A｜是n阶行列式，在｜A｜

    中任取k行(列)，那么含于这k行(列)的全部k阶子式与它们所对应

    的代数余子式的乘积之和等于｜A｜.即若取定k个行：1≤i1
    <…ik ≤n，则

    同样若取定k个列：1≤j1
    在证明Laplace定理之前，我们先举一个例子以弄清子式、代数余

    子式的含义以及Laplace定理的内容.例如，设有下列四阶行列式：若固定其第二行、第三行，则共有 (＝6)个二阶子式：

    这6个子式相对应的代数余子式为于是Laplace定理说通过行列式计算，我们也得到原行列式的值为-18.读者还可固

    定其列，比如第三列、第四列来验证Laplace定理.

    为了证明Laplace定理，我们可这样考虑：n阶行列式按照

    (1.6.1)式共有n!项，其中每一项如不考虑符号都由n个元素的积组

    成，A中的每一行及每一列有且仅有一个元素在这一项中.若固定A的k

    行(或列)，则一共有 个不同的子式，每一个子式完全展开后均

    含有k!项，相应的余子式也有 个，每个余子式完全展开后含有(n

    -k)!项.因此在Laplace定理中，(1.7.4)式(或(1.7.5)式)右

    端一共有

    k!(n-k)! ＝n!

    项.所以如果我们能够证明每个k阶子式与其代数余子式之积中的每一

    项都属于A的展开式，那么就证明了Laplace定理.

    引理1.7.1 n阶行列式｜A｜的任一k阶子式与其代数余子式之积

    的展开式中的每一项都属于｜A｜的展开式.

    证明 先证明一个特殊情形：i1 ＝1，i2 ＝2，…，ik ＝k; j1

    ＝1，j2 ＝2，…，jk ＝k.这时｜A｜可写为其中

    (1.7.7)式中的任一项具有形式：

    其中N(j1 ，j2 ，…，jk )是排列(j1 ，j2 ，…，jk )的逆序

    数.(1.7.8)式中的任一项具有形式：

    所以

    中的任一项具有下列形式：其中σ＝N(j1 ，…，jk )+N(jk+1 ，…，jn ).注意(j1 ，…，jk )是(1，…，k)的一个排列，(jk+1 ，…，jn )是(k+

    1，…，n)的一个排列，因此

    N(j1 ，…，jk )+N(jk+1 ，…，jn )＝N(j1 ，…，jk ，jk+1

    ，…，jn ).

    这就是说(1.7.9)式是｜A｜中的某一项.

    再对一般情况进行证明.设

    1≤i1
    显然，经过i1 -1次相邻两行的对换，可把第i1 行调到第一行.同

    理，经过i2 -2次对换，可把第i2 行调至第二行，…，经过了(i1

    +…+ik )- k(k+1)次对换即可把第i1 ，i2 ，…，ik 行调至

    前k行.同理，经过(j1 +…+jk )- k(k+1)次对换，可将第

    j1 ，j2 ，…，jk 列调至前k列.因此，｜A｜经过(i1 +…+ik )

    +(j1 +…+jk )-k(k+1)次行列的对换，得到了一个新的行列

    式：

    其中

    显然，｜C｜＝(-1)p+q

    ｜A｜，p＝i1 +…+ik ，q＝j1 +…+jk

    .B是子式D在C中的余子式(也是代数余子式).由刚才讨论过的情形

    知道DB中的任一项都是C中的项.但是显然因此

    中的任一项都是(-1)p+q

    C＝A中的项.证毕.

    现在我们来完成Laplace定理的证明.

    证明 只需证明(1.7.4)式，(1.7.5)式同理可得.由引理

    1.7.1可知，(1.7.10)式中的任一项均属于｜A｜的展开式.当i1 ，i2 ，…，ik 固定时，对不同的1≤j1
    (1.7.10)式展开得到的项是没有重复的，且一共有n!项.｜A｜的展

    开式中也有n!项，因此(1.7.4)式成立.证毕.

    Laplace定理通常用来做理论分析，也可以用来计算一些特殊的行

    列式.下面就是两个简单的例子.

    例1.7.1 计算行列式：解 因为第一列、第三列含有较多的零，因此在这两列上作

    Laplace展开得：例1.7.2 设n阶行列式前k行和后n-k列的交点上的元素都是

    零，即计算其值.

    解 由Laplace定理(按前k行展开)立即得到

    习题1.7

    1.写出下列行列式第一行、第三行的所有子式及相应的代数余子

    式，并用Laplace定理计算其值：

    (1)(2)

    2.设ω是1的虚立方根，即

    ω＝- + ，试求下列行列式的值：

    3.证明：在确定代数余子式的符号时，可以不利用该子式的行和

    列的号码和，而利用该子式的余子式的号码和.

    4.利用行列式及Laplace定理，证明下列恒等式：

    ( ab′-a′b ) ( cd′-c′d ) - ( ac′-a′c ) ( bd′-

    b′d)+(ad′-a′d)(bc′-b′c)＝0.

    5.求2n阶行列式的值(空缺处都是零)：复习题一

    1.求下列行列式的值：

    2.求下列行列式的值：

    3.解方程：4.已知n阶行列式

    b1 ，b2 ，…，bn 为常数，若|A|的值为c，求下列行列式|B|的值：

    5.n阶行列式｜A｜的值为c，若将｜A｜的第一列移到最后一列，其余各列依次保持原来次序向左移动，求得到的行列式的值.6.n阶行列式｜A｜的值为c，若将｜A｜的所有元素改变符号，求

    得到的行列式的值.

    7.n阶行列式｜A｜的值为c，若将｜A｜的每个第(i，j)元素aij

    换到第(n-i+1，n-j+1)位置上，求得到的行列式的值.

    8.n阶行列式｜A｜的值为c，若将｜A｜的每个元素aij 换成(-

    1)i+j

    aij ，求得到的行列式的值.

    9.n阶行列式｜A｜的值为c，若将｜A｜的每个元素aij 换成bi-j

    aij (b≠0)，求得到的行列式的值.

    10.n阶行列式｜A｜的值为c，若从第二列开始每一列加上它前面

    的一列，同时对第一列加上｜A｜的第n列，求得到的行列式的值.

    11.求下列行列式的值：

    12.计算行列式的值：

    13.计算行列式|A|的值：14.求下列n阶行列式的值：

    15.计算n阶行列式：16.求下列n阶行列式的值：

    17.设行列式

    求证：｜An ｜＝a0 a1 …an .

    18.设fk (x)＝xk

    +ak1 xk-1

    +ak2 xk-2

    +…+akk ，求下列

    行列式的值：

    19.设t是一个参数，求证：

    ｜A(t)｜＝｜A(0)｜+t Aij ，其中Aij 是aij 在｜A(0)｜中的代数余子式.

    20.若存在从n阶行列式集合到数集的映射f满足下列条件：

    (1)若A是对角行列式且主对角线上元素全是1，则f(A)＝1；(2)A是任意一个n阶行列式，将A的任意两列对换得到B，则有

    f(B)＝-f(A)；

    (3)A是任意一个n阶行列式，将A的任意一列乘以常数k得到B，则f(B)＝kf(A)；

    (4)若n阶行列式A的第i列可表示为另外两个行列式B和C的第i列

    之和，而B和C的其他列都与A的相应列完全相同，则f(A)＝f(B)+

    f(C).

    求证：f(A)就是行列式A的值.第二章 矩阵

    §2.1 矩阵的概念

    矩阵是什么？它有什么用处？

    在上一章我们学习了n阶行列式的概念.一个n阶行列式从形式上

    看无非是n2

    个元素排成n行与n列：

    a11 a12 … a1n

    a21 a22 … a2n… … … …

    an1 an2 … ann

    在许多实际问题中，还会碰到由若干个数排成行与列的长方形数组.

    在研究问题时常常需要把它作为一个整体来处理，这就需要我们引进

    矩阵的概念.

    定义2.1.1 由mn个数aij (i＝1，2，…，m；j＝1，2，…，n)排成m行、n列的矩形阵列：

    a11 a12 … a1n

    a21 a22 … a2n… … … …

    am1 am2 … amn

    称为m行n列矩阵，简称为m×n矩阵(或m×n阵).

    矩阵常用大写英文字母来表示，且为了写得紧凑便于分辨，往往

    用括弧将上述矩阵括起来.比如上面定义中的矩阵可记为有时为了简单起见，就记为A＝(aij )m×n .这里m写在前面表示共有

    m行，n写在后面表示共有n列.

    aij (i＝1，2，…，m；j＝1，2，…，n)称为矩阵A的元素，前

    一个足标i表示这个元素在第i行，后一个足标j表示这个元素在第j

    列.aij 称为矩阵A的第i行第j列元素，或简称为A的第(i，j)元素.

    矩阵的元素通常用英文小写字母表示或直接用数字表示.

    如果矩阵A的元素全是实数，则称A为实矩阵；如果A的元素为复

    数，则称之为复矩阵.所有元素均为零的矩阵，叫零矩阵，记为0.但

    是必须注意这个0不是一个数，而是一个矩阵.有时为了强调这是一个

    m×n阵，可写为0m×n .

    若矩阵的行列数相等，则称之为方阵.含有n行及n列的矩阵称为n

    阶方阵(亦称为n阶矩阵)，行列数不相等的矩阵称为长方阵.方阵在

    矩阵理论中占有特别重要的位置.若A＝(aij )是n阶方阵，则元素

    a11 ，a22 ，…，ann 称为A的主对角线.若一个方阵除了主对角线上

    的元素外其余元素都等于零，就称之为对角阵.对角阵的形状为上述对角阵可简记为diag{a11 ，a22 ，…，ann }.若进一步有a11

    ＝a22 ＝…＝ann ＝1，则称这个矩阵为单位阵.n阶单位阵通常记为In

    ：

    一个n阶方阵，如果它的主对角线以下的元素都等于零，即它具有下列

    形状：则称A为上三角阵.同样地，若A的主对角线上面的元素全为零，则称A

    为下三角阵.下三角阵的形状为

    我们定义了矩阵的概念.从定义可以看出，矩阵可以是各种各样

    的.为了判断其异同，我们必须说明什么叫两个矩阵相等.简单地

    说，两个矩阵相等要求它们“完全一样”.即若A＝(aij )m×n ，B＝

    (bij )s×t ，则A＝B当且仅当m＝s，n＝t，且aij ＝bij 对所有i，j

    都成立.换言之，两个矩阵相等要求它们含有相同数目的行及相同数

    目的列，且第(i，j)个元素都对应相等.

    矩阵相等的概念并不复杂，但有时也会产生混淆.比如下面两个

    矩阵：都是零矩阵且常用同一个符号表示，但它们不相等.因为一个是2×2

    矩阵，另一个是2×3矩阵.下面两个矩阵也不相等，虽然它们都是2阶

    矩阵且都含有两个0与两个1：

    矩阵的每一行称为这个矩阵的一个行向量，同样它的每一列称为

    它的一个列向量.一个1×n矩阵：

    (a1 ，a2 ，…，an )

    称为n维行向量；一个n×1矩阵：

    称为n维列向量.

    读者可能会问，矩阵和行列式有什么不同？从上面的定义我们可

    以看出，矩阵就是矩形数组，而行列式(注意仅对方阵而言)是指这个方阵所对应的一个数值.若A是n阶方阵，则我们用｜A｜或detA表示

    矩阵A的行列式.注意对长方阵而言，谈论其行列式显然没有意义.

    §2.2 矩阵的运算

    初等代数研究的是数，但是数不仅仅是数字的集合，它们之间还

    可以进行运算.因此，初等代数可以说是研究数及其运算的学科.现

    在我们要研究矩阵，即数组.数组之间也可以定义运算，研究矩阵及

    其运算规律是高等代数的基本任务.读者要注意，矩阵的代数运算是

    应实际需要引进的而不是数学家的随意创造.在这一节里我们将介绍

    矩阵的加、减、数乘、乘法(包括乘方)、转置与共轭.这些运算有

    些与通常数字的运算相似，有些则有很大的差别.读者务需熟练掌握

    这些概念.

    一、矩阵的加减法

    定义2.2.1 设有两个m×n矩阵A＝(aij )，B＝(bij )，定

    义A+B是一个m×n矩阵且A+B的第(i，j)元素等于aij +bij ，即

    A+B＝(aij +bij ).

    例如

    在进行矩阵加法时需特别注意，相加的两个矩阵的行数与列数必

    须分别对应相等.凡不满足这个条件的矩阵是不可以相加的.

    一个m×n矩阵A与一个m×n零矩阵相加显然仍等于A，即

    A+0＝A.因此零矩阵在矩阵加法中的作用与数字0在数的加法中的作用类似.

    矩阵的减法可以看做是矩阵加法的逆运算，因此行数与列数分别

    相等的两个矩阵才可以相减.若A＝(aij )m×n ，B＝(bij )m×n ，则

    A-B＝(aij -bij ).

    例如

    两个相等的矩阵相减为零矩阵，即若A＝B，则

    A-B＝0.

    我们还可以定义负矩阵，设A＝(aij )，定义-A＝(-aij ).

    显然

    A+(-A)＝0.

    矩阵加减法运算规则 矩阵的加减法运算适合下列规则：

    (1)交换律：A+B＝B+A；

    (2)结合律：(A+B)+C＝A+(B+C)；

    (3)0+A＝A+0＝A；

    (4)A+(-B)＝A-B.

    这些规则的验证是十分容易的，请读者自己完成.

    二、矩阵的数乘

    定义2.2.2 设A是一个m×n矩阵，A＝(aij )m×n ，c是一个

    数，定义cA＝(caij )m×n .cA称为数c与矩阵A的数乘.上述定义告诉我们：一个数与一个矩阵的数乘等于将这个数乘以

    矩阵的每一项(即每个元素)所得的矩阵.例如：

    矩阵A的负矩阵也可以看成是-1与A的数乘.

    矩阵数乘运算规则 矩阵的数乘运算适合下列规则：

    (1)c(A+B)＝cA+cB；

    (2)(c+d)A＝cA+dA；

    (3)(cd)A＝c(dA)；

    (4)1·A＝A；

    (5)0·A＝0.

    注意，在运算规则(5)中，左边的零表示数字零，右边的零则表

    示一个行数、列数分别与A相同的零矩阵.

    三、矩阵的乘法

    下面要定义的矩阵乘法是矩阵运算中最复杂也是最重要的一种运

    算.矩阵乘法的概念是从实际需要中产生出来的，读者以后会看到这

    一点.

    定义2.2.3 设有m×k矩阵A＝(aij )m×k ，以及k×n矩阵B＝

    (bij )k×n .定义A和B的乘积AB是一个m×n矩阵且AB的第(i，j)元

    素

    cij ＝ai1 b1j +ai2 b2j +…+aik bkj .

    为了使读者看得更清楚，我们写出矩阵乘积的表达式：为了掌握这个定义，我们需要注意以下两个要点：

    第一，A和B只有在A的列数等于B的行数时才可以相乘，这时的积

    写为AB(注意不能写为BA).得到的积矩阵AB的行数等于A的行数，列

    数等于B的列数.我们用下列式子来帮助记忆：

    即AB的行列数只需把A与B的行列数合并去掉中间的两个k就可以了.

    第二，A与B的积AB的第(i，j)元素为

    cij ＝ai1 b1j +ai2 b2j +…+aik bkj .

    上式中只涉及A的第i行元素与B的第j列元素.也就是说cij 等于将A的

    第i行元素与B的第j列元素分别相乘以后再求和的结果.

    例2.2.1

    求AB.

    解 A是2×3矩阵，B是3×4矩阵.因此AB是2×4矩阵.若令C＝(cij )＝AB，则

    c11 ＝1·1+0·1+1·(-1)＝0，c12 ＝1·0+0·1+1·0＝0，c13 ＝1·1+0·2+1·(-1)＝0，c14 ＝1·1+0·(-1)+1·0＝1，c21 ＝2·1+1·1+0·(-1)＝3，c22 ＝2·0+1·1+0·0＝1，c23 ＝2·1+1·2+0·(-1)＝4，c24 ＝2·1+1·(-1)+0·0＝1.

    所以

    AB＝ .

    在这个例子中，如果把A，B的次序倒过来，则由于B的列数等于

    4，A的行数等于2，B与A不能相乘或者说它们的乘法无意义.从这里可

    以看出，矩阵的乘法一般不满足交换律，即一般来说AB≠BA.对于某

    些矩阵A，B，即使AB与BA都有意义，它们也未必相等.

    例2.2.2

    A＝(1，0，4)，B＝ ，求AB和BA.

    解

    AB＝(1，0，4) ＝1·1+0·1+4·0＝1，BA＝ (1，0，4)＝ .从上面可以看出，AB是一个1×1矩阵(我们通常把1×1矩阵就看成为

    一个数，不必加括号)，而BA是一个3×3矩阵，显然AB≠BA.

    例2.2.3

    A＝ ，B＝ ，求AB和BA.

    解

    AB＝ ，BA＝ .

    在这个例子中，A，B都是二阶方阵，但AB是零矩阵，BA不是零矩阵，因此AB≠BA.由于矩阵乘法不适合交换律，因此读者在进行运算时千

    万要注意，不能把乘积的次序搞错.

    矩阵的乘法比通常人们所熟悉的数的乘法要复杂得多.读者也许

    会问：为什么要这样来定义矩阵乘法？当A＝(aij )m×n ，B＝(bij)m×n 时，定义A与B之积为矩阵(aij ·bij )m×n 不是更简单吗？我

    们说矩阵乘法的定义是出于实际需要.将A与B的积定义成(aij ·bij)m×n 在历史上也有过，但是这种乘法比起我们刚才定义的乘法来，用处要小得多.矩阵乘法虽然比较复杂，但只要多练习，是不难掌握

    的.下面我们举例来说明矩阵乘法的用途.

    例2.2.4 设有n个未知数m个方程式的线性方程组：

    令注意到A是一个m×n矩阵，x是一个n×1矩阵，因此Ax是一个m×1

    矩阵.方程组(2.2.1)用矩阵乘法就可简写为

    这种写法不仅节省了篇幅，更重要的是可以用矩阵的方法来处理线性

    方程组.

    矩阵乘法运算规则 矩阵乘法运算适合下列规则：

    (1)结合律：(AB)C＝A(BC)；

    (2)分配律：A(B+C)＝AB+AC，(A+B)C＝AC+BC；

    (3)c(AB)＝(cA)B＝A(cB)，这里c是一个数；(4)对任意的m×n阶矩阵A，Im A＝A＝AIn ，其中Im 和In 分别

    是m阶和n阶单位阵.即单位阵在矩阵乘法运算中起的作用和数1在数字

    运算中起的作用类似.

    证明 (1)结合律.

    首先我们注意到，由于A与B可相乘，B与C也可相乘，因此可设A是

    m×n阵，B是n×p阵，C是p×q阵.于是，AB是一个m×p阵，(AB)C是

    一个m×q阵.另一方面，BC是一个n×q阵，A(BC)是一个m×q阵.因

    此只需验证两个m×q阵的任意第(i，j)个元素对应相等就可以了.

    现设A＝(aij )m×n ，B＝(bij )n×p ，C＝(cij )p×q .矩阵

    (AB)C的第(i，j)元素可以看成是AB的第i行元素与C的第j列元素

    对应相乘之和，而AB的第i行的元素为

    C的第j列为

    因此，(AB)C的第(i，j)元素为另一方面，用同样办法可以求得A(BC)的第(i，j)元素为

    由于

    因此有

    (AB)C＝A(BC).

    (2)分配律.

    设A＝(aij )m×n ，B＝(bij )n×p ，C＝(cij )n×p ，则B+

    C＝(bij +(cij )n×p .因此A(B+C)的第(i，j)元素为

    显然这就是AB+AC的第(i，j)元素，(3)与(4)都很容易，请读者自己验证.证毕.

    由矩阵乘法的结合律，我们今后将(AB)C或A(BC)直接写为

    ABC，中间不再加括号.利用结合律还可将若干个矩阵的乘积简写为A1A2 …Am ，中间无需加任何括号.

    我们还可以定义同一矩阵的乘方(即幂).记

    要使A的乘方有意义，A的行数必须等于列数，也就是说A必须是方阵.

    方阵幂的运算规则

    (1)Ar

    As

    ＝Ar+s；

    (2)(Ar)s

    ＝Ars

    .

    由于矩阵的乘法不满足交换律，因此一般来说若r>1，则(AB)r

    ≠Ar

    Br

    .只有当AB＝BA时才有(AB)r

    ＝Ar

    Br

    .虽然矩阵乘法不可

    交换，但对于某些特殊的矩阵，乘法仍是可以交换的.比如由矩阵乘

    法的运算规则(4)知In 可以与任一n阶方阵相交换，事实上，若c是

    某个数，则cIn 与任一n阶方阵乘法可以交换.当AB＝BA时，不难验证

    “二项式定理”也成立：

    矩阵乘法除了不可交换是它的一个特点外，还有一个特点是两个非零

    矩阵相乘其积可能为零矩阵.这一点由前面的例子我们已经看到.由

    于这个缘故，对矩阵的乘法来说，消去律一般不成立.即若AB＝AC，A≠0，我们不能推出B＝C.何时可用消去律，我们将在后面讨论.

    四、矩阵的转置矩阵的转置与行列式的转置定义是类似的.

    定义2.2.4 设A＝(aij )是m×n矩阵，定义A的转置A′为一个

    n×m矩阵，它的第k行正好是矩阵A的第k列(k＝1，2，…，n)；它的

    第r列是A的第r行(r＝1，2，…，m).

    例如，设

    则

    矩阵转置运算规则

    (1)(A′)′＝A；

    (2)(A+B)′＝A′+B′；

    (3)(cA)′＝cA′；

    (4)(AB)′＝B′A′.证明 上述(1)～(3)是显然的，现来证明(4).设A＝(aij)m×n ，B＝(bij )n×p ，又设C＝AB，且C＝(cij )m×p ，则C的第

    (i，j)元素为

    cij ＝ air brj .

    因此，C′的第(j，i)元素为cij .再看B′A′，它的第(j，i)元

    素等于B′的第j行元素与A′的第i列元素对应相乘之和.但B′的第j

    行元素等于B的第j列元素，A′的第i列元素等于A的第i行元素.它们

    对应元素相乘之和恰为

    ai1 b1j +ai2 b2j +…+ain bnj ＝cij .

    另外，显然C′与B′A′的行、列数分别相等，因此C′＝B′A′，证

    毕.

    一个矩阵经转置以后得到的矩阵一般来说与原矩阵不同.如果一

    个方阵转置后仍与原矩阵相同，即A′＝A，则称这样的矩阵为对称矩

    阵.例如下列矩阵为对称矩阵：

    若一个方阵经转置后等于原矩阵的负矩阵，就称它是一个反对称矩

    阵，例如下列矩阵为反对称矩阵：对称矩阵特别是实对称矩阵我们今后还要进行仔细研究.读者不难看

    出，对称矩阵的元素以主对角线为对称线，即aij ＝aji ；反对称矩阵

    主对角线上的元素皆为零，且aij ＝-aji .

    五、矩阵的共轭

    复矩阵还有一种运算，称为共轭运算.设z是一个复数，z＝a+

    bi，我们用 表示z的共轭复数a-bi.

    定义2.2.5 设A＝(aij )m×n 是一个复矩阵，则A的共轭矩阵

    是一个m×n复矩阵，且

    ＝ m×n .

    这就是说，A的共轭矩阵的每个第(i，j)元素是A的第(i，j)

    元素的共轭复数.例如

    则矩阵共轭运算规则

    (1)

    (2)

    (3)

    (4)

    这些规则很容易验证，请读者自己完成.

    习题2.2

    1.计算：

    (1)

    (2)

    (3)

    (4)

    2.计算：(1)

    (2)

    (3)

    (4)

    3.设

    试求AB与BA.

    4.计算：

    (1)

    (2)(3)

    5.设A＝(aij )是n阶对称矩阵，X＝(x1 ，x2 ，…，xn )是

    1×n矩阵，试求：XAX′.

    6.试证：上(下)三角阵的和、差、数乘及乘积仍是上(下)三

    角阵.

    7.若A是n阶方阵且An ＝0，则

    (In -A)(In +A+A2

    +…+An-1)＝In .

    8.若A是下列n阶方阵：

    求证：An

    ＝0.

    9.设A是实对称矩阵，若A2

    ＝0，求证：A＝0.

    10.证明：任一n阶方阵均可表示为一个对称矩阵和一个反对称矩

    阵之和.

    11.若A＝diag{a1 ，a2 ，…，an }，B＝diag{b1 ，b2 ，…，bn }，则

    AB＝diag{a1 b1 ，a2 b2 ，…，an bn }.12.求与矩阵A乘法可交换的所有矩阵：

    (1)

    (2)

    13.求证：

    (1)若A，B为n阶对称矩阵，则AB为对称矩阵的充分必要条件是

    AB＝BA.

    (2)若A为对称矩阵，B为同阶反对称矩阵，则AB为反对称矩阵的

    充分必要条件是AB＝BA.

    14.求证：

    (1)与所有n阶对角阵乘法可交换的矩阵也必是n阶对角阵；

    (2)与所有n阶矩阵乘法可交换的矩阵是形如cIn 的对角阵(这

    种矩阵称为纯量阵).

    15.设A是n阶复矩阵，若 ＝A(即转置共轭矩阵等于自身)，则称A是一个Hermite(厄米特)矩阵.若 ＝-A，称A是斜Hermite

    矩阵.求证：任一复n阶矩阵均可表示为一个Hermite矩阵与一个斜

    Hermite矩阵之和.

    §2.3 方阵的逆阵

    我们已经介绍了矩阵的加减法、数乘、乘法等运算，读者会问：

    矩阵有除法吗？我们知道，在数字运算中，除法是乘法的逆运算，它

    可以通过求倒数来实现.即若求数a除以b(b≠0)的商，则只需求出b

    -1

    ＝ ，于是 ＝ab-1

    .对矩阵我们也可以这样做，先定义矩阵的

    逆阵，然后将矩阵的除法归结为一个矩阵和另外一个矩阵的逆阵之积.但是现在有一个问题：矩阵的乘法一般是不可交换的，因此对矩

    阵逆的定义要有更严格的要求.

    定义2.3.1 设A是n阶方阵，若存在一个n阶方阵B，使得

    AB＝BA＝In ，则称B是A的逆阵，记为B＝A-1

    .凡有逆阵的矩阵称为可逆阵或非奇异

    阵(简称非异阵)，否则称为奇异阵(简称奇异阵).

    矩阵的求逆运算有它自己的特点，我们必须注意：

    (1)根据上述定义，只有方阵才有逆阵，长方阵没有逆阵.

    (2)并非任一非零方阵都有逆阵.比如，矩阵

    就没有逆阵.因为对任一B＝(bij )2×2 ，有

    AB不可能是单位阵.

    注 从这里我们可以发现，若某个矩阵有一行元素全等于零，则

    这个矩阵一定不是可逆阵.同理不难证明，若某个矩阵的一列全等于

    零，则该矩阵也必不是可逆阵.

    (3)由于矩阵的乘法一般不满足交换律，因此一般来说，AB-1

    ≠B-1

    A.即右除不一定等于左除.

    一个n阶方阵A若有逆阵，则逆阵唯一吗？设B，C是n阶方阵，且都

    是A的逆阵，即

    AB＝BA＝In ，AC＝CA＝In ，则

    B＝BIn ＝B(AC)＝(BA)C＝In C＝C.

    因此只要矩阵可逆，其逆阵必唯一.

    矩阵求逆运算规则

    (1)若A是非异阵，则(A-1)-1

    ＝A；

    (2)若A，B都是n阶非异阵，则AB也是n阶非异阵且(AB)-1

    ＝B

    -1

    A-1；

    (3)若A是非异阵，c是非零数，则cA也是非异阵且(cA)-1

    ＝c

    -1

    A-1；

    (4)若A是非异阵，则A的转置A′也是非异阵且(A′)-1

    ＝(A

    -1)′.

    证明 (1)因为(A-1)A＝A(A-1)＝In ，故A是A-1

    的逆

    阵.

    (2)我们有

    (AB)(B-1

    A-1)＝A(BB-1)A-1

    ＝AIn A-1

    ＝AA-1

    ＝In .

    同理(B-1

    A-1)(AB)＝In .

    (3)显然.

    (4)由AA-1

    ＝In ，两边转置并注意到In ′＝In ，得：

    (AA-1)′＝In .

    但由转置的性质知

    (AA-1)′＝(A-1)′A′.

    因此

    (A-1)′A′＝In .

    同理

    A′(A-1)′＝In .

    证毕.需要提请读者注意的是法则(2)：(AB)-1

    ＝B-1

    A-1

    .一般

    来说(AB)-1

    ≠A-1

    B-1

    ，只有当AB＝BA时才有(AB)-1

    ＝A-1

    B-1

    .

    用数学归纳法我们易证明：

    (A1 A2 …Ak )-1

    ＝ ，其中每个Ai 都是可逆阵.

    如何求逆阵？我们介绍一个方法.

    设A是n阶方阵，这个方阵决定了一个n阶行列式记为｜A｜或

    detA.若A＝(aij )n×n ，则

    定义2.3.2 设A是n阶方阵，Aij 是行列式｜A｜中第(i，j)元

    素aij 的代数余子式，则称下列矩阵为矩阵A的伴随矩阵：A的伴随矩阵通常记为A

    .

    定理2.3.1 若｜A｜≠0，则A是一个非异阵，且

    A-1

    ＝ A

    .

    证明 令B＝ A

    ，只要验证AB＝BA＝In 即可.

    上式中两个矩阵乘积的第(i，j)元素为

    ai1 Aj1 +ai2 Aj2 +…+ain Ajn .由第一章定理1.4.1知道，当i＝j时上式为｜A｜，当i≠j时上式

    等于零.因此

    同理可证

    BA＝In .

    因此B＝A-1

    .证毕.

    注 我们在以后将证明若A是非异阵，则｜A｜≠0.因此上述定

    理提供了计算逆阵的一般方法.但是用这个定理计算逆阵必须计算所

    有的Aij ，计算量一般是相当大的.我们将在§2.5中介绍一种比较简

    单的计算方法.

    利用逆阵来解线性方程组将显得特别简单.由§2.2知道一个线性

    方程组

    可写成矩阵形式Ax＝β，其中A＝(aij ).若｜A｜≠0，则A-1

    必存在，因此

    A-1

    (Ax)＝A-1

    β，即

    x＝A-1

    β.

    将上式中的矩阵写出来就是：

    于是

    x1 ＝ (b1 A11 +b2 A21 +…+bn An1 )＝ ，其中

    同理可得其余的xi .显然，这就是Cramer(克莱姆)法则.习题2.3

    1.求下列矩阵的逆阵：

    (1)

    (2)

    2.用求逆阵的方法解线性方程组：

    3.若A是非异阵，求证：对任一k>0，有

    (Ak)-1

    ＝(A-1)k

    .

    4.若A是非异阵，则消去律成立，即从AB＝AC，可推出B＝C，从

    BA＝CA也可推出B＝C.

    5.求证：有一行元素(或一列元素)全为零的n阶方阵必是奇异

    阵.

    6.若n阶方阵A是幂零阵，即存在m>0，使Am

    ＝0.求证：In -A

    是非异阵.

    7.设A，B及A+B都是非异阵，求证：A-1

    +B-1

    也是非异阵.8.一个n阶方阵A如果适合条件：A2

    ＝In ，则称A为对合阵.若A

    是对合阵且In +A是非异阵，求证：A＝In .

    9.已知A是n阶幂等矩阵，即A2

    ＝A.求证：A+In 必是非异阵.

    10.设A适合条件A2

    -A-3In ＝0，求证：A-2In 是非异阵.

    §2.4 矩阵的初等变换与初等矩阵

    一、Gauss(高斯)消去法与矩阵的初等变换

    用Gauss消去法来解线性方程组是一种简便常用的方法，特别当未

    知数个数不太多时，人们乐意采用这种方法在计算机上解线性方程

    组.我们举例来说明这种方法.

    例2.4.1 用消去法求解下列线性方程组：

    解 将上述方程组中的第一式与第二式对调得：将得到的方程组的第一式乘以- 加到第三式上：

    将上面的第二式乘以 加到第三个方程式上：

    将得到的第三式两边乘以-2：

    将上面的最后一式分别乘以-1，-2加到第二式及第一式：最后将上面的第二式乘以-3加到第一式上，两边再乘以 就得到方程

    组的解：

    上述求解过程可以用矩阵的变换来代替.将原方程组的系数及常

    数列排成一个矩阵，称为系数矩阵的增广矩阵，用 表示：

    现在将求解过程用矩阵来描写如下.

    将 的第一行与第二行对换得：将上面矩阵的第一行乘以- 加到第三行上：

    再将第二行乘以 加到第三行上：

    将第三行乘以-2得：再将第三行再乘以-1加到第二行上，将第三行乘以-2加到第一行上

    得到：

    将第二行乘以-3加到第一行上并将所得结果再乘以 ：

    从上面的分析可以看出，用Gauss消去法解线性方程组的过程可以

    归结为对矩阵的变换.这不仅简化了解方程组的过程，更重要的是为

    彻底弄清线性方程组解的理论提供了工具.上面例子适用于求解一般

    的线性方程组，我们把这种矩阵形式的Gauss消去法归结如下：

    第一步：将线性方程组写成标准形式并写出系数矩阵的增广矩阵

    .第二步： 中某一行调到第一行，使第一行第一列的元素不为

    零.

    第三步：将得到的矩阵的第一行乘以某个数加到第二行上去消去

    第二行第一列的元素.重复这一方法，直到消去第一列除第一行以外

    的所有元素.

    第四步：重复上述步骤，使第二行第二列的元素不为零并消去第

    二列上其余元素.不断用这个方法，将系数矩阵变成对角阵.

    第五步：在每一行乘以适当的非零数使系数矩阵变为单位阵，从

    而写出线性方程组的解.

    在上述步骤中，我们对矩阵施行了以下3种变换：

    (1)两行对换；

    (2)以某一非零数乘以某一行；

    (3)以某一数乘以某一行后加到另一行上去.

    这3种变换并不改变线性方程组的解.也就是说，对应的新方程组

    与原方程组总是同解的.

    定义2.4.1 下列3种矩阵变换分别称为矩阵的第一类、第二类、第三类初等行(列)变换：

    (1)对调矩阵中某两行(列)的位置；

    (2)用一非零常数乘以矩阵的某一行(列)；

    (3)将矩阵的某一行(列)乘以数c后加到另一行(列)上去.

    上述3种变换统称为矩阵的初等变换.

    显而易见，我们在上面对方程组的增广矩阵实施了矩阵的行初等

    变换.

    定义2.4.2 如果一个矩阵A经过有限次初等变换后变成B，则称A

    与B是等价的，或A与B相抵，记为A~B.

    用初等变换可以将一个矩阵化简到什么程度？下面的定理回答了

    这个问题.定理2.4.1 一个m×n矩阵A＝(aij )m×n 必相抵于下面形式的

    m×n矩阵：

    上面的矩阵中前r行及前r列交点处有r个1，其余元素皆为零.换言

    之，任一m×n阵均与一个主对角线上元素等于1或0而其余元素均为0的

    m×n矩阵相抵.

    证明 若A＝0，则结论显然成立.

    现设A≠0，即A至少有一个元素aij ≠0.如果aij 不在第(1，1)

    位置，那么可将它所在的行与第一行对换，再将它所在的列与第一列

    对换就可将aij 调至第(1，1)位置.所以我们不妨设a11 ≠0.接下

    去将第一行依次乘以- ai1 加到第i行上去(i＝2，3，…，m)，于是第一列元素除a11 外都变成了零.再将第一列元素乘以-

    a1j 后加到第j列上去(j＝2，3，…，n)，则第一行元素除了

    a11 外都变成零.再用 乘以第一行，就得到第(1，1)元素等

    于1而第一行及第一列其他元素都是零的矩阵，其形状如下：再对第二行第二列采用与上面相同的步骤使第(2，2)位置的元

    素不等于0，并用同样办法消去除第(2，2)元素外第二行及第二列的

    所有元素.显然，在进行上述过程中第一列及第一行的元素保持不

    变.这样不断做下去，直到变成(2.4.1)式的形状为止.证毕.

    注 在这个定理中，对给定的矩阵A，无论进行怎样的初等变

    换，最后得到的对角形矩阵中的r总是不变的这一重要事实将在第三章

    予以证明.矩阵(2.4.1)称为矩阵A的相抵标准型.

    例2.4.2 用初等变换将下列矩阵化为相抵标准型：

    解化到这一步接下去可将第一列分别乘以-2、乘以2、乘以-4后加到第

    二列、第三列、第四列上去，使第一行中除第(1，1)元素外其余都

    等于零.但是这时由于第一列除第一个元素外其余都为零，因此在整

    个过程中第二列、第三列、第四列的元素除处在第一行的元素外都不

    变，因此我们不必再写出具体过程而直接写出结果：

    接下去再继续进行初等变换：

    这一步是为了避免分数运算.

    在进行初等变换时，有些步骤可并在一起以节省篇幅.

    例2.4.3 用初等变换化下列矩阵为相抵标准型：解我们在进行初等变换的过程中，通常需要同时用行变换和列变

    换，如果将初等变换仅限制为行变换，定理2.4.1还成立吗？

    考虑下面的1×3矩阵：

    (0，1，2).

    显然，我们仅用行变换无论如何也不能将它化为标准型.但是我们可以用行初等变换将矩阵化为所谓的阶梯形(上阶梯

    形).若一个矩阵的非零元素组成一个阶梯，我们就称之为阶梯矩

    阵.上三角阵是阶梯矩阵的特例.下面几个矩阵是阶梯形矩阵的例

    子：

    下面几个矩阵不是阶梯形矩阵：定理2.4.2 设A是一个m×n矩阵，则经过若干次初等行变换，A

    可以化为阶梯形矩阵.

    证明 假定A的第一列元素全为零，则初等变换从第二列开始.现

    设A的第一列元素不全为零，则用行对换将非零元素换到第(1，1)位

    置.再用第三类行初等变换即可将第一列其余元素消为零.再看第二

    列，如果这时从第(2，2)位置(包括第(2，2)元素)以下全为

    零，则移至下一列.若否，用行对换将非零元素换到第(2，2)位

    置，再用第三类初等变换消去这一列第(2，2)位置以下的元素.就

    这样不断做下去即可得到一个阶梯形矩阵.证毕.

    二、初等矩阵

    矩阵的初等变换能否通过矩阵的运算来实现？为此我们引进初等

    矩阵的概念.

    定义2.4.3 对单位阵In 施以第一类、第二类、第三类初等变换

    后得到的矩阵分别称为第一类、第二类及第三类初等矩阵.

    3类初等矩阵的形状如下.第一类初等矩阵 第一类初等矩阵Pij 表示将单位阵的第i行与

    第j行对换后得到的矩阵：

    注 Pij 也可由单位阵的第i列与第j列对换而得.

    第二类初等矩阵 第二类初等矩阵Pi (c)等于将常数

    c(c≠0)乘以单位阵的第i行(或i列)而得到的矩阵：第三类初等矩阵 第三类初等阵Tij (c)表示将单位阵的第i行

    (第j列)乘以c后加到第j行(第i列)上得到的矩阵：

    下面的定理揭示了初等变换与初等矩阵的密切联系.

    定理2.4.3 设A是一个m×n阵，则对A作一次行初等变换后得到

    的矩阵等于用一个m阶相应的初等矩阵(即第一类初等变换相应于第一

    类初等矩阵，第二类初等变换相应于第二类初等矩阵，等等)左乘A后

    得到的积.矩阵A作一次列初等变换后得到的矩阵等于用一个n阶相应

    的初等矩阵右乘A后所得到的积.

    证明 我们只对行初等变换进行证明，对列的证明类似可得.设A

    ＝(aij )m×n 由实际计算得：这等于将A的第i行与第j行对换.

    这等于将A的第i行乘以c.而这等于将A的第i行乘以c后加到第j行上去.证毕.

    注 我们通常用“行左列右”来表示定理中初等矩阵与初等变换

    的关系.

    推论2.4.1 初等矩阵都是非异阵且其逆阵仍是同类初等矩阵：

    ＝Pij ，Pi (c)-1

    ＝Pi ，Tij (c)-1

    ＝Tij (-

    c).

    证明 由定理立即可得.证毕.

    推论2.4.2 非异阵经初等变换后仍是非异阵，奇异阵经初等变

    换后仍是奇异阵.

    证明 因为初等矩阵都是可逆阵，可逆阵和可逆阵之积仍可逆，所以第一个结论成立.又设A是奇异阵，P是初等矩阵，假定PA是非异

    阵，注意到P-1

    也是初等矩阵，故A＝P-1

    (PA)将是非异阵，矛盾，因此PA必是奇异阵.同理AP也是奇异阵.证毕.

    推论2.4.3 3类初等矩阵的行列式如下：

    ｜Pij ｜＝-1，｜Pi (c)｜＝c，｜Tij (c)｜＝1.

    证明 因为单位阵的行列式等于1，故交换单位阵两行而得到的矩

    阵Pij 的行列式等于-1.其余结论显然，证毕.定理2.4.4 矩阵的相抵关系适合下列性质：

    (1)A～A；

    (2)若A～B，则B～A；

    (3)若A～B，B～C，则A～C.

    证明 (1)显然单位阵I也是初等矩阵，而IA＝A表明A~A.

    (2)由A~B可知，存在初等矩阵P1 ，…，Pm 以及初等矩阵Q1 ，…，Qs ，使

    Pm …P1 AQ1 …Qs ＝B.

    于是

    ＝A.

    但是初等矩阵的逆阵仍是初等矩阵，因此B~A.

    (3)由A~B，B~C，可设

    B＝Pm …P1 AQ1 …Qk ，C＝Ss …S1 BT1 …Tt ，其中Pi ，Qi ，Si ，Ti 都是初等矩阵.于是

    C＝Ss …S1 Pm …P1 AQ1 …Qk T1 …Tt .

    因此A~C.证毕.

    习题2.4

    1.用初等变换将下列矩阵化为对角阵：

    (1)

    (2)(3)

    (4)

    2.判断下列矩阵是否相抵：

    (1)

    (2)

    3.求证：n阶方阵A非异的充分必要条件是它和In 相抵.

    4.求证：对任意的m×n矩阵，总存在可逆m阶矩阵P和可逆n阶矩

    阵Q使得PAQ是相抵标准型.

    §2.5 矩阵乘积的行列式与用初等变换

    法求逆阵

    一、矩阵乘积的行列式

    我们在上一节中证明了任意一个矩阵A都可以通过初等变换化为相

    抵标准型，我们还证明了如果限制只用行变换，则可以将矩阵化为阶梯形.如果矩阵A是一个n阶可逆阵，我们是否能够只用行变换就将它

    化为标准型呢？

    引理2.5.1 设A是一个n阶可逆阵(即非异阵)，则仅用行初等

    变换或仅用列初等变换就可以将它化为单位阵In .

    证明 我们先证明仅用行初等变换可以将A化为主对角元素全不等

    于零的上三角阵.因为A可逆，所以它没有整行或整列元素全为零.因

    此A的第一列至少有一个非零元素，通过行初等变换可以将它换到第

    (1，1)位置.用这个非零元素经过第三类行初等变换就可以将第一

    列元素(除第(1，1)元素)全化为零.于是我们不妨假定

    我们现在要说明a22 ，…，an2 不全为零.若否，则通过第三类列初等

    变换用a11 可以消去a12 ，于是非异阵A经过初等变换将化为一个第二

    列全为零的矩阵，即化为一个奇异阵，这与上一节的结论矛盾.既然

    a22 ，…，an2 不全为零，我们又可以通过行初等变换将非零元素换到

    第(2，2)位置上，再消去第二列第(2，2)位置以下的元素.不断

    这样做下去，即可将A化为上三角阵且主对角元素全不为零.

    假定我们得到的上三角阵为则因为bnn ≠0，用行变换即可消去bjn (j＝1，…，n-1).接下

    去，再用bn-1，n-1 消去bj，n-1 (j＝1，…，n-2)等等.于是我们

    得到了一个主对角元素全不为零的对角阵.最后用第二类行初等变换

    即可将之化为单位阵In .同理可证明仅用列初等变换也可以将非异阵

    A化为单位阵In .证毕.

    推论2.5.1 任一n阶非异阵均可表示成有限个初等矩阵的积.

    证明 由上面的引理知道，存在有限个初等矩阵P1 ，…，Pm ，使

    得

    Pm …P1 A＝In ，因此

    A＝ … .

    而初等矩阵的逆阵仍是初等矩阵，故结论成立.证毕.

    下面我们要讨论这样一个问题：若A，B都是n阶矩阵，它们积的行

    列式｜AB｜和｜A｜，｜B｜有什么关系？先讨论简单的情形，即A，B

    中至少有一个是初等矩阵的情形.由行列式性质，我们很容易得到下

    面的引理.

    引理2.5.2 设A是一个n阶方阵，Q是一个n阶初等矩阵，则

    ｜QA｜＝｜Q｜｜A｜＝｜AQ｜.证明 若Q＝Pij ，则QA为A的第i行及第j行对换后所得之矩阵，其

    行列式的值等于-｜A｜.但｜Pij ｜＝-1，因此｜Pij A｜＝-｜A｜

    ＝｜Pij ｜｜A｜.若Q＝Pi (c)(c≠0)，同样不难验证｜Pi (c)

    A｜＝c｜A｜＝｜Pi (c)｜｜A｜.最后，｜Tij (c)A｜＝｜A｜，｜Tij (c)｜＝1，故｜Tij (c)A｜＝｜Tij (c)｜｜A｜.当Q作

    用在A右侧时也可类似证明.证毕.

    定理2.5.1 一个n阶方阵A为非异阵的充分必要条件是它的行列

    式的值不等于零.

    证明 由定理2.3.1知道若｜A｜≠0，则A是非异阵，故只需证明

    若A非异，则｜A｜≠0.但由推论2.5.1，非异阵A等于有限个初等矩阵

    之积，设A＝P1 P2 …Pt ，则从上面的引理知道，｜A｜＝｜P1 ｜｜P2

    ｜…｜Pt ｜.由于初等矩阵的行列式不等于零，故｜A｜≠0.证毕.

    现在我们可以证明下述重要的行列式乘法定理.

    定理2.5.2 设A，B都是n阶矩阵，则

    ｜AB｜＝｜A｜｜B｜.

    证明 分两种情形.第一种情形，设A是非异阵.则存在若干个初

    等矩阵Q1 ，…，Qm ，使A＝Q1 …Qm ，故

    第二种情形，设A为奇异阵，这时｜A｜＝0，故只需证明｜AB｜＝

    0.因为A是奇异阵，故存在初等矩阵P1 ，…，Ps ；Q1 ，…，Qr ，使

    得

    Ps …P1 AQ1 …Qr ＝D，其中D是A的相抵标准型，它是一个对角阵，主对角元素为1或0.因为A

    奇异，所以D也是奇异阵，至少最后一行全为零.又Ps …P1 A＝D … .

    由矩阵乘法知道，因为D的第n行元素全为零，所以D … 从

    而Ps …P1 A的第n行等于零.于是Ps …P1 AB的第n行也等于零.故

    ｜Ps ｜…｜P1 ｜｜AB｜＝｜Ps …P1 AB｜＝0，其中｜Pi ｜≠0(i＝1，…，s)，于是｜AB｜＝0＝｜A｜｜B｜.证

    毕.

    推论2.5.2 一个奇异阵与任一同阶方阵之积仍为奇异阵，两个

    非异阵之积仍为非异阵.

    证明 由定理2.5.2及定理2.5.1即得.证毕.

    推论2.5.3 若A是非异阵，则｜A-1

    ｜＝｜A｜-1

    .

    证明 ｜AA-1

    ｜＝｜In ｜＝1，而｜AA-1

    ｜＝｜A｜｜A-1

    ｜，由此即得｜A-1

    ｜＝｜A｜-1

    .证毕.

    推论2.5.4 若A，B都是n阶方阵且AB＝In (或BA＝In )，则BA

    ＝In (或AB＝In )，即B＝A-1

    .

    证明 因为｜A｜｜B｜＝｜AB｜＝｜In ｜＝1，所以｜A｜≠0，即A是非异阵.设C是A的逆阵，则CA＝In ，而B＝In B＝(CA)B＝

    C(AB)＝CIn ＝C，因此B＝A-1

    .同理若BA＝In ，也可推出AB＝In

    .证毕.

    例2.5.1 计算下列n+1阶矩阵A的行列式：

    解 将A分解为两个矩阵之积：上式左边矩阵的行列式每一列提出公因子后就是一个Vander Monde行

    列式.右边矩阵的行列式也可以化为Vander Monde行列式并求出其

    值，于是

    ｜A｜＝ (ai -aj )(bj -bi ).

    例2.5.2 计算行列式：

    解 设该行列式代表的矩阵为A，则

    其中u＝x2

    +y2

    +z2

    +w2

    .因此

    ｜A｜2

    ＝(x2

    +y2

    +z2

    +w2)4

    .

    令x＝1，y＝z＝w＝0，显然｜A｜＝-1，故｜A｜＝-(x2

    +y2

    +z2

    +w2)2

    .

    二、初等变换法求逆阵

    我们知道，用伴随求非异阵的逆阵是非常麻烦的，有没有更加简

    单的方法？

    由引理2.5.1知道，任意一个可逆阵都可以只用行初等变换将它化

    为单位阵.若A是可逆阵，则存在初等矩阵Q1 ，Q2 ，…，Qt ，使得

    Q1 Q2 …Qt A＝In .

    故

    A-1

    ＝Q1 Q2 …Qt ＝Q1 Q2 …Qt In .

    这两个式子启发我们可以这样来求逆阵：

    作一个n×2n矩阵(A，In ).这个矩阵的前n列为A，后n列为单

    位阵In .对矩阵(A，In )进行行初等变换把A变成In ，这时右边的

    In 就变成了A-1

    .我们下面举例来说明这个方法.

    例2.5.3 求下列非异阵A的逆阵：

    解对(A，I3 )进行行初等变换：

    于是

    注 在用初等变换法求逆阵的整个过程中，对(A，In )只能用

    行初等变换而不能用列初等变换.请读者考虑这样一个问题：

    如果我们只用列初等变换，如何来求已知可逆阵的逆阵？

    例2.5.4 求解下列矩阵方程：解 因为

    故

    我们用初等变换与求逆阵类似的方法求X：因此

    习题2.5

    1.用初等变换法求下列矩阵的逆阵：

    (1)

    (2)

    (3)

    2.求下列n阶方阵的逆阵：其中ai ≠0(i＝1，2，…，n).

    3.求下列矩阵方程的解：

    4.求下列矩阵方程的解：

    5.设其中sk ＝ .计算｜S｜并证明｜S｜≥0

    对一切实数xi (i＝1，2，…，n)成立.

    6.利用行列式乘法证明下列循环行列式之值等于f(ε1 )

    f(ε2 )…f(εn )，其中f(x)＝a1 +a2 x+a3 x2

    +…+an xn-

    1

    ，而εi (i＝1，2，…，n)为1的全体n次复根：

    7.计算行列式：§2.6 分块矩阵

    矩阵运算是一种比较复杂的运算.为了简化这种运算，我们引进

    分块矩阵及其运算的概念.读者务必注意，分块矩阵及其运算不是新

    的运算，而是矩阵运算的简化形式.

    什么叫矩阵的分块？简单地说就是用横虚线与竖虚线将一个矩阵

    分成若干块，这样得到的矩阵就称为“分块矩阵”.例如：

    是一个分块矩阵，若记则A可表示为

    这是一个分了4块的矩阵.

    一般地，对m×n矩阵A，若先用若干条横虚线把它分成r块，再用

    若干条竖虚线把它分成s块，我们就得到了一个rs块分块矩阵，可记为

    注意，这里Aij 代表一个矩阵，Aij 常称为A的第(i，j)块.A也可记

    为A＝(Aij )，但需注明这是分块矩阵.一个矩阵可以有各种各样的分块方法，究竟怎么分比较好，要看

    具体需要而定.例如：

    记

    A1 ＝ ，A2 ＝ ，A3 ＝(1)，则

    A作为分块矩阵看，是一个对角阵.这种矩阵称为分块对角阵，尽管它

    本身并不是对角阵.需要注意的是A中的0都表示零矩阵.

    两个分块矩阵A＝(Aij )r×s 及B＝(Bij )l×k 称为相等，若r

    ＝l，s＝k，且Aij ＝Bij (i＝1，2，…，r；j＝1，2，…，s).因此两个分块矩阵相等，不仅它们的分块方式相同，而且每一块也相

    等.显然，这时A与B作为普通矩阵也相等.

    下面我们依次来研究分块矩阵的运算.

    一、分块矩阵的加减法

    设有m×n矩阵A及B，它们具有相同的分块，即

    A＝(Aij )r×s ，B＝(Bij )r×s ，且Aij 与Bij 作为矩阵其行数与列数分别相等，则

    A+B＝(Aij +Bij )，A-B＝(Aij -Bij ).

    显然，两个分块矩阵之和(或差)仍是一个分块矩阵，且这个和(或

    差)与A，B作为普通矩阵之和(或差)是一致的.

    二、分块矩阵的数乘

    分块矩阵A＝(Aij )r×s 与常数c的数乘为

    cA＝(cAij )r×s .

    三、分块矩阵的乘法

    分块矩阵的乘法与普通矩阵的乘法在形式上类似，只是在处理块

    与块之间的乘法时必须保证符合矩阵相乘的条件.因此，对分块的情

    况要特别予以注意.设A＝(Aij )r×s ，B＝(Bij )s×t 是两个分块

    矩阵(注意：A的列分成s块而B的行也分成s块).又设上述分块矩阵适合如下条件：在A中，第(1，1)块A11 的行数为m1 ，列数为n1 ，第(1，2)块A12 的行数为m1 ，列数为n2 ，…，第(i，j)块Aij 的行数为mi ，列数为nj .B中第(i，j)块Bij 的行数为ni

    ，列数为lj .这样的分块方式保证了分块相乘有意义.若记分块矩阵

    A与B的积为

    则Cij 是一个mi ×lj 矩阵，且

    Cij ＝Ai1 B1j +Ai2 B2j +…+Ais Bsj .

    例2.6.1

    求AB.

    解 将A，B写成下列分块形状：其中Aij ，Bij 是A，B中相应的块.容易看出这两个分块矩阵符合相乘

    的条件.设C＝AB，则C也是分块矩阵.因为A是2×3分块，B是3×2分

    块，故C是2×2分块.不难看出

    C11 ＝A11 B11 +A12 B21 +A13 B31 .

    将各块代入，得到

    同理于是

    读者也许感到，上述例子似乎比不分块更麻烦.现在来看几个例

    子，它们表明了分块运算的优越性.

    例2.6.2 设有两个分块对角阵：

    其中Ai 与Bi 都是同阶方阵，因此A与B可按分块矩阵相乘，这个例子表明，分块对角阵相乘时只需将主对角线上的块相乘即

    可.

    例2.6.3 A是一个分块对角阵：

    其中每块Ai 都是非异方阵，求证：A也是非异方阵.

    证明 设Ai 之逆为 ，则显然

    证毕.

    又如，设A是一个m×n矩阵，B是一个n×r矩阵，将B的每一列分成

    一块(即B的每个列向量作为一块)，记为βj (j＝1，2，…，r)，则B＝(β1 ，β2 ，…，βr ).

    又将A看成为只分成一块的矩阵，则AB可按分块矩阵相乘，且

    AB＝(Aβ1 ，Aβ2 ，…，Aβr ).

    同样，可对A作行分块，即将A的每个行向量分作一块，记为αi

    (i＝1，2，…，m)，则

    将B看成是只有一块的矩阵，于是

    四、分块矩阵的转置

    设有分块矩阵A＝(Aij )r×s ，则A的转置为s×r分块矩阵：五、分块矩阵的共轭

    设A是一个分块复矩阵，A＝(Aij )r×s ，则A的共轭矩阵也是一

    个r×s分块矩阵，且

    对分块矩阵而言，我们也有分块初等变换和分块初等矩阵的概

    念.它们是处理分块矩阵问题的有用工具.

    所谓分块初等变换和普通的初等变换类似，包含3类：

    第一类：对调分块矩阵的两块行或两块列；第二类：以某个可逆阵左乘以分块矩阵的某一块行，或右乘以某

    块列；

    第三类：以某个矩阵左乘以分块矩阵的某块行后加到另一块行上

    去，或以某个矩阵右乘以分块矩阵的某块列后加到另一块列上去.

    我们假定上面所提到的运算都是可以进行的.

    和普通矩阵一样，我们也有分块初等矩阵的概念，它和分块初等

    变换的关系与普通矩阵类似.

    记I＝diag{I1 ，I2 ，…，Ik }是分块单位阵，定义下列3种矩

    阵为3类分块初等矩阵：

    (1)对调I的第i块行(列)与第j块行(列)得到的矩阵；

    (2)以可逆阵C左(右)乘以I的第i块行(列)得到的矩阵；

    (3)以矩阵B左(右)乘以I的第i块行(列)后加到第j块行

    (列)上后得到的矩阵.

    易知分块初等矩阵是可逆阵，其中第三类分块初等阵的行列式值

    等于1.又矩阵的分块行(列)初等变换相当于用同类分块初等矩阵左

    (右)乘以被变换的矩阵.

    注 由上面的结论知道，进行第三类分块初等变换不改变矩阵的

    行列式的值.更一般地，进行分块初等变换不改变矩阵的秩(秩的概

    念将在下一章介绍).

    引理2.6.1 设A，C分别是m，n阶方阵，则对分块上(下)三角

    行列式有：

    G＝ ＝｜A｜｜C｜，H＝ ＝｜A｜｜C｜.

    证明 本命题可以用Laplace定理立即得到，但是我们采用另外一

    种方法来证明.只对第一式进行证明，第二式同理可得.对A的阶m用

    归纳法，m＝1时，结论显然.假定对左上角是m-1阶矩阵的分块上三

    角行列式结论为真.设将G按第一列展开(注意到第一列从第m+1行起的元素全为零)：

    ｜G｜＝a11 G11 +a21 G21 +…+am1 Gm1 ，其中Gi1 是ai1 在G中的代数余子式.与每个Gi1 相应的余子式是一个

    左上角为m-1阶矩阵的分块上三角行列式，由归纳假设可得

    Gi1 ＝Ai1 ｜C｜，其中Ai1 是元素ai1 在A中的代数余子式.因此

    ｜G｜＝a11 A11 ｜C｜+a21 A21 ｜C｜+…+am1 Am1 ｜C｜＝｜A｜｜C

    ｜.

    证毕.

    例2.6.4 若A是m阶可逆阵，D是n阶矩阵，B为m×n矩阵，C为

    n×m矩阵，则

    ＝｜A｜｜D-CA-1

    B｜.

    若D可逆(这时A不必假定可逆)，则有

    ＝｜D｜｜A-BD-1

    C｜.

    证明 用第三类块初等变换，以-CA-1

    左乘以第一行加到第二行

    上得到第三类初等变换不改变行列式的值，由引理即得结论.另一结论类似

    可证.证毕.

    注 当A和D都是可逆阵时，我们得到等式

    ｜D｜｜A-BD-1

    C｜＝｜A｜｜D-CA-1

    B｜.

    这个等式称为行列式的降阶公式.因为当D和A的阶不等时，可以利用

    它把高阶行列式的计算化为低阶行列式的计算.

    例2.6.5 计算下列矩阵的行列式值：

    解 将M化为

    由降阶公式得到例2.6.6 已知A和D是可逆阵，求下列分块矩阵的逆阵

    解 设A，D分别是m，n阶矩阵.对下列分块矩阵进行初等变换，即将第二行左乘以-BD-1

    加到第一行上去：

    再用A-1

    和D-1

    分别乘以第一行及第二行得到：因此原矩阵的逆阵为

    习题2.6

    1.计算下列分块矩阵的乘法：

    (1)

    ( 2 )

    2.试写出下列分块矩阵的积，假定其中相乘的分块矩阵都符合相

    乘的条件：(1)

    (2)

    3.设

    求证：

    Ak

    ＝ (k＝1，2，…，n).

    4.验证：分块矩阵的乘法所得的结果与作为普通矩阵的乘法所得

    的结果是一致的.

    5.设有分块矩阵C＝ ，其中A，B为可逆阵，求C的逆阵.

    6.若Ai (i＝1，2，…，m)是方阵，证明： ＝｜A1 ｜｜A2 ｜…｜Am ｜.

    7.设A，B为n阶方阵，求证：

    ＝｜A+B｜｜A-B｜.

    8.设AB＝BA，求证：

    ＝｜A2

    +B2

    ｜.

    §2.7 Cauchy-Binet公式

    我们在本章第五节中，证明了方阵乘积的行列式等于各方阵行列

    式之积.现在的问题是：如果A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，AB是n阶方

    阵，则行列式｜AB｜应该等于什么？Cauchy-Binet(柯西—毕内)公

    式回答了这个问题.它可以看成是矩阵乘法的行列式定理的推广.

    定理2.7.1 (Cauchy-Binet公式) 设A＝(aij )是m×n矩

    阵，B＝(bij )是n×m矩阵.A 表示A的一个s阶

    子式，它由A的第i1 ，…，is 行与第j1 ，…，js 列交点上的元素按

    原次序排列组成的行列式.同理定义B的s阶子式，则

    (1)若m>n，必有｜AB｜＝0；

    (2)若m≤n，必有证明 令C＝ .我们将用不同的方法来计算行列式｜

    C｜.

    首先，对C进行第三类分块初等变换得到矩阵M＝

    .事实上，M可写为

    因此｜M｜＝｜C｜.用Laplace定理来计算｜M｜，按前m行展开得

    再来计算｜C｜，用Laplace定理按前m行展开.这时若m>n，则前m行中

    任意一个m阶子式都含有至少一列全为零，因此行列式值等于零，即｜

    AB｜＝0.若m≤n，由Laplace定理得其中C 是A 在矩阵C

    中的代数余子式.显然

    其中i1 ，i2 ，…，in-m 是C中前n列去掉j1 ，j2 ，…，jm 列后余下

    的列序数，ei1 ，ei2 ，…，ein-m 是相应的n维标准单位列向量(标准

    单位向量定义参见本章复习题1).记

    ｜N｜＝｜-ei1 ，-ei2 ，…，-ein-m ，B｜，现来计算｜N｜.｜N｜用Laplace定理按前n-m列展开.注意只有一个

    子式非零，其值等于｜-In-m ｜＝(-1)n-m

    .而这个子式的余子

    式为

    因此

    注意到(i1 +i2 +…+in-m )+(j1 +j2 +…+jm )＝1+2+…

    +n，综合上面的结论，通过简单计算不难得到

    证毕.下面的定理是Cauchy-Binet公式的进一步推广，它告诉我们如何

    求矩阵乘积的r阶子式.

    定理2.7.2 设A＝(aij )是m×n矩阵，B＝(bij )是n×m矩

    阵，r是一个自然数且r≤m，则

    (1)若r>n，则AB的任意一个r阶子式等于；

    (2)若r≤n，则AB的r阶子式

    证明 设C＝AB，则C＝(cij )是m阶矩阵且

    cij ＝ai1 b1j +ai2 b2j +…+ain bnj .

    因此

    由上述定理可知：当r>n时，C ＝0；当r≤n

    时，证毕.

    矩阵A的子式

    如果满足条件i1 ＝j1 ，i2 ＝j2 ，…，ir ＝jr ，则称之为主子式.

    推论2.7.1 设A是实数矩阵，则矩阵AA′的任一主子式都非负.

    证明 由上面的定理得到

    证毕.

    下面介绍Cauchy-Binet公式的两个重要应用.它们分别是著名的

    Lagrange恒等式和Cauchy-Schwarz(柯西—许瓦兹)不等式.这两个

    结论也可以用其他方法证明，但用矩阵方法显得非常简洁.

    例2.7.1 证明Lagrange恒等式(n≥2)：

    证明 左边的式子等于这个行列式对应的矩阵可化为

    证毕.

    用Cauchy-Binet公式得

    例2.7.2 设ai ，bi 都是实数，证明Cauchy-Schwarz不等式：证明 由上例，恒等式右边总非负，即得结论.证毕.

    习题2.7

    1.证明复数形式的Cauchy-Schwarz不等式：

    其中ai ，bi 都是复数，n是大于2的自然数.

    2.设A是n阶方阵且AA′＝In .求证：若1≤i1
    ≤n，则

    3.设A，B是n阶方阵，r是小于n的自然数.求证：AB和BA的所有r

    阶主子式之和相等.

    4.设A，B都是m×n实矩阵，求证：

    ｜AA′｜｜BB′｜≥｜AB′｜2

    .

    复习题二

    1.n维标准单位列向量是指下面n个n维列向量：向量组 则被称为n维标准单位行向量.求证标准单位

    向量有下列基本性质：

    (1)若i≠j则 ej ＝0，而 ei ＝1.

    (2)若A＝(aij )是m×n矩阵，则Aei 是A的第i个列向； A是

    A的第i个行向量.

    (3)若A＝(aij )是m×n矩阵，则 Aej ＝aij .

    2.n阶基础矩阵(又称初级矩阵)是指n2

    个n阶矩阵{Eij ，(i，j＝1，2，…，n)}.这里Eij 是一个n阶矩阵，它的第(i，j)

    元素等于1，其他元素全为0.基础矩阵也可以看成是标准单位向量的

    积：

    Eij ＝ei .

    证明基础矩阵的下列性质：

    (1)若j≠k，则Eij Ekl ＝0；

    (2)若j＝k，则Eij Ekl ＝Eil ；

    (3)若A是n阶矩阵且A＝(aij )，则

    A＝ aij Eij ；

    (4)若A是n阶矩阵且A＝(aij )，则Eij A将A的第j行变为第i

    行，将其他元素全变为0；(5)若A是n阶矩阵且A＝(aij )，则AEij 将A的第i列变为第j

    列，将其他元素全变为0；

    (6)若A是n阶矩阵且A＝(aij )，则Eij AEkl ＝ajk Eil .

    3.求证：和所有n阶可逆阵乘法可交换的矩阵必是数量矩阵kIn

    .

    4.设A是n阶上三角阵且主对角线上元素全为零，求证：An

    ＝0.

    5.设A＝(aij )是n阶矩阵，则A主对角线上元素之和

    a11 +a22 +…+ann

    称为矩阵A的迹，记为trA.设A，B是n阶矩阵，k是常数，求证：

    (1)tr(A+B)＝trA+trB；

    (2)tr(kA)＝k(trA)；

    (3)tr(AB)＝tr(BA).

    6.设f是数域F上n阶矩阵集合到F的一个映射，它满足下列条件：

    (1)对任意的n阶矩阵A，B，f(A+B)＝f(A)+f(B)；

    (2)对任意的n阶矩阵A和F中数k，f(kA)＝kf(A)；

    (3)对任意的n阶矩阵A，B，f(AB)＝f(BA)；

    (4)f(In )＝n.

    求证：f就是迹，即f(A)＝trA对一切F上n阶矩阵A成立.

    7.设A，B是n阶方阵，求证：不存在n阶方阵A，B，使AB-BA＝In

    .

    8.求证：

    (1)上(下)三角阵的逆阵也是上(下)三角阵；

    (2)对称矩阵的逆阵也是对称矩阵；

    (3)反对称矩阵的逆阵也是反对称矩阵.

    9.设A是n阶方阵且A2

    ＝A，求证：In -2A是可逆阵.

    10.求证：不存在n阶奇异阵A，使A2

    +A+In ＝0.11.设A是奇数阶矩阵｜A｜>0，又AA′＝In ，求证：In -A是奇

    异阵.

    12.若A，B是n阶矩阵，In +AB可逆，求证：In +BA也可逆.

    13.设A是4阶矩阵，｜A｜＝2.求｜4(A)-1

    -A

    ｜的值.

    14.设A，B为方阵，A

    ，B

    分别是它们的伴随，求分块对角阵C

    的伴随：

    15.对n阶矩阵A，B，求证：(AB)

    ＝B

    A

    .

    16.求证：若n>2，则(A)

    ＝｜A｜n-2

    A.

    17.计算：

    18.求证：n阶实方阵A是反对称矩阵的充分必要条件是：对任意

    的n维列向量x，有

    x′Ax＝0.

    19.求证：n阶方阵A是奇异阵的充分必要条件是存在不为零的方

    阵B，使AB＝0.

    20.设矩阵A是n阶可逆阵，求证：只用第三类初等变换就可以将A

    化为如下形状：

    diag{1，1，…，｜A｜}.

    21.求下列n阶矩阵的逆阵：22.设A是一个n阶复方阵，求证：必有无穷多个复数λ，使矩阵

    λIn +A是非异阵.

    23.若n≥3，求证下列行列式的值为零：

    24.设A，B，C，D都是n阶矩阵，求证：

    M＝ ＝｜A+B+C+D｜｜A+B-C-D｜｜A-B+C-D

    ｜｜A-B-C+D｜.

    25.求下列行列式的值：第三章 线性空间

    §3.1 数域

    读者已经在中学里学到过各种数集.如整数集、有理数集、实数集及

    复数集.这些数集不仅是一些数字符号的集合，更重要的是在其上定义了

    运算.常见的运算有：加、减、乘、除.我们常记整数集为Z，有理数集为

    Q，实数集为R，复数集为C.则Z，Q，R都是C的子集，即C的一部分.我们

    注意到，在整数集Z中，任意两个元素相加、相减或相乘以后仍属于Z.但

    是两个整数相除(除数不为零)则并不一定属于Z，它可能是一个分数.这

    就是说，整数集Z在加法、减法与乘法下封闭，但在除法下不封闭.在有理

    数集Q中，加、减、乘、除都是封闭的.在实数集及复数集中也如此.我们

    把数集的这些特性抽象出来，作如下的定义.

    定义3.1.1 设K是复数集C的子集且至少有两个不同的元素，如果K中

    任意两个数的加法、减法、乘法及除法(除数不为零)仍属于K，则称K是

    一个数域.

    根据这个定义，有理数集、实数集及复数集都是数域，而整数集不是

    数域.通常我们把在加法、减法、乘法下封闭(不一定除法封闭)的数集

    称为数环，因此整数集是数环但不是数域.

    数域是一个比较广泛的概念.除了已知的有理数域、实数域及复数域

    外，还有没有其他数域即在四则运算下封闭的数集？我们来看下面的例

    子.

    所有形如

    a+b

    的数，其中a，b都是有理数，构成一个数域.这个数域通常用Q( )来

    表示.现在我们来验证它确是一个数域.首先注意到：(a+b )±(c+d )＝(a±c)+(b±d) .

    由于两个有理数的和与差仍是有理数，同此(a±c)+(b±d) ∈Q.也就是说Q( )在加法、减法下封闭.又

    (a+b )(c+d )＝(ac+2bd)+(ad+bc) .

    可见Q( )在乘法下也封闭.最后若c+d ≠0，即c，d不同时为

    零，则

    注意到c2

    -2d2

    ≠0，且 是有理数，因此

    这就是说Q( )在加法、减法、乘法及除法下均封闭，因此它是一个数

    域.

    又如，设π是圆周率，则所有形如

    的数的全体构成一个数域，其中ai ，bj (i＝0，1，…，n；j＝0，1，…，m)都是有理数，但bj 不全为零，m，n可以为任意非负整数.这里需

    要注意的是

    b0 +b1 π+…+am πm

    ＝0

    当且仅当b0 ＝b1 ＝…＝bm ＝0，即π是一个超越数.有了这一点，读者不

    难自己验证形如(3.1.1)式的数全体构成一个数域.若限制a，b是任意整数，则形如a+b 的所有实数构成的集合只是

    一个数环而不是一个数域.这是因为1和2属于这个数集而 不属于该数

    集.

    任一数域必包含0及1这两个数.事实上任意两个相同数之差为0，两个

    相同的非零数(由定义数域必包含非零元)的商为1.因此0，1是每个数域

    都必须拥有的数.不仅如此，我们有下列命题.

    定理3.1.1 任一数域必包含有理数域Q.

    证明 由上面知道，1必属于任一数域.将1连加n次，则n也应属于该

    数域，因此任一正整数属于该数域.又0-n＝-n，因此-n也应在此数域

    中.因而整数全体都必须在这个数域之中.最后，若m≠0，m，n为整数，则由除法封闭性可知 也应属于该数域，即任一有理数都应在此数域中.

    证毕.

    定理3.1.1告诉我们，有理数域是一个“最小”的数域.

    习题3.1

    1.判断下列数集是不是数域并说明理由：

    (1)所有偶数的全体；

    (2)所有形如a+b 的数的全体，其中a，b为有理数；

    (3)所有形如a+b 的数的全体，其中a，b为有理数；

    (4)所有形如a 的数的全体，其中a为有理数.

    2.验证：所有形如(3.1.1)式所示的数的全体构成一个数域.

    3.验证：所有形如a+b +c 的数构成一个数域，其中a，b，c

    是有理数.

    §3.2 行向量和列向量读者已经学过平面直角坐标系的概念.在一个平面上，如果建立了一

    个直角坐标系，那么平面上任一点C均可以用两个有序实数(a，b)来表

    示，其中a称为点C的横坐标，b称为点C的纵坐标.反过来，给定两个有序

    实数(a，b)，必有平面上一点与之对应.这样平面上的点与有序实数偶

    之间可建立起一个一一对应.读者还学过向量(或称矢量)的概念.所谓

    平面上的向量是指平面上的一根有向线段，其中一端称为起点，另一端称

    为终点.如图3.1所示，若将点O与点C连起来并用一个箭头表示这根线段的

    方向，则 就是一个向量，它的起点为O，终点为C.

    图3.1

    现在我们把平面上所有以原点O为起点的向量组成的集合记为V.显然V

    与平面xOy上的点之间有一个一一对应：平面xOy上的任一点C对应于向量

    ，反之，任一以O为起点的向量对应于平面上一点，即该向量的终

    点.起点为O而终点也为O的向量称为零向量，它对应于原点O.我们刚才已

    经提到，平面上的点与有序实数偶之间有一个一一对应关系，因此不难看

    出，平面上任一以原点O为始点的向量均可对应一个实数偶，即向量可以用点C的坐标(a，b)来唯一确定.这样，我们可以用实数偶来代替平

    面上以原点为始点的全体向量.或者更直接地，把实数偶(a，b)就定义

    为平面上的以原点为始点的向量.这种把向量“代数化”的方法有着明显

    的好处：一是可以用代数的工具来研究几何对象；二是它可以推广到更一

    般的情形，即所谓的n维向量.这种推广不仅是形式上的，它对于数学的发

    展及应用起着极其重要的作用.下面我们就抛开向量的几何形象，来定义n

    维向量的概念.

    定义3.2.1 设K是一个数域，a1 ，a2 ，…，an 是K中的元素，由a1

    ，a2 ，…，an 组成的有序数组(a1 ，a2 ，…，an )称为数域K上的一个

    n维行向量.

    对这个定义，我们需要说明以下几点：

    第一，我们称α＝(a1 ，a2 ，…，an )是K上n维行向量.当然也有K

    上n维列向量的概念.如果把K上的n个数a1 ，a2 ，…，an 依次排成一列，就称为K上的n维列向量：

    注意，我们不要把行向量与列向量混为一谈.即使一个行向量中的元素与

    一个列向量中的元素对应相等，我们也不认为它们是一回事.当然我们将

    会看到，行向量与列向量有相同的性质，这种相似性的本质我们将在后面

    加以阐明.在不引起混淆的情况下，行向量、列向量统称为向量.第二，两个行向量α＝(a1 ，a2 ，…，an )，β＝(b1 ，b2 ，…，bn )仅当ai ＝bi (i＝1，2，…，n)时相等.如二维向量(1，2)

    与(2，1)是两个不同的向量，虽然它们都由1，2两个数组成.因此两个

    向量相等不仅要求它们的元素相同，而且要求元素出现的次序也相同.

    第三，读者可能已经看出，n维行向量也可以看成一个1×n矩阵.n维

    列向量可以看成是一个n×1阵.事实上我们确实可以这样看.对一个m×n

    矩阵A＝(aij )，我们在上一章中已经定义过它的第i行为第i行向量，第j

    列为第j列向量.用矩阵的观点来看上面的两点说明，那就是不言而喻的

    了.

    对数域K上的n维行向量(或n维列向量)，我们可以定义加法、减法及

    数乘.这些定义与矩阵的相应运算的定义相同.

    若α＝(a1 ，a2 ，…，an )，β＝(b1 ，b2 ，…，bn )，定义

    α+β＝(a1 +b1 ，a2 +b2 ，…，an +bn )，α-β＝(a1 -b1 ，a2 -b2 ，…，an -bn ).

    若k∈K，定义

    kα＝(ka1 ，ka2 ，…，kan ).

    由于K是数域，因此不难看出K上n维行向量的和、差及数乘(该数取自K)

    仍然是K上的n维行向量.对列向量的加法、减法与数乘也可类似定义.从

    这里可以看出，如果把向量看成矩阵，其运算就是相应的矩阵运算.

    若一个n维向量的所有元素都等于零，就称之为零向量，记为0.但需

    注意一个n维行(列)零向量指的是一个1×n(n×1)零矩阵.又若α＝

    (a1 ，a2 ，…，an )，记-α＝(-a1 ，-a2 ，…，-an )，称-α

    为α的负向量.

    向量运算规则

    (1)加法交换律：α+β＝β+α；

    (2)加法结合律：(α+β)+γ＝α+(β+γ)；

    (3)α+0＝α；

    (4)α+(-α)＝0；

    (5)1·α＝α；(6)k(α+β)＝kα+kβ，k∈K；

    (7)(k+l)α＝kα+lα，k，l∈K；

    (8)k(lα)＝(kl)α.

    上述规则也可以看成是矩阵的相应运算规则.

    作为例子，我们来看一下二维实向量的加法与数乘的几何意义.设在

    平面直角坐标系内有两个向量α＝(a1 ，a2 )，β＝(b1 ，b2 ).如图

    3.2所示，则α+β＝(a1 +b1 ，a2 +b2 ).这和用平行四边形法则求

    两个向量之和的结果完全一致.

    图3.2

    再看图3.3.设α＝(a1 ，a2 )，k是一个实数，则kα＝(ka1 ，ka2)表示将α伸长k倍.当k>0时表示在原方向上伸长k倍，当k<0时表示在

    反方向上伸长k倍.图3.3

    对实三维向量，也有类似的几何意义.

    数域K上的n维行向量全体组成的集合称为域K上的n维行向量空间.K上

    的n维列向量全体组成的集合称为K上的n维列向量空间.实数域R上的二维

    空间与三维空间就是我们所熟悉的平面及三维空间.

    习题3.2

    1.已知向量α＝(1，1，0，-1)，β＝(-2，1，0，0)，γ＝

    (-1，-2，0，1)，试求下列向量：

    α+β+γ；3α-β+5γ.

    2.已知β＝(1，0，1)，γ＝(1，1，-1)，求解下列向量方程：

    3x+β＝γ.

    §3.3 线性空间在上一节中，我们定义了行向量空间及列向量空间的概念，它们可以

    看成是现实的实二维空间与实三维空间的推广.现在我们要做进一步的抽

    象，引进一般的向量空间的概念.

    定义3.3.1 设K是一个数域，V是一个集合，在V上定义了一个加法

    “+”，即对V中任意两个元素α，β，总存在V中唯一的元素γ与之对

    应，记为γ＝α+β.在数域K与V之间定义了一种运算，称为数乘，即对K

    中任一数k及V中任一元α，在V中总有唯一的元素δ与之对应，记为δ＝

    kα.若上述加法及数乘满足下列运算规则：

    (1)加法交换律：α+β＝β+α；

    (2)加法结合律：(α+β)+γ＝α+(β+γ)；

    (3)在V中存在一个元素0，对于V中任一向量α，都有α+0＝α；

    (4)对于V中每个元素α，存在元素β，使α+β＝0；

    (5)1·α＝α；

    (6)k(α+β)＝kα+kβ，k∈K；

    (7)(k+l)α＝kα+lα，k，l∈K；

    (8)k(lα)＝(kl)α.

    在上述规则中，α，β，γ是V中任意的元素，k，l是K中任意的数.

    适合上述条件的集合V称为数域K上的线性空间或向量空间.V中的元素称为

    向量，V中适合(3)的元素0称为零向量.对V中的元素α适合α+β＝0的

    元素β称为α的负向量，记为-α.

    读者可能要问：为什么要引进抽象的线性空间？我们先看几个线性空

    间的例子.

    例3.3.1 上一节中数域K上n维行向量集合(列向量集合)是K上的线

    性空间，这个空间我们记之为Kn

    (Kn ).我们以后将看到这种线性空间具

    有普遍的代表性.

    例3.3.2 系数取自数域K上的一元多项式全体，记为K[x]，按照通

    常的方式定义两个多项式的加法(同次项系数相加)及一个数与一个多项

    式系数的乘法(将此数乘以多项式的每个系数)，则不难验证K[x]是K上的线性空间.在K[x]中，取次数小于n的多项式全体，记这个集合为Kn

    [x]，则Kn [x]也是K上的线性空间.

    例3.3.3 闭区间[0，1]上的连续函数全体记为C[0，1]，将函数

    的加法及数乘定义为

    (f+g)(x)＝f(x)+g(x)；(kf)(x)＝kf(x)，则C[0，1]是实数域R上的线性空间.

    例3.3.4 数域K上m×n矩阵全体在矩阵的加法与数乘下也构成一个K

    上的线性空间.

    例3.3.5 复数域C可看成是实数域R上的线性空间.这时C上向量的加

    法就是复数的加法.R中元素对C中向量(即复数)的乘法就是通常的数的

    乘法.一般来说，若两个数域K1 ?K2 ，则K2 可以看成是K1 上的线性空

    间.向量就是K2 中的数，向量的加法就是数的加法，数乘就是K1 中的数乘

    以K2 中的数.特别，数域K也可以看成是K自身上的线性空间.

    我们称实数域R上的线性空间为实空间，称复数域C上的线性空间为复

    空间.

    从上面的例子可以看出，抽象线性空间概念的引入使我们扩大了视

    野，它把众多不同研究对象的共同特点用线性空间这一概念加以概括，从

    而极大地扩大了代数学理论的应用范围.在这一章里，我们将用线性空间

    的理论来进一步讨论线性方程组的解.线性空间的理论是线性代数的核

    心.

    现在我们来研究线性空间的一些最基本的性质.

    命题3.3.1 零向量是唯一的.

    证明 假设01 ，02 是线性空间V中的两个零向量，则

    01 ＝01 +02 ＝02 .

    这就证明了唯一性，证毕.

    命题3.3.2 负向量也是唯一的.

    证明 设α是V中的向量，β1 ，β2 也是V中的向量，且

    α+β1 ＝0，α+β2 ＝0，则这说明负向量是唯一的，证毕.

    命题3.3.3 对任意的α，β，γ，有

    (1)从α+β＝α+γ可推出β＝γ，即加法消去律成立；

    (2)0·α＝0，这里左边的0表示数零，右边的0表示零向量；

    (3)k·0＝0；

    (4)(-1)α＝-α；

    (5)若kα＝0，则α＝0或k＝0.

    证明 (1)(-α)+(α+β)＝(-α)+(α+γ)，再由结

    合律得

    ((-α)+α)+β＝((-α)+α)+γ，即

    0+β＝0+γ，于是β＝γ.

    (2)0·α＝(0+0)α＝0·α+0·α，再由(1)两边消去0·α

    即得0＝0·α.

    (3)kα+k·0＝k(α+0)＝kα＝kα+0，两边消去kα即得k·0

    ＝0.

    (4)α+(-1)α＝1·α+(-1)α＝[1+(-1)]α＝0·α

    ＝0，因此

    (-1)α＝-α.

    (5)假定k≠0且kα＝0，则k-1

    存在，故

    α＝(k-1

    ·k)α＝k-1

    (kα)＝k-1

    ·0＝0.

    证毕.

    注 (1)在V中我们定义减法为

    α-β＝α+(-1)β.由于消去律成立，V中元素的等式可以进行“移项”，因此，如若

    α+β＝γ，则

    α＝γ-β，或

    α+β-γ＝0，等等.在形式上与数的加减法运算完全一样.

    (2)由于V中元素适合加法结合律，(α+β)+γ＝α+(β+

    γ)，我们可以不用括号，直接把上述元素写为α+β+γ.一般地，几

    个向量相加，我们也可以不用括号，因为从结合律非常容易推出当几个向

    量相加时，相加的先后次序不影响最后的结果.比如4个向量做加法时，有

    上述向量可写为α1 +α2 +α3 +α4 .

    习题3.3

    1.判断下列集合是否是数域K上的线性空间：

    (1)次数等于n(n≥1)的实系数多项式全体构成的集合，K为实数

    域，加法、数乘的定义同例3.3.2中所述；

    (2)全体n×n实上三角阵(即矩阵的元素为实数)在矩阵的加法及数

    乘下，这里K为实数域；

    (3)[0，1]区间上可导函数全体在函数的加法及数乘下，这里K是

    实数域；

    (4)设V是以0为极限的实数数列全体：

    V＝{{an }｜ ＝0}，定义两个数列的加法及数乘为

    {an }+{bn }＝{an +bn }，k{an }＝{kan }.这里数域K为实数域.

    2.求证在线性空间中下列等式成立：

    (1)-(-α)＝α；

    (2)-(kα)＝(-k)α＝k(-α)；

    (3)k(α-β)＝kα-kβ.

    §3.4 向量的线性关系

    设有n个未知数m个方程式的线性方程组：

    这个方程组我们曾经用矩阵来表示过.现在我们要用向量来表示该方程

    组，设方程组的增广矩阵为

    分别用α1 ，α2 ，…，αn ；β表示上述矩阵的列向量，即则方程组(3.4.1)等价于下列向量形式的方程式：

    定义3.4.1 设V是K上的线性空间，α1 ，α2 ，…，αn 和β均是V

    中的向量，若存在K中n个数k1 ，k2 ，…，kn ，使

    β＝k1 α1 +k2 α2 +…+kn αn ，则称β是α1 ，α2 ，…，αn 的线性组合或β可由α1 ，α2 ，…，αn

    线性表示.

    显而易见，方程组(3.4.1)有解当且仅当向量β可以表示为向量α1

    ，α2 ，…，αn 的线性组合.

    再看齐次线性方程组：

    这个方程组等价于下列向量形式的方程式：

    定义3.4.2 设V是数域K上的线性空间，α1 ，α2 ，…，αn 是V中

    n个向量，若存在K中n个不全为零的数k1 ，k2 ，…，kn ，使

    k1 α1 +k2 α2 +…+kn αn ＝0，则称α1 ，α2 ，…，αn 线性相关，反之若K中不存在不全为零的数k1 ，k2 ，…，kn 使上式成立，则称α1 ，α2 ，…，αn 线性无关或线性独立.

    于是，方程组(3.4.3)有非零解(即在解中至少有一个数不等于零)

    的充分必要条件是向量α1 ，α2 ，…，αn 线性相关.

    在线性空间理论中，线性相关、线性无关及线性组合是向量之间最基

    本的关系，统称为向量的线性关系.对向量的线性关系，我们需要做如下

    说明：

    (1)在线性相关、线性无关的定义中，数k1 ，k2 ，…，kn 必须取自

    数域K.举例来说，若把复数看成是实数域上的线性空间，那么1与i＝

    是两个线性无关的向量，因为不存在实数a，b它们不全为零且使a+

    bi＝0.但是如果允许a，b取复数，取a＝1，b＝i，就有a+bi＝0.

    (2)线性无关还可这样等价地定义：若存在k1 ，k2 ，…，kn ∈K，使

    k1 α1 +k2 α2 +…+kn αn ＝0，则必有k1 ＝k2 ＝…＝kn ＝0.

    接下去，我们要探讨向量线性关系最基本的性质.

    定理3.4.1 若α1 ，α2 ，…，αm 是一组线性相关的向量，则任

    一包含这组向量的向量组必线性相关.又若α1 ，α2 ，…，αm 是一组线

    性无关的向量，则从这一组向量中任意取出一组向量必线性无关.

    证明 设α1 ，α2 ，…，αm ，αm+1 ，…，αr 是含α1 ，α2 ，…，αm 的一组向量.若α1 ，α2 ，…，αm 线性相关，则存在不全为零

    的一组数k1 ，k2 ，…，km ，使

    k1 α1 +k2 α2 +…+km αm ＝0.

    令km+1 ＝…＝kr ＝0，则仍有

    k1 α1 +k2 α2 +…+km αm +km+1 αm+1 +…+kr αr ＝0.

    因此α1 ，α2 ，…，αr 线性相关.另一个论断显然和已证明的结论是等

    价的.证毕.

    定理3.4.2 设α1 ，α2 ，…，αm 是K上线性空间V中的向量，则

    α1 ，α2 ，…，αm 线性相关的充分必要条件是其中至少有一个向量可以表示为其余向量的线性组合.

    证明 设α1 ，α2 ，…，αm 线性相关，则存在不全为零的一组数k1

    ，k2 ，…，km ，使k1 α1 +k2 α2 +…+km αm ＝0，其中有某个ki

    ≠0.于是

    αi ＝- k1 α1 -…- ki-1 αi-1 - ki+1 αi+1 -…-

    km αm ，即αi 是其余m-1个向量的线性组合.

    反过来，若

    αi ＝b1 α1 +…+bi-1 αi-1 +bi+1 αi+1 +…+bm αm ，则

    b1 α1 +…+bi-1 αi-1 +(-1)αi +bi+1 αi+1 +…+bm αm ＝

    0，即α1 ，α2 ，…，αm 线性相关.证毕.

    定理3.4.3 设α1 ，α2 ，…，αm ；β是K上线性空间V中的向

    量.已知β可表示为α1 ，α2 ，…，αm 的线性组合，即

    β＝k1 α1 +k2 α2 +…+km αm ，则表示唯一的充分必要条件是向量α1 ，α2 ，…，αm 线性无关.

    证明 假定向量α1 ，α2 ，…，αm 线性无关且另外有一个表示：

    β＝b1 α1 +b2 α2 +…+bm αm ，则将已知的两个表示式相减得到：

    (b1 -k1 )α1 +(b2 -k2 )α2 +…+(bm -km )αm ＝0.

    因为α1 ，α2 ，…，αm 线性无关，故b1 -k1 ＝0，b2 -k2 ＝0，…，bm -km ＝0，即b1 ＝k1 ，b2 ＝k2 ，…，bm ＝km .也就是说β只能用唯

    一一种方式表示为α1 ，α2 ，…，αm 的线性组合.

    反之，若向量α1 ，α2 ，…，αm 线性相关，即存在不全为零的数c1

    ，c2 ，…，cm ，使得

    c1 α1 +c2 α2 +…+cm αm ＝0，则除了已知的表示外，β还有另外一个不同的表示：β＝(k1 +c1 )α1 +(k2 +c2 )α2 +…+(km +cm )αm .

    证毕.

    注 由上述定理知道，方程式(3.4.2)或方程组(3.4.1)有唯一解

    的充分必要条件是向量组α1 ，α2 ，…，αn 线性无关.

    例3.4.1 设V是三维行向量空间，下列向量

    α1 ＝(1，0，1)，α2 ＝(-1，2，2)，α3 ＝(1，2，4)

    适合关系式

    2α1 +α2 -α3 ＝0，因此α1 ，α2 ，α3 线性相关.

    例3.4.2 设e1 ＝(1，0，…，0)，e2 ＝(0，1，…，0)，…，en ＝(0，0，…，1)是n个n维行向量(即n维标准单位行向量)，则它们

    必线性无关.

    证明 假定

    k1 e1 +k2 e2 +…+kn en ＝0，则(k1 ，k2 ，…，kn )＝0，因此k1 ＝k2 ＝…＝kn ＝0，这n个向量线

    性无关.证毕.

    注 对n维标准单位列向量也有同样的结论，即它们必线性无关.

    例3.4.3 设V是数域K上的线性空间，若S是只含一个向量α的向量

    组，则S线性相关的充分必要条件是α＝0.又若S是含有零向量的向量组，则S必线性相关.

    证明 从kα＝0及k≠0可推出α＝0，反之亦然.因此单个向量α线性

    相关的充分必要条件是α＝0.

    设0，α2 ，…，αm 是一个向量组，则

    1·0+0·α2 +…+0·αm ＝0，即这组向量线性相关.证毕.

    例3.4.4 若α＝(a1 ，a2 ，…，an )，β＝(b1 ，b2 ，…，bn)是两个n维行向量，则α，β线性相关的充分必要条件是ai ，bi 成比

    例.证明 假定α，β线性相关，则存在k1 ，k2 不全为零，使k1 α＝k2

    β，不妨假定k2 ≠0，令k＝k1 k2 ，则

    (ka1 ，ka2 ，…，kan )＝(b1 ，b2 ，…，bn ).

    因此kai ＝bi ，显然ai ，bi 成比例.

    反之，若kai ＝bi ，则若k＝0，则β＝0，由例3.4.3，α，β必线性

    相关.若k≠0，则kα-β＝0，α，β也线性相关.证毕.

    请读者思考下面两个问题：

    (1)在三维几何空间中，3个以原点为始点的向量线性相关、线性无

    关的几何意义是什么？在Descartes(笛卡儿)平面上，两个以原点为始点

    的向量线性相关的几何意义又是什么？在Descartes平面上，3个以原点为

    始点的向量是否一定线性相关？

    (2)我们先看下面的线性方程组：

    这个方程组的第三个方程式是多余的，因为它可以由第一个方程式乘以2加

    上第二个方程式得到.用向量的语言来说，就是方程组增广矩阵

    的第三个行向量可以表示为第一个和第二个行向量的线性组合.现假设有

    线性方程组(3.4.1)，其增广矩阵的行向量线性相关，你能得到什么结

    论？习 ......