服务电话：400-678-1009

    0

    数量关系

    讲师：李委明

    本课程由【资课网】提供，网址www.zikew.com 微信：2569960706 每日免费课程请登陆【资课网】服务电话：400-678-1009

    1

    目 录

    数学运算篇 ............................................................................................................... 3

    第01讲 课前知识 .......................................................................................... 3

    第02讲 直接代入 .......................................................................................... 3

    第03讲 直接倍数 .......................................................................................... 4

    第04讲 因子倍数 .......................................................................................... 4

    第05讲 比例倍数 .......................................................................................... 5

    第06讲 化归为一 .......................................................................................... 5

    第07讲 工程问题 .......................................................................................... 6

    第08讲 十字交叉 .......................................................................................... 7

    第09讲 极端思维 .......................................................................................... 8

    第10讲 基本方程 .......................................................................................... 9

    第11讲 不定方程(1)不定型 ....................................................................... 9

    第12讲 不定方程(2)确定型 ..................................................................... 10

    第13讲 不定方程(3)参数型 ..................................................................... 10

    第14讲 均值不等式..................................................................................... 11

    第15讲 等差数列 ........................................................................................ 11

    第16讲 容斥原理—两集合标准型 ................................................................ 12

    第17讲 容斥原理—两集合图示标数型 ......................................................... 12

    第18讲 容斥原理—三集合标准型 ................................................................ 13

    第19讲 容斥原理—三集合图示标数型 ......................................................... 13

    第20讲 容斥原理—三集合整体重复型 ......................................................... 14

    第21讲 排列组合 ........................................................................................ 14

    第22讲 概率问题 ........................................................................................ 15

    第23讲 抽屉原理 ........................................................................................ 16

    第24讲 比例问题 ........................................................................................ 16

    第25讲 溶液问题 ........................................................................................ 17

    第26讲 牛吃草............................................................................................ 17

    第27讲 循环周期 ........................................................................................ 19

    第28讲 基础行程 ........................................................................................ 19

    第29讲 比例行程 ........................................................................................ 20

    第30讲 几何问题—角度长度 ....................................................................... 20

    第31讲 几何问题—相似比例 ....................................................................... 22

    第32讲 几何问题—面积比例 ....................................................................... 22

    第33讲 几何行程 ........................................................................................ 23

    第34讲 循环比赛 ........................................................................................ 24

    第35讲 淘汰比赛 ........................................................................................ 24

    第36讲 年龄问题 ........................................................................................ 25

    第37讲 经济利润 ........................................................................................ 25

    数学运算例题答案............................................................................................ 27

    数字推理篇 ............................................................................................................. 28

    第01讲 数列概述 ........................................................................................ 28

    本课程由【资课网】提供，网址www.zikew.com 微信：2569960706 每日免费课程请登陆【资课网】服务电话：400-678-1009

    2

    第02讲 做差多级数列 ................................................................................. 29

    第03讲 商和多级数列 ................................................................................. 32

    第04讲 多重数列 ........................................................................................ 33

    第05讲 分数数列 ........................................................................................ 34

    第06讲 幂次数列 ........................................................................................ 37

    第07讲 递推数列整体趋势法....................................................................... 39

    第08讲 递推数列递推联系法....................................................................... 41

    第09讲 数列总结 ........................................................................................ 43

    数字推理例题答案............................................................................................ 43

    本课程由【资课网】提供，网址www.zikew.com 微信：2569960706 每日免费课程请登陆【资课网】服务电话：400-678-1009

    3

    数量关系

    数学运算篇

    第 01 讲 课前知识

    · 课前预备

    · 课程结构

    · 备考要点

    · 复习节奏

    第 02 讲 直接代入

    要点提示

    数学运算试题都是四选一的客观单项选择题，将选项直接代入进行验证，显然是一种

    准确、高效并且易于操作的重要方法。 很多试题，正面求解相当困难，但结合选项来看却

    相当容易。“答案选项”永远是整个试题的有机组成部分，孤立地看题干而忽略选项是考

    生答题时最大的误区之一。

    “直接代入法”广泛运用于多位数问题、不定方程问题、同余问题、年龄问题、周期

    问题、复杂行程问题、和差倍比问题等等。这种方法不仅可以单独使用达到一招制胜的效

    果，还可以与其它方法进行结合使用。

    【例1】(吉林2016甲-93)已知赵先生的年龄是钱先生年龄的2倍，钱先生比孙先生

    小7岁，三位先生的年龄之和是小于70的素数，且素数的各位数字之和为13，那么，赵、钱、孙三位先生的年龄分别为( )。

    A. 30岁，15岁，22岁 B. 36岁，18岁，13岁

    C. 28岁，14岁，25岁 D. 14岁，7岁，46岁

    【例2】(广东2016-31)大型体育竞赛开幕式需要列队，共10排。导演安排演员总数

    的一半多一个在第一排，安排剩下演员人数的一半多一个在第2排……依次类推。如果在第

    10排恰好将演员排完，那么参与排队列的演员共有( )名。

    A. 2000 B. 2008 C. 2012 D. 2046

    本课程由【资课网】提供，网址www.zikew.com 微信：2569960706 每日免费课程请登陆【资课网】服务电话：400-678-1009

    4

    第 03 讲 直接倍数

    要点提示

    “倍数特性法”是一种特殊的“代入排除法”，也是代入排除法中最重要的内容。这

    种方法通过正确答案所应该满足的某种倍数特性来直接锁定答案。熟练运用本方法最关

    键的要点，就是牢牢掌握各种倍数关系的性质和判定方法。

    ①2、4、8 整除及余数判定基本法则

    1. 一个数能被2(或 5)整除，当且仅当其末一位数能被2(或 5)整除；

    2. 一个数能被4(或 25)整除，当且仅当其末两位数能被4(或 25)整除；

    3. 一个数能被8(或125)整除，当且仅当其末三位数能被8(或125)整除。

    ②3、9 整除及余数判定基本法则

    1. 一个数能被3整除，当且仅当其各位数字和能被3整除；

    2. 一个数能被9整除，当且仅当其各位数字和能被9整除。

    ③7 整除判定基本法则

    1. 一个数是7的倍数，当且仅当其末一位的两倍，与剩下的数之差为7的倍数；

    2. 一个数是7的倍数，当且仅当其末三位数，与剩下的数之差为7的倍数。

    【示例】∵362末一位“2”的2倍与“36”差“32”不能被7整除 ∴362不能被7整除

    【示例】∵12047末三位“047”与“12”差“35”能被7整除 ∴12047能被7整除

    ④11 整除判定基本法则

    1. 一个数是11的倍数，当且仅当其奇数位之和与偶数位之和做的差为11的倍数；

    【示例】∵7394奇数位之和“7+9＝16”与偶数位之和“3+4＝7”做的差“16-7＝9”不是

    11的倍数 ∴7394不能被11整除

    【例1】(黑龙江2015-58)小李某月请了连续5天的年假，这5天的日期数字相乘为

    7893600，问他最后一天年假的日期是( )。

    A. 25日 B. 26日 C. 27日 D. 28日

    【例2】(2011年424联考-43)某单位招录了10名新员工，按其应聘成绩排名1到

    10，并用10个连续的四位自然数依次作为他们的工号。凑巧的是每个人的工号都能被他们

    的成绩排名整除，问排名第三的员工工号所有数字之和可能是多少?( )

    A. 9 B. 12 C. 15 D. 18

    第 04 讲 因子倍数

    要点提示

    在乘法运算中，如果涉及“小数”，那么2和5的因子可能会随着乘法而消失，而其

    它的因子，譬如3、7、9、11、13等不会因为乘法而消失。

    【例1】(陕西2013-81)学校组织学生举行献爱心捐款活动，某年级共有3个班，甲班

    捐款数是另外两个班捐款总数的25，乙班捐款数是丙班的1.2倍，丙班捐款数比甲班多300

    元，则这三个班一共捐款( )元。

    A.6000 B.6600 C.7000 D.7700

    本课程由【资课网】提供，网址www.zikew.com 微信：2569960706 每日免费课程请登陆【资课网】服务电话：400-678-1009

    5

    【例2】(天津2014-10)王明抄写一份报告，如果每分钟抄写30个字，则用若干小时

    可以抄完。当抄完25时，将工作效率提高40%，结果比原计划提前半小时完成。问这份报

    告共有多少字？( )

    A.6025 B.7200 C.7250 D.5250

    第 05 讲 比例倍数

    要点提示

    若

    : : ( , ) a b m n m n ? 互质

    ，则说明a占m份，是m的倍数；

    b

    占n份，是n的倍

    数；a+b占m+n份，是m+n的倍数；a-b占m-n份，是m-n的倍数。

    【例1】(上海2015A-71)公司四名促销员某月共推销新产品100件，甲与丁共推销64

    件，甲与乙推销量的比例为5∶3，丙与丁推销量的比例为1∶2，则甲该月推销了( )件。

    A. 20 B. 28 C. 38 D. 40

    【例2】(北京2015-84)甲、乙两个班各有40多名学生，男女生比例甲班为5：6，乙

    班为5：4。则这两个班的男生人数之和比女生人数之和( )？

    A.多1人 B.多2人 C.少1人 D.少2人

    第 06 讲 化归为一

    要点提示

    如果试题当中没有涉及到某个具体量的大小，并且这个具体量的大小并不影响最终

    结果的时候，我们可以使用 “化归为一法”，将这个量设为某一个利于计算的数值，从而

    简化计算。这种方法又被为“设1法”或者“设1思想”。

    我们一般可能在工程问题、混合配比问题、加权平均问题、流水行船问题、往返行程

    问题、几何问题、经济利润问题、和差倍比问题等等诸多问题当中使用“化归为一法”。

    在“化归为一法”中，我们一般都不设之为“1”，而是设之为“其中某些量的公倍数”，从而避免分数，简化计算。

    【例1】(陕西2015-66)现有若干支铅笔，若只平均分给一年级一班的女生，每名女生

    可以得到15支，若只平均分给该班的男生，每名男生可以得到10支。现将这些铅笔平均分

    给该班的所有同学，则每名同学可以得到( )支铅笔。

    A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

    E. 8 F. 9 G. 10 H. 11

    【例2】(河北2015-65)某公司年终获利颇丰，公司董事会讨论决定拿出30万元重奖

    贡献突出的三位职工，原计划按职务的高低以4:3:2的比例为甲，乙，丙分配奖金，后公司

    董事会采纳了职工建议，按实际对公司的贡献大小以5:4:3的比例为甲，乙，丙分配奖金。

    本课程由【资课网】提供，网址www.zikew.com 微信：2569960706 每日免费课程请登陆【资课网】服务电话：400-678-1009

    6

    前后两个方案中奖金减少的职工是哪个？

    A. 职工甲 B. 职工乙 C. 职工丙 D. 三人均无变化

    【例3】(国考2016-63) 某单位组建兴趣小组，每人选择一项参加，羽毛球组人数是乒

    乓球组人数的2倍，足球组人数是篮球组人数的3倍，乒乓球组人数的4倍与其他3个组的

    人数的和相等。则羽毛球组人数等于：

    A. 足球组人数与篮球组人数之和 B. 乒乓球组人数与足球组人数之和

    C. 足球组人数的1.5倍 D. 篮球组人数的3倍

    核心提示

    使用“化归为一法”时，大家最大的困惑是：什么样的量可以随便设，什么样的量不

    行？总的来说，当某类量的大小在题目中无关重要时，便可以随便设为一个方便计算的

    数字，这样的量一般需要满足两个条件：

    1.这类量在题目中没有提及具体数字大小；

    2.这类量也不能通过其他有具体数字大小的量计算得到。

    上面两个条件非常抽象，我举个例子就简单了。譬如在行程问题中，我想假设某人

    的速度为1，那么就必须依次满足两个条件：

    1.题目中没有提及任何速度的具体数字大小；

    2.题目中也没有同时提及路程和时间的具体数字大小，因为知道了这两类量，是可

    以计算出速度具体大小的。

    当题目中只有路程或者时间有具体大小时，我们假设一个速度为1或者其他数字，就不会影响结果。同理，在经济利润问题中，如果题目中只有单价的具体数字大小，没有

    件数和总价的具体数字大小，那么我们可以假设某个件数为1，或者假设总价为1，但不

    能同时做这两件事情。

    第 07 讲 工程问题

    要点提示

    工程问题研究工作量和工作时间、工作效率之间的关系，是近年来考题中最重要、最

    常考的重点题型之一。

    基础公式：工作量=工作时间?工作效率；

    核心思想：化归为一法(设“1”法、赋值法)。

    【例1】(上海2015B-74)一游泳池有进出水管各一根。单独开放进水管20分钟可注满

    全池，单独开放出水管40分钟可放空满池水。一次注水2分钟后发现出水管并未关闭，及

    时关闭出水管后继续注水。那么再需( )分钟可注满游泳池。

    A. 18 B. 18.5 C. 19 D. 20

    【例2】(陕西2016-63) A工程队的效率是B工程队的2倍，某工程交给两队共同完成

    需要9天，如果两队的工作效率均提高一倍，且B队中途休息了1天，问要保证工程按原来

    的时间完成，A队中途最多可以休息几天？( )

    本课程由【资课网】提供，网址www.zikew.com 微信：2569960706 每日免费课程请登陆【资课网】服务电话：400-678-1009

    7

    A. 8 B. 7 C. 6 D. 5

    E. 4 F. 3 G. 2 H. 1

    【例3】(北京2017-83)某检修工作由李和王二人负责，两人如一同工作4天，剩下工

    作量李需要6天，或王需要3天完成。现李和王共同工作了5天，则剩下的工作李单独检修

    还需几天完成？

    A.2 B.3 C.4 D.5

    第 08 讲 十字交叉

    要点提示

    “十字交叉法” 实际上是一种简化方程的形式，凡是符合下图左边方程的形式，都可

    以用右边的“十字交叉”的形式来简化：

    A r b

    Aa Bb A B r

    B a r

    ·

    · ? ? ? ? ? ?

    A:

    B:

    a

    b

    r

    a-r

    r-b

    è

    A

    B

    =

    a-r

    r-b

    很多考生疑惑哪种题型可以使用十字交叉法，并且不知道得到的比例是哪两个量的

    比例，这时，可以列出上面形式的式子来判断。当然这是平时就要积累的，如果考场之上

    无法判断的话，就不建议使用这种方法，直接列方程更快更准确。

    【例1】(广州2016-26)某单位为全体员工进行体检，平均体重是57.5公斤。其中，男员工的平均体重是62.5公斤，女员工的平均体重是55.5公斤。则该单位的男、女员工人

    数比为( )。

    A. 2∶5 B. 2∶7 C. 7∶2 D. 5∶2

    【例2】(陕西2016-65)甲、乙两个相同的杯子中分别装满了浓度为20%和30%的两种

    溶液。将甲杯中倒出一半溶液，用乙杯中的溶液将甲杯加满混合，然后再将已经加满的甲杯

    中的溶液全部倒入一杯清水中且未溢出，溶液浓度变为20%。若该溶液密度与水完全相同，问原甲杯中溶液的质量是这杯清水质量的多少倍？( )

    A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

    E. 5 F. 6 G. 7 H. 8

    【例3】(春联2016-43)某高校艺术学院分音乐系和美术系两个系别，已知学院男生人

    数占总人数的30%，且音乐系男女生人数之比为1∶3，美术系男女生人数之比为2∶3，问

    音乐系和美术系的总人数之比为多少？( )

    A. 5∶2 B. 5∶1 C. 3∶1 D. 2∶1

    本课程由【资课网】提供，网址www.zikew.com 微信：2569960706 每日免费课程请登陆【资课网】服务电话：400-678-1009

    8

    第 09 讲 极端思维

    要点提示

    “极端思维”是我们日常生活、学习和工作当中普遍运用的思维方式，也是近年来考

    题的一大热点内容，大量相关考题出现在近年的试卷当中，各位考生务必对此引起足够的

    重视。

    当试题当中出现了“至多”、“至少”、“最多”、“最少”、“最大”、“最小”、“最快” 、“最慢”、“最高”、“最低”等字样时，我们通常需要考虑“极端思维法”。我们需要分析

    题意，构造出满足题意要求的最极端的情形，所以从本质上来讲，极端思维也是一种“构

    造设定法”。

    【例1】(广东A2015-26) 在一次抽奖活动中，要把18个奖品分成数量不等的4份各自

    放进不同的抽奖箱。则一个抽奖箱最多可以放( )个奖品。

    A. 6 B. 8 C. 12 D. 15

    【例2】(陕西2015-73)植树节到来之际， 120人参加义务植树活动，共分成人数不等

    且每组不少于10 人的六个小组，每人只能参加一个小组，则参加人数第二多的组最多有

    ( )人。

    A. 32 B. 33 C. 34 D. 35

    E. 36 F. 37 G. 38 H. 39

    【例3】(国考2016-66) 某集团三个分公司共同举行技能大赛，其中成绩靠前的X人获

    奖。如获奖人数最多的分公司获奖的人数为Y，问以下哪个图形能反映Y的上、下限分别与

    X的关系？( )

    A. B.

    C. D.

    本课程由【资课网】提供，网址www.zikew.com 微信：2569960706 每日免费课程请登陆【资课网】服务电话：400-678-1009

    9

    第 10 讲 基本方程

    要点提示

    方程与方程组，是解答文字应用题的重要工具。尽管数学运算的很多试题不需要也

    不应该使用方程的方法来解答，因为那样可能会耗去大量的精力，但仍然有着相当一大

    部分问题，采用方程法才是最简单的。如果论及数学运算“第一重要的方法”，“方程法”

    当之无愧。

    数学运算的大部分题型，都可以使用“方程法”来解答。其中，“盈亏问题”、“鸡兔

    同笼问题”、“和差倍比问题”和“牛吃草问题”一般都应该使用“方程法”；除此之外，“经济利润问题”、“浓度问题”、“年龄问题”、“行程问题”、“等差数列”、“平均数问题”、“容斥问题”、“工程问题”等等题型当中的相当一部分试题也需要利用方程来求解。

    【例1】(国考2014-70) 8位大学生打算合资创业，在筹资阶段，有2名同学决定考研

    而退出，使得剩余同学每人需要再多筹资1万元；等到去注册时，又有2名同学因找到合适

    工作而退出，那么剩下的同学每人又得再多筹资几万元？( )

    A. 3 B. 4 C. 1 D. 2

    核心提示

    设未知数的时候，应该首先考虑未知数设出来要便于理解，便于表示其它量，便于

    列出方程。在某些情况下，不一定要直接设所求量，也可以设中间量为 x，还可以设某种

    倍数关系(如12x、5x等)的未知数，以消除方程当中的分数形式。

    【例2】甲、乙、丙、丁共有48本书，若在他们原有基础上做如下变动：甲增加3本，乙减少3本，丙增加到原来的3倍，丁减少为原来的13，此时四人的书一样多，则原有书

    本最多的人有( )本书。

    A.18 B.24 C.27 D.36

    核心提示

    在求解较复杂方程组的时候(特别是在对称未知数的情形下)，往往需要我们进行“整

    体代换”，以提高解方程的效率和速度。

    【例3】(陕西2015-69)若销售团队有5个人，每个人把其他四个人的年龄相加，所得

    到的和分别为95，102，100，99，104，则这五个人中年龄最大的人为( )岁。

    A. 25 B. 26 C. 27 D. 28

    E. 29 F. 30 G. 31 H. 32

    第 11 讲 不定方程(1)不定型

    要点提示

    在方程组中，方程的个数如果少于未知数的个数，并且没有譬如“正整数”之类的限

    本课程由【资课网】提供，网址www.zikew.com 微信：2569960706 每日免费课程请登陆【资课网】服务电话：400-678-1009

    10

    制，说明未知数是不能完全确定下来的。在这种情形下，我们一般可以直接设定一种最特

    殊的情况，从而简化计算过程。

    【例1】(江苏2016B-62)若买6个订书机、 4个计算器和6个文件夹共需504元，买3

    个订书机、 1个计算器和3个文件夹共需207元，则购买订书机、计算器和文件夹各5个所

    需的费用是( )。

    A. 465元 B. 475元 C. 485元 D. 495元

    【例2】(春联2016-46)木匠加工2张桌子和4张凳子共需要10个小时，加工4张桌

    子和8张椅子需要22个小时。问如果他加工桌子、凳子和椅子各10张，共需要多少个小

    时？( )

    A. 47. 5 B. 50 C. 52. 5 D. 55

    第 12 讲 不定方程(2)确定型

    要点提示

    如果两个未知数只有一个方程关系(或者是方程组化成这种形式)，这两个未知数是

    不能完成确定下来的。但如果附加一定的条件(譬如正整数)，解可能就唯一确定了。

    做题关键：1、代入；2、正负；3、奇偶；4、倍数。

    【例1】(江苏2015A-32)设a，b均为正整数，且有等式11a+7b＝132成立，则a的

    值为？( )

    A. 6 B. 4 C. 3 D. 5

    【例2】(广州2016-28)植树节当天，某学校的两个班自发组织了一些人去植树。甲班

    每人植树3棵，乙班每人植树5棵，两个班共植树115棵。那么，两班植树人数之和最多为

    ( )人。

    A. 36 B. 37 C. 38 D. 39

    第 13 讲 不定方程(3)参数型

    要点提示

    有一类不定方程组(一般是三个未知数，两个方程)，方程组的解确实是不确定的，但题目并不关心未知量的具体大小，而是关心其范围，譬如问“最多”或“最少”是多少。

    这时候我们往往可以将其中的一个未知数看成已知(即看成参数)，把其他的未知数用这

    个参数来表示，从而确定范围。

    如果某个未知数在题干中就有确定的范围，那么可以将这个未知数看成参数；否则，可以将题目关心的那个未知数看成参数。

    【例1】(重庆2016下-68)足球比赛的积分规则为：胜一场积3分，平一场积1分，输一场积0分。某球队共进行了8场比赛，积10分。假设该球队最多输2场，则其最多胜

    ( )。

    本课程由【资课网】提供，网址www.zikew.com 微信：2569960706 每日免费课程请登陆【资课网】服务电话：400-678-1009

    11

    A.1场 B.2场 C.3场 D.4场

    【例2】(江苏2016B-66)某学校举办知识竞赛，共设50道选择题，评分标准是：答对

    1题得3分，答错1题扣1分，不答的题得0分。若王同学最终得95分，则他答错的选择

    题最多有( )。

    A. 12道 B. 13道 C. 14道 D. 15道

    第 14 讲 均值不等式

    核心提示

    均值不等式法：

    2 a b ab ??

    ，

    ab ￡ (

    a + b

    2)

    2

    ，

    abc ￡ (

    a + b+ c

    3)

    3

    ，各数相等时取等号。

    【例1】(陕西2016-66)某种商品原价25元，成本为15元，每天可销售20个。现在

    每降价1元就可以多卖5个，为获得最大利润，需要按照多少元来卖？( )

    A.23 B. 22 C.21 D. 20

    E.19 F. 18 G.17 H. 16

    【例2】(重庆2016下-67)某粮油店只有一台不等臂的天平和一个5千克的砝码。顾

    客要买10千克大米，店员先将砝码放在左盘，大米放在右盘，平衡后将称得的大米给顾客；

    再将砝码放在右盘，大米放在左盘，平衡后又将第二次称得的大米给顾客。请问这种做法对

    谁更有利？( )

    A.顾客 B.店主 C.都一样 D.不确定

    【例3】(四川2013-55)某报刊以每本2元价格发行，可发行10万份，若该报刊单价

    提高0.2元，发行量减少5000份，则该报刊可能的最大销售收入为多少万元? ( )

    A.24 B.23.5 C.23 D.22.5

    第 15 讲 等差数列

    要点提示

    等差数列求和公式：和＝(首项+末项)×项数÷2＝平均数×项数＝中位数×项数

    等差数列项数公式：项数＝(末项-首项)÷公差+1

    【例1】(江苏2015A-31)已知一等差数列：a1，21，a2，31，...,an，若an=516，则该

    数列前n项的平均数是( )

    A. 266 B. 258 C. 255 D. 212

    【例2】(上海2015A-75)国际象棋棋盘为64方格，用铅笔从第一格开始填写1，第二

    格填写2，第三格填写3，以此类推至64，然后用橡皮将所有能被3整除的数全部擦掉，则

    本课程由【资课网】提供，网址www.zikew.com 微信：2569960706 每日免费课程请登陆【资课网】服务电话：400-678-1009

    12

    所剩数字的总和是( )。

    A. 2408 B. 1387 C. 1408 D. 1487

    【例3】(河南2015-60)论文集中收录了一篇十多页的论文，其所在各项的所有页码之

    和为1023，问这篇论文之后的一篇论文是从第几页开始的？( )

    A. 94 B. 99 C. 102 D. 109

    第 16 讲 容斥原理—两集合标准型

    要点提示

    对于两集合的容斥原理题，如果题目涉及的是这样五个量①满足条件A的数目②满

    足条件B的数目③同时满足条件A和B的数目④条件A、 B都不满足的数目⑤总数，那么

    选用“两集合标准型”的标准公式作答。公式如下：

    满足A+满足B-都满足=总数-都不满足

    【例1】(河北2014-51)某班有60人，参加物理竞赛的有30人，参加数学竞赛的有32

    人，两科都没有参加的有20人。同时参加物理、数学两科竞赛的有多少人？( )

    A.28人 B.26人 C.24人 D.22人

    【例2】(浙江2013-54)某班对50名学生进行体检，有20人近视，12人超重， 4人既

    近视又超重，该班有多少人既不近视又不超重？( )

    A. 22人 B. 24人 C. 26人 D. 28人

    【例3】(春季联考2015-72)野生动物保护机构考查某圈养动物的状态，在n(n为正

    整数)天中观察到：①有7个不活跃日(一天中有出现不活跃的情况)；②有5个下午活跃；

    ③有6个上午活跃；④当下午不活跃时，上午必活跃。则n等于( )

    A.7 B.8 C.9 D.10

    第 17 讲 容斥原理—两集合图示标数型

    要点提示

    涉及到两个集合的容斥原理问题时，如果题目提及“只满足某1个条件”的数目，那

    么我们无法通过标准的两集合容斥原理公式得到答案。这时，推荐大家利用简洁的“文氏

    图”标数得到所求结果。

    图示标数的关键是：从最中间“两个条件都满足”的数字入手。

    【例1】(北京2013-73)一批游客中每人都去了A、B两个景点中至少一个。只去了A

    的游客和没去A的游客数量相当，且两者之和是两个景点都去了的人数的3倍。则只去一个

    景点的人数占游客总人数的比重为( )

    A. 23 B. 34 C. 45 D. 56

    本课程由【资课网】提供，网址www.zikew.com 微信：2569960706 每日免费课程请登陆【资课网】服务电话：400-678-1009

    13

    【例2】(国考2014-67)工厂组织职工参加周末公益活动，有80%的职工报名参加，报

    名参加周六活动的人数与报名参加周日活动的人数比为2： 1，两天的活动都报名参加的人

    数为只报名参加周日活动的人数的50%。问未报名参加活动的人数是只报名参加周六活动的

    人数的( )

    A. 20% B. 30% C. 40% D. 50%

    第 18 讲 容斥原理—三集合标准型

    要点提示

    对于三集合的容斥原理题，关于满足两个条件的描述，如果题目只涉及①满足条件A、B的数目②满足条件B、C的数目③满足条件C、A的数目，一般选用“三集合标准型”的

    标准公式作答；

    特别注意：上式左边代表至少满足三个条件之一的情况，也等于总数减去三个条件都

    不满足的情况。

    【例1】(安徽2011-15)如图所示：A、B、C分别是面积为60、170、150的三张不同形状的卡片，它们部分重叠放在一起盖在桌面上，总共盖住

    的面积为280，且A与B、B与C、C与A重叠部分的面积分别是22、60、35。问阴影部分的面积是多少？( )

    A.15 B.16 C.17 D.18

    【例2】(2012年421联考-54)某公司招聘员工，按规定每人至多可投考两个职位，结果共42人报名，甲、乙、丙三个职位报名人数分别是22人、16人、25人，其中同时报

    甲、乙职位的人数为8人，同时报甲、丙职位的人数为6人，那么同时报乙、丙职位的人数

    为( )

    A. 7人 B. 8人 C. 5人 D. 6人

    第 19 讲 容斥原理—三集合图示标数型

    要点提示

    对于三集合的容斥原理题，当题目条件不能直接代入标准公式时(一般会涉及“只满

    足某A的数目”或者“只满足A、B的数目”)，我们可以考虑利用图示配合，标数解答。

    1.特别注意“满足某条件”和“仅满足某条件”的区分；

    2.特别注意有没有“三个条件都不满足”的情形；

    3.标数时，注意由中间向外围标记。

    【例1】外语学校有英语、法语、日语教师共27人，其中只能教英语的有8人，只能

    教日语的有6人，能教英、日语的有5人，能教法、日语的有3人，能教英、法语的有4人，三种都能教的有2人，则只能教法语的有多少人( )

    A.4人 B.5人 C.6人 D.7人

    本课程由【资课网】提供，网址www.zikew.com 微信：2569960706 每日免费课程请登陆【资课网】服务电话：400-678-1009

    14

    【例2】(春季联考2015-69)有135人参加某单位的招聘， 31人有英语证书和普通话证

    书， 37人有英语证书和计算机证书， 16人有普通话证书和计算机证书，其中一部分人有三

    种证书，而一部分人则只有一种证书。该单位要求必须至少有两种上述证书的应聘者才有资

    格参加面试。问至少有多少人不能参加面试？( )

    A.51 B.50 C.53 D.52

    第 20 讲 容斥原理—三集合整体重复型

    要点提示

    对于三集合的容斥原理题， 如果题目涉及“满足一个条件的数目”和“满足两个条件

    的数目”，只给了我们一个总数而不是分项的数字，一般选用“三集合整体重复型”的公

    式来作答。

    假设满足三个条件的元素数量分别为A、B、C，而至少满足三

    个条件之一的元素的总量为W。其中：满足一个条件的元素数量为

    x，满足两个条件的元素数量为y，满足三个条件的元素数量为z，根

    据右图可以得到下面两个等式：

    1 2 3

    W x y z

    A B C x y z

    · ? ? ?

    ·

    · ? ? ? ? ? ? ? ?

    从图中很明显可以看出，x和y都分别包含3个部分，是这3个部分的总和。因此，当题目关心的是这样的总和，而不是各个单独部分数值时，往往就应该用这两个公式。

    本题型，是现在容斥原理的难点、重点和常考点。

    【例1】(广东2015A-31)某乡镇举行运动会，共有长跑、跳远和短跑三个工项目。参

    加长跑的有49人，参加跳远的有36人，参加短跑的有28人，只参加其中两个项目的有13

    人，参加全部项目的有9人。那么参加该次运动会的总人数为( )。

    A. 75 B. 82 C. 88 D. 95

    【例2】(黑龙江2015-66)工厂组织工人参加技能培训，参加车工培训的有17人，参

    加钳工培训的有16人，参加铸工培训的有14人，参加两项及以上培训的人占参加培训总人

    数的23，三项培训都参加的有2人，问总共有多少人参加了培训？( )

    A.24 B.27 C.30 D.33

    第 21 讲 排列组合

    要点提示

    排列公式：

    An

    m

    =

    n!

    (n -m)!

    = n′(n -1)′(n - 2)′ ′(n -m+1)

    A C

    B

    本课程由【资课网】提供，网址www.zikew.com 微信：2569960706 每日免费课程请登陆【资课网】服务电话：400-678-1009

    15

    组合公式：

    Cn

    m

    =

    n!

    (n -m)!′m!

    =

    n′(n -1)′(n - 2)′ ′(n -m+1)

    m′(m-1)′(m- 2)′ ′1

    逆向公式：满足条件的情况数＝总情况数-不满足条件的情况数

    【例1】(吉林甲级2015-94)“我是歌手”某场比赛由六名首发歌手和一名踢馆歌手抽

    签决定出场顺序，且规定第一位出场和第七位出场歌手由踢馆歌手和上一场比赛第一名歌手

    抽取，剩余出场顺序由其他歌手抽取，则本场比赛出场顺序的排列共有多少种情况？( )

    A.10080 B.120 C.240 D.6000

    【例2】(新疆兵团2015-39)将2名教师，4名学生分成2个小组，去甲乙两座城市参

    加数学建模比赛，每个小组都要包含1名教师和2名学生，问不同的安排方法共有几种？

    ( )

    A. 6 B. 12 C. 18 D. 24

    【例3】(江苏2015B-37)某单位欲将甲、乙、丙、丁4名大学生分配到3个不同的岗

    位实习，若每个岗位至少分到1名大学生，且甲、乙两人被分在不同岗位，则不同的分配方

    法共有？( )

    A.30种 B.36种 C.60种 D.72种

    第 22 讲 概率问题

    要点提示

    1.基本公式：概率＝满足条件的情况数÷总的情况数。

    2.分步公式：分步概率＝满足条件的每个步骤概率之积。

    3.分类公式：总体概率＝满足条件的各种情况概率之和。

    4.逆向公式：某条件成立概率＝1-该条件不成立的概率；

    【例1】(广州2015-49)某种福利彩票有二处刮奖区，刮开刮奖区会显示数字1、2、3、4、5、6、7、8、 9、 0中的一个，当二处刮奖区所显示数字之和等于8时才为中奖，则

    这种福利彩票的中奖概率为( )

    A. 110 B. 9100 C. 225 D. 11100

    【例2】 (山东2015-54)亲子班上5对母子坐成一圈，孩子都挨着自己的母亲就坐，问

    所有孩子均不相邻的概率在以下哪个范围内？( )

    A. 小于5% B. 5%-10% C. 10%-15% D. 大于15%

    【例3】(河南2015-58)甲、乙两名实力相当(因每一局两人中任意一人获胜的概率相

    同)的棋手进行7局4胜制的比赛，前3局赛完后，甲以2： 1领先于乙，那么甲获胜的概率

    是多少？( )

    A. 23 B. 34 C. 58 D. 1116

    本课程由【资课网】提供，网址www.zikew.com 微信：2569960706 每日免费课程请登陆【资课网】服务电话：400-678-1009

    16

    【例4】(黑龙江2014-1)从装有4个红球， 4个白球的袋中任取4个球，则所取的4个

    球中包括两种不同颜色的球的概率是( )

    A.3335 B.3435 C.6970 D.78

    第 23 讲 抽屉原理

    要点提示

    运用“最不利原理”，考虑题目要求的“最不利情形”，然后+1即可。

    【例1】(河北2015-70)有软件设计专业学生90人，市场营销专业学生80人，财务管

    理专业学生20人，及人力资源管理专业学生16人参加求职招聘会，问至少有多少人找到工

    作就一定保证有30名找到工作的人专业相同？( )

    A. 59 B. 75 C. 79 D. 95

    【例2】(北京2014-82)某单位五个处室分别有职工5、8、18、21和22人，现有一项

    工作要从该单位随机抽调若干人，问至少要抽调多少人，才能保证抽调的人中一定有两个处

    室的人数和超过15人？( )

    A. 34 B. 35 C. 36 D. 37

    第 24 讲 比例问题

    要点提示

    按照比例进行计算。

    【例1】(国考2016-61)某电器工作功耗为370瓦，待机状态下功耗为37瓦，该电器

    周一从9:30到17:00处于工作状态，其余时间断电。周二从9:00到24： 00处于待机状态，其余时间断电，问其周一的耗电量是周二的多少倍？( )

    A.10 B.6 C.8 D.5

    【例2】(春季联考2015-68) 一只挂钟的秒针长30厘米，分针长20厘米，当秒针的顶

    点走过的弧长约为9.42米时，分针的顶点约走过的弧长为多少厘米？( )

    A.6.98 B.10.47 C.15.70 D.23.55

    【例3】(河南2015-54)甲、乙两个小分队的人数之和在90到110之间，如果从甲队

    调一定人数给乙队，则乙队的人数就是甲队的2倍；如果乙队调同样的人数给甲队，则甲队

    的人数就是乙队的3倍。问甲队调多少人给乙队之后，乙队的人数是甲队的 5倍？( )

    A. 18 B. 24 C. 30 D. 36

    本课程由【资课网】提供，网址www.zikew.com 微信：2569960706 每日免费课程请登陆【资课网】服务电话：400-678-1009

    17

    第 25 讲 溶液问题

    要点提示

    溶液＝溶质+溶剂；

    浓度＝溶质÷溶液；

    溶质＝溶液×浓度；

    溶液＝溶质÷浓度。

    【例1】(北京2016-72)将1千克浓度为X的酒精，与2千克浓度为 20%的酒精混合

    后，浓度变为0.6X。则X的值为( )。

    A. 50% B. 48% C. 45% D. 40%

    【例2】(江苏2016B-61)有两瓶质量均为100克且浓度相同的盐溶液，在一瓶中加入

    20克水，在另一瓶中加入50克浓度为30%的盐溶液后，它们的浓度仍然相等，则这两瓶盐

    溶液原来的浓度是( )。

    A. 36% B. 64% C. 50% D. 60%

    【例3】(北京2017-82)某种鸡尾酒的酒精浓度为20%，由A种酒、B种酒和酒精浓度

    (酒精重量÷酒水总重量)10%的C种酒按1∶3∶1的比例(重量比)调制成。已知B种酒

    的酒精浓度是A种酒的一半，则A种酒的酒精浓度是( )

    A.36% B.30% C.24% D.18%

    第 26 讲 牛吃草

    “表格法”解题方法点津

    表格法解牛吃草问题，本质上是用方程的方法的一种简化形式，其操作的过程实际上

    就是原来解方程组的过程。

    下面我们介绍一下表格各个位置数字的含义：

    N3 N3-x T3

    N1 N1-x T1 N1×T1

    N2 N2-x T2 N2×T2

    x=右两项之商 上两项之差 上两项之差

    上面第一列代表牛吃草问题的“牛数”(字母N表示)，第三列代表“时间”(字母T

    表示)。对于基础型的“牛吃草问题”，“表格法”具体操作步骤是这样的：

    1.把上面表格中带框的5个数字按照题目条件填进去，注意四个细节

    · 说是“列表法”，实际考试的时候不一定要画出表格来，按照表格位置写数字

    就行；

    · 第一列填“牛数”，第三列填“时间”，中间空出一列来；

    · 已知的两种情况填在第二、三行，未知的需要求解的那种情况填在第一行；

    · 未知的第一行中，还可能是N3未知，而T3已知，那么就在T3的位置填上其数

    字，而将N3的位置空出来。

    本课程由【资课网】提供，网址www.zikew.com 微信：2569960706 每日免费课程请登陆【资课网】服务电话：400-678-1009

    18

    2.将第二、三行已经的四个数字两两对应相乘，放在第四列，如上表所示；

    3.将上一步得到的两个数字相减，放在第四列最后一行，再将第三列两个已知的时间

    相减，放在第三列的最后一行，如上表所示；

    4.将上一步得到的两个数字相除，用第四列数字除以第三列数字，放在第二列的最后

    一行，这个数字就是x，代表“草长速度”；

    5.将第一列的三个“牛数”都减去x，放在第二列相应位置，这时，前三行的第二、三列相乘应该是一样的数值，即“(N3-x)×T3=(N1-x)×T1=(N2-x)×T2=y”，而这个数值不是别

    的，正是“原有草量”，利用这个条件便可以求出我们需要的变量。

    【例1】(河北2014-53)有一个水池，池底不断有泉水涌出，且每小时涌出的水量相同。

    现要把水池里的水抽干，若用5台抽水机40小时可以抽完，若用10台抽水机15小时可以

    抽完。现在用14台抽水机，多少小时可以把水抽完？( )

    A.10小时 B.9小时 C.8小时 D.7小时

    【例2】一只船发现漏水时，已经进了一些水，水匀速进入船内，如果10人掏水， 3小

    时掏完；如5人掏水，8小时掏完。如果要求2小时掏完，要安排多少人掏水？( )

    A.11 B.12 C.13 D.14

    【例3】 (国家2013-68) 某河段中的沉积河沙可供80人连续开采6个月或60人连续

    开采10个月。如果要保证该河段河沙不被开采枯竭，问最多可供多少人进行连续不间断的

    开采？(假定该河段河沙沉积的速度相对稳定) ( )

    A. 25 B. 30 C. 35 D. 40

    【例4】 (贵州2012-44) 由于天气干旱，村委会决定用抽水机抽取水库中剩余的水浇

    灌农田。假如每天水库的水以均匀的速度蒸发，经计算，若用20台抽水机全力抽水，水库

    中水可用5周；若用16台抽水机，水库中水可用6周；若用11台抽水机，水库中的水可用

    多少周？( )

    A. 7 B. 8 C. 9 D. 11

    【例5】(联考春2014-51) 药厂使用电动研磨器将一批晒干的中药磨成药粉。厂长决定

    从上午10点开始，增加若干台手动研磨器进行辅助作业。他估算如果增加2台，可在晚上

    8点完成，如果增加8台，可在下午6点完成。问如果希望在下午3点完成，需要增加多少

    台手工研磨器? ( )

    A.20 B.24 C.26 D.32

    【例6】(河北2013-45)某医院有一氧气罐匀速漏气，该氧气罐充满后同时供40人吸

    氧，60分钟后氧气耗尽，再次充满该氧气罐同时供60个人吸氧，则45分钟后氧气耗尽。

    问如果该氧气罐充满后无人吸氧，氧气耗尽需要多长时间？( )

    A. 一个半小时 B. 两个小时 C. 两个半小时 D. 三个小时

    本课程由【资课网】提供，网址www.zikew.com 微信：2569960706 每日免费课程请登陆【资课网】服务电话：400-678-1009

    19

    第 27 讲 循环周期

    要点提示

    若一串事物以T为周期，且A÷T＝N……a，那么第A项等同于第a项。

    【例1】(河北2015-62)甲，乙，丙，丁每人隔不同的天数去健身房健身，甲2天去一

    次，乙3天去一次，丙4天去一次，丁5天去一次，上周星期日四人在健身房同日健身，下

    一次四人同日去健身房健身是星期几？( )

    A. 星期四 B. 星期五 C. 星期六 D. 星期日

    【例2】 (国考2016-62)某政府机构内甲、乙两部门通过门户网站定期向社会发布消息，甲部门每隔2天、乙部门每隔3天有一个发布日，节假日无休。问甲、乙两部门在一个自然

    月内最多有几天同时为发布日？( )

    A. 5 B. 2 C. 6 D. 3

    【例3】(国考2016-64) 某新建小区计划在小区主干道两侧种植银杏树和梧桐树绿化环

    境，一侧每隔3棵银杏树种1棵梧桐树，另一侧每隔4棵梧桐树种1棵银杏树，最终两侧各

    栽35棵数。问最多栽种了多少棵银杏树？( )

    A. 33 B. 34 C. 36 D. 37

    第 28 讲 基础行程

    要点提示

    “行程问题”是历年考察的重点题型，也是每次考试几乎都会涉及的“常考题型”，更是考生望而生畏的“难点题型”。

    核心公式：路程=速度?时间；

    常用方法：列方程、解方程；

    解题关键：除了一部分固定公式的题型，行程问题都是要求大家按照方程的方法来解

    答，而不是构造一些看似巧妙的炫丽方法。这是因为行程问题变化比较多，过程可能会比

    较复杂，但唯一不变的是两个维度的关系： 1，每一段行程单元都有S=vt； 2，不同行程单

    元之间，S之间有关系，v之间有关系，t之间也有关系。只要把握住这两个维度的关系，方程(组)是很容易列出来的。

    【例1】(国考2016-71)A地到B地的道路是下坡路。小周早上6:00从A地出发匀速

    骑车前往B地，7:00时到达两地正中间的C地。到达B地后，小周立即匀速骑车返回，在

    10:00时又途经C地。此后小周的速度在此前速度的基础上增加1米秒，最后在11:30回

    到A地。问A、B两地间的距离在以下哪个范围内？( )

    A. 小于30公里 B. 30~40公里 C. 40~50公里 D. 大于50公里

    【例2】(陕西2015-68)一辆汽车从A地运货到B地，若该车的速度增加20千米小

    时，可以提前45分钟到达B地，若该车的速度减少12千米小时，到达B地的时间将延迟

    本课程由【资课网】提供，网址www.zikew.com 微信：2569960706 每日免费课程请登陆【资课网】服务电话：400-678-1009

    20

    45分钟，则A地与B地之间的距离为( )千米。

    A. 164 B. 176 C. 180 D. 196

    E. 200 F. 212 G. 244 H. 256

    【例3】(陕西2016-64) A、 B两辆车同时从甲地出发驶向乙地， A车到达乙地后立即返

    回，返回途中与B车相遇，相遇点距乙地30公里，相遇后A车经过4小时返回甲地，B车

    经过0.5小时到达乙地，则A车往返一趟总共用了多少小时？( )

    A. 10 B. 6+2 2 C. 10 2 D. 8+ 2

    E. 15 F. 6+2 3 G. 10 3 H. 8+ 3

    第 29 讲 比例行程

    核心提示

    1. 行程问题基本比例：

    S v t

    S v t

    甲 甲 甲

    乙 乙 乙

    ＝ ′；

    2. t若相等，S与v成正比；v若相等，S与t成正比；S若相等，v与t成反比。

    【例1】(春联2016-44)A、B两列车早上8点同时从甲地出发驶向乙地，途中A、B两

    列车分别停了10分钟和20分钟，最后A车于早上 9点50分，B车于早上10 点到达目的

    地，问两车平均速度之比为多少？( )

    A. 1∶1 B. 3∶4 C. 5∶6 D. 9∶11

    【例2】(北京2016-81)小赵骑车去医院看病，父亲在发现小赵忘带医保卡时以60千

    米小时的速度开车追上小赵，把医保卡交给他并立即返回。小赵拿到医保卡后又骑了10分

    钟到达医院，小赵父亲也同时到家。假如小赵从家到医院共用时50分钟，则小赵的速度为

    多少千米小时？(假定小赵及其父亲全程都匀速行驶，忽略父子二人交接卡的时间)( )

    A. 10 B. 12 C. 15 D. 20

    【例3】(北京2017-79)小刘早上8点整出发匀速开车从A地前往B地，预计10点整

    到达。但出发不到1小时后汽车就发生了故障，小刘骑折叠自行车以汽车行驶速度的14前

    往A、B两地中点位置的维修站借来工具，并用30分钟修好了汽车，抵达B地时间为11点

    50分。则小刘汽车发生故障的时间是早上( )

    A. 8点40分 B. 8点45分

    C. 8点50分 D. 8点55分

    第 30 讲 几何问题—角度长度

    平面图形角度与长度重要性质

    1. 在直角三角形中(见图一)，“斜边”是“30°对应的直角边”长度

    的2 倍，另外一条直角边是“30°对应的直角边”长度的√3 倍；

    本课程由【资课网】提供，网址www.zikew.com 微信：2569960706 每日免费课程请登陆【资课网】服务电话：400-678-1009

    21

    2. 在等腰直角三角形中(见图二)，斜边是直角边长度的√2倍；

    3. 对于一个三角形(见图三)，外角等于与其不相邻的两个内角之和，即θ=α+β；

    4. 对于一个三角形(见图四)，等边对等角，即：AB=AC?∠B=∠C；

    5. 正N边形的内角之和为(N-2)×180°，单个内角为 180°-360°N，譬如正四、五、六、八边形的单个内角分别为 90°、108°、120°、135°。

    【例1】(河北2014-52)科技馆为某机器人编制一段程序，如果

    机器人在平地上按照图中所示的步骤行走，那么该机器人所走的总路

    程为多少米？( )

    A.20米 B.15米 C.12米 D10米

    【例2】(吉林2014甲-53) 文化广场举行放风筝比赛，老年组老

    王、老侯、老黄三位选手同场竞技，评委测量各人放出的风筝线长分

    别为60米、 50米、 40米，风筝线与地平面所成角分别为π6、π4、π3， 假设风筝线看做是拉直的，则三位选手放风筝最高的是？ ( )

    A.老王 B.老侯

    C.老黄 D.不能确定

    【例3】(重庆2016下-66)游乐场的摩天轮半径为10米，匀速旋转一周需要2分钟。

    小浩坐在最底部的轿厢(距离地面0.1米)，当摩天轮启动旋转40秒时小浩距离地面的高度

    是多少米？( )

    A.15 B.12.1 C.11 D.15.1

    【例4】(重庆2016下-69)小张在路上匀速行走，观测到前方垂直悬挂的一条彩色灯

    带，其底部和顶部的仰角分别为60°和75°。他沿直线继续往前走，5秒后恰好走到灯带

    的正下方。若小张行走的速度为3.6千米小时，那么这条灯带长( )。

    A.5米 B.10米 C.18米 D.36米

    【例5】(春联2016-45)老王围着边长为50米的正六边形的草地跑步，他从某个角点

    出发，按顺时针方向跑了500米，距出发点直线距离多少米？( )

    A. 50 2 B. 50 3 C. 25( 2+1) D. 50( 3-1)

    本课程由【资课网】提供，网址www.zikew.com 微信：2569960706 每日免费课程请登陆【资课网】服务电话：400-678-1009

    22

    第 31 讲 几何问题—相似比例

    相似三角形有以下三条判定法则(也是其重要性质)：

    1. 三个角分别相等；

    2. 三条边成比例；

    3. 两条边成比例，夹角相

    等。

    右图显示了常见的两类相似三角

    形出现的形式，只要AB与CD平行，那么△OAB与△OCD就是相似三角形，其对应的角

    都是相等的。如果△OCD有一条边是△OAB所对应边的a倍，那么另外两条边也应该是其

    对应边的a倍，并且前者面积是后者的a

    2

    倍。

    【例1】(吉林2014甲级-59) 蓝天幼儿园小朋友在做剪纸活

    动，有一张如图所示的等腰三角形纸片，底边长15厘米，底边上

    的高为22.5厘米，现在沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3厘米

    的矩形纸条，已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形

    纸条是第几张？( )

    A.4 B.5 C.6 D.7

    第 32 讲 几何问题—面积比例

    两个三角形，如果高相等，那么其面积之比就等于其底边长之比。以前三图(图二和

    图三是梯形)为例， △ABC与△ABD的高是相等的，那么这两个三角形的面积之比，在图

    一中就是BC与BD之比，在图二中就是BC与AD之比，在图三中就是1:1。

    连接任意一个四边形各边中点(见图三)，所得的四边形叫做中点四边形，不管原

    四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形，并且其面积是原四边形

    的一半。

    本课程由【资课网】提供，网址www.zikew.com 微信：2569960706 每日免费课程请登陆【资课网】服务电话：400-678-1009

    23

    【例1】(江苏2014B-37)如图，在梯形ABCD中，AB与CD平行，O为AC与BD的交点，CO=2AO，则梯形ABCD与三角形AOB的面积之比：

    ( )

    A.6:1 B.7:1 C.8:1 D.9:1

    【例2】(江苏2015B-40)如图，在△ABC中，已知BD=2DC，EC=2AE，则△BFD与△AEF面积的比值为( )

    A. 4 B. 6 C. 8 D. 9

    【例3】(秋季联考2014-40)如图ABCD是一个梯形，E是AD的中点，直线CE把梯形分成甲、乙两部分，其面积之比是15∶7。问上底AB与下底

    CD的长度之比是( )。

    A.5∶7 B. 6∶7 C. 4∶7 D. 3∶7

    【例4】(北京2016-76)小王近期正在装修新房，他计划将长8米、宽6米

    的客厅按右图所示分别在各边中点连线形成的四边形内铺设不同花色的瓷砖，则

    需要为最里侧的四边形铺设多少平方米的磁砖？( )

    A. 3 B. 6 C. 12 D.

    24

    【例5】(国考2017-69)一块种植花卉的矩形土地如图所示， AD边长是AB

    的2倍，E为CD边的中点，甲、乙、丙、丁、戊区域分别种植白花、红花、黄

    花、紫花、白花。问种植白花的面积占矩形土地面积的( )

    A. 34

    B. 23

    C. 712

    D. 12

    第 33 讲 几何行程

    行程问题与几何问题的结合，综合型灵活的考查方式。

    【例1】(春联2016-55)如下图，正方形ABCD边长为10厘米，一只小蚂蚁E从A点出

    发匀速移动，沿边AB、BC、DC前往D点。问哪个图形反映了三角形AED的面积与小蚂蚁行

    走时间的关系？( )

    本课程由【资课网】提供，网址www.zikew.com 微信：2569960706 每日免费课程请登陆【资课网】服务电话：400-678-1009

    24

    【例2】(国考2017-73)一正三角形小路如右图所示，甲乙两人从A点

    同时出发，朝不同方向沿小路散步，已知甲的速度是乙的2倍。问以下哪个

    坐标图能准确描述两人之间的直线距离与时间的关系(横轴为时间，纵轴为

    直线距离)？( )

    第 34 讲 循环比赛

    要点提示

    循环赛： N支队伍进行循环赛，每支队伍和其它任意队伍进行一场比赛，所以每支队

    伍需要进行N-1场比赛；由于每场比赛都是2个队伍共同进行，所以总场次应该为N×

    (N-1)2

    【例1】(黑龙江2014-12)象棋比赛中，每个选手均与其他选手比赛一局，每局胜者得

    2分，负者得0分，和棋各得1分，那么以下可能是这次比赛所有选手得分的总和是 ( )

    A.78 B.67 C.56 D.89

    【例2】(山东2014-62)8支足球队参加单循环比赛，胜者得2分，平者得1分，负者

    得0分，比赛结束后， 8支足球队的得分各不相同，且第2名的得分与后4名的得分总和相

    等，第3名的得分是第5名的两倍，第4名的得分是第6名的两倍。问第一名比第四名多拿

    了多少分？( )

    A.3 B.4 C.5 D.6

    【例3】A、B、C、D、E 5个小组开展扑克牌比赛，每两个小组间都要比赛一场，到现

    在为止，A组已经比赛了4场，B组已经比赛了3场，C组已经比赛了2场，D组已经比赛

    了1场，问E组比赛了几场？( )

    A.0 B.1 C.2 D.3

    第 35 讲 淘汰比赛

    要点提示

    淘汰赛：每场比赛淘汰一支队伍，每轮比赛淘汰一半的队伍(如果总数不是偶数，比

    本课程由【资课网】提供，网址www.zikew.com 微信：2569960706 每日免费课程请登陆【资课网】服务电话：400-678-1009

    25

    如说一共13支队伍，那么淘汰6支队伍，留下7支队伍)。

    【例1】(国考2014-72)某羽毛球赛共有23支队伍报名参赛，赛事安排23支队伍抽签

    两两争夺下一轮的出线权,没有抽到对手的队伍轮空，直接进入下一轮。那么，本次羽毛球

    赛最后共会遇到多少次轮空的情况？( )

    A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

    【例2】(北京2014-84)某单位组织的羽毛球男单比赛共有48名选手报名参加，比赛

    采用淘汰赛制，在比赛中负一场的选手即被淘汰，直至决出最后的冠军，如每名选手每天最

    多参加一场比赛，则比赛至少需要举行几天？( )

    A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

    【例3】(上海2014B-75)甲、乙、丙三人打羽毛球，每一局由两人上场，另一人做裁

    判。第一局抽签决定裁判，往后每一局的比赛在上一局的胜者和上一局的裁判之间进行。打

    了若干场之后，甲胜了10局，则乙和丙各负了8局，则他们至少打了( )局。

    A. 20 B. 21 C. 22 D. 23

    第 36 讲 年龄问题

    要点提示

    年龄问题涉及两个基本概念：1、每年每人长1岁；2、两个人的年龄差不变。

    我们使用的方法一般是方程法。

    【例1】(河北2015-72)小强的爸爸比小强的妈妈大3岁，全家三口的年龄总和74岁，9年前这家人的年龄总和49岁，那么小强的妈妈今年多少岁？( )

    A. 32 B. 33 C. 34 D. 35

    【例2】(山东2015-57)一家三口人的属相和生日都相同，父母的岁数之和是儿子的6

    倍，而儿子尚未满15岁，问妈妈可能多少岁？( )

    A. 30 B. 36 C. 40 D. 42

    【例3】(国家2015-68)小李的弟弟比小李小2岁，小王的哥哥比小王大2岁、比小李

    大5岁。 1994年，小李的弟弟和小王的年龄之和为15。问2014年小李与小王的年龄分别为

    多少岁？( )

    A. 25、32 B. 27、30 C. 30、27 D. 32、25

    第 37 讲 经济利润

    要点提示

    在日常经济生活中，我们经常会碰到有关“收入、成本、利润”相关的问题，这一类

    问题贴近生活，并且能够很好的考察考生的综合素质，成为历年考题的热点和重点。

    本题型共有三个重点：

    本课程由【资课网】提供，网址www.zikew.com 微信：2569960706 每日免费课程请登陆【资课网】服务电话：400-678-1009

    26

    1. “利润率”的定义和计算公式：利润率＝利润÷成本＝(售价-成本)÷成本；

    2. 折扣的概念，如：“二折”即现价为原价的20%，“九折”即现价为原价的90%；

    3. 绝大部分的“经济利润问题”，都应该通过方程或者方程组来解答。

    【例1】(山东2015-55)商场里某商品成本上涨了20%，售价只上涨了10%，毛利率(利

    润进货价)比以前的下降了10个百分点。问原来的毛利率是多少？( )

    A. 10% B. 20% C. 30% D. 40%

    【例2】(天津2015-13)某商场销售某种商品，第一个月将此商品的进价加价20%作为

    销售价，共获利6000元，第二个月商场搞促销活动，将商品的进价加价10%作为销售价，第二个月的销售量比第一个月增加了100件，并且商场第二个月比第一个月多获利2000元。

    此商品第二个月的销售件数是( )

    A. 270 B. 260 C. 170 D. 160

    【例3】(吉林乙级2015-88)某书店开学前新进一批图书，原计划按40%的利润定价出

    售，售出80%图书之后，剩下的图书打折出售，结果所得利润比原计划少14%，则剩下的图

    书销售时按定价打了几折( )

    A. 7 B. 8.5 C. 8 D. 7.5

    本课程由【资课网】提供，网址www.zikew.com 微信：2569960706 每日免费课程请登陆【资课网】服务电话：400-678-1009

    27

    数学运算例题答案

    例1 例2 例3 例4 例5 例6

    第02 讲：直接代入 A D

    第03 讲：直接倍数 B B

    第04 讲：因子倍数 D D

    第05 讲：比例倍数 D A

    第06 讲：化归为一 C A A

    第07 讲：工程问题 C C B

    第08 讲：十字交叉 A D D

    第09 讲：极端思维 C E C

    第10 讲：基本方程 D C F

    第11 讲：不定方程(1)不定型 D C

    第12 讲：不定方程(2)确定型 D B

    第13 讲：不定方程(3)参数型 B B

    第14 讲：均值不等式 B A D

    第15 讲：等差数列 A B B

    第16 讲：容斥原理—两集合标准型 D A C

    第17 讲：容斥原理—两集合图示标数型 B C

    第18 讲：容斥原理—三集合标准型 C A

    第19 讲：容斥原理—三集合图示标数型 B C

    第20 讲：容斥原理—三集合整体重复型 B B

    第21 讲：排列组合 C B A

    第22 讲：概率问题 B B D B

    第23 讲：抽屉原理 D B

    第24 讲：比例问题 D B D

    第25 讲：溶液问题 A D A

    第26 讲：牛吃草 A D B B C D

    第27 讲：循环周期 A D B

    第28 讲：基础行程 C C B

    第29 讲：比例行程 A C C

    第30 讲：几何问题—角度长度 A B D B B

    第31 讲：几何问题—相似比例 C

    第32 讲：几何问题—面积比例 D C C B C

    第33 讲：几何行程 A D

    第34 讲：循环比赛 C D C

    第35 讲：淘汰比赛 B C B

    第36 讲：年龄问题 A B B

    第37 讲：经济利润 B D C

    本课程由【资课网】提供，网址www.zikew.com 微信：2569960706 每日免费课程请登陆【资课网】服务电话：400-678-1009

    28

    数字推理篇

    第 01 讲 数列概述

    一、考区范围

    数字推理是数量关系当中非常重要的传统题型，然而国考、联考和大部分地方考试已经

    多年没有涉及，所以对于大部分考生来说，数字推理的课程可以简单轻松地看一看即可。

    但是，数字推理仍会出现在部分省级考试中，譬如浙江和江苏每年都有比重不小的数字

    推理试题，所以这两个地区的考生一定要非常认真的复习本篇课程。除此之外，陕西、天津、河北、新疆、吉林、广东、深圳等省市的考试，也有很大的概率要考到数字推理，所以这些

    地区的考生也不能轻视数字推理的复习。

    二、基础数列

    数字推理的主体内容可以归纳为五大题型，而这些题型是建立在“基础数列”之上的。

    “基础数列”包括等差数列、等比数列、质数型数列、周期数列和直接递推数列五种形态：

    · 等差数列：相邻两项之差(后项减去前项)等于定值的数列。

    【例1】(河北2013-38)1，5，9，( )，17，21

    A. 12 B. 13 C. 14 D. 15

    [答案]B

    · 等比数列：相邻两项之比(后项除以前项)等于定值的数列。

    【例2】(广东2013C-1)160，80，40，20， ( )

    A. 4 B. 6 C. 8 D. 10

    [答案]D

    · 质数型数列

    质数数列：由质数构成的数列叫做质数数列。

    譬如：2、3、5、7、11、13…

    合数数列：由合数构成的数列叫做合数数列。

    譬如：4、6、8、9、10、12…

    · 周期数列：自某一项开始，重复出现前面相同(相似)项的数列。

    譬如： ①2、5、4、2、5、4… ②2、4、2、4、2、4…

    · 直接递推数列：数列当中每一项直接等于其前两项的和、差、积或者商。譬如：

    ① 0、1、1、2、3、5…

    ② -1、3、2、5、7…

    三、五大题型

    数字推理的主体内容主要包括以下五大题型：

    1. 多级数列：数列中相邻项通过四则运算，得到的结果形成某种特定的规律。

    2. 多重数列：数列中数字通过交叉或者分组，从而形成某种特定的规律。

    3. 分式数列：数列中的数通过自然分隔，形成某种特定的规律。

    4. 幂次数列：数列中有基于平方、立方或其它乘方的规律。

    5. 递推数列：数列中前面的项通过某种特定的运算，得出后一项从而形成规律。

    本课程由【资课网】提供，网址www.zikew.com 微信：2569960706 每日免费课程请登陆【资课网】服务电话：400-678-1009

    29

    四、思维图示

    解答一道数字推理题，简单来说分成两步：1、判断类型；2、按类型使用具体方法。

    后者很重要：掌握具体题型的具体解题方法是数字推理解题的基本能力，本课程后面将

    分门别类的介绍五大基本题型各自的典型解题方法和经典例题。

    前者更重要：这是解题的前提和关键。拿到一道数字推理题，我们如何迅速而准确的判

    定应该选用什么样的题型方法来解答这道题，或者说我们应该用什么样的思维步骤来处理一

    个尚未确定类型的普通题目，这是数字当中非常重要的内容。

    五、补充要领

    特别补充说明六个要领：

    1. 数字推理思维过程，简单来说就是六个字：特征è做差è递推；

    2. 数字推理的破题关键是“尝试”；

    3. 五十道题目一起验证，一起寻找特征，用以节约时间。

    4. 思维过程一定要“熟练”；

    5. 基本计算能力一定要过关；

    6. 课程的最后，我们再回头来重新讲解这个思维过程。

    第 02 讲 做差多级数列

    一、要点评析

    多级数列是数字推理五大题型之首，也是最重要的两大题型(多级数列和递推数列，各

    占约14)之一。

    本课程由【资课网】提供，网址www.zikew.com 微信：2569960706 每日免费课程请登陆【资课网】服务电话：400-678-1009

    30

    多级数列不仅自身考察比重很高，而且也是其它诸多题型的基础，掌握好这一部分的内

    容，是攻克数字推理的前提。

    多级数列包括做差数列(约80%，包括二级数列56%与三级数列24%)、做商数列(约

    12%)、做和数列(约7%)和做积数列(几乎不考)四种形态。

    多级数列中，做商数列有比较明显的倍数关系，做差数列和做和数列一般没有明显数字

    特征。本讲主要讲述“做差多级数列”，下一讲我们讲述“做商多级数列”和“做和多级数

    列”。

    二、例题精析

    ● 题型一：二级等差数列

    【例1】(江苏2013B-83，江苏2013C-19)-2，-2，0，4，10，( )

    A. 12 B. 15 C. 16 D. 18

    【例2】(江苏2013C-16)3，7，13，21，31，( )

    A. 38 B. 41 C. 43 D. 49

    核心提示

    “二级数列”所使用的“逐差法”简单、通俗、易行，但一般考生非常容易犯下面两

    个错误：①做差计算错误；②做差时，“左减右”和“右减左”混乱。这两类错误在整个

    “多级数列”中都是最为常见的，希望大家对此重视，并且多加练习，避免这类可惜的错

    误。

    【例3】(广东2013C-4)300，290，281，273，( )，260

    A. 270 B. 266 C. 264 D. 262

    【例4】(江苏2013C-20)0.5，2，4.5，8，( )

    A. 10.5 B. 11 C. 12.5 D. 14

    ● 题型二：二级等比数列

    【例5】(江苏2013B-76)2，3，5，9，( )，33

    A.15 B. 17 C. 18 D. 19

    核心提示

    “二级等比数列”全部可以看成“递推倍数数列”，其修正项为一常数数列。

    【例6】(江苏2013C-18)5，6，9，18，45，( )

    A. 96 B. 106 C. 116 D. 126

    【例7】(河北2013-40)-1，1，7，25，79，( )

    A. 121 B. 241 C. 243 D. 254

    本课程由【资课网】提供，网址www.zikew.com 微信：2569960706 每日免费课程请登陆【资课网】服务电话：400-678-1009

    31

    ● 题型三：二级其它数列

    【例8】(新疆2013-33)4，8，13，19，23，( )，34

    A. 25 B. 27 C. 28 D. 31

    【例9】(吉林2010-4)10，12，15，20，27，( )

    A.30 B.36 C.38 D.48

    【例10】 (浙江2010-75)12，16，22，30，39，49，( )

    A.61 B.62 C.64 D.65

    ● 题型四：三级等差数列

    【例11】 (2010年425联考-86)0，0，6，24，60，120，( )

    A. 180 B. 196 C. 210 D. 216

    核心提示

    “二级数列”只需要做一次差，题目过于简单，而建立于其基础之上的“三级数列”

    因为难度适中，从而逐渐取代“二级数列”，成为近年来试题主要基础题型之一。

    “三级数列”比“二级数列”更加强调减法运算的速度和精度，也更加容易因为做差

    方向的混乱而出错。

    【例12】(江苏2013B-82，江苏2013C-17)2，4，0，-16，-50，( )

    A. -104 B. -108 C. -125 D. -128

    ● 题型五：三级等比数列

    【例13】(深圳2013-45)11，11，13，21，47，( )

    A. 125 B. 126 C. 127 D. 128

    【例14】(新疆兵团2013-46)1，6，12，16，24，24，( )

    A. 24 B. 32 C. 40 D. 48

    ● 题型六：三级其它数列

    【例15】 (江苏2010A-17)8，11，18，34，66，( )

    A. 89 B. 97 C. 123 D. 154

    【例16】(新疆兵团2013-49)2，5，8，12，17，24，( )

    A. 30 B. 32 C. 34 D.36

    本课程由【资课网】提供，网址www.zikew.com 微信：2569960706 每日免费课程请登陆【资课网】服务电话：400-678-1009

    32

    第 03 讲 商和多级数列

    一、要点评析

    “多级数列”当中，最经典的方式就是“两两做差”。除此之外，“两两做商”和“两两

    做和”的数列也渐渐成为了考试常见的基本题型。

    相对“两两做差”的数列而言：“两两做商”的数列，数字之间有比较明显的倍数关系；

    而“两两做和”数列，从数字上看，并没有特别的特征，但一旦经过简单的加和便能得出相

    对简单的规律(一般算出前两个数字就能大致猜出整个数列)。

    二、例题精析

    ● 题型一：做商多级数列

    【例1】(江苏2013B-81，C-23)1，3，12，60，360，( )

    A.1080 B. 2160 C. 2165 D. 2520

    核心提示

    “两两做商”的数列，数字之间有比较明显的倍数关系。

    【例2】(江苏2013A-16)2，4，12，48，240，( )

    A. 1645 B. 1440 C. 1240 D. 360

    【例3】(吉林2012乙-3)0.5，1.5，7.5，52.5，( )

    A. 415.5 B. 472.5 C. 387.5 D. 315.5

    【例4】(浙江2013-40)1，2，6，30，210，( )

    A. 1890 B. 2310 C.2520 D. 2730

    【例5】(江西2012-37)2，2，6，30，( )，1890

    A. 180 B. 210 C. 360 D. 240

    【例6】(山东2012-61)16，13，1，4，20，( )

    A. 100 B. 108 C. 120 D. 128

    【例7】(四川2012-4)4，4，4，8，24，120，( )

    A. 240 B. 360 C. 560 D. 960

    【例8】(浙江2013-42)1，-3，3，3，9，( )

    A. 28 B. 36 C. 45 D. 52

    【例9】(江苏B类2013-77)13，1，9，243，( )

    A.19683 B. 19785 C.19827 D.19869

    本课程由【资课网】提供，网址www.zikew.com 微信：2569960706 每日免费课程请登陆【资课网】服务电话：400-678-1009

    33

    【例10】(吉林乙级2013-4)1，4，64，4096，( )

    A. 65536 B. 262144 C. 131072 D. 1048576

    ● 题型二：做和多级数列

    核心提示

    “两两做和”数列，从数字上看，并没有特别的特征，但一旦经过简单的加和便能得

    出相对简单的规律(一般算出前两个数字就能大致猜出整个数列)

    【例11】(山东2012-63) -1，2，0，4，4，12，( )

    A. 4 B. 8 C. 12 D. 20

    【例12】(2010年918联考-33)5，6，16，28，60，( )

    A.74 B. 82 C. 92 D. 116

    【例13】(浙江2013-41)2，2，7，9，16，20，( )

    A. 28 B. 29 C. 30 D. 31

    第 04 讲 多重数列

    一、要点评析

    多重数列是数字推理题型中难度较低、特征相对明显的题型，主要包括“交叉数列”和

    “分组数列”两种题型。

    多重数列的特征一般都非常明显：一般都比较长，有时候会出现两个未知项。出现整个

    数列(包括未知项)一共有8项或者10项，交叉和分组都是可能的，但如果总共是9项，一般就是交叉数列。

    二、例题精析

    ● 题型一：交叉数列

    核心提示

    “交叉数列”是多重数列的基本题型，其奇数项和偶数项分别是两个较简单的数列。

    【例1】 (吉林2011甲级-4)21，26，23，24，25，22，27， ( )

    A.28 B.29 C.20 D.30

    【例2】(陕西2013-74)2，2，3，4，5，6，7，8，( )

    A. 9 B. 10 C. 11 D. 12

    【例3】(深圳2012-4) 11，14，12，20，13，30，( )，44，15，( )

    A. 15，55 B. 14，60 C. 14，62 D. 15，60

    【例4】(山东2012-62)1，5，5，25，25，45，125，( )

    本课程由【资课网】提供，网址www.zikew.com 微信：2569960706 每日免费课程请登陆【资课网】服务电话：400-678-1009

    34

    A. 45 B. 65 C. 125 D. 150

    【例5】(浙江2012-45)1、6、5、7、2、8、6、9、 ( )

    A.1 B.2 C.3 D.4

    ● 题型二：分组数列

    核心提示

    分组数列中，我们将组内两个数进行简单的“+、-、?、?”运算，得到一个简单数

    列。

    【例6】 (吉林2010-5)5，8，9，12，10，13，12， ( )

    A. 15 B. 14 C. 13 D. 25

    【例7】 (深圳市2011 -5)11，22，20，40，12，24，34， ( )

    A. 50 B. 64 C. 56 D. 68

    【例8】(新疆2013-34)2，13，5，9，8，5，11，( )

    A. 13 B. 15 C. 3 D. 1

    【例9】(新疆2013-40)1，3，8，24，11，33，14，( )

    A. 42 B. 39 C. 46 D. 51

    【例10】(天津2013-1)3，5，6，10，11，17，18，( )

    A. 25 B. 26 C. 27 D. 28

    第 05 讲 分数数列

    一、要点评析

    分数数列是数字推理当中，最具有直接外部特征的数列形式，能够从直观上与其它数列

    进行简单区分。

    分数数列主要包括以下四种题型：

    1. 分组规律型：分子、分母互不影响，各自独立为一个简单数列；

    2. 交叉影响型：分子、分母互相影响，整体考虑有一个直观的规律；

    3. 广义通分型：当分数的分母或分子很容易化为一致时，将其化为相同数；

    4. 反向约分型：现在分数数列中的主导题型。

    除此之外，分数数列还可以向小数、根数拓展。

    当数列中大部分是分数，而少量个别数字是整数的时候，我们可以将整数化为分母为1

    的分数。此外，含有部分分数的数列，还可能是“负幂次数列”、“积商多级数列”或者“积

    商递推数列”这样三种形态。

    本课程由【资课网】提供，网址www.zikew.com 微信：2569960706 每日免费课程请登陆【资课网】服务电话：400-678-1009

    35

    二、例题精析

    ● 题型一：分组规律型

    【例1】 (安徽2010-4)1，( )，1

    7

    ，1

    13

    ，1

    21

    A.0 B.1 C.12 D.13

    核心提示

    当数列中大部分是分数，而少量个别数字是整数的时候，我们可以将整数化为分母

    为1的分数。

    ● 题型二：交叉影响型

    【例2】(吉林甲级2012-4)

    6

    5

    ，11

    6

    ，17

    11

    ，17

    28

    ，( )

    A.

    45

    28

    B.

    43

    28

    C.

    44

    28

    D.

    42

    28

    ● 题型三：广义通分型

    【例3】(浙江2013-45)

    3

    2

    、1

    2

    、1

    4

    、3

    20

    、1

    10

    、( )

    A. 114 B.115 C. 116 D. 117

    ● 题型四：反向约分型

    核心提示

    将一个分数的分子、分母同时除以一个数，我们称之为“约分”，而将一个分数的

    分子、分母同时乘以一个数，我们称之为“反约分”。

    在数列中，如果某一个分数的分子和分母的大小明显都低于整个数列的趋势，我们

    常常应当利用“反约分”来同时扩大这个分数的分子和分母，从而得到较明显的规律。

    “反约分型数列”是分数数列中最具技巧的题型，已经成为现在分数数列出题的主

    要方向。传统试题里，“反约分”一般会使得分数的分子、分母分别成为等差数列，但近

    年来，分子、分母被化为“二级(等差或等比)数列”成为题型的主流。

    【例4】(河北2013-37)1，8

    7

    ，16

    11

    ，2

    1

    ，32

    11

    ，( )

    A.

    128

    29

    B.

    64

    27

    C.

    32

    15

    D.

    32

    7

    【例5】(江苏2013C-22)1，1，4

    3

    ，2，16

    5

    ，( )

    本课程由【资课网】提供，网址www.zikew.com 微信：2569960706 每日免费课程请登陆【资课网】服务电话：400-678-1009

    36

    A.

    32

    7

    B.

    16

    7

    C.

    32

    3

    D.

    16

    3

    【例6】(江苏2013A-16，B-79)

    1

    2

    ，1，9

    7

    ，16

    11

    ，25

    16

    ，( )

    A.

    18

    11

    B.

    21

    11

    C.

    23

    11

    D.

    36

    23

    【例7】(吉林2013甲级-5，乙级-3)

    5

    3

    ，4

    3

    ·

    è

    ·

    ·

    ·

    ÷

    2

    ，11

    9

    ·

    è

    ·

    ·

    ·

    ÷

    3

    ，7

    6

    ·

    è

    ·

    ·

    ·

    ÷

    4

    ，( )

    A.

    17

    15

    ·

    è

    ·

    ·

    ·

    ÷

    5

    B.

    8

    7

    ·

    è

    ·

    ·

    ·

    ÷

    5

    C.

    15

    13

    ·

    è

    ·

    ·

    ·

    ÷

    5

    D.

    11

    6

    ·

    è

    ·

    ·

    ·

    ÷

    5

    【例8】(天津2013-5)3，15

    -

    4

    ，14

    5

    ，45

    -

    28

    ，( )

    A.

    25

    36

    B.

    33

    41

    C.

    21

    48

    D.

    35

    64

    ● 题型五：小数数列

    核心提示

    分数号将分数分成了分子、分母两个部分，这是分数数列的形式本质。除此之外，我

    们还可能遇到“小数数列”、“根式数列”等等形式，这些数列的每一项都被天然的分成了

    多个部分，因此我们可以认为，这些数列是分数数列的拓展形式。

    【例9】(吉林2013甲级- 4)1.1， 3.4，6.9，10.16，( )

    A. 12.49 B. 15.25 C. 13.36 D. 14.49

    ● 题型六：根式数列

    【例10】(吉林甲级2013-1)√3，√15，√35，√63，( )

    A. √77 B. √99 C. √103 D. √143

    【例11】(江苏C类2013-21)√2，√2，2，2√3，4√3，( )

    A. 6√5 B. 4√15 C. 6√3 D. 7√15

    【例12】(吉林乙级2013-5)√2，32，2√73，√654，( )

    A. √3435 B. 4√65 C. 7√55 D. √1265

    本课程由【资课网】提供，网址www.zikew.com 微信：2569960706 每日免费课程请登陆【资课网】服务电话：400-678-1009

    37

    第 06 讲 幂次数列

    一、要点评析

    幂次数列要求各位考生对数字当中的“幂次数”(又称为“乘方数”)有非常熟练的了解，建立在这个基础之上以后，幂次数列可以算数字推理当中难度中等甚至偏简单的题型。

    幂次数列主要包括“基础幂次数列”和“幂次修正数列”，后者是现在考试的主体题型。

    要学好幂次数列，必须对常用的幂次数(包括平方数、立方数、多次方数)了如指掌，夯实这一部分功底是复习本章的主要任务。在这个过程中，了解一些幂次变换的常用法则、熟悉幂次数附近的数字，是掌握幂次数的两个重点。

    常用幂次数

    平方数

    底数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

    平方 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100

    底数 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

    平方 121 144 169 196 225 256 289 324 361 400

    立方数

    底数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

    立方 1 8 27 64 125 216 343 512 729 1000

    多次方

    数

    次方 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

    2 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024

    3 3 9 27 81 243 729

    4 4 16 64 256 1024

    5 5 25 125 625

    6 6 36 216

    二、例题精析

    ● 题型一：恒定指数

    【例1】(新疆2013-37)-1，27，8，125，( )

    A. 512 B. 428 C. 256 D. 343

    ● 题型二：恒定底数

    【例2】(河北2012-39)1，2，8，( )，1024，……

    A. 64 B. 176 C. 682 D. 988

    【例3】(吉林2013甲级-3)1，e

    ·

    ，e

    ·

    ，e

    ·?

    ，( )

    A. e

    ·?

    B. e

    ·?

    C. e

    ·?

    D. e

    ·?

    本课程由【资课网】提供，网址www.zikew.com 微信：2569960706 每日免费课程请登陆【资课网】服务电话：400-678-1009

    38

    ● 题型三：变化指数

    【例4】(河北2010-27)6，25，64，( )，32，1

    A. 81 B. 72 C. 63 D. 54

    ● 题型四：常数修正

    核心提示

    1. 普通平方数列，以常数(或等差数列)进行修正，结果是“二级等差数列”；

    2. 普通立方数列，以常数(或等差数列)进行修正，结果是“三级等差数列”。

    【例5】(江苏2013B-84)3，8，15，24，35，( )

    A. 39 B. 43 C. 48 D. 63

    “幂次修正数列”解题关键

    对题目已知数字进行幂次数的“相邻数发散”，以迅速找到原参照数列。

    【例6】(河北2013-39)1，10，37，82，145，( )

    A. 170 B. 197 C. 224 D. 226

    【例7】(江苏2013A-16)9，10，65，26，217，( )

    A. 289 B. 89 C. 64 D. 50

    ● 题型五：等差修正

    【例8】 (2010年425联考-86)0，0，6，24，60，120，( )

    A. 180 B. 196 C. 210 D. 216

    ● 题型六：正负修正

    【例9】(天津2013-4)3，2，11，14，27，( )

    A. 32 B. 34 C. 36 D. 40

    【例10】(陕西2013-71)0，5，8，17，24，( )

    A. 37 B. 45 C. 51 D. 62

    【例11】(新疆2013-32)2，7，28，63，126，( )

    A. 215 B. 150 C. 119 D. 178

    【例12】(陕西2013-75)2，6，30，60，130，210，( )

    A. 340 B. 350 C. 360 D. 370

    本课程由【资课网】提供，网址www.zikew.com 微信：2569960706 每日免费课程请登陆【资课网】服务电话：400-678-1009

    39

    第 07 讲 递推数列整体趋势法

    一、要点评析

    递推数列是最重要的两大题型之一，与多级数列各占14左右的比重，也是数字推理中

    技巧性最强、对数字敏感要求最高的题型。

    递推数列主要包含和、差、积、商、倍、方六种运算形态，既包括基本型，也包括修正

    型。近年来的试题主要集中在“修正型”的递推数列，占比大约为 80%左右。

    递推数列最重要的任务，就是判断数列递推的形式，主要有“整体趋势法”和“递推联

    系法”两种基本方法，两种方法的“分别学习”和“联合使用”是最有效果的。本节讲述前

    一种方法，下一节讲述后一种方法。

    “整体趋势法”是指以数列的整体变化趋势为主要依据，从而判断数列的递推类型的一

    种方法。由于不同类型的递推方式有不同的 “数列大小变化趋势”，所以绝大部分的递推数

    列可以通过“整体趋势法”进行有效判断。

    “整体趋势法”主要操作包括“看趋势”和“做试探”两个过程：

    1. 看趋势：根据数列当中数字的整体变化趋势初步判断递推的具体形式；

    2. 作试探：根据初步判断的趋势作合理的试探，并分析其误差，即“修正项”。

    “看趋势”的大致思维流程，可以具体用下图显示：

    二、例题精析

    【例1】34、21、14、8、7、2、( )

    A.3 B.4 C.5 D.6

    【例2】(新疆2013-35)252，21，12，( )，487

    A. 9 B. 7 C. 74 D. 137

    【例3】-3，3，0，( )，3，6

    A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

    【例4】(四川2010-1)4，6，9，14，22，35，( )

    A. 47 B. 49 C. 53 D. 56

    本课程由【资课网】提供，网址www.zikew.com 微信：2569960706 每日免费课程请登陆【资课网】服务电话：400-678-1009

    40

    【例5】(江苏B类2013-80)1，2，5，26，677，( )

    A.458329 B. 458330 C. 458331 D. 458332

    【例6】(2010年425联考-87)2，3，7，45，2017，( )

    A. 4068271 B. 4068273 C. 4068275 D. 4068277

    【例7】(北京2010-73)2，2，4，8，32，256，( )

    A. 2048 B. 4096 C. 6942 D. 8192

    【例8】(浙江2012-41)2、4、3、7、16、107、( )

    A.1594 B.1684 C.1707 D.1856

    【例9】(江苏2010B-77，C-21)3，5，16，82，1315，( )

    A. 107834 B. 12849 C. 12847 D. 108847

    【例10】(天津2013-3)3，10，31，94，( )，850

    A. 250 B. 270 C. 282 D. 283

    【例11】(河北2012-36)4，11，27，61，( )

    A. 106 B. 117 C. 131 D. 163

    【例12】(浙江2012-44)3、-2、1、3、8、61、( )

    A.3692 B.3713 C.3764 D.3816

    【例13】(新疆2013-38)1，1，4，13，43，142，( )

    A. 469 B. 369 C. 234 D. 198

    【例14】(江苏2013B-78)2，1，6，14，40，108， ( )

    A. 288 B. 296 C. 304 D. 312

    核心提示

    学到这里，我们大致可以理清楚“整体趋势法”的基本思路和做题步骤，下面我们

    通过一个简单的图示来帮助大家好好掌握这种方法：

    递推数列“整体趋势法”

    尝试“差商和方积倍”规律

    完全吻合

    相差很远

    相差不大

    规律找到，答题完成

    规律错误，继续尝试

    得到“修正项”

    简单数列

    前项相关

    本课程由【资课网】提供，网址www.zikew.com 微信：2569960706 每日免费课程请登陆【资课网】服务电话：400-678-1009

    41

    第 08 讲 递推数列递推联系法

    一、要点评析

    “递推联系法”是指， 研究递推数列当中相邻两个或者三个数字之间的“递推联系”，从而找到解题关键的方法。

    “递推联系法”与“整体趋势法”是解答递推数列两种相对独立的方法。相对而言，“递推联系法”求解更为迅速，覆盖面更广；而“整体趋势法”解题操作更加简便、机械。

    因此， 对于较难、较新的题型而言， “递推联系法”更容易帮助考生找到答案，但要求考生

    有较高的“数字敏感”度(即多数字递推联系)。考生可以在实践中熟练掌握两种方法，在

    具体练习当中对照使用，这两种方法完全可以有“相辅相成”的作用。

    “递推联系法”分成两种情形：

    ①两项递推(研究相邻三个数字递推联系)

    ②单项递推(研究相邻两个数字递推联系)

    二、例题精析

    ● 题型一：两项递推联系法

    使用法则

    圈定数列当中三个相邻数字(要求这三个数字较大以不失代表性，但不要过大以增

    加计算复杂性)，研究这三个数字当中，前两个数字运算得到第三个数字的所有简单递

    推形式，将得到的递推形式代入到其它数字之间进行验算，全部吻合者为最终规律。

    【例1】(浙江2011-43)2，1，3，10，103，( )

    A.8927 B.9109 C.9247 D.10619

    【例2】 (江苏2012B-79)1、1、3、5、17、87、

    A.1359 B.1479 C.1481 D.1563

    【例3】(浙江2011-44)1，2，7，19，138，( )

    A.2146 B.2627 C.3092 D.3865

    【例4】(深圳2012-1)-2，-1，2，-2，( )，8

    A. 1 B. -1 C. 4 D. -4

    【例5】(江苏2013C-24)1，2，3，7，22，( )

    A. 100 B. 133 C. 155 D. 165

    【例6】(山东2012-64)2.5，2，3，4，10，38，( )

    A. 92 B. 134 C. 256 D. 378

    【例7】(浙江2013-43)2，5，9，19，37，75，( )

    本课程由【资课网】提供，网址www.zikew.com 微信：2569960706 每日免费课程请登陆【资课网】服务电话：400-678-1009

    42

    A. 140 B. 142 C. 146 D. 149

    【例8】(新疆兵团2013-48) -2，3，-1，5，3，13，( )

    A. 7 B. 11 C. 15 D. 19

    【例9】(浙江2013-39)3，7，12，15，9，-18，( )

    A. -27 B. -45 C. -81 D. -102

    【例10】(江苏2013B-78)2，1，6，14，40，108， ( )

    A. 288 B. 296 C. 304 D. 312

    ● 题型二：单项递推联系法

    使用法则

    圈定数列当中两个相邻数字(要求这两个数字较大以不失代表性，但不要过大以增

    加计算复杂性)，研究这两个数字当中，前一个数字运算得到第二个数字的所有简单递

    推形式，将得到的递推形式代入到其它数字之间进行验算，全部吻合者为最终规律。

    【例11】 (江苏2012B-76)2、5、14、41、122、

    A.243 B.323 C.365 D.382

    【例12】 (安徽2010-3)56，114，230，462，( )

    A. 916 B. 918 C. 924 D. 926

    【例13】(江苏2013A-16)3，8，23，68，( )，608

    A. 183 B. 188 C. 203 D. 208

    【例14】(江苏2010A-16)

    -

    1

    3

    ，1，5，17，53，( )

    A. 157 B. 153 C. 164 D. 161

    【例15】(江苏2010C-20)2，1，5，7，17，31，( )

    A. 59 B. 61 C. 65 D. 69

    【例16】(北京2010-72)16，8，24，12，36，18，( )

    A. 16 B. 42 C. 54 D. 72

    本课程由【资课网】提供，网址www.zikew.com 微信：2569960706 每日免费课程请登陆【资课网】服务电话：400-678-1009

    43

    第 09 讲 数列总结

    一、思维图示

    二、补充要领

    特别补充说明六个要领：

    1. 数字推理思维过程，简单来说就是六个字：特征è做差è递推；

    2. 数字推理的破题关键是“尝试”；

    3. 五十道题目一起验证，一起寻找特征，用以节约时间。

    4. 思维过程一定要“熟练”；

    5. 基本计算能力一定要过关；

    6. 课程的最后，我们真的回头重新讲解了这个思维过程。

    数字推理例题答案

    第02 讲 第03 讲 第04 讲 第05 讲 第06 讲 第07 讲 第08 讲

    例01 D D C D D D D

    例02 C B C A A C C

    例03 B B C A B A B

    例04 C B B A A D D

    例05 B B C D C B C

    本课程由【资课网】提供，网址www.zikew.com 微信：2569960706 每日免费课程请登陆【资课网】服务电话：400-678-1009

    44

    例06 D C A A D B D

    例07 B D D A D D D

    例08 C C D B C C D

    例09 C A A B B A C

    例10 A D B B A D B

    例11 C D B A C C

    例12 B D D B B D

    例13 C B A C

    例14 C B D

    例15 C C

    例16 C C

    本课程由【资课网】提供，网址www.zikew.com 微信：2569960706 每日免费课程请登陆【资课网】服务电话：400-678-1009

    45

    本课程由【资课网】提供，网址www.zikew.com 微信：2569960706 每日免费课程请登陆【资课网】 ......